必修二垂直证明常见模型及方法
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
证明垂直的方法
证明垂直的方法在几何学中，垂直是一个基本概念，它是指两条直线、线段或平面相互交于一个相互垂直的角度。
垂直关系在很多数学和物理学问题中都非常重要。
例如，在计算机图形学、建筑设计和机械工程等领域中，垂直关系都是必须考虑的。
那么，我们该如何证明两条线段或直线之间的垂直关系呢？下面将介绍一些证明垂直的方法。
垂直定义法根据垂直的定义，两条直线、线段或平面相互垂直的条件是它们的交角是90度。
因此，我们可以利用这个定义来证明两条线段或直线之间的垂直关系。
具体的证明步骤如下：1.画出两条线段或直线，并标出它们的交点；2.测量它们交角的大小，如果交角恰好为90度，则可以证明它们垂直；3.如果交角不是90度，就需要进一步推导和证明。
这种方法比较直观，但是需要测量角度，有一定的局限性。
垂线相交法垂线相交法是一种比较常用的证明方法，它可以不用测量角度来确定两条线段或直线之间的垂直关系。
具体的证明步骤如下：1.画出两条线段或直线，并标出它们的交点；2.从交点开始，画出两条垂直的直线；3.如果两条直线分别与两条线段或直线相交，并且它们的交点在同一条直线上，则可以证明它们垂直。
例如，我们要证明线段AB和线段CD垂直，可以按照如下步骤进行：垂线相交法示意图1.画出线段AB和线段CD，并标出它们的交点E；2.从E点开始，分别画出垂直于AB和CD的两条线段EF和EG，其中F和G 分别在AB和CD上；3.如果EF和CD以及EG和AB相交，并且它们的交点H和I在同一条直线上，则可以证明线段AB和线段CD垂直。
向量法向量法也是一种常用的证明垂直的方法，它可以利用向量的内积和外积的性质来判断两个向量是否垂直。
具体的证明步骤如下：1.画出两条线段或直线，并标出它们的任意点A和B；2.确定两个向量$\\vec{v_1}$和$\\vec{v_2}$，其中$\\vec{v_1}$表示从A点到B点的向量，$\\vec{v_2}$表示与之垂直的向量；3.计算这两个向量的内积和外积，如果内积为0且外积不为0，则证明它们垂直。
双垂直模型结论及证明
双垂直模型结论及证明双垂直模型听起来就像是一门深奥的科学，但其实呢，它也可以用一种轻松的方式来理解。
想象一下，你在玩积木，想要把一堆零碎的块拼在一起，结果发现有两个特别的块，像是交叉的两根线，一垂直一水平。
咱们就可以从这儿开始聊聊双垂直模型了。
这个模型的核心在于它如何处理数据，哎，这就像咱们生活中那些矛盾的事情，明明在一个方向上走，却总有一些意想不到的转折。
咱们得理解，双垂直模型主要是用来分析两个变量之间的关系。
就好比你和你的朋友，大家都是独立的个体，但当你们聚在一起的时候，就会产生各种有趣的化学反应。
这个模型就像是揭开了这种“化学反应”的神秘面纱，让人们可以清晰地看到各种关系。
有人可能会问，这个模型到底有什么用？它在很多领域都有应用，比如经济学、社会学，甚至在市场营销中也能看到它的身影。
就像是每次你想买个新手机，都会先比较一下各个品牌之间的优缺点，双垂直模型就是在帮助你理清这些复杂的关系。
咱们再深入一层，这个模型的结论是，两个变量之间的互动关系可以用一种简单明了的方式呈现出来。
比如说，你的工作效率和休息时间之间的关系，明明休息了之后，你的效率会更高，但如果你休息得太久，那效率又会掉下去。
哎，这种现象就像是喝咖啡，喝多了会心慌，但适量喝又能提神。
这个模型的魅力就在于，它能把这种复杂的互动关系用简单的图表和公式表达出来，真是太神奇了。
咱们来聊聊这个模型的证明部分。
证明就像是在解一道难题，有时需要一些巧妙的方式来显示出事情的真相。
你知道吗？很多时候，科学家们就是通过观察和实验来验证模型的准确性。
就像是你在厨房做菜，尝一尝再加点盐，最后调到一个恰到好处的味道。
双垂直模型的证明过程也是如此，得经过一系列的数据收集、分析，再加上一点运气，最终得到一个可靠的结论。
就算有时候结果不如预期，但这些数据也能让你明白哪里出了问题。
而这个模型的应用不仅限于理论，实际上，它对实际操作也有很大的帮助。
想象一下，如果你是一位商家，想要推出新产品，使用这个模型来分析目标客户的偏好，就能更精准地制定营销策略。
2017年__高二年级立体几何垂直证明题常见模型和方法
立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥；类型二：线面垂直证明BE 'ADFG方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC =C○2 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结
【 证 明 】(1) 在 四 棱 锥 P—ABCD 中 ， 因 为 PA⊥ 底 面 ABCD ， CD 平 面 ABCD ， 故 PA⊥CD. 又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平 面PAC. 而AE 平面PAC，所以CD⊥AE. (2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 60° ， 得 △ABC是等边三角形，故AC＝PA.
2. 在 正 方体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 棱 长为2，M是AD1上任意一点，M到平 面BCB1的距离是_2______.
3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE，
SF及EF把这个正方形折成
一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥
所以DC / /EB. 又 因 为 DC 平 面 ABE， EB 平 面 ABE， 所以DC / /平面ABE.
2因为DC 平面ABC，所以DC AF .
又 因 为 BAC＝ ， 且 AB＝ AC， 所 以 AF BC .
2 而 BC DC＝ C， 所 以 AF 平 面 BCDE.
直
四
棱
柱
A
B
C
D
－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底 面 A B C D 是 菱 形 ， A B＝ 2 ， A B C＝ 6 0 ， P为 侧 棱
证明垂直的方法范文
证明垂直的方法范文要证明两条直线垂直，可以使用以下几种方法：方法一：使用向量的内积设直线L1斜率为k1，直线L2斜率为k2，则k1*k2=-1时，L1与L2垂直。
证明过程如下：设L1过点A(x1,y1)，L2过点B(x2,y2)。
则L1的斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)，L2的斜率k2=(y2-y1)/(x2-x1)。
将斜率代入并化简得到：k1*k2=[(y2-y1)/(x2-x1)]*[(y2-y1)/(x2-x1)]=(y2-y1)^2/(x2-x1)^2如果k1*k2=-1，则(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=-1即(y2-y1)^2=-(x2-x1)^2则y2-y1=±i(x2-x1)，其中i为虚数单位。
这表示直线L1与L2垂直。
方法二：使用直线的斜率设直线L1斜率为k1，直线L2斜率为k2，则k1*k2=-1时，L1与L2垂直。
证明过程如下：设直线L1斜率为k1 = tanθ1，直线L2斜率为k2 = tanθ2如果直线L1与L2垂直，那么θ1与θ2必须满足θ1 + θ2 = 90度，即tan(θ1 + θ2) = tan90度。
根据三角函数的和差公式，有：tan(θ1 + θ2) = (tanθ1 + tanθ2) / (1 - tanθ1 * tanθ2) tan90度 = 无穷大因此，当tanθ1 * tanθ2 = -1时，即k1 * k2 = -1时，直线L1与L2垂直。
方法三：使用两条直线的斜率的乘积设直线L1斜率为k1，直线L2斜率为k2，则k1*k2=-1时，L1与L2垂直。
证明过程如下：设L1过点A(x1,y1)，L2过点B(x2,y2)。
设L1的方程为y-y1=k1(x-x1)，L2的方程为y-y2=k2(x-x2)。
将方程整理得到：y=k1x-k1x1+y1，y=k2x-k2x2+y2两条直线垂直表示斜率乘积为-1，即k1*k2=-1将斜率代入并化简得到：k1*k2=(k1)(k2)=[(y2-y1)/(x2-x1)]*(k2)=[(y2-y1)/(x2-x1)]*[(k2x2-y2)/x2]=[(y2-y1)(k2x2-y2)]/[(x2-x1)x2]如果k1*k2=-1，则[(y2-y1)(k2x2-y2)]/[(x2-x1)x2]=-1即(y2-y1)(k2x2-y2)=-[(x2-x1)x2]。
证明垂直的方法
证明垂直的方法垂直是指与地面或水平面成90度的方向或位置。
在日常生活和工作中，我们经常需要证明某个物体或者某个方向是垂直的。
本文将介绍几种常用的方法来证明垂直的情况，希望能够帮助大家更好地理解和应用这些方法。
首先，最直观的方法就是使用垂直仪或者水平仪。
垂直仪是一种测量仪器，可以用来检测物体是否垂直。
使用垂直仪的方法非常简单，只需要将垂直仪放置在需要检测的物体上，然后观察指针或者气泡的位置。
如果指针指向垂直方向，或者气泡在中间位置，那么就可以证明这个物体是垂直的。
这种方法在建筑、工程和日常家居装修中经常被使用，可以快速准确地检测出物体是否垂直。
其次，我们可以利用几何知识来证明垂直的方法。
在几何学中，垂直是指两条线段或者两个平面相交成直角的情况。
因此，我们可以通过测量两条线段或者两个平面的夹角来证明它们是否垂直。
通常情况下，我们可以使用量角器或者直角尺来进行测量。
如果两条线段或者两个平面的夹角为90度，那么就可以证明它们是垂直的。
这种方法在数学、物理和工程领域中经常被使用，可以帮助我们准确地判断物体或者方向是否垂直。
另外，我们还可以利用重力来证明垂直的方法。
在地球表面，重力方向是垂直向下的，因此我们可以通过悬挂自由落体或者使用测斜仪来检测垂直方向。
当物体处于静止状态时，它的重力方向就是垂直方向。
因此，我们可以利用这一特性来证明物体是否垂直。
这种方法在地质勘探、地理测量和天文观测中经常被使用，可以帮助我们准确地确定垂直方向。
最后，我们还可以利用光线的反射和折射来证明垂直的方法。
在光学中，当光线与表面垂直时，它会直接穿过或者反射回去。
因此，我们可以通过观察光线的反射和折射情况来判断表面是否垂直。
这种方法在光学实验和光学仪器校准中经常被使用，可以帮助我们准确地检测表面的垂直度。
总之，证明垂直的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行检测。
通过使用垂直仪、几何知识、重力和光学原理，我们可以准确地判断物体或者方向是否垂直，从而更好地应用于实际工作和生活中。
立体几何证垂直的方法
立体几何证垂直的方法垂直是立体几何中一个非常重要的概念，常常用于判断两个直线、两个平面或者一个直线和一个平面之间的关系。
本文将介绍几种常见的方法来证明两个线段、两个直线、两个平面或者一个线段和一个平面之间的垂直关系。
1. 定义证明法：垂直可以通过定义来证明。
垂直的定义是：两条直线相交，互相垂直。
这个定义可以用来判断两条直线之间是否垂直。
如果已知两条直线相交，并且相交角度为90度，则可以得出两条直线垂直的结论。
2. 重叠线证明法：当两个线段的一个端点重合，并且两个线段的另一个端点也重合时，可以得出这两个线段垂直的结论。
这是因为，当两个线段垂直时，它们的端点将构成一个直角，而直角的两条边重合时，会得到一个重叠的线段，从而可以推出两个线段垂直。
3. 垂直性质证明法：根据垂直性质来证明两个直线或者平面之间的垂直关系。
例如，两个直线垂直的性质之一是：直线的斜率相乘为-1。
如果已知两个直线的斜率，且斜率的乘积等于-1，则可以得出这两条直线垂直的结论。
类似地，两个平面之间垂直的性质之一是：平面上两个垂直的直线在平面上的投影线也垂直。
如果已知两个平面上的直线的投影线垂直，则可以得出这两个平面垂直的结论。
4. 垂直线性等式证明法：当两个线段、直线或平面上的点坐标可以满足垂直线性等式时，可以证明它们之间的垂直关系。
例如，对于两个直线L1:y = a1x + b1和L2:y = a2x + b2，如果它们的斜率满足a1 * a2 = -1，则可以得出这两条直线垂直的结论。
5. 三角形几何证明法：在三角形中，垂直性质也可以用来证明两个线段或直线之间的垂直关系。
例如，如果一条线段平分了一个角，并且与另一条线段垂直相交，那么可以得出这两个线段垂直的结论。
同样地，如果一个直角三角形中的两条边互相垂直，那么可以得出这两条边垂直的结论。
总结起来，证明垂直关系的方法有很多种，包括基于定义、重叠线、垂直性质、线性等式和三角形几何的方法。
立体几何(垂直关系的证明)
立体几何(垂直关系的证明)1. 什么是垂直关系垂直关系是指两条线、两个平面或者一条线和一个平面之间的互相垂直的关系。
在立体几何中，垂直关系是非常重要的，它涉及到角度、边长和面积等概念。
2. 垂直关系的证明方法证明两条线或者一个线和一个平面垂直可以采用不同的方法，以下是一些常见的证明方法：2.1. 利用垂直的性质证明当两个线段的斜率乘积为-1时，这两个线段就互相垂直。
这是一个常用的方法来证明两条直线的垂直关系。
例如，如果两条直线的斜率分别为m1和m2，并且m1 * m2 = -1，则可以证明这两条直线是垂直的。
2.2. 利用垂直线段的性质证明对于一个平面内的几条垂直线段来说，其平分线是相交于一个点，并且平分线与原始线段之间的夹角为90度。
这可以用来证明两条线段是垂直的。
2.3. 利用垂直平分线的性质证明对于一个多边形来说，如果一条线段能够将另外两条线段的中点连接起来并且垂直于它们，那么这条线段就是垂直于这两条线段的平分线。
这个原理可以用来证明线段和平面的垂直关系。
2.4. 利用垂直距离的性质证明如果一个点到一直线的距离为0，并且这个点在另外一条直线上，那么这两条直线是垂直的。
这个方法可以用来证明直线和平面的垂直关系。
3. 如何选择合适的证明方法在选择合适的证明方法时，需要根据具体问题的要求和条件进行判断。
通常来说，可以根据已知的条件和所需证明的结论来选择并结合不同的证明方法。
4. 总结在立体几何中，垂直关系的证明是一个重要的内容。
通过掌握不同的证明方法，我们可以更好地理解和应用垂直关系，进一步深入研究立体几何的问题。
高三数学一轮复习立体几何中垂直的证明讲义
立体几何中垂直证明一、 “垂直关系”常见证明方法1直线与直线垂直的证明1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂直等。
1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。
1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
1.5 利用常用结论：① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。
② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。
2 直线与平面垂直的证明2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面 等2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。
2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：bβαlb l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥βαβαβαba ⊥⇒ca ba ⊥∥cb ⊥⇒baαcabαα⊥⊂b a ab ⊥⇒αb αα∥b a ⊥ba ⊥⇒一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
2.4 利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.5 利用常用结论：① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。
3 平面与平面垂直的证明3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。
3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲
线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直１ 如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,ＡＣ交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面ＭＢD .证明:连结MO ，1A M，∵D Ｂ⊥1A A ,D Ｂ⊥ＡC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ，则22132A O a =,2234MO a =.在Rt △11A C M 中,22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩D Ｂ=O ，∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.◆利用面面垂直寻求线面垂直２ 如图2,P 是△A ＢC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证：B Ｃ⊥平面ＰＡC .证明：在平面PAC 内作A Ｄ⊥PC 交ＰC 于Ｄ.因为平面PAC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,AD ⊂平面PAC ,且A Ｄ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得ＡD ⊥平面PB Ｃ． 又∵BC ⊂平面P ＢC ，∴AD ⊥BC .∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥ＢC .∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，A Ｃ垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ）.评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ＡBCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面ＳBC ．∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.４ 如图2，在三棱锥A －BCD 中，BC ＝AC ,AD =BD ,作BE ⊥CD ,E 为垂足，作ＡH ⊥B Ｅ于H ．求证：AH ⊥平面B ＣＤ.证明：取A Ｂ的中点Ｆ，连结CF ，ＤF . ∵ACBC =,∴CF AB ⊥．∵AD BD =,∴DF AB ⊥.又CF DF F =，∴AB ⊥平面ＣＤF ． ∵CD ⊂平面CD Ｆ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =, ∴CD ⊥平面A ＢE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥,CD BE E =,∴ AH ⊥平面ＢCD ．评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论.5 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ，E 为垂足,F 是P Ｂ上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆O 的直径,∴AC BC ⊥.∵PA ⊥平面AB Ｃ,BC⊂平面A ＢC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡPC . ∵BC ⊂平面P ＢC ，∴平面AP Ｃ⊥平面ＰＢC ．∵AE ⊥ＰC ，平面APC ∩平面P ＢC =P Ｃ， ∴AE ⊥平面PBC .∵AE ⊂平面AE Ｆ，∴平面AE Ｆ⊥平面PB Ｃ． 评注:证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.6. 空间四边形ABCD 中,若ＡB ⊥CD ，BC ⊥AD,求证:ＡC ⊥ＢＤAD B O C证明：过A 作ＡO ⊥平面ＢＣD 于O 。
常见证明垂直的方法总结
常见证明垂直的方法总结Proving that two lines are perpendicular can be accomplished using various methods depending on the given information. One common method is to use the slopes of the lines. If the slopes of the two lines are negative reciprocals of each other, then the lines are perpendicular. This rule stems from the fact that the product of the slopes of two perpendicular lines is always -1.证明两条线互相垂直的方法之一是利用这两条线的斜率。
如果两条线的斜率是彼此的相反数倒数，那么这两条线就是垂直的。
这个规律源自于垂直线的斜率之积总是等于-1。
Another way to prove that two lines are perpendicular is by examining the angles they form. If the angles formed by the two lines are congruent and add up to 90 degrees, then the lines are perpendicular. This approach is based on the geometric definition of perpendicular lines intersecting at right angles.证明两条线互相垂直的另一种方法是通过观察它们所形成的角度。
如果这两条线形成的角度相等且加起来等于90度，那么这两条线就是垂直的。
高中数学必修二《立体几何垂直证明题常见模型及方法》优秀教学设计
立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直○1 等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④1:1:2 的直角梯形中 ⑤ 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF 分别沿折起，使两点重合于.求证:；变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形， ∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；2ABCD E AB F BC ,DE DF ,A C 'A 'A D EF ⊥变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =，6BC =()1求证：BD ⊥平面PAC○2 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。
高中数学知识点总结几何证明中的常用方法
高中数学知识点总结几何证明中的常用方法高中数学知识点总结——几何证明中的常用方法几何证明是数学学习中的重要部分，通过证明可以使我们对数学知识有更深刻的理解。
在几何证明中，我们常常会使用到一些常用的方法，这些方法能够帮助我们展开证明的思路，解决问题。
本文将对高中数学几何证明中的常用方法进行总结与介绍。
一、直线的垂直性证明1. 垂直线段的性质：在证明两线段垂直时，可以利用垂直线段的性质。
垂直线段有一个重要性质：斜率的乘积为-1。
如果两个线段斜率的乘积为-1，则可以得出这两个线段垂直。
2. 垂直平分线的性质：在证明垂直平分线时，可以利用垂直平分线的性质。
垂直平分线有一个重要性质：相交于直线上的两个角相等。
如果通过证明两个角相等，则可以得出这两条直线垂直。
3. 直线方程的性质：在证明直线垂直性时，可以利用直线方程的性质。
两条直线垂直的充要条件是它们的斜率互为相反数。
二、直线的平行性证明1. 平行线的性质：在证明两条直线平行时，可以利用平行线的性质。
平行线有一个重要性质：斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，则可以得出这两条直线平行。
2. 平行线判定定理：在证明两条直线平行时，可以利用平行线判定定理。
平行线判定定理有两种形式：如果两个线段的斜率相等，或者两条直线的一对对应角相等，则可以得出这两条直线平行。
3. 直线方程的性质：在证明直线平行性时，可以利用直线方程的性质。
两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等且截距不相等。
三、三角形的性质证明1. 三角形内角和定理：在证明三角形内角和为180°时，可以利用三角形内角和定理。
三角形内角和定理是指一个三角形的内角和等于180°。
2. 三角形全等定理：在证明两个三角形全等时，可以利用三角形全等定理。
三角形全等定理有若干形式，常用的有SSS全等定理（边边边全等定理）和SAS全等定理（边角边全等定理）。
3. 三角形相似定理：在证明两个三角形相似时，可以利用三角形相似定理。
证明垂直的方法
证明垂直的方法在日常生活中，我们经常需要证明某个物体或某个方向是垂直的。
无论是在建筑施工中、科学实验中，还是日常生活中的摆放物品，都需要准确地证明垂直方向。
那么，我们应该如何进行垂直的证明呢？下面将介绍几种常见的方法。
首先，最直观的方法是使用垂直仪器。
垂直仪器是一种专门用来测量垂直方向的仪器，常见的有水平仪、测斜仪等。
通过放置垂直仪器，观察其指针或气泡的位置，就可以判断出该位置是否垂直。
这种方法简单直观，适用于许多场景，是常用的垂直证明方法之一。
其次，利用水平线也可以证明垂直。
在地球引力的作用下，水平线在平稳状态下总是处于垂直状态。
因此，我们可以利用水平线来证明垂直。
比如在建筑施工中，可以通过调整水平线的位置，使其与待测垂直方向重合，从而证明该方向是垂直的。
另外，利用几何原理也可以进行垂直的证明。
在数学几何中，垂直是两条线段、两个平面或者一个线段和一个平面相互交叉成直角的关系。
因此，我们可以通过测量角度或者利用垂直距离来证明两个物体或者方向是垂直的。
这种方法需要一定的几何知识作为基础，但在实际操作中也是非常有效的。
除此之外，利用重力也可以进行垂直的证明。
在地球上，重力始终指向地心，因此可以利用重力来证明垂直。
比如在实验室中，可以利用悬挂物体的方式，使其在平衡状态下，从而证明其所在方向是垂直的。
这种方法简单易行，适用于许多实验场景。
综上所述，证明垂直的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
无论是利用专门的仪器、水平线、几何原理还是重力，都可以有效地证明垂直方向，为我们的工作和生活提供准确的参考。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
证明垂直的方法范文
证明垂直的方法范文垂直是一个几何概念，常见于数学和物理学中。
在数学中，两条直线垂直可以通过它们的斜率来判断，斜率的乘积为-1表示两线垂直。
在物理学中，垂直是指两个向量之间的夹角为90度。
要证明两条直线垂直，可以根据数学定理和公式进行推导和证明。
以下将给出一种具体的证明方法，帮助您理解和掌握这个问题。
假设有两条直线L1和L2，我们要证明它们垂直。
首先，我们需要找到这两条直线的斜率。
步骤1：找出直线L1的斜率。
直线可以用一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
若直线不垂直于x轴，我们可以通过将方程变形为y = mx + b的形式来找到斜率m。
假设L1的方程为A1x+B1y+C1=0。
将该方程变形后得到y=(-A1/B1)x-C1/B1，该方程的斜率为-m1=-A1/B1步骤2：找出直线L2的斜率。
同样地，我们可以假设L2的方程为A2x+B2y+C2=0，将方程变形为y=(-A2/B2)x-C2/B2，并得到斜率为-m2=-A2/B2步骤3：计算斜率的乘积。
我们需要计算m1和m2的乘积，即m1*m2=(-A1/B1)*(-A2/B2)=(A1*A2)/(B1*B2)。
如果乘积为-1，则证明两条直线垂直。
步骤4：判断乘积是否为-1根据步骤3的计算结果，如果(m1*m2)+1的结果等于0，则证明L1和L2垂直。
通过上述四个步骤，我们可以用数学方法证明两条直线的垂直关系。
此外，我们还可以用向量法来证明直线的垂直关系。
向量是具有大小和方向的量，可以用箭头（或在数学中表示为有向线段）来表示。
两个向量的夹角可以通过它们的数量积来计算。
假设有两个向量A和B，如果A·B = 0，则A和B垂直。
其中，A·B表示向量A和B的数量积，定义为A·B = ，A， * ，B，* cosθ，其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模，θ表示夹角。
通过向量法，我们可以将两条直线表示为向量，并计算它们的数量积。
高中数学必修第二册培优讲义 第11讲 垂直的性质和证明(学生版)
第11讲垂直的判定与性质[玩前必备]1．直线与平面垂直2．(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理(3)平面与平面垂直的性质定理[玩转典例]题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[玩转跟踪]1.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面P AD，AB∥DC，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△P AD中AD边上的高．求证：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面P AB.2.[创新题型]如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝3；③AA1＝ 2.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．[玩转跟踪]1．(2018·江苏高考)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .2.(2020·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD . 求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .题型三垂直中探索性问题例3如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．[玩转跟踪]1.(2020·郑州模拟)如图，已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面AA′C′C；(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．2.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．[玩转练习]1．(2019·辽宁大连测试)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D.既不充分也不必要条件2．(2020·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③ D.②③3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上 D.△ABC内部4．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D.35．(多选)如图，AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列选项正确的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC6．(多选)如图，在三棱锥VABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝BCB．AB⊥VCC．VC⊥VDD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO7.(多选)如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论正确的是()A．平面BCE⊥平面ABNB．MC⊥ANC．平面CMN⊥平面AMND．平面BDE∥平面AMN8.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.9．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．11．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．12．(一题两空)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有____________．13．(2018·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面P AB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.14.(2019·山东新泰质量检测)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是矩形，侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，且AB＝4AA1＝4，∠BAA1＝60°，D是AB的中点．求证：(1)AC1∥平面CDB1；(2)DA1⊥平面AA1C1C.15．(2019·湖南长沙长郡中学调研)如图，已知五棱锥PABCDE，其中△ABE，△PCD均为等边三角形，四边形BCDE为等腰梯形，BE＝2BC＝2CD＝2DE＝4，PB＝PE＝10.(1)求证：平面PCD⊥平面ABCDE；(2)若线段AP上存在一点M，使得三棱锥PBEM的体积为五棱锥PABCDE体积的37，求AM的长．。
怎么证明垂直
怎么证明垂直第一篇：怎么证明垂直怎么证明垂直1、利用勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理提供了用计算方法证明两线垂直的方法，即证明三角形其中一个角等于，由于利用代数的方法，只要能计算出待证直角的对边的平方和等于另两边的平方和即可。
2、利用“三线合一”证明要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。
3、利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
4、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5、利用菱形的对角线互相垂直证明菱形的对角线互相垂直。
6、利用全等三角形证明主要是找出两线所成的角中有两角是邻补角,并且证明这两角相等,于是就可知这两角都为,从而直线垂直.赞同5|评论1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
全面总结必修2垂直证明
立体几何垂直证明1. 如图，已知空间四边形ABCD 的边BC=AC,AD=BD,引BE ⊥CD ，E 为垂足，作AH ⊥BE 于H ，求证：AH ⊥平面BCD2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=a ,AB=a 2，E ，F 分别为C1D1、A1D1的中点，求证：DE ⊥平面BCE （计算证明垂直）3. 如图，Rt △ABC 的斜边为AB ，经A 作AP ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF⊥PC 于F ，求证：（1）PB ⊥平面AEF （2）AF ⊥BC (3) EF ⊥PB4. 如图，已知菱形ABCD 的边长a 2，O=∠60BAD ，AE 、CF 都垂直于平面ABCD ，且AE=a 3，CF=a ，E ，F 在平面ABCD 的同侧， 求证：平面EBD ⊥平面FBD (计算证明垂直)5. 如图，已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是异于A 、B 的⊙O上任意一点，过A 作AE ⊥PC 于E ，求证：AE ⊥平面PBC 。
6. 如图，已知PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是异于A 、B 的⊙O上任意一点，(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC 。
(2) 过A 作AN ⊥PC 于N ，求证：AN ⊥平面PBC(3) 过A 作AN ⊥PC 于N ，作AM ⊥PB,,求证：平面AMN ⊥平面PBC 平面AMN ⊥平面PAB(4) 证明：△AMN 为直角三角形7. 如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA=AB=a ，BC=a 2，求证：SC ⊥平面BDE8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E ，F ，G 分别是A1A ，CD ，BC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面DGC19. 如图，已知矩形ABCD. 过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于点E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于点F 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O OE ⊥ （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；BE'ADFGPBAD E变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC =()1求证：BD ⊥平面PAC○2 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。
方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。
DACOBE变式1, 在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面类型3：面面垂直的证明。
(本质上是证明线面垂直)例1 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ； (2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；例 2 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；变式1已知直四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，︒=∠60ABC ，E 、F 分别是棱CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2． （1）求证：平面AEF ⊥平面AA ′C ′C ；ABCDEFABCDPE举一反三1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552 D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小.15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD .第11题图 第12题图 第13题图(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB ＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD ＝3.(1)求证：BD⊥平面P AD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.(3)求点C到平面D′MB的距离.第18题图线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.5.A 依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4， 又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ， 则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角. ∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，第15题图解第16题图解tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1， ∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知 ∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅，∴.3621a S a S h =⋅=。