传热学解析解

二维稳态导热在一定边界条件下解析法求解

一、问题描述

二维有限铁板，长1.5m,宽40cm, 短边两端绝热，长边两端表面与空气接触，上下表面处空气温度分别为100℃和20℃，求稳态导热后，板内温度分布。

二、解析法求解

解：

如图建立平面直角坐标系:

所给问题及边界条件的数学描述为：

2222

0t t

x y ∂∂+=∂∂

0x =0t x ∂=∂ x H =0t x ∂=∂

0y =1()f t

h t t y λ

∂=-∂ y δ=2()f t

h t t y λ

∂-=-∂

假设该函数可用分离变量法求解，则

()()t X x Y y =

2222

11d X d Y

X dx Y dy λ

=-=-

则有

()22

()0X

X x x

λ∂+=*∂ ()22()0Y

Y y y

λ∂-=**∂

下面对λ取值正负分类讨论：

（1）λ<0时

()X x Be =+

代入X 方向边界条件易得：

0A B ==

即

λ<0时，()*只有零解；

（2）λ>0时

(

)X x A B =+

由x

方向边界条件解得：0,n B H

π==

则方程固有值和固有解为

()2

,cos ,1,2n n n n n X x A x n H H ππλ⎛⎫

===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

将n λ代入()**得

(),1,2n n y y H

H

n n n Y y C e

D e

n π

π-

=+=⋅⋅⋅

叠加后得方程通解为

1(,)cos n n y y H H n n n n t x y a e b e x H πππ

+∞

-=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

∑

其中,n n n n n n a A C b A D ==； 对于任一确定[]0,x H ∈ 由y 方向边界条件代入得：

1000011cos cos n n n n H H H H

n n n n

f n n n n n n x a e b e h a e b e x ht H H H H ππππππππλ+∞+∞⋅-⋅⋅-⋅==⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 211cos cos n n n n H H H H n n n n f n n n n n n x a e b e h a e b e x ht H H H H ππππδδδδππππλ+∞+∞⋅-⋅⋅-⋅==⎛⎫⎛⎫-⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑

整理得：

12

11cos 11cos f n n n n f H H t n n n x a h H h H H b t n n e e n h H h H x H ππδδλπλππλπλππ⋅-⋅⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⋅--⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅

+⋅- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

系数行列式

1

1011n n H

H

n n h H h H n n e

e h H h H π

πδδλπ

λπλπλπ⋅-⋅⎛⎫⋅--⋅+ ⎪⎝⎭

≠⎛⎫

⎛⎫

-⋅

+⋅

- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，且有()()r A

r A = ， 故方程有唯一非零解

由Cramer's Rule ：

122

2

2

2

11lim 11cos cos 1lim

1cos 0

n n H

H

n n n f f H n H

n f n n e e h H h H a t t n n e n n h H h H x x

H H

n e h H t n h H x

H

π

π

δδπδπδλπλπλπλπππλπλππ-⋅⋅→∞-⋅⋅→∞⎛⎫⎛⎫⋅--⋅

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫

-⋅--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⋅+ ⎪

⎝⎭=⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=

同理，0n b =

即λ>0时，()*只有零解，这与前面判断结果方程有唯一非零相矛盾，所以λ>0的情况不存在

（3）λ=0时，有22

0d X

dx

= 通解为

()12X x C x C =+

代入 X 方向边界条件得()2X x C =，即

()2()()()`()t X x Y y C Y y Y y Y y ===，（不妨仍记作） 所以最终结果可以认为与x 方向无关；

同时22

0d Y

dy

=

通解为()12Y y C y C =+ 代入y 方向边界条件得

()1

12f C h C t λ=-

()

2112f C h C C t λδ-=+-

解得：

(

)21

12f f h t t C h δλλ-=

⎛⎫+

⎪⎝

⎭

()

21

121

2f f f

C

t

t t h δλ

=

-++

其中，毕沃数h Bi δ

λ

=

即λ=0时，方程的通解为

()()(

)()

[][]()21

21

11

,,0,,0,22f f f f f h t t t x y t y y t t t x H y h h δδδλλ

λ-==

+

-+∈∈⎛

⎫+

+ ⎪

⎝

⎭ 代入实际情况，取1

2

100,

81.1, 1.5,0.4,20,100f f h H t t λδ======得

[][]()39.5652.087,

0,1.5,0,0.4t y x y =+∈∈

即为所求问题的解

三、分析讨论

1.结果分析

下图左为数值法求解所得结果，右为解析法求解所得图像