海南大学 概率论与数理统计 试题及答案(A卷)

海南大学信息学院

《概率论与数理统计》试题（A 卷）

一、 填空题（每小题3分，共18分）

1，将3个人随机地放入4个房间中，则每个房间至多只有一个人的

概率为 1 。

2，设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，

则=λ 334/4P 。

3，设2~(10,0.02)X N ,()2.50.9938Φ=，则{9.9510.05}P X <<=

0.9876

4，掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点

的概率为 1/3

5， 三个人独立破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5，

1/3，1/4。此密码被译出的概率为 0.6。

6，设X 表示掷两颗骰子所得的点数，则EX = 7

二、单项选择题（每小题3分，共12分）

( A )7，设()()0,1,1,1,X N Y N X Y 相互独立，则

A ）{}1P X Y +<=0.5

B ）{}0P X Y +<=0.5

C ） {}0.50.5P X Y -<=

D ） {}10.5P X Y -<=

( D )8，设事件A ，B 互不相容，P （A ）=p P(B)=q 则()P AB =

（A ）(1-p)q B ） pq C ） q D ） p

( A ) 9，(){}{}3,4X N C P X C P X C >=≤且常数满足 则 C=

A ） 3

B ） 2

C ） 1

D ） 0

( B ) 10，设Cov(X,Y)=0, 则以下结论中正确的为

A ）X ，Y 独立

B ）D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ）

C ）

D （X －Y ）=D （X ）－D （Y ） D ）D （XY ）=D （X ）×D （Y ）

三，计算题（每小题10分，共60分）

11. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下的概率密度：

()2

1000000x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

现有一批此种电子元件（设各电子元件损坏与否相互独立），任取5只，

问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少。

{}215001*********

p X dx x ∞>==⎰ 5分 令Y 表示电子元件的寿命大于1500的个数，则2~(5,)3

Y B 3分 {}{}{}2101p Y p Y p Y ≥=-=-==0.9547 2分

12.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

()1,01,0y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它

求 关于X 的边缘概率密度及关于Y 边缘概率密度

X 的边缘概率密度

()1010x x X d y x f x -⎧<<⎪=⎨⎪⎩

⎰其它=2010x x <<⎧⎨⎩其它 5分 Y 的边缘概率密度

()111101010y

Y y dx y f y dx y -⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰其它=110y y ⎧-<⎨⎩其它 5分

13. 设X ()1,,

,n X X πλ为总体X 的样本，

求λ的最大似然估计量及矩估计量。 似然函数()1!i

x n

i i e L x λλλ-==∏ 2分 ()11ln ln ln !n n

i i i i L x n x λλ

λ===--∑∑ 1分 令()1ln 0n i i x d L n d λλλ

==-=∑ 2分 所以，1

1n

i i X X n λ===∑ 为λ的最大似然估计量 1分 因为 ()E X λ= 2分 所以，由矩估计法得 X λ= 2分

14.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X 的期望EX 和方差DX 。

9.0)(=X E ，61.0)(=X D 10分

15.有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称其重量（以克计）

506 508 499 503 504 510 497 512

514 505 493 496 506 502 509 496

设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体标准差σ的置信水平为

0.95的置信区间。（()()220.0250.9751527.488,15 6.262χχ==）

./20.025,1/20.975,15n αα=-==， 6.2022s *= 3分 总体标准差σ的置信水平为0.95的一个置信区间为

()4.58,9.60= 7分

16. 设某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布()22,,,N μσμσ均末知，从中随机地抽取16只电子元件，算得平均寿命为241.5小时，修正的样本标准差为98.7259小时，问在显著性水平0.05下，是否可认为电子元件的平均寿命大于225小时？并给出检验过程。（0.05(15) 1.7531t =）

设001:225,:225H H μμμ≤=>， 2分 取0.05α= 拒绝域为

0~(1)X t t n

αμ*

-=-， 2分 又n=16,()0.0515 1.7531,241.5,98.7259t x s *===

故拒绝域为

0.6685 1.7531t =< 4分 由于t 不在拒绝域内，故接受0H ，即可以认为电子元件的平均寿命不大于225小时.

17．设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。

设 A ={从甲袋子中任取一球为白球}

B ={取得白球} 2分

()()()()

()P B P B A P A P B A P A =+ 5分 =1/2×2/3＋1/4×1/3 2分

=5/12 1分