第10章学习规则集合

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小学数学一年级第十章教学方案

小学数学一年级第十章教学方案第一节：认识和读写1-100的数字本节课的目标是让学生认识和读写1-100的数字。

通过多种活动和游戏，激发学生对数字的兴趣和热情，提高他们的数字识别能力和数数的技能。

教学步骤：1. 数字卡片互动游戏：教师准备一组卡片，上面分别写有1-100的数字。

每个学生随机抽取一张卡片，然后按照数字的顺序排列队伍。

接着，教师会喊出一个数字，学生们要迅速站到对应的数字卡片前。

这个游戏可以锻炼学生的数数技能和快速反应能力。

2. 数字拼图：教师事先准备好一组数字拼图，将数字从1-100分解为小的拼图块。

学生们根据拼图上的数字，按照正确的顺序将它们拼在一起，从而形成1-100的完整拼图。

这个活动可以帮助学生记忆数字的顺序和形状。

3. 数字填空练习：教师分发练习纸，上面有一些不完整的数列，学生们需要根据数列的规律，填写正确的数字。

例如，“2，4，6，__，10”，学生们需要填写“8”。

这个练习可以让学生更好地掌握数列的规律和填空的方法。

第二节：掌握加法和减法的基本概念本节课的目标是让学生掌握加法和减法的基本概念。

通过实物、图片和游戏等多种教学手段，激发学生的兴趣，帮助他们理解加法和减法的意义和操作方法。

教学步骤：1. 果物计数游戏：教师事先准备一些果物（如苹果、橙子等），将它们放在课桌上。

教师示范将两个果物放在桌子上，然后问学生一共有多少个果物。

学生们通过数数的方式回答问题，如“两个”。

接着，教师再放一些果物，例如三个，然后问学生一共有多少个果物。

学生们需要将之前的数量和新放入的数量相加，回答问题。

2. 数字拼图游戏：教师事先准备一组数字拼图，上面分别有加法和减法的算式和空白处。

教师会示范如何解决这些算式，然后让学生们自己尝试填写算式的空白处。

通过这个游戏，学生们可以学习到加法和减法的操作方法，并培养他们的逻辑思维能力。

3. 数学故事：教师讲述一些和加法减法相关的生活故事，例如“小明有2个苹果，他又买了3个苹果，一共有多少个苹果？”。

高二数学书第十章知识点

高二数学书第十章知识点第一节：平面解析几何1. 直线的方程直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A与B不同时为0。

直线的斜率为-m，其中m为A/B的倒数。

通过两点求直线的方程可使用点斜式、两点式或截距式。

2. 圆的方程圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。

通过已知条件求圆的方程可使用圆的一般方程、直径式或三点式。

第二节：立体几何1. 空间直线和平面的位置关系空间直线与平面的位置关系可分为相交、平行或重合。

判断直线与平面的关系可使用直线的一般方程和平面的一般方程，通过代入坐标判断是否成立。

2. 空间几何体的计算常见的空间几何体有球、柱体、锥体等。

计算这些空间几何体的体积、表面积或侧面积时，需根据具体情况选择相应的公式进行求解。

第三节：概率与统计1. 事件与概率事件是指试验可能出现的结果，概率是指事件发生的可能性大小。

通过对事件进行统计和分析，可以计算事件发生的概率。

2. 事件的运算事件的运算包括并、交、差以及对立等运算。

通过运用集合的运算规律，可以简化事件之间的关系，并求解一系列相关概率问题。

3. 随机变量与概率分布随机变量是指试验结果的数值描述，概率分布是指随机变量取值与其对应概率的分布情况。

通过分析随机变量的概率分布，可以推断与预测事件的发生。

第四节：数理统计1. 抽样调查抽样调查是指从总体中选取一部分样本进行调查和研究。

通过合理的抽样方法和样本量，可以从有限的样本中推断出总体的统计规律。

2. 统计指标和统计图形统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等，用于描述数据分布的中心位置、离散程度和数据的特征。

统计图形包括直方图、折线图、饼图等，能直观地展示数据的分布和趋势。

总结：高二数学书第十章主要介绍了平面解析几何、立体几何、概率与统计以及数理统计等相关的知识点。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用在实际问题中。

七年级数学十章全部知识点

七年级数学十章全部知识点作为初中数学的重要阶段，七年级数学的学习是为以后的学习打下坚实的基础。

十章是这个阶段的全部知识点，包括：整数、分数、代数表达式与基本运算、一元一次方程、平面图形的认识、图形的变换、相似与全等、比例与直线运动、三角形、统计与概率。

以下将对这些知识点进行详细的介绍和讲解，希望能为初中生们的学习提供帮助。

一、整数整数是数学中的基础概念之一，其定义为负整数、零、正整数的集合。

在七年级数学学习中，整数的乘法、除法和绝对值是必须掌握的基础知识。

具体来说，学生需要了解正整数与负整数的乘积、商和绝对值的概念，并能够在实际问题中应用这些知识。

二、分数分数是表示部分与整体关系的数，也是七年级数学中的重要知识点之一。

学生需要了解分数的定义和性质，以及分数的加减乘除法、约分和通分等基本运算方法。

在学习分数的同时，也要会将分数转化为小数和百分数，并能灵活应用这些知识。

三、代数表达式与基本运算代数表达式是数学中的一种表达方式，它将数和变量结合在一起，用字母代替具体数值。

在七年级数学中，学生需要掌握代数表达式的概念和基本性质，以及代数表达式的加减乘除法和化简等基本运算方法。

四、一元一次方程一元一次方程是数学中的基础概念之一，它的基本形式为ax+b=0。

在七年级数学中，学生需要掌握一元一次方程的基本概念和性质，以及解一元一次方程的基本方法。

五、平面图形的认识平面图形是数学中的基础概念之一，它是由线段或弧所围成的集合。

在七年级数学中，学生需要认识平面图形的基本种类和性质，如直线、射线、线段、角、平行线、垂直线等。

同时，也需要学习平面图形常见的性质和应用，如三角形重心、垂心、中心等概念。

六、图形的变换图形的变换是指通过移动、旋转、翻转等方式改变图形的位置和形状。

在七年级数学中，学生需要了解平移、旋转、翻转等基本变换方式并能灵活应用。

七、相似与全等相似和全等是平面图形中的重要概念，它们分别指两个图形拥有相同形状或者相同大小和形状。

数学初二上册第十章教学方案

数学初二上册第十章教学方案一、教学目标通过本章的学习，学生将能够掌握以下知识和技能：1. 理解并掌握集合的概念、元素、特性等基本概念；2. 掌握集合的表示方法，如列举法、描述法等；3. 能够进行集合的基本运算，包括并集、交集、差集等；4. 理解并应用集合的运算律，解决实际问题；5. 掌握集合的关系和判断方法，如包含关系、相等关系等；6. 能够灵活运用集合知识解决实际问题。

二、教学内容本章的教学内容主要包括以下几个方面：1. 集合的概念：介绍集合的基本概念、元素、特性等；2. 集合的表示方法：讲解集合的列举法、描述法等表示方法；3. 集合的基本运算：介绍并集、交集、差集等基本运算；4. 集合的运算律：讲解集合的分配律、交换律、结合律等运算律；5. 集合的关系和判断方法：介绍集合的包含关系、相等关系等判断方法；6. 集合在实际问题中的应用：引导学生通过实际问题应用集合知识。

三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握集合的基本概念、表示方法和基本运算；理解并应用集合的运算律；能够判断集合的关系。

2. 教学难点：集合的运算律的理解与应用；集合在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 探究式教学方法：通过设计问题、引导讨论，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

2. 讲述与演示相结合：在讲述知识点的同时，通过具体的示例进行演示，帮助学生更加深入地理解和掌握知识。

3. 合作学习方法：通过小组合作、讨论等形式，促进学生的交流与合作，培养学生的团队合作意识和能力。

五、教学过程1. 导入：通过提问或讲解的方式，引导学生回顾和复习上一章的内容，为本章的学习做铺垫。

2. 知识讲解：通过讲解集合的概念、表示方法、基本运算、运算律、关系和判断方法等内容，帮助学生理解和掌握相关知识。

3. 实例演示：选取一些具体实例，进行解答和演示，让学生通过实际操作来理解和应用集合知识。

4. 合作学习：组织学生进行小组合作，解决一些集合运算和判断问题，培养学生的团队合作能力和解决实际问题的能力。

人教版初中数学第十章知识点总结

第十章数据的收集、整理与描述10.1统计调查1.全面调查：考察全体对象的调查，叫做全面调查。

2.抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这样的调查，称为抽样调查。

3（1）总体：所要考察对象的全体称为总体；（2）个体：组成总体的每一个考察对象称为个体；（3）样本：从总体中抽取一部分个体，叫做总体的一个样本；（4）样本容量：样本中数据的个数，叫做样本容量。

4.简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，这样的抽样方法，叫做简单随机抽样.10.2数据的描述一、理解频数和频率1频数、在频数分布中，落入每个小组内的数据的个数，叫做该组的频数。

2、频率频数与数据总数的比叫做频率。

总数频数频率 3、两者的关系频数与频率都反映每个数据的频繁程度，频数之和等于数据总数，每小组频率之和等于1，各小组所占百分比的和为100％二、常见的四种统计图1、条形图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画出长短不同的图形，然后把这些条形按照一定顺序排列起来。

特点：（1）能够体现每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别注意事项：（1）画条形统计图时宽窄必须相同；（2）取一个单位长度表示数量多少要根据具体情况而定（3）复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线纹和颜色区别开，并在制图日期下面注明图例3.折线统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

特点：不但能表示各部分数量的多少（但不如条形图直观），而且易于显示数据的变化趋势注意事项：横轴表示不同的年份月份等时间，不同时间之间的距离要根据年份或者月份的间隔来确定.4、频数分布直方图用频数（率）来表示各组数据的分布情况特点：（1）能够显示各组频数分布情况；（2）易于显示各组之间频数的差别.注意事项：（1）各个小长方形的面积等于各组的频数，由于小长方形的底相等，因此，只要比较它们的高，就可以直观的看出各组频数的大小；（2）各矩形之间没有空隙，各小组的频数之和等于总数；（3）将每组中的频数与频率相除可得数据总数的大小.三、统计图与统计表的区别统计表反映的数据准确且易查找，统计图很直观地表示出数据变化的情况，但往往不能看出准确的数据。

浙教版七年级上册数学第十章《数据的收集、整理与描述》知识点

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浙教版七年级上册数学数据的收集、整理与描述
一．知识框架
二．知识概念
1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。

3.总体：要考察的全体对象称为总体。

4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。

8.频率：频数与数据总数的比为频率。

9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。

全面调查抽样调查
收集数据
描述数据
整理数据
分析数据
得出结论。

初二上数学十章知识点归纳总结

初二上数学十章知识点归纳总结数学是一门重要的学科，对培养我们的逻辑思维和数学素养有很大帮助。

在初二上学期的数学学习中，我们学习了十章内容，包括整数、代数的初步认识、平面几何初步、图形的认识、数据的收集整理与统计以及方程与不等式的初步。

下面我将对这十章的知识点进行归纳总结。

第一章：整数整数是我们数学学习的基础。

在这章中，我们学习了整数的基本性质，包括正整数、负整数、零以及它们之间的比较关系。

我们还学习了整数的加减法运算规则，并通过练习掌握了整数的四则运算。

第二章：代数的初步认识代数是数学中的一种工具，它可以帮助我们解决各种数学问题。

在这章中，我们学习了代数的基本概念和符号运算规则。

我们通过代数式的化简，学会了如何运用代数式进行简单的计算和问题求解。

第三章：平面几何初步几何是研究形状和空间的一门学科。

在这章中，我们学习了点、线、面的基本概念，以及平行线、垂直线、相交线等特殊线段的性质。

通过练习，我们掌握了判断线段性质和解决几何问题的方法。

第四章：图形的认识图形是几何的重要组成部分。

在这章中，我们学习了平面图形的种类和性质。

包括三角形、四边形、圆等图形的定义和特点，以及它们之间的关系。

我们通过观察和实际操作，学会了判断和构造各种图形。

第五章：数据的收集整理与统计数据是数学研究中不可缺少的一部分。

在这章中，我们学习了数据的收集方法和整理方式。

通过统计学，我们学会了以表格和图形的形式展示数据，并通过数据分析解决实际问题。

第六章：方程的初步方程是数学中重要的工具，它可以帮助我们解决各种问题。

在这章中，我们学习了一元一次方程的概念和解法。

通过实际问题的转化和解答过程，我们学习了方程应用在实际生活中的意义。

第七章：不等式的初步不等式是数学中比较大小关系的重要工具。

在这章中，我们学习了一元一次不等式的概念和解法。

通过实际问题的分析和比较，我们了解了不等式在解决现实问题中的应用。

第八章：数与式在这章中，我们学习了数与代数式之间的关系。

集合论初步知识和集合运算规律

集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。

集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。

–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。

–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。

–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。

–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。

–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

–无穷集合：包含无限多个元素的集合。

3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。

–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。

–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。

–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。

–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。

4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。

–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。

–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。

–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。

–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。

以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。

七年级下册数学第10章知识点(代入法与加减法)

七年级下册数学第10章知识点（代入法与
加减法）
代入法与加减法是解二元方程的一种基本方法，灵活地运用这两种方式，可以提高解方程的速度，也可简化我们的计算过程：
本题根据未知数的关系，灵活运用加减法，将解方程的过程简化。

在解方程组中，我们应当仔细观察各式之间的关系，灵活运用代入法与及加减法，可使计算过程简便有效。

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北师大版初一第一单元数学知识点梳理。

2020新教材人教A版必修第二册第十章10.110.1.2

■园鸽（教师独具内容）课程标准：1•了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义2能结合实例进行随机事件的并、教学重交运算.随机事件的并、交、互斥与对立的含义.教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释•核心概念掌握------------- 知识导学---------------知识点一事件的关系及运算■ 10.1.2 事件的关系和运算------------- 新知拓展---------------事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件•从集合的观点来判断：设事件A 与B所含的样本点组成的集合分别是A，B,若A，B 互斥，则A H B = ?，若A，B 对立，则A H B= ?，且A U B=Q，即？©B= A，?o A= B.互斥事件A与B的和A+ B可理解为集合A U B.N评价自测1. 判一判（正确的打“V”，错误的打“X”）⑴若A= B,则A，B同时发生或A，B同时不发生.（）（2）两个事件的和指两个事件至少一个发生.（）（3）互斥事件一定是对立事件.（）答案（1）2 ⑵V （3）X2. 做一做⑴掷一枚骰子，设事件A =｛出现的点数不大于3｝ ,B =｛出现的点数为偶数｝, 则事件A 与事件B 的关系是()A. A? BB . A H B = ｛出现的点数为2｝C .事件A 与B 互斥D .事件A 与B 是对立事件(2) 一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，事件A : 事件B :事件C : 事件D : 答案 (1)B(2)A ⑶①③④核心素养形成题型一事件关系的判断与集合表示现给出以下四个事件: 恰并给出以下结论：① A U B = C ； ② D U B 是必然事件； ③ A H B = C ； ④ A H D = C.其中正确结论的序号是()A .①② C .①③(3) 下列各对事件：① 运动员甲射击一次，“射中② 甲、乙两运动员各射击一次， ③ 甲、乙两运动员各射击一次，中目标”；④ 甲、乙两运动员各射击一次，乙没有射中目标”.其中是互斥事件的有 ________ B .③④ D .②③9环”与“射中8环”；“甲射中 10环”与“乙射中9环”； “甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但,是包含关系的有例1对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品.(1) 写出该试验的样本空间Q,并用样本点表示事件：A = {有2个产品是次品}, B = {至少有2个正品};(2) 用集合的形式表示事件A U B ;(3) 试判断事件C = {至少1个产品是正品}与事件B 的关系. ［解］(1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品•如果以0”表示查出次品，以1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列.样本空间{00,010,011,100,101,110,111}.A = {00,010,100}.B = {011,101,110,111}. (2) A U B ={00,010,011,100,101,110,111}(3) ・・C = {010,011,100,101,110,111}，AB? C.■跟踪训练1如果事件A ，B 互斥，那么()A . A UB 是必然事件 C.A 与E —定互斥答案 B解析可由Venn 图判断，易得A 与B 分别表示集合A ，B 的补集，则A U 百B.A U B 是必然事件 D. A 与B —定不互斥=Q, B 正确.题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C i = ｛出现1点｝, 事件C 2=｛出现2点｝，事件C 3= ｛出现3点｝，事件C 4 = ｛出现4点｝，事件C 5 = ｛出现5点｝，事件C 6=｛出现6点｝，事件D i = ｛出现的点数不大于1｝，事件D 2 = ｛出现的点数大于3｝，事件D 3=｛出现的点数小于5｝，事件E = ｛出现的点数小于7｝，事件F = ｛出现的点数为偶数｝，事件G = ｛出现的点数为奇数｝，请根据上述定义的事件，回答下列问题.(1) 请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2) 利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.［解］ ⑴因为事件C i ，C 2，C 3，C 4发生，则事件D 3必发生，所以C i ? D 3， C 2? D 3， C 3? D 3， C 4? D 3.同理可得，事件E 包含事件C i , C 2, C 3, C 4, C 5, C 6；事件D 2包含事件C 4,C 5，C 6；事件F 包含事件C 2, C 4, C 6 ；事件G 包含事件C i , C 3, C 5.且易知事件C i 与事件D i 相等，即C i = D i .(2)因为事件D 2= ｛出现的点数大于3｝ = ｛出现4点或出现5点或出现6点｝,所以 D 2= C 4U C 5 U C 6(或 D 2= C 4 + C 5 + C 6).同理可得，D 3= C i + C 2 + C 3+ C 4 , E = C i + C 2 + C 3 + C 4 + C 5+ C 6 , F = C 2 + C 4+ C 6, G = C i + C 3+ C 5, E = F + G , E = D 2+ D 3.(1) 利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2) 利用Venn 图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.■跟踪训练2金版点睛事件间运算的方法掷一枚骰子，“向上的点数是i或2”为事件A, “向上的点数是2或3”为事件B,则()A. A? BB. A= BC. A U B表示向上的点数是1或2或3D . A H B表示向上的点数是1或2或3答案C解析设A= {1,2} , B= {2,3} , A H B = {2} , A U B= {1,2,3} ,：A U B 表示向上的点数为1或2或3.题型三对立事件与互斥事件的辨析例3从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1〜10各10张)中, 任取一张.(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.［解］(1)是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.(2) 既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.(3) 不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10,因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的.一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生•所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.■跟踪训练m某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E 为“一种报纸也不订” •判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1) A 与C; (2)B 与E; (3)B 与D; (4)B 与C; (5)C 与E.解(1)由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2) 事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件.(3) 事件B “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件.⑷事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报” “订甲、乙两种报”.事件C “至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订” “只订甲报” “只订乙报” •也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.(5)由⑷的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.随堂水平达标1 •从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A = ｛三件产品全不是次品｝，B = ｛三件产品全是次品｝，C = ｛三件产品有次品，但不全是次品｝，则下列结论中错误的是()A . A与C互斥B. B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥答案D解析由题意知事件A, B, C两两不可能同时发生，因此两两互斥.2•抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（）A .至多有2件次品B.至多有1件次品C.至多有2件正品D.至少有2件正品答案B解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.3. 从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？（）①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球.A .①②B.①③C.②③D.①②③答案A解析①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件.②事件“两球都为白球” 和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件.故选A.4. 某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是答案2次都中靶解析事件“至少有1次不中靶”包含“ 1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”.5. 一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A:命中环数大于7环；事件B:命中环数为10环；事件C :命中环数小于6环；事件D:命中环数为6,7,8,9或10环.解A H B= {10环}工？，故A与B不是互斥事件；显然A H C = ?，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件.又A U C MQ,即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7 环，因此A与C不是对立事件;A n D = {8环，9环，10环}丰?，故A与D不是互斥事件；显然B n C = ?，所以B与C是互斥事件.又因为B U C MQ,因此B与C不是对立事件；B n D = {10环}工？，因此B与D不是互斥事件；显然c n D = ?，因此C与D是互斥事件，又C U D = Q,即卩C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件.。

2020新教材人教A版必修第二册第十章 10.1 10.1.2

核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查 2 个，最多检查 3 个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间 Ω＝ {00,010,011,100,101,110,111}．
(1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 D；(4)B 与 C；(5)C 与 E.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件．
(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件；由于事件 B 与事件 E 必有一个发生，故 B 与 E 是对立事件．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
课后课时精练
2．做一做 (1)掷一枚骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是( ) A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为 2} C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件

高中数学第十章知识点总结(精华版)——排列组合二项定理

高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k kn nn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n mn A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。

2023年人教版高中数学第十章概率笔记重点大全

(名师选题)2023年人教版高中数学第十章概率笔记重点大全单选题1、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（） A ．249B ．649C ．17D ．27答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况，其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.2、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（） A ．1320B ．25C ．14D ．15 答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25．故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题． 3、某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（） A ．0.09B ．0.96C ．0.97D ．0.98 答案：B分析：根据互斥事件概率公式即得.记事件A ={甲级品}，B ={乙级品}，C ={丙级品}，则A 与B +C 是对立事件，所以P(A)=1−P(B +C)=1−0.03−0.01=0.96．故选：B.4、如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（）A ．0.96B ．0.88C ．1.6D ．0.64 答案：A分析：根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为1−(1−0.8)×(1−0.8)=0.96故选：A5、甲、乙两个元件构成一串联电路，设E：甲元件故障，F：乙元件故障，则表示电路故障的事件为（）A．E∪F B．E∩F C．E∩F D．E∩F答案：A分析：根据当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，即可求解.由题意，甲、乙两个元件构成一串联电路，当两个元件中至少一个有故障，则整个的电路有故障，所以电路故障的事件为E∪F.故选：A.6、造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）. A．69人B．84人C．108人D．115人答案：C分析：先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100−73=27人，设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有x人，则10027=400x，解得x=108人.故选：C.小提示：本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.7、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（） A ．13B ．14C ．15D ．16 答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A ，B ，C ，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a ，b ，c ，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p =16. 故选：D8、下列概率模型中不是古典概型的为（）A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B ．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率答案：C分析：根据古典概型的特点，即可判断出结果.解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等. 显然A ､B ､D 符合古典概型的特征，所以A ､B ､D 是古典概型；C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：C.9、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”答案：A分析：根据互斥事件的概念判断即可.“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B不正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D不正确．故选:A.10、如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为p(0<p<1)，则该系统正常工作的概率为（）A．[1−(1−p)p2]p B．[1−p(1−p2)]pC．[1−(1−p)(1−p2)]p D．[1−(1−p)2p]p答案：C分析：要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.记零件或系统X能正常工作的概率为P(X)，该系统正常工作的概率为:P {[(AB )∪C ]∩D }=P [(AB )∪C ]P (D ) =[1−P(AB)P(C)]P (D )=(1−P(A ∪B)P(C))P (D ) =[1−(1−P (AB ))(1−P (C ))]P (D )=[1−(1−p 2)(1−p )]p , 故选：C.11、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（） A ．35B ．23C ．34D ．415答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P =69=23. 故选：B.12、若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（） A ．15B ．310C ．35D ．12答案：B分析：由古典概率模型的计算公式求解.样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310 .故选：B. 双空题13、掷一颗骰子两次，求出现下列事件的概率：（1）事件A “至少出现一次1点”，P （A ）＝______；（2）事件B “都出现偶数点”，P （B ）＝______．答案： 113614##0.25分析：（1）根据对立事件的概率公式进行求解即可；（2）根据古典概型公式进行求解即可. （1）P （A ）＝1−56×56=1136；（2）掷一颗骰子两次，共有36种情况，其中两次都是偶数的有：(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)，共9种情况，所以P(B)=936=14，所以答案是：1136；1414、已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是______.若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到检测出三等品为止当检测停止时，恰好取出了1件一等品的概率是______. 答案： 920 14分析：（1）可求出共有C 63=20种情况，恰有1件一等品共有C 31C 32=9种情况，即可得概率；（2）恰好取出了1件一等品的可能有事件A:一件一等品一件三等品；事件B ：一件一等品一件二等品一件三等品；事件C ：一件一等品两件二等品一件三等品，分别求出三个事件的概率相加即可.（1）从6件产品中抽出3件，共有C 63=20种情况，其中3件产品中恰有1件一等品共有C 31C 32=9种情况，所以抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是920；（2）当检测停止时，恰好取出了1件一等品的可能有事件A:一件一等品一件三等品；事件B ：一件一等品一件二等品一件三等品；事件C ：一件一等品两件二等品一件三等品，则P (A )=36×15=110,P (B )=36×25×14+26×35×14=110，P (C )=36×25×14×13+26×15×34×13+26×35×14×13=120，恰好取出了1件一等品的概率P =110+110+120=14.小提示：本题考查概率的计算，属于基础题.15、某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________. 答案： 110 15分析：由表中的数据，求对应的比值可得答案.由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为10100=110，不少于9环的概率为12+8100=15，所以答案是：110；15.小提示：本题考查利用频率估计概率，属于基础题.16、在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设“反面向上”为事件A ，则事件A 出现的频数为________，事件A 出现的频率为________. 答案： 52 1325分析：直接利用频数和频率的公式求解即可. 由题得事件A 出现的频数为100−48=52；事件A 出现的频率为52100=2650=1325. 所以答案是：52；1325.17、设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ⃑=(m,n )，b ⃑⃑=(1,−3)，则事件“a ⃑⊥b ⃑⃑”发生的概率为__________；事件“|a ⃑|≤|b ⃑⃑|”发生的概率为__________. 答案： 118 16分析：（1）由题意，得到m 、n 的取值集合，可得点(m ，n )的总取法有36种，当a ⃑⊥b ⃑⃑时，解得m 与n 的关系，即可得满足条件的(m ，n )的个数，代入概率公式，即可得答案.（2）当|a ⃑|≤|b ⃑⃑|时，解得m 与n 的关系，即可得满足条件的(m ，n )的个数，代入概率公式，即可得答案. （1）由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}、n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种. 当a ⃑⊥b ⃑⃑时，得m -3n =0，即m =3n ，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a ⃑⊥b ⃑⃑的概率P =236=118. （2）当|a ⃑|≤|b ⃑⃑|时，可得m 2+n 2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，其概率P =636=16. 所以答案是：118；16.小提示：本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题. 解答题18、从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次. （1）写出这个试验的所有结果；（2）设A 为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A ；（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题.答案：（1）{（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 2，b ），（a 2，a 1），（b ，a 1），（b ，a 2）}；（2）A ＝{（a 1，b ），（a 2，b ），（b ，a 1），（b ，a 2）}；（3）第一问：{（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b ），（b ，a 1），（b ，a 2），（b ，b ）}；第二问：A ＝{（a 1，b ），（a 2，b ），（b ，a 1），（b ，a 2）}.分析：（1）用列举法写出即可；（2）用列举法写出即可；（3）用列举法写出即可.（1）这个试验的所有可能结果Ω＝{（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 2，b ），（a 2，a 1），（b ，a 1），（b ，a 2）}.（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.（3）①这个试验的所有可能结果Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），（b，a2），（b，b）}.②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}.19、设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.答案：（1）ABC；（2）A∪B∪C；（3）ABC；（4）ABC；（5）(A∪B)C；（6）(ABC)∪(ABC)∪(ABC)分析：由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可解：（1）三个事件都发生表示为ABC；（2）三个事件至少有一个发生表示为A∪B∪C；（3）A发生，B，C不发生表示为ABC；（4）A，B都发生，C不发生表示为ABC；（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为(A∪B)C；（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为(ABC)∪(ABC)∪(ABC)20、在抗击新冠肺炎疫情期间，某校开展了“名师云课”活动，活动自开展以来获得广大家长和学生的高度关注.在“名师云课”中，数学学科共计推出72节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现随机抽取某一时段数学学科的云课点击量进行统计：(1)现从数学学科72节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出云课的点击量在（700,1400]内的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将数学学科云课进行剪辑，若点击量在 [0,700]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在（700,1400]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量在（1400,2100]内，则不需要剪辑.现从（1）问选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为60分钟的概率.答案：(1)3；(2)15.分析：（1）利用分层抽样的概念和性质进行求解；（2）把选出的6节课中任意选出2节的情况列举出来，符合要求的也列举出来，利用古典概型求概率公式进行求解.(1)设选出云课的点击量在(700,1400]内的节数为n，按分层抽样3672=n6，解得n=3.(2)按分层抽样，由点击量分别在[0,700]、(700,1400]、(1400,2100]节数比为12:36:24=1:3:2所以6节课中，选出云课点击量在[0,700]、(700,1400]、(1400,2100]节数分别为1、3、2，点击量在[0,700]的一节课设为a，点击量在(700,1400]设为b,c,d，点击量在(1400,2100]的设为e,f，又由题知选出2节课剪辑时间为60分钟的选法是选出一节点击量在[0,700]内，另一节在(700,1400]内，共3种选法，为(a,b)，(a,c)，(a,d)，其中从6节课中任意选出2节课进行剪辑共15种选法，分别为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)所以，剪辑时间为60分钟的概率为315=15.。

《10》(教案)2023-2024学年数学一年级上册人教版

《10》（教案）20232024学年数学一年级上册人教版一、教学内容今天我将带领大家学习人教版一年级上册数学的第十章《认识数字10》。

本节课的主要内容包括理解数字10的概念，能够数数到10，并能够进行10以内的加减法运算。

二、教学目标通过本节课的学习，希望同学们能够掌握数字10的概念，能够熟练地数数到10，并且能够进行10以内的加减法运算。

三、教学难点与重点本节课的重点是让同学们掌握数字10的概念，能够数数到10。

难点是让同学们能够进行10以内的加减法运算。

四、教具与学具准备为了帮助同学们更好地学习，我已经准备好了数学书、练习本、计数棒等教具和学具。

五、教学过程1. 实践情景引入：我会先拿出10个苹果，让同学们直观地看到数字10的概念。

2. 讲解：然后我会带领同学们学习数字10的写法和读法，并且讲解数字10的意义。

4. 随堂练习：我会给出一些10以内的加减法题目，让同学们进行练习。

5. 板书设计：我会设计一份简洁明了的板书，列出数字10的写法、读法以及10以内的加减法运算公式。

6. 作业设计：我会布置一些有关数字10的练习题目，让同学们巩固所学知识。

六、作业设计1. 请同学们用笔在练习本上写下数字10，并且读出来。

2. 请同学们用计数棒演示10以内的加减法运算，并将结果写在练习本上。

答案：1. 数字102. 加减法运算结果七、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，我发现同学们对数字10的概念掌握得比较好，但在进行加减法运算时，有些同学还存在着一些困难。

在课后，我会针对这些同学进行一对一的辅导，帮助他们更好地掌握10以内的加减法运算。

同时，我也会给同学们布置一些有关数字10的拓展练习，让同学们能够更好地运用所学知识。

重点和难点解析在上述教案中，有几个重要的细节需要我们重点关注，并对其进行详细的补充和说明。

这些细节包括实践情景引入、讲解、例题讲解、随堂练习、板书设计以及作业设计。

下面，我将对这些重点细节进行补充和说明。

小学数学一年级第十章教学解析

小学数学一年级第十章教学解析第十章教学解析小学一年级的数学课程为学生打下数学基础，并培养他们对数学的兴趣和学习能力。

第十章是教学中的重要一章，本文将对小学数学一年级第十章的教学内容进行解析。

一、认识数字第十章的第一个重点内容是认识数字。

在这个阶段，学生需要掌握从1到10的数字，并能够正确读出它们。

教师应该通过多种形式，比如数字卡片、数字板书等，帮助学生逐个认识数字，并进行反复巩固。

其次，教师可以引导学生进行数字排序的活动。

通过将数字卡片按照大小顺序排列，帮助学生理解数字的大小概念，并培养他们的逻辑思维能力。

二、数的组成第十章的第二个重点内容是数的组成。

学生需要学会用0-9的数字拼出更大的数字。

教师可以使用数独游戏、数字磁贴等教具，鼓励学生进行拼数的活动。

通过这种方式，学生既可以巩固数字的认知，又可以培养他们的观察力和动手能力。

另外，教师还可以通过实际生活中的例子，比如用计数器数物品、点数学生等，帮助学生理解数的概念，并将数的组成与实际生活进行联系。

三、数的比较第十章的第三个重点内容是数的比较。

学生需要学会用“大于”、“小于”、“等于”等符号进行数字的比较。

教师可以通过数字卡片、数字图形等教具，让学生比较数字的大小，并进行分类活动，培养他们的比较能力和分类能力。

此外，教师还可以设计一些问题让学生进行思考和解答。

比如：“3比1多几个？”、“用<、>、=填空：2__3。

”这样的问题可以激发学生思维，提高他们的数学解决问题的能力。

四、数的排列第十章的第四个重点内容是数的排列。

学生需要学会按照固定的顺序排列数字。

教师可以通过玩筹码、骰子等教具，进行数字排列的游戏。

通过这种实际操作的方式，学生可以加深对数的排列规律的理解。

同时，教师还可以设计一些数字排列的题目，让学生进行思考和解答。

比如：“将1、2、3三个数字进行排列组合，共有多少种结果？”这样的问题可以培养学生的逻辑思维和创造力。

五、数的应用第十章的最后一个重点内容是数的应用。

小学一年级第十章教学解析

小学一年级第十章教学解析第十章教学解析第一节：认识数学符号在小学一年级的数学教学中，第十章主要介绍的是基础的数学符号，让学生们能够正确认识和使用这些符号。

以下是本节的教学解析：1. 加号（+）加号是数学中的一种基本符号，表示两个数相加的操作。

让学生们通过绘画加号的形状，用手指和口头表达出加号的含义。

2. 减号（-）减号则是表示两个数相减的操作。

教师可以通过实际物体的加减操作，引导学生们理解减号的含义和用法。

3. 等号（=）等号用于表示两个数相等。

可以通过比较两组物品的数量、用天平称重等方式，帮助学生们理解等号的概念。

4. 大于号（>）和小于号（<）大于号和小于号用于表示大小关系。

教师可以通过比较数字的大小、分组排队等活动，让学生们感受到大于和小于的意义。

第二节：数的拆分与合并本节的教学内容着重让学生们学会将一个数拆分为两个数相加，以及将两个数合并为一个数，并且能够进行相应的计算。

1. 数的拆分教师可以给学生们展示一组物品，如苹果，然后让学生们将其拆分为不同的组数，并用加法算式表示。

例如，将8个苹果拆分为5个和3个，可以表示为8 = 5 + 3。

通过这样的实际操作，帮助学生们理解数的拆分概念。

2. 数的合并与数的拆分相反，教师可以让学生们将两组数合并为一个数，并用加法算式表示。

例如，将4个苹果和3个苹果合并，可以表示为4 + 3= 7。

通过这样的活动，培养学生们对数的合并的认知和操作能力。

第三节：数的比较本节的教学目标是让学生们能够正确理解和使用大于、小于和等于的数学符号，进行数字的比较。

1. 数的比较通过给出一组数字，例如2、5、7，教师可以要求学生们根据数值的大小，用大于号、小于号或等于号将数字连接起来。

例如，2 < 5 < 7。

这样的练习可以帮助学生们巩固对数的比较的理解和应用。

2. 数的排序教师可以给学生们一组无序的数字，要求他们将其按照从小到大（或从大到小）的顺序进行排列。

三年级上册数学教案-9 数学广角──集合10｜人教版

三年级上册数学教案9 数学广角──集合10｜人教版教学目标通过本节课的学习，学生能够：1. 知识与技能：理解集合的基本概念，掌握集合中元素的确定性、互异性、无序性。

2. 过程与方法：通过实例观察和动手操作，培养观察能力和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观：激发对数学的兴趣，培养合作意识和问题解决能力。

教学内容本节课主要介绍集合的基本概念，包括集合的定义、集合中元素的特征，以及如何表示集合。

通过实例，让学生理解集合在现实生活中的应用。

教学重点与难点重点集合的基本概念和特征。

集合的表示方法。

难点理解集合中元素的“确定性”和“互异性”。

集合在实际问题中的应用。

教具与学具准备课件或黑板，用于展示集合的例子和表示方法。

实物或图片，用于让学生直观感受集合的概念。

学生用练习本和笔，用于记录和练习。

教学过程导入通过日常生活中熟悉的例子，如水果篮、文具盒等，引导学生观察和思考集合的概念。

新课导入1. 集合的定义：介绍集合是由明确的、相互区别的元素组成的整体。

2. 集合的特征：讲解集合中元素的确定性、互异性和无序性。

3. 集合的表示：介绍集合可以用列举法、描述法等表示。

实践操作让学生分组，每组准备一些不同的物品，如玩具、书籍等，然后让学生自己创建集合，并尝试用不同的方法表示出来。

小结与讨论每组分享他们创建的集合和表示方法，全班讨论这些方法的优缺点。

应用拓展通过一些实际问题，让学生应用集合的概念和表示方法解决问题。

板书设计板书将围绕集合的定义、特征和表示方法进行设计，以图表和示例为主，突出重点和难点。

作业设计设计一些练习题，让学生巩固集合的概念和表示方法，同时鼓励学生发现生活中的集合实例。

课后反思课后反思将包括学生对集合概念的理解程度、表示方法的掌握情况，以及他们在实践操作中的表现。

根据学生的反馈，调整教学方法，以便更好地满足学生的学习需求。

本教案旨在通过生活实例和动手操作，让学生深刻理解集合的概念和特征，并能够灵活运用不同的表示方法。

三年级上册数学教案-9 数学广角──集合10｜人教版

三年级上册数学教案-9 数学广角──集合10 | 人教版教学目标：1. 让学生了解集合的概念，知道集合是由一些元素组成的整体。

2. 培养学生运用集合的思想解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。

教学重点：1. 集合的概念。

2. 集合的表示方法。

3. 集合的运算。

教学难点：1. 集合的表示方法。

2. 集合的运算。

教学准备：1. 课件。

2. 操作材料。

教学过程：一、导入1. 引入集合的概念，让学生举例说明什么是集合。

2. 总结集合的特点：由一些元素组成，元素之间没有顺序，不重复。

二、探究新知1. 学习集合的表示方法。

a. 图形表示法：用圆圈表示集合，圆圈内的点表示元素。

b. 列表表示法：用大括号表示集合，大括号内的元素用逗号隔开。

2. 学习集合的运算。

a. 并集：两个集合合并成一个集合，去掉重复元素。

b. 交集：两个集合共有的元素组成的新集合。

c. 补集：一个集合去掉另一个集合的元素后剩下的元素组成的新集合。

3. 练习表示集合和进行集合运算。

三、巩固练习1. 让学生独立完成练习题，巩固集合的表示方法和运算。

2. 讲解练习题，解答学生的疑问。

四、课堂小结1. 让学生总结本节课学习的集合的概念、表示方法和运算。

2. 强调集合在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。

五、作业布置1. 完成课后练习题。

2. 收集生活中的集合例子，与同学分享。

教学反思：本节课通过讲解、练习、讨论等方式，让学生掌握了集合的概念、表示方法和运算。

在教学过程中，要注意引导学生运用集合的思想解决实际问题，提高学生的数学思维能力。

同时，要加强课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。

重点关注的细节：集合的表示方法和运算集合的表示方法和运算是本节课的重点内容，也是学生理解和掌握集合概念的关键。

以下是关于这个重点细节的详细补充和说明。

一、集合的表示方法1. 图形表示法图形表示法是集合的一种直观、形象的表示方法。

在图形表示法中，我们通常用圆圈来表示集合，圆圈内的点或其它符号来表示集合中的元素。

一年级上册第十单元知识点归纳

知识点归纳1、掌握20以内进位加法的计算方法--- “凑十法”“凑小数，拆大数”，将小数凑成10，然后再计算。

如：3+9（3+7=10,9可以分成7和2,10+2=12）“凑大数，拆小数”，将大数凑成10，然后再计算。

如：8+7（8+2=10,7可以分成2和5，10+5=15）注意：孩子喜欢和熟悉的方法才是最佳方法而且只掌握一种就可以了。

2、20以内的进位加法重难点（1）理解“凑十法”（2）会用凑十法计算（3）会用交换加数的位置进行计算3、方法措施（1）注意让学生通过多种活动学习计算方法，培养计算意识。

让学生通过多种活动学习。

20以内进位加法，不仅可以实现使学生理解和掌握计算方法的教学目的，还可以有效地培养学生学习数学的兴趣和初步的计算意识。

（2）加强练习，提高学生的计算能力①根据教学实际，尽量选择效果好的练习形式。

练习目的明确、省时间，每个学生都会有较多的练习机会，便于教师检查指导，学生又感兴趣的方式，都属于好的练习方式。

例如，把式题编制成练习卡片，供学生做抽卡游戏，既可以经常进行练习，学生又有兴趣；让学生举数字卡片，和教师一起完成找“朋友”练习，既可以使全体学生积极参与，又便于教师了解每个学生口算的情况。

又如开火车、接力赛、对口令等都是很好的练习形式。

②练习要讲实效。

比较容易的题少练些，比较难的题要多练，练习有针对性。

比如，20以内进位加法中，9+2、9+3、8+3等可以少练些，8+9、8+6、7+6等就要多练些。

教学中要随时了解掌握学生的学习情况，学生已熟练的式题，就适当减少练习的次数，避免盲目多练，以减轻学生的学习负担。

③加强对学习有困难的学生的辅导。

要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个孩子获得成功。

20以内进位加法比10以内加法的数目大，学生掌握计算方法，并达到计算熟练，不是件容易的事。

学生对20以内进位加法计算方法的理解和掌握有快、有慢，有先、有后。

教学中要关注每个学生的学习，对学习有困难的学生更要多些关爱和帮助。

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