基于量子理论的信号处理研究进展

科技导报 ２００８， ２６（ ２） ８５
综述文章（ Ｒｅ ｖｉｅ ｗｓ ）
从某种意义上讲， 量子态 ψ〉同时存在于所有基态中， 而 在经典物理学中， 粒子只能处于某一种基态。因此， 量子态具 有巨 大 的 信 息 存 储 能 力 ， 信 息 可 载 入 各 基 态 的 系 数 、内 部 相 因子中。 １．２ 纯态和混合态
法选 择 一 组 正 交 的 测 量 态｛ μｉ〉， ｉ∈Ｚ｝， 将 μｉ〉与 #ｉ〉的 误 差
&２
些纯态是相互正交的， 那么 Ｂｏｂ 可以概率 １ 确定发送的态。
如果这些态非正交， 则 Ｂｏｂ 无论采用什么测量都不能以概率
１ 确定所发送的纯态。所以， 量子检测问题就是如何构造一种
量子测量， 提高正确检测非正交态的概率。Ｅｌｄａｒ 提出一种最
小 二 乘 检 测 方 法— ——Ｌｅａｓｔ－ Ｓｑｕａｒｅｓ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ（ ＬＳＭ） ， 该 方
ψ〉＝ μｉ〉， 则 ψ〉以概率 １ 投影到第 ｉ 个矢量方向， 这样的矢 量 ψ〉称为测量的确定态。如果 ψ〉≠ μｉ〉， 则 ψ〉为非确定 态。 ψ〉投影到 μｉ〉方向的概率取决于 ψ〉与 μｉ〉的某种内积函 数， 特别地， ｐ（ｉ）＝〈ψ μｉ〉。子空间测量也由一系列投影到子空间 Ｓｉ （｛Ｓｉ #Ｈ， ｉ∈Ｚ｝）的 投 影 算 子 Ｐｉ （｛Ｐｉ， ｉ∈Ｚ｝）来 定 义 ， 如 果 系 统 态 ψ〉∈Ｓｉ， 则 ψ〉以概率 １ 投影到 Ｐｉ ψ〉矢量方向； 如果系统态
当一个量子态可用一个单一的态矢来描写时， 这个量子
态 称 为 纯 态 ， 如 一 个 量 子 位 态 （ １／ ! ２ ） （ ０〉＋ １〉）、ｎ 量 子 位
ｎ
ｎ
２
２
" "２
态 ψ〉＝ ｃｉ ｉ〉（ ｃｉ ＝１） 均为纯态。如果一个量子系统由
ｉ＝１
ｉ＝１
许多不同的态矢描写的子系统构成， 每个子系统在该系统中
ｉ∈Ｚ
为Ｐ 的伴随算子。设 系 统 态 为 ψ〉， 投 影 到 第 ｉ 个 子 空 间 的
& & 概 率 为 ｐ（ｉ）＝〈Ｐｉψ， ψ〉。若状态被归一化， 则 ｐ（ｉ）＝〈 Ｐｉψ，
ｉ
ｉ
ψ〉＝〈ψ， ψ〉＝１。根据这组投影算子的定义， 可知子空间 Ｓｉ 相互 正交， 且之和为 Ｈ。标准测量又可分为秩一测量 （ Ｒａｎｋ－ Ｏｎｅ
系统的可能态。
ψ〉＝ｃ１ ψ１〉＋ｃ２ ψ２〉 （ ｃ１， ｃ２ 为复数）
（ １）
收稿日期： ２００７－ ０９－ １７ 基金项目： 国家自然科学基金项目（ ６０４７２０２１） 作者简介： 梅文博， 北京市海淀区中关村南大街 ５ 号北京理工大学电子工程系， 教授， Ｅ－ ｍａｉｌ： ｗｂｍｅｉ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
１ 量子理论中的基本概念
１．１ 量子态与态叠加原理
量子力学系统态由 Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间中的矢量描述［ ７－９］， 表示量
子态的矢量称为态矢量， 可用右矢 ψ〉表示， 由态矢量张成的
空间在量子力学中称为态矢空间。一般情况下， 量子态是不可
确定的， 它可以同时以不同的概率处于多种状态。态叠加原理
正是描述了这种情况： 如果量子力学系统可能处在 ψ１〉和 ψ２〉 （ 满足归一化条件） 表述的态中， 则满足式（ １） 的态矢 ψ〉也是
０ 引言
２０ 世纪 ６０ 年代以来， 随着信号处理的应用领域日益扩 大， 新的信号处理方法和算法层出不穷， 虽然这些方法和算 法大大促进了信号处理领域的发展， 但仍存在许多值得进一 步研究的问题。根据学科发展的一般规律， 若将不同学科进 行 交 叉 就 有 可 能 大 大 推 动 原 有 学 科 的 发 展 。回 顾 历 史 不 难 发
测量的量化效应， 即测量结果只能是某个基态， 这是测量一 致性的直接结果。量子力学中， 测量由一系列投影算子来定 义。标准的量子测量（ ｖｏｎ Ｎｅｕｍａｎｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ） 由一组投影 到子空间 Ｓｉ （｛Ｓ#Ｈ， ｉ∈Ｚ｝）的投影算子 Ｐｉ （Ｐｉ， ｉ∈Ｚ）定义， 其中
& ＊ ２
Ｚ为索引集） 。Ｐｉ 满足： Ｐｉ＝Ｐｉ ； Ｐｉ ＝Ｐｉ； ＰｉＰｋ＝０ （ｉ≠ｋ）； Ｐｉ＝ＩＨ， Ｐ＊
" 表示为
２
ｃｉ ＝１。
ｉ
１．５ 算子
在 Ｈｉｌｂｅｒｔ 空间中， 算子描述了一个波函数到另一个波函
数的变化， 可用作用于 矢 量的 矩 阵 表 示 ， 一 般 用 加 “＾”的 大写
ห้องสมุดไป่ตู้
字母表示， 如Ａ! 。量子理论中的算子必须是线性的酉算子（ 幺 正算子） ， 即Ａ! Ａ! Ｈ＝Ａ! ＨＡ! ＝Ｉ， 其中 Ｉ 为单位矩阵， Ａ! Ｈ 为Ａ! 的共轭转 置。对于每一个纯态 ψ〉， 可以定义一个作用在态矢空间上的
线性算子 Ｐ， Ｐ＝ ψ〉〈ψ ， 称该算子为投影算子。 １．６ 量子测量与检测
态矢量表征了获得这个量子态的历史过程， 包括制备这 个 态 过 程 中 的 宏 观仪 器 、选 定 的 参 数 值 、经 过 的 一 套 操 作 程 序 等 信 息 。欲 获 得 一 个 量 子 态 的 物 理 性 质 必 须 进 行 多 次 重 复 测量， 这些测量不是对同一个态， 而是对一批相同的态进行 的［９］。量 子 测 量 （ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ， Ｍ） 是 一 种 非 线 性 （ 概 率 ） 映 射 ， 将系统的状态投影（ 坍缩） 到某个确定的基态上。测量的结果 有 ３ 个基本特点： 一是内在的概率特征， 即测量的结果是以 某概率坍缩到确定的基态上； 二是测量一致性， 即若重复测 量上次得到的结果将得到相同的输出 ， Ｍ（ Ｍ（ψ）） ＝Ｍ（ψ）； 三 是
绍了量子信号处理、量子神经网络及量子图像处理三个方面的内容， 并简述了量子理论在信号处理领域的发展前景。
关键词 量子理论； 量子信号处理； 量子神经网络； 图像处理
中图分类号 ＴＮ９１１．７
文献标识码 Ａ
文章编号 １０００－ ７８５７（２００８）０２－ ００８５－ ０５
Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒ ｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｔｈｅｏｒ ｙ
Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ， ＲＯＭ） 和 子 空 间 测 量 （ Ｓｕｂｓｐａｃｅ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，
ＳＭ） 。其中标准秩一测量的投影算子由一系列测量矢量｛ μｉ〉， ｉ∈Ｚ｝的外积来描述， 即 Ｐｉ＝ μｉ〉〈μｉ 。根据标准测量中算子 Ｐｉ 必须满足的条件可知， 测量矢量｛ μｉ〉， ｉ∈Ｚ｝构成 Ｈ 空间的一 组 正 交 基 ， Ｓｉ 是 由 测 量 矢 量 μｉ〉生 成 的 一 维 子 空 间 。 如 果
现， 信号处理的发展与物理学密切相关， 如借鉴能量守恒原 则 的 波 数 字 滤 波器 、搜 索 算 法 中 的 遗 传 算 法 、模 拟 退 火 算 法 等［１］都源自物理学。用于信号时频能量分布分析中的 Ｈｅｉｓｅｎ－ ｂｅｒｇ 测不准原理， 也源自量子理论中微观粒子的位置与速度 的不能同时测准性。量子理论是物理学具有划时代意义的重 大 进 展 ， 其 核 心 在 于 揭 示 原 子 级 、亚 原 子 级 微 观 粒 子 （ 如 光 子、电子等） 的运动规律。与物理学其他理论一样， 量子理论 已 经 并 将 继 续 对 信 号 处 理 领 域 产 生 影 响 。量 子 理 论 对 信 号 处 理领域的影响主要表现为两个方面： 一是适用于量子计算机 运行的信号处理算法的出现， 如在量子计算机上实现离散余 弦 变 换 等［１－２］、量 子 神 经 网 络 ［３－４］、量 子 图 像 处 理［５］的 实 现 等 ； 另 一方面是应用量子理论产生不依赖于量子计算机实现的新 的 信 号 处 理 方 法， 如 量 子 信 号 处 理 理 论［６］， 即 ， 将 量 子 测 量 与 信号处理算法做类比后， 利用有关量子理论形成新的信号处 理框架， 从而产生出新的信号处理算法。基于量子理论的信 号 处 理 是 一 个 崭新 的 、极 富 前 景 的 研 究 领 域 ， 已 经 引 起 国 外 研究者的兴趣和重视， 本文介绍了近年来这一研究领域的主 要成果并展望了未来的发展。
综述文章（ Ｒｅ ｖｉｅ ｗｓ ）
基于量子理论的信号处理研究进展
梅文博， 杜慧茜
北京理工大学电子工程系， 北京 １０００８１
摘要 量子理论是 ２０ 世纪物理学取得的重大进展之一。近年来， 量子理论和信息科学相结合产生了量子通信、量子计算等交叉学
科。本文从信号处理的角度出发， 介绍基于量子理论的信号、图像处理研究进展。首先介绍了有关量子理论的基础知识， 然后分别介
以确定的概率出现， 这个系统称为混合系综， 混合系综的状
态称为混合态。
１．３ 纠缠态
纠缠态是最能体现量子力学中非直观特性的现象， 是指
发 生 相 互 作 用 的 两 个 子 系 统 中 存 在 的 一 些 态 。纠 缠 态 不 能 表
示为两个子系统态的张量积。举例来说， 一个由两个量子寄
存器组成的系统， 当测量第一个寄存器时， 量子态会从叠加
ψ〉’Ｓｉ， 将 ψ〉投 影 到 Ｐｉ ψ〉方 向 的 概 率 为 内 积 〈Ｐｉψ， Ｐｉψ〉 的 函 数 ， 特 别 地 ， ｐ（ｉ）＝〈Ｐｉψ， Ｐｉψ〉。
量子检测时， 发送者 Ａｌｉｃｅ 通过量子信道传送经典信息
给接收者 Ｂｏｂ， 如果 Ａｌｉｃｅ 选择量子态集合中的某个纯态 #ｉ〉
来表征欲传送的信息， Ｂｏｂ 要获取该信息必须进行测量。若这
ＭＥＩ Ｗｅｎｂｏ， ＤＵＨｕｉｑｉａｎ
Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８１， Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓ ｔｒａｃｔ Ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｍｉｎｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓｅｓ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ｉｎ ｌａｓｔ ｃｅｎｔｕｒｙ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｆｏｃｕｓｅｓ ｏｎ ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｉｒｓｔｌｙ， ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅｎ， ｑｕａｎｔｕｍ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ｑｕａｎｔｕｍ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ ｑｕａｎｔｕｍ ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ． Ｑｕａｎｔｕｍ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｉｓ ｓｔｒｅｓｓｅｄ ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｂｒａｎｃｈ ｆｒｏｍ ｏｔｈｅｒｓ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｔ ｏｎｌｙ ｅｍｐｌｏｙｓ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｉｎ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｂｕｔ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｆｕｌｆｉｌｌ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｏｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ． Ｓｅｖｅｒａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｈｅｒｅ． Ａｔ ｌａｓｔ， ｔｈｅ ｐｒｏｓｐｅｃｔｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｅａ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ； ｑｕａｎｔｕｍ ｓｉｇｎａｌ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ； ｑｕａｎｔｕｍ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ； ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ
态坍缩到某个基态上， 此时第二个寄存器与第一个寄存器纠
缠， 所以关联地坍缩到某个确定的基态上。
１．４ 相干与消相干
如果一个量子系统处于基态的叠加之中， 则称此量子系
统是相干的； 当一个相干的量子系统以某种方式与其所处环
境发生相互作用（ 如测量）， 线性叠加就会被破坏， 由此引起
２
的相干的消失称为消相干或坍缩。 ｃｉ 为量子态 ψ〉坍缩到 基态 ψｉ〉的概率。由于波函数描述的是一个真实的物理系统， 必然会坍缩到一个基态。因此振幅 ｃｉ 所决定的概率之和为 １。