第六章-方差分析
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教育与心理统计学 第六章 方差分析考研笔记-精品
第六章方差分析第一节方差分析概述一.方差分析的定义［用途］定义:用途方差分析也称为变异数分析，是在教育与心理研究中最常用的变量分析方法，其主要功能在于分析测量或实验数据中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定测量或实验中因素对反应变量是否存在显著影响。
即用于置信度不变情况下的多组平均数之间的差异检验。
它既可以比较两个以上的样本平均数的差异检验，也可以应用于一个因素多种水平以及多个因素有多种水平的数据分析。
二.方差分析的作用方差分析主要应用于两种以上实验处理的数据分析，同时匕徽两个以上的样本平均数，推断多组资料的总体均数是否相同，也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。
在这个意义，也可以将其理解为平均数差异显著性检验的扩展。
当我们用多个t检验来完成这一过程时，相当于从t分布中随机抽取多个t值，这样落在临界范围之外的可能大大增加，从而增加了I型错误的概率，我们可以把方差分析看作t检验的增强版。
方差分析一次检验多组平均数的差异，降低了多次进行两组平均数检验所带来的误差。
在进行方差分析时，设定的假设是综合虚无假设，即假设样本所归属的所有总体的平均数都相等。
如果检验的结果是存在显著性差异，只能说明多组平均数之间存在显著性差异，但是无法确定究竟哪些组之间存在显著性差异，此时需要运用事后检验的方法来确定。
三.方差分析的相关概念一（一）数据的变异（1）变异:统计中的变异是普遍存在的7一般意义上的变异是指标志（包括品质标志和数量标志）在总体单位之间的不同表现。
可变标志的属性或数值表现在总体各单位之间存在的差异，统计上称之为变异,这是广义上的变异，即包括了品质标志和数量标志，有时仅指品质标志和在总体单位之间的不同表现。
注：随机性，即变异性。
（2）组间变异［组间差异］:组间变异表示处理间变异，主要指由于接受不同的实验处理（实验处理效应）而造成的各组之间的变异，可以用两个平均数之间的离差来表示，可将组间离差平方和记为SS AO组间差异可用组间方差来表征，用符号MS B表示。
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
教育与心理统计学 第六章 方差分析六 多因素方差分析、事后检验、协方差分析、统计功效与效果量、重要
第六章方差分析(六)第五节多因素方差分析一、多因素方差分析的定义多因素方差分析是用来研究两个及两个以上控制变量是否会对观测变量产生显著影响。
多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量 的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用是否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
多因素 方差分析包括完全随机设出随机区组设计。
二、平均数差异检验、单因素方差分析、多因素方差分析比较当需要比较两个以上平均数的差异时，要使用单因素方差分析，而不进行多次平均数差异检验，这样就可以降低统计误差。
如果单次进行 平均数比较率，即显著性水平是a ,进行两两平均数比较的次数是N ,多次两两平均数差异的错误率：P N =l-(l-a)n o 同理多因素方差由于 同时进行两个因素以上的方差分析，亦能降低统计误差，同时，也能处理交互作用。
第六节事后检验(多个平均数之间的比较)一、事后检验[事后多重比较]事后检验的定义：方差分析所要检验的零假设是所有k 个处理的总体平均数没有显著性差异，相应的备择假设是k 个处理中至少有2个处 理的总体平均数之间存在显著差异。
但方差分析不拒绝零假设时，表明至少有2个处理的总体平均数不等，若方差分析F 检验的结果表明 差异显著就必须对各实验处理组的多对平均数进一步分析，做深入比较，判断究竟哪一对或哪几对的差异显著，确定两变量关系的本质。
事后检验也被称作事后多重比较，在这也叫做多个平均数之间的比较。
事后检验的目的：当方差分析表明一个主效应显著时，它只能提供几个变量之间是否存在显著差异的结果，又因为多重t 检验会使得I 型 错误发生的概率大大增加[吃1-Q ：业L 因而我们只能采取事后检验。
二、事后检验的方法[1]N-K 法，也叫q 检验法；[2]HSD 检验(又叫Turkey 真实检验，更敏感，统计检验力更强，要求各组容量相等);[3]Scheffe 检验(匕啜保守，适用于样本容量不等，最大限降低了第一类误差a 水平，可能最安全);⑷费舍的最小显著差异法(LSD);一、协方差分析协方差分析的定义：协方差表示的是交互效应项，将处理引起的变异分解为处理在变量x 上引起的变异、在变量y 上引起的变异和在交互效应项xy 上引起的 变异。
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
第六章-方差分析
2021/4/9
20
第二节 单因素方差分析
以下是使用精确分布检验的程序： proc npar1way data=sasuser.veneer median
wilcoxon; class brand; var wear; exact;
run;
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21
第三节 多因素方差分析
如果观测数据受到两个或两个以上因 素的不同水平的影响，我们就称之为多因 素问题，所用的统计方法称为多因素方差 分析。
程序文件：p222.sas
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第三节 多因素方差分析
2、考虑交互作用时 例题：有A、B两种药物治疗缺铁性贫血，患者 12例，分为4组。实验方案是：第一组用一般疗 法，第二组在一般疗法基础上加用A药，第三组 在一般疗法基础上加用B药，第四组在一般疗法 基础上A、B两药同时使用，一个月后观察红细 胞增长数(百万/m3)，分析两种药物的疗效。数据 如下：
3、var语句——指明表示分析变量。
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第二节 单因素方差分析
对数据集sasuser.veneer使用非参数方 法比较四种牌号磨损指数的程序为：
proc npar1way data=sasuser.veneer median wilcoxon;
class brand; var wear; run;
单选： Standard models => effects up to 2-way interactions 4、means => comparisons。参数设置方法同上。 5、OK
=> Cross 4、OK。 数据文件：d148
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第三节 多因素方差分析
生物统计学 第六章 方差分析
（1）LSD法
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
该法是最小显著差数（Least significant difference） 法的简称，是Fisher 1935年提出的，多用于检验某一对 或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比 较，并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0 时也可以应用。该方法实质上就是t检验，检验水准无 需作任何修正，只是在标准误的计算上充分利用了样 本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标 准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比 的具体组别的多重比较。
xij i ij
它是方差分析的基础。
6.2 方差分析的原理
方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间 的差别基本来源有两个： (1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差 异，称为组内差异，用变量在各组的均值与该组内变 量值之偏差平方和的总和表示，记作 SS e ，组内自由度 df e 。 (2) 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间 差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表 示，记作 SSt ，组间自由度 df t 。 总偏差平方和 SST SSt SSe 。
6.1 方差分析的相关术语
研究马氏珠母贝三亚、印度品系在不同地区的生 长差异，选择同一批繁殖的两品系马氏珠母贝的稚贝， 分别在海南黎安港、广东流沙港、广西防城港三个海 区进行养殖，每个地区每个品系养殖1000个，1年后 测定马氏珠母贝壳高与总重，比较生长差异。 这里壳高与总重称为试验指标，在试验中常会测定 日增重、产仔数、产奶量、产蛋率、瘦肉率、某些生 理生化和体型指标(如血糖含量、体高、体重)等，这些 都是试验指标，就是我们需要测量的数据。
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
【生物统计】第六章 方差分析
722 922 562 1162 SSt C 7056 504 n 4
Ti 2
dft k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98
dfe dfT dft k (n 1) 4 (4 1) 12
yij y
Ｃ
试 验 误 差
yi y
Ａ ＢLeabharlann yij yiＡ Ｂ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
-3 -2 -2 -1
-1 0 0 1
0 1 2 5
-1 0 0 1
-1 0 0 1
-2 -1 0 3
SSt n( yi y )2 32
SST ( yij y )2 50
2 2
因为
SST ( yij y ) ( yij yi yi y )
2
( y y ) 0
i
所以 SST SSt SSe
第一节 方差分析的基本原理
自由度的分解 总自由度： 处理项自由度： 误差项自由度：
dfT nk 1
dft k 1
dfe dfT dft k (n 1)
SSe ( yij yi )2 18
第一节 方差分析的基本原理
通过前面的平方和的直观分解可以看出： SSe SSt
SST SSt SSe
2
当然也可以由公式推导出来：
( yij yi ) ( yi y ) 2 (yij yi ) ( yi y )
18 23 14 29
y 21
第一节 方差分析的基本原理
chapter6方差分析PPT课件
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
.
24
某B水iosta产tisti研cs 究所为了比较四种不同配合饲料 对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼 20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一 个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
.
25
Biostatistics
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：
(xij xi.)分别eij是μ、（μi-.
14
Biostatistics
告诉我们：
（ 每个观或x测ij 值 都i)，包故含k处nx理i个j 效观xi.应测（值μ的i-总μ或变异可）x分i.，解与为x.误处. 差理
间的变异和处理内的变异两部分。
.
在单因素试验结果的方差分析中，无效假设
为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不 全相等，或H0 ：2 =0,H A2 : ≠0；
F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否
显著大于处理内(误差)均方。
如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，不 否定H0。
.
33
Biostatistics
次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，
即
k
SSt n (xi.x..)2
i1
.
18
式B中ios，tatisticsk n (为xij 各 xi处.)2 理内离均差平方和之和，
i1 j1
反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方
和或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi.)2
Biostatistics
第六章 方差分析 analysis of variance（ANOVA）
SPSS_第6章 方差分析
-12.3756
15.7090
-31.0423
-2.9577
-15.7090
12.3756
-32.7090
-4.6244
2.9577
31.0423
4.6244
32.7090
40
结果2
英语
Subset for alpha = .05
Student-Newman-Keul sa
g rou p 2 1 3 Si g.
Std. Deviation 13.70280 12.42176 6.96898 13.79175
Std. Error 5.59414 5.07116 2.84507 3.25075
95% Confidence Interval for M ea n
Lower Bound Upper Bound
58.7865
75 70
74
80 72
72
77 66
68
68 72
71
75 70
71
75 70
Xt =72
4
从上表可知，三种不同实验教材的教学效果不完全 一致，表现在三个不同实验处理组的平均数之间存 在差异；同时，同一实验组内部的5名样本的反应变 量也存在差异。
5
我们可以将三个实验组的所有15名样本分数的差异 分为两部分：实验组间的差异（称为组间差异）和 实验组内的差异（称为组内差异）。
18.66667* 6.58815
*. The mean difference is significant at the .05 level.
Si g. .804 .021 .804 .013 .021 .013
95% Confidence Interval
统计学第六章方差分析
第27页，共55页。
总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和
方差的分解
组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。
如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子对实验的结果存在显著的影响 ；
第28页，共55页。
X4
第24页，共55页。
如果备择假设成立，即H1: (i=1，2，3，4)不全相等
– 至少有一个总体的均值是不同的
– 有系统误差
Xi
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 。
第25页，共55页。
f(X)
X
X1 X2 X3
X4
第26页，共55页。
方差的分解 样本数据的波动又两个来源：一个是随机波动；一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映。这个离差平 方和可分解为组间方差与组内方差两部份。即
算术均值
x1 x...2....
x3
方差
S12 S22
.......
Sr2
si2ni1 1jn i1
2
xijxi
(i1,2, ,r)
第37页，共55页。
SST是全部观察值 与总平均值的离差平方和，反映全部观察值的离散状况。 其计算公式为：
r n
2
SST
xij X
i1 j1
SST反映了全部数据总的误差程度。
样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分。
第22页，共55页。
• 如果原假设成立，即H0: = = • 四种颜色饮料销售的均值都相等
– 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为 、方差为2的同一正态总体
总离差平方和=组间离差平方和+组内离差平方和
方差的分解
组间方差反映出不同的因子对样本波动的影响；组内方差则是不考虑组间方差的纯随机影响。
如果组间方差明显高于组内方差，说明样本数据波动的主要来源是组间方差，因子是引起波动的主要原因，可认为因子对实验的结果存在显著的影响 ；
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X4
第24页，共55页。
如果备择假设成立，即H1: (i=1，2，3，4)不全相等
– 至少有一个总体的均值是不同的
– 有系统误差
Xi
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 。
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f(X)
X
X1 X2 X3
X4
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方差的分解 样本数据的波动又两个来源：一个是随机波动；一个是因子影响。样本数据的波动，可通过离差平方和来反映。这个离差平 方和可分解为组间方差与组内方差两部份。即
算术均值
x1 x...2....
x3
方差
S12 S22
.......
Sr2
si2ni1 1jn i1
2
xijxi
(i1,2, ,r)
第37页，共55页。
SST是全部观察值 与总平均值的离差平方和，反映全部观察值的离散状况。 其计算公式为：
r n
2
SST
xij X
i1 j1
SST反映了全部数据总的误差程度。
样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分。
第22页，共55页。
• 如果原假设成立，即H0: = = • 四种颜色饮料销售的均值都相等
– 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为 、方差为2的同一正态总体
第六章 方差分析
班组
水平
观测值
因素
分析均值间是否有明显差异。
3、方差分析的基本假定
方差分析基本假定的一般性的表述为，设因
素 A 有个 k 水平，在每个具体水平下，总体分布
为 N j， 2 ，j 1， 2， ，k 。注意这里个总体
方差均相等，并且在每个水平下抽取一个样本，
所取得的个样本相互独立。
注：
最后，构造统计量： 不加证明的引入如下的结论： 1）SSA与SSE相互独立
2） SSE ~ 2 n k 2 3）原假设成立情况下 SSA ~ 2 k 1 2 因此构造统计量：
SSA 2 k 1 F = SSE 2 n k SSA H 0为真 k 1 ，则F ~ F k 1，n k SSE nk
实际计算中主要有如下计算流程 a）水平均值 水平均值是指根据具体水平下的观察值的均 值。有计算公式为 nj 1 xi xij ni j 1 b）总均值 总均值是指全部观察值的均值
x 1
ni
i 1
k
x
i 1 j 1
k
ni
ij
1
ni
i 1
k
x
i 1
k
i
ni
c）总离差平方和 反映了全部观察值离散程度的总规模。有
H1：1， 2， ， k 不全相等
2） 构造统计量及拒绝域 首先，分析三类离差平方和： a)总离差（总变差）平方和： 各样本观察值之间的差异称之为总差异，用总 离差平方和来表示。总离差平方和是每一观察值与 其总均值的离差的平方的总和。 b)组内离差（组内变差）平方和: 同一水平下观察值之间的差异，用组内离差平 方和来度量。 c)组间离差（组间变差）平方和： 不同水平观察值之间的差异，称之为组间离差， 用组间离差平方和来度量。
生物统计学 第六章 方差分析
【���������2���
=
���������2��� ������−1
=
(������������−������)���2��� ������−1
���������2��� 为效应方差，������������为处理效应】
方差分析
4.F检验
4.1 F值和F分布 F=������������������������������������=������2+���������2������������2���，自由度������������1 = k − 1, ������������2=������������������=kn-k 在������������1, ������������2确定条件下，F值对应的概率分布称为F 分布, 对应的密度函数为f(F)。������������1, ������������2决定F分布 的形状, 随着自由度的增加，曲线趋向对称。
������������. 各处理观测值之和。
方差分析
自由度的剖分
总自由度dfT=kn-1 处理间自由度dft=k-1 误差自由度 dfe=dfT-dft 均方
试验的总均方、处理间均方、处理内均方分别为：
MST=���������������2���
=
������������������ ������������������
第六章 方差分析
第一节 方差分析的基本原理和步骤
1.基本概念
试验指标 为衡量试验结果的好坏或处理效应 的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项 目。
试验因子 试验中所研究的影响试验指标的因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验 因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
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一、方差分析的基本原理
（一）方差分析的原理与计算公式
t 检验是主要针对两组均值差异的检验，但在实际中也存在3组或3组以上样 本均值的比较。例如，研究者想了解大学4个年级学生在人际交往困扰上的差异， 或者检验同一组被试在一个学期4次追踪测试中的变化情况。如果采用独立样本t 检验或配对样本t检验，则可能需要进行6次t检验。假设每次t检验的置信区间为 95%，则6次t检验的总体置信区间会降为0.956=0.735。
【系数】编辑框：指定各组均值的系数，一般是自变量有几个水平就指定几个系 数，不参与比较的组的系数可以指定为0，各组指定系数之和应为0。例如，研究 者打算比较第一组和第三组，第二种不参与比较，此时可以在【系数】编辑框中 依次输入-1，0，1，每输入一个系数后，要单击下方的【添加】按钮，直至3个 系数均输入完毕。如果输入错误，则可以先单击错误的系数，然后在编辑框中输 入正确值，再单击【更改】按钮即可修改。
二、操作方法
（2）此时弹出【单因素方差分析】 对话框，从左侧列表框中选定所要分析 的变量，单击中间上方的 按钮，将 其移到【因变量列表】列表框中；再从 左侧列表框中选定所要分析的类别变量， 并单击中间下方的 按钮，将其移到 【因子】列表框中，如图6-3所示。
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图6-3 【单因素方差分析】对话框
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第 一 节
检 验 单多 因组 素独 方立 差样 分本 析均 值 的 差 异
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二、操作方法
（3）依次单击【单因素方差分析】对话框中 的【对比】、【两两比较】、【选项】、 【Bootstrap】按钮，并分别进行设置。
① 【对比】按钮：单击该按钮，将打开【单 因素ANOVA：对比】对话框，如图6-4所示， 主要用于事先比较分析，是指研究者根据理论推 理或个人需求事先进行特定的两两均值的检验， 而不去理会所有均值的整体性比较。事实上，事 先比较分析就是应用t检验对特定的实验处理进 行均值差异检验。
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图6-1 总变异（方差）示例
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第 一 节
检 验 单多 因组 素独 方立 差样 分本 析均 值 的 差 异6一、方差分析的基本原理
一般认为，当组间变异足够大，明显大于组内变异时，才能说明实验处理是有效的。当 组间变异和组内变异相差不大时，说明实验处理效应无效。在实际计算中，方差分析采用 分解平方和的方式进行。如图6-1所示，总变异可以采用所有观测值与总体均值的离均差平 方和来表示，组间变异则是实验处理组的均值与总体均值的离均差平方和，组内变异则是 实验处理组内的所有观察值与小组均值的离均差平方和。因此
方差分析则是一种整体检验3个或3个以上样本平均数是否存在显著差异的统 计方法，它可以通过一次性检验得出多组均值的差异，有效避免了多次t检验所 造成的错误概率的累计问题。方差分析是由美国统计学家S．R．Fisher基于实 验设计发展而来的，因此也称为F检验。
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第 一 节
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(X Xt )2 (Xi Xt )2 (X Xi )2
均方被用于代表每个自由度的平均变异， 其计算公式是
MS 变异 SS df df
方差分析即F检验，就是要检验组间的变 异与组内的变异的比，其计算公式则是
F MSb SSb / dfb MSw SSw / dfw
当F值足够大时，则说明多个样本均值之间的差异确实是由不同的实验处理引起的，而 不是随机误差引起的，为此，研究者就有充分证据推测多组数据的总体均值存在差异。
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第 一 节
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二、操作方法
（1）在SPSS菜单栏中选择【分析】>【比较均值】>【单因素ANOVA】菜单命令， 如图6-2所示。
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图6-2 单因素方差分析的操作命令
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第 一 节
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章节引导 Chapter guidance
第六章 方差分析
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CONTENTS
检验多组独立样 本均值的差异 ——单因素方
差分析
第一节
检验多组独立样 本均值的差异
——多因素方差 分析
第二节
检验多组相关样 本均值的差异 ——重复测量
方差分析
第三节
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第 一 节
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协方差分析：一种采用统计控制的实验误差的方法，即在进行方差分析时，将除了自 变量以外的那些对因变量产生影响但很难控制的变量（协变量）纳入分析中，以消除 这些协变量的影响，从而更加准确地分析出自变量对因变量的影响。
重复测量方差分析：用于检验同一组被试在不同时间内进行3次或3次以上重复测量数 据之间的差异。
一、方差分析的基本原理
在实验设计中，因变量的影响因素包括人 为刻意控制的因素（控制因素或自变量）和人 为难以控制的因素（随机因素）。实验设计可 以通过将自变量操作为3种或3种以上的实验处 理条件，同时控制随机因素，从而使得实验处 理的效应最大，误差最小。
方差分析则是采用统计手段拆分实验数据 中总体方差的不同来源，来确定自变量对因变 量的影响。以一项实验设计为例，总变异（方 差）可以分解为组间变异和组内变异，如图61所示。
图6-4 【单因素ANOVA：对比】对话框
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第 一 节
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二、操作方法
【多项式】复选框：趋势成分分析，也就是将组间平方和分解为线性、二次、三 次或更高的趋势成分。选中该复选框，可激活右侧的【度】下拉列表框，可以选 择【线性】、【二次项】、【立方】、【四次项】或【五次项】，研究者可根据 研究需要进行选择。
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一、方差分析的基本原理
（二）方差分析的类别
方差分析存在有多种类别，具体包括：
单因素方差分析：用于检验一个自变量的不同水平是否对一个或多个相互独立的因变 量造成显著的变化或差异。
多因素方差分析：用于检验两个或两个以上的自变量的不同水平以及水平组合是否对 一个或多个相互独立的因变量造成显著的变化或差异。它强调的是多个自变量。