伪随机序列m和M的生成算法实现

m-M 文档

1 相关概念

随机序列：可以预先确定又不能重复实现的序列 伪随机序列：具有随机特性，貌似随机序列的确定序列。

n 级线性移位寄存器，能产生的最大可能周期是21n p =-的序列,这样的序列称为m 序列。 n 级非线性移位寄存器，能产生的最大周期是2n 的序列，这样的序列称为M 序列。

图1线性移位寄存器

线性移位寄存器递推公式

11221101

n

n n n n n i

n i

i a c a c a c a c a c a

----==++++=

∑

线性移位寄存器的特征方程式

010

()n

n

i

n i

i f x c c x c x c x

==+++=

∑ ,ci 取值为0或1

定义 若一个n 次多项式f (x )满足下列条件：

(1) f (x )为既约多项式(即不能分解因式的多项式)； (2) f (x )可整除(x p +1), p =2n -1; (3) f (x )除不尽(x q

+1), q

定理 线性反馈移位寄存器能产生m 序列的充要条件为：反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项式。

2 (2)GF 上本原多项式的实现算法 2.1二元域(2)GF 上的本原多项式

由于产生伪随机序列的反馈移位寄存器，其特征多项式系数C i 的取值为0或1，因此所寻找的本原多项式为(2)GF 上的多项式。

在二元域内不可以分解因式的多项式称为既约多项式，和普通代数一样，对于多项式

()0f α=，则称α为多项式的根。

输出a k

由抽象代数理论可以证明，若α是n 次本原多项式()f x 的根，则集合2

2

{0,1,}n

F α-= 可

构成一个有限的扩域(2)n G F 。F 中的任一元素都可表示为1110n n a a a αα--+++ ，这样n 个分量的有序序列110(,,,)n a a a - 就可表示F 中的任一元素。

若既约多项式()f x 的根能够形成扩域(2)n G F ，则该多项式是本原多项式，否则不是本原多项式。

2.2 二元域(2)GF 上的本原多项式算法实现

(2)GF 上n 次多项式的通式为 1

2

1210()...n

n n n n f x x a x

a x

a x a ----=++++，系数是二元域上的元素（0,1）

既约多项式既不能整除,1x x +，0和1不可能是()f x 的根，即0a =1, ()f x 的项数一定为奇数。

另外，一个既约多项式是否能形成(2)n G F ，从而判断它是否为本原多项式。N 次多项式的扩域，其中，120,1,,,n ααα 一定在扩域中，需要判断的是12

2

,n

n αα+- 是否也在扩域

中，从而形成全部扩域(2)n G F ，若在，则该n 次既约多项式是本原多项式，否则不是。

（1）给定二元多项式

1

2

1210()...n

n n n n f x x a x

a x a x a ----=++++，01a =

设α是f(x)扩域中的一个元素，且f(α)=0则有： n

n-1

n-11=a ++a +1αα

α （1）

（2）从n

α开始，计算α的连续幂。在计算过程中，当遇到α的幂次为n 时，将（1）代入，一直计算到n

2

-2

α

（形成GF （2n ）），再计算n

2

-1

α

。若n

2-1

α

=1，则证明()f x 能被n

21

x

1-+整

除，而不能整除1q

x +（21n

q <-），判定为本原多项式。在计算α的连续幂过程中，若

q

x =1（21n

q <-），则证明()f x 能被1q

x +整除，判定为非本原多项式，停止计算。

在计算机实现时，n 个分量的有序序列110(,,)n a αα- 与α的任一连续幂有着一一对应的

关系，可以用有序序列110(,,)n a αα- 来表示α的任一连续幂。q

α用110(,,)q q q n a αα- 来

表示，n α用110(,,)n n n n ααα- 来表示，则1q α+可用110(,,)q q q n ααα- 左移一位来实现，若移位前最高位1q n α-=1，表示出现了n α，则1q α+的有序序列表示为

1

1

1

1

11

10

0(,,)n q n q n

n n αααααα+++--+++ ，加法为模2相加，这样可以得到α的连续幂。

在计算过程中，若q α=1（21n q <-），则判定为非本原多项式。若q α（21n q <-）都不为1，且21

n

α-为1，则判定()f x 为本原多项式。

图2寻找本原多项式总流程图

图3判断当前多项式是否为本原多项式流程图

3 m 序列实现

本原多项式系数可确定反馈逻辑

11221101

n

n n n n n i

n i

i a c a c a c a c a c a

----==++++=

∑

4 M 序列实现

M 序列是一种非线性的伪随机序列，是由非线性移位寄存器产生的码长为2n 的周期序列。其构造方法，只要在m 序列适当的位置插入一个0状态，即可完成码长为2n -1的m 序列向码长为2n 的M 序列的转换。其反馈逻辑