第三章地球重力场及地球形状的基本理论1-PPT资料73页
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地球物理学基础ppt课件
（一）岩（矿）石的密度的一般规律
1、火成（岩浆）岩密度＞变质岩密度＞沉积岩密度
根据长期研究的结果，认为决定岩、矿石密 度的主要因素为：
※ 组成岩石的各种矿物成分及其含量的多少； ※ 岩石中孔隙度大小及孔隙中的充填物成分； ※ 岩石所承受的压力等。
2、火成岩（2.5～3.6 g /cm³）
（1）主要取决于矿物成分及其含量的百分比，由 酸性→基性→超基性岩，随着密度大的铁镁 暗色矿物含量增多密度逐渐加大。
Δg = gg
+
0
-
σ1
σ2
σ3
σ0
σ1>σ0
σ2<σ0
σ3=σ0
4、引起重力异常的条件
（1）探测对象与围岩要有一定的密度差。 （2）岩层密度必须在横向上有变化，即岩层内有密度不同的地
质体存在，或岩层有一定的构造形态。 （3）剩余质量不能太小（即探测对象要有一定的规模） （4）探测对象不能埋藏过深
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
2、重力的单位（gravity unit)
在SI制中：g（重力加速度）的单位为1m/s2，规定 1m/s2的百万分之一为国际通用重力单位（gravity unit)，简写为g.u，即：
1、火成（岩浆）岩密度＞变质岩密度＞沉积岩密度
根据长期研究的结果，认为决定岩、矿石密 度的主要因素为：
※ 组成岩石的各种矿物成分及其含量的多少； ※ 岩石中孔隙度大小及孔隙中的充填物成分； ※ 岩石所承受的压力等。
2、火成岩（2.5～3.6 g /cm³）
（1）主要取决于矿物成分及其含量的百分比，由 酸性→基性→超基性岩，随着密度大的铁镁 暗色矿物含量增多密度逐渐加大。
Δg = gg
+
0
-
σ1
σ2
σ3
σ0
σ1>σ0
σ2<σ0
σ3=σ0
4、引起重力异常的条件
（1）探测对象与围岩要有一定的密度差。 （2）岩层密度必须在横向上有变化，即岩层内有密度不同的地
质体存在，或岩层有一定的构造形态。 （3）剩余质量不能太小（即探测对象要有一定的规模） （4）探测对象不能埋藏过深
（1）重力观测是在地球的自然表面上而不是在大地 水准面上进行的（自然表面与大地水准面间的 物质及测点与大地水准面间的高差会引起重力 的变化）
（2）地壳内物质密度的不均匀分布；
（3）重力日变化
3、重力异常的物理意义
A
大地水准面
σ0
△F
σ V
g0 △g
△F
g观
△σ =σ–σ0 △m=Δσ×V
g观 g0 F
由上式可见：重力场强度，无论在数值上，还是 量纲上都等于重力加速度，而且两者的方向也一致。 在重力勘探中，凡是提到重力都是指重力加速度（或 重力场强度）。
2、重力的单位（gravity unit)
在SI制中：g（重力加速度）的单位为1m/s2，规定 1m/s2的百万分之一为国际通用重力单位（gravity unit)，简写为g.u，即：
地球重力场及地球形状的基本理论
A b
O C
a
3、球面三角形公式（单位球）
余切公式（四元素）
cot a sin c cos c cos B sin B cot A
cot a sin b cos b cos C sin C cot A
cot
A sin
C
cos C
cos b
sin
b cot
a
x y
si
1
nB
L
sinB L
1
cos
B
L
x1 y1
sinA cosc cosC sinB sinC cos B cosa sinB cosc cosC sinA sinC cos A cosb sinC cosb cos B sinA sinB cos A cosc
3 拉普拉斯方程
以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，μ 为 垂线偏差，η 为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，ξ 为其在子午圈 上（南北方向）的分量。
BF
BF sin a OB BE BF sin A BD OB BD
BE
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
单位球 sin a sin b sin c
R R R (半径为R) sin A sin B sin C
3、球面三角形公式（单位球）
cos A sin A
900-B-ξ
Q
A′
六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）
Z
第三章 1重力场基本理论
0 2
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
(武汉大学大地测量学课件)第三章 地球重力场及地球形状的基本理论
=M0
z
m
dm
定义坐标系：x 0 = y 0 = z 0 = 0 ，则有：
v0 =
f r
M
v1
=
f r3
( x ∫ xm dm
M
+
y∫
M
y m dm
+
z ∫ zm dm )
M
=
0
v2
=
f 2r 5
[( y 2
+
z2
−
2x2)A
+
(x2
+
z2
−
2 y 2 )B
+
(x2 + y2 − 2z 2 )C + 6 yzD + 6xzE + 6xyF ]
地球重力场的基本原理
3.2.3 重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和：
W =V +Q
∫ W = f ⋅ dm + ω 2 (x2 + y2 )
r2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
gx
=
−
∂W ∂x
gy
=
−
∂W ∂y
g = − ∂W
z
∂z
= −(∂V ∂x
F
=
f
⋅
M ⋅m r2
P = mω 2ρ
gv
=
v F
+
v P
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
8
地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 保守力。
大地测量学基础-第3章地球重力场及地球形状的基本理论
M
zm2 )dm
M
M
• 地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。
它们是：
a, J2 , fM ,
•
其中：J 2
K a2
为引力位中二阶主球谐函数的系数, 与扁率有关。
五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球
1、正常椭球和水准椭球
• 前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所 包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球 体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。
从赤道向两极增大的趋势——
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
• 为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即：
•
地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位
• 正常重力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不 涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似 值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。
• 计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异 (扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的 差异，从而确定地球重力位和地球形状。
gy
W y
( V y
Q y
zm2 )dm
M
M
• 地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。
它们是：
a, J2 , fM ,
•
其中：J 2
K a2
为引力位中二阶主球谐函数的系数, 与扁率有关。
五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球
1、正常椭球和水准椭球
• 前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所 包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球 体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。
从赤道向两极增大的趋势——
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
• 为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即：
•
地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位
• 正常重力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不 涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似 值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。
• 计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异 (扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的 差异，从而确定地球重力位和地球形状。
gy
W y
( V y
Q y
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)
2
一、地球重力场模型
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2
r
R r
2
2
R
R r
2
2 Rr cos r [1 (
2
R r
)
2
2
R r
cos ]
l (
) 2
cos
1 2
1
V
1 r
(1 l )
f r
(1
1 2
l
3 8
l
2
5 16
l ) dm
2H R
3H R
2
2
)] 2 0
H R
3
0H
R
2
1 g 0 . 3086 H 0 . 72 10
7
H
2
0 0 . 3086 H
22
二、地球正常重力场
正常重力场参数
在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参 数决定,即：
U0, A0 fM , A2 f ( A C ) fK M ,
3
V v 0 v1 v 2
v
i0
n
i
按(R/r)集项
3
一、地球重力场模型
v0
f r
f r
dm
M
f
M r
v1
M
R r
cos dm 0
v2
f r
M
(r )
R
R
2
( cos ) dm 2 2
2
3
1
v3
f r
大地测量学基础(第3章地球重力场及地球型状的基本理论
重力归化的三个主要目的： （1）求定大地水准面； （2）内插和外推重力值（需要先移去高频变 化，然后再恢复）； （3）研究地壳状态。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
地球重力场PPT课件
S
离心加速度即向心加速度， 指向圆心。但此处与前一种 推导方法相差一个负号
r
S
y
o
φ
z
λ
S
x
e
x
y
地球重力场及地球形状的基本理论
由加速度求离心力位：
离心力位Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值。
Q
x Q
y
2x
x
2y
y
Q 0
z
故离心力位公式：
Q 2（x2 y2）
2
地球重力场及地球形状的基本理论
若设加速度的模a：
a ax2ay2az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
ax =acos(a,x), ay=acos(a,y), az=acos(a,z)
地球重力场及地球形状的基本理论
④引力位的物理意义
引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。
Q
AdVVQ0VQ
Q0
地球重力场及地球形状的基本理论
位函数 ①位函数：通俗地讲，即在
一个参考坐标系中，位函数表示 被作用点的位能大小。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。
②位函数的性质
位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行 积分。
V＝V＋Q+…
其对三个坐标方向的一阶导数的数值等于作用力在该方向 上的分力大小。
S
质 点 引 力 位
x
z
m 1
r
m
( ,, )
o
(x, y, z) y
引力位
地球重力场及地球形状的基本理论
①质点M的引力位
对于质量为M的球体表面附近一点m，其引力
第三章重力场第2节-课件
3.2.3 重力位
▪ 重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离
心力位Q之和：
WVQ
Wf dm 2(x2y2) r2
▪ 对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分
量：
gx
W x
( V x
Q x
)
gy
W y
( V y
Q y
)
g
W
( V
Q
)
z
z
z
z
13
Fundation of Geodesy
a x V x,a y V y,a z V z
11
Fundation of Geodesy
2020/12/16
▪ 离心力位
在离心力场中， dQPdl
dQ 2ld l2d2l Q 2l2
2
2
Q2(x2y2)ω 2r2si2n
2
2
12
Fundation of Geodesy
2020/12/16
2020/12/16
2020/12/16
• 当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称 为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可 见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的 海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准 面。
• 如果令g与l夹角等于π，则有：
dl dW g
• 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。
天体力学
4
Fundation of Geodesy
2020/12/16
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与他们 的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。
地球重力场和形状
正常椭球:一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。
它产生的重力场称为正常重力场。
正常重力场的等位面称为正常水准面。
因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。
正常(地球)椭球是一个假想的球体。
是一个理想化的椭球体。
正常重力位U：近似的地球重力位。
是一个函数简单、不涉及地球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。
扰动位T：地球实际重力位W与正常重力位U之差。
T＝W－U根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解决地球重力位和形状的问题。
1、水准面: 重力等位面。
具有几何性质与物理性质。
1）、无数个；2）、复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面；3）、水准面彼此不平行，不相交；4）、每个水准面对应唯一的位能W＝常数，物体在水准面上移动重力不做功。
2、大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。
1）、一个特定的重力等位面，唯一。
2）、其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。
因而只能用一个平均海水面代替它。
3、似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。
1）、不是水准面2）、与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几乎重合，在山区只有2～4m的差异。
4、正常椭球（水准椭球、等位椭球）：正常椭球：大地水准面的规则形状。
实际上，质量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相同的规则物体都可正常椭球。
目前都采用水准椭球作为正常椭球，又称等位椭球。
5、总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。
1）、中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午面与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同；2）、4个基本参数a e，fM，J2，ω；3）、与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差距N的平方和最小。
6、参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球。
大地测量重力场课件
重力场的变化还与地球内部构造、地壳运动、地下水、冰川和地表岩石的密度散布等因素有关。
大地水准面是测量学中用于地图投影和大地测量的基准面，也是地球表面上的一个理想化物理面。
确定大地水准面的位置和大小，需要全球重力数据和地球重力场模型。
大地水准面是假想的静止海面，与平均海面相符，并包围整个地球。
确定大地水准面与地球椭球面之间的高差和水平偏差，需要利用全球重力数据和地球重力场模型进行计算。
02
精度评估标准
根据实际需求和行业标准，制定精度评估标准，以确保模型满足实际应用要求。
将大地测量重力场模型应用于实际测量和观测中，以提高测量精度和可靠性。
实际应用
将大地测量重力场模型应用于其他相关领域，如地球物理学、海洋学等，以促进学科交叉和学术交流。
推广价值
通过学术会议、期刊论文等方式，与其他研究机构和学者进行大地测量重力场模型的交流与合作，促进学术研究的进步和发展。
学术交流
大地测量重力场的研究进展与展望
VS
大地测量重力场与地球物理学、地球动力学、地震预测等领域的交叉研究。
研究难点
大地测量重力场数据的处理与分析，以及与地球物理观测数据的整合与解释。
研究பைடு நூலகம்点
随着观测技术的进步和数据处理方法的改进，大地测量重力场研究将更加精细化和综合化。
大地测量重力场研究将为地球科学、空间科学和人类活动提供更准确、更全面的信息，为人类社会的可持续发展提供重要支撑。
大地测量重力场课件
大地测量重力场概述大地测量重力场的基本原理大地测量重力场的观测技术大地测量重力场模型建立大地测量重力场的研究进展与展望
大地测量重力场概述
定义
大地测量重力场是指地球重力场的散布和变化规律，它是地球物理学、大地测量学和地球动力学等多个学科交叉的研究领域。
第三章 1重力场基本理论
0 978 .049 (1 0.0052882 sin 2 0.000059 sin 2 2 )
• 1975年国际地球正常重力公式：
0 978 .032 (1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 )
• ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
a 2 2
顾及r与a的关系得： 0 fM (1 3 q ( 5 q ) cos 2 ) 2 • 特例：
fM 3q (1 ) 9.78ms 2 ，赤道正常重力： e 90 a2 2
0 ，极点处正常重力：
fM p 2 (1 q) 9.832ms 2 a
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
• 1975年国际地球正常重力公式：
0 978 .032 (1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 )
• ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
a 2 2
顾及r与a的关系得： 0 fM (1 3 q ( 5 q ) cos 2 ) 2 • 特例：
fM 3q (1 ) 9.78ms 2 ，赤道正常重力： e 90 a2 2
0 ，极点处正常重力：
fM p 2 (1 q) 9.832ms 2 a
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
第三章_地球重力场及地球形状的基本理论(1)
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
k
1dm
(M )
bnk
2 (n (n
k)! k)!
f
1n Pnk (cos1)sin k1dm
(M )
零 阶项 a00 fM
S)
S
质
体 引 力
z
m 1
r (x, y, z)
位
dm ( ,, )
y o
x
质体(M)
Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q ( x, y, z)
dm
V dV f
M
M
Foundation of Geodesy
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
S (X，y，z)
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
离心力：
P
2
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y 2 )
2
验证：
Q x
第三章地球重力场及地球形状的基本理论1-PPT文档资料
第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球大气 ★大气厚度：2000～3000km； ★大气质量：3.9×1021克 ★从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层(热层)， 外层(散逸层),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 ★对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低；空气对流 ，运动显著；湿度大；天气多变。 ★平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气水平运动 ；水汽含量极少。
2）物理参数 自转速度：ω =7.29211515×10-5rad/s 二阶带球谐系数：J2=1082.64×10-6 地心引力常数：GM=398603km3/s2
第二节 地球重力场的基本原理
一）引力与离心力 1、引力F
z ω
Mm F f 2 r
M为地球质量，
ρ F P g
r
o
m为质点质量，
f为万有引力常数， r为质点到地心的距离。
VQ A dVV Q 0
Q 0
Q
Q0 m
Q F
M
第二节 地球重力场的基本原理
2 离心力位
x r cos cos , y r cos sin , z r sin 对时间求导数 : x r cos sin . y r cos cos , . z 0
z
S
ρ
(Xm,ym,zm)
dm R ψ S0 r
o λm λ x
φm
φ
Se
y
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V 确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
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第二节 地球重力场的基本原理
（3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到
该点所做功。
Q
A dVVQVQ0
Q0
Q
M
Q0
F
m
第二节 地球重力场的基本原理
2 离心力位
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm)
则有
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
o
φm φ
λm λ
ρ
r S0
Se
y
(X，y，z) S
V f dm
x
第二节 地球重力场的基本原理
将 引力位函数
用级数展开，再代入 有:
再将
代入，按（R/r）合并集项得：
第二节 地球重力场的基本原理
（2） 位函数的性质 ① 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积 分。 V＝V1＋V2＋·····＋ Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位 函数dVi之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
(X，y，z) S
第二节 地球重力场的基本原理
讨论前三项： ① 先看v0
可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 ② 再讨论v1，ψ 为R,r之间的夹角
r x iyjz k Rxmiymjzmk
第二节 地球重力场的基本原理
上式两边同除以地球质量M，又因为
为地球质心坐标。
以地球质心为坐标系的原点，故有：
式中x, y, z为被吸引点坐;标
xm , ym , zm为吸引点坐标
若设：
a ax2ay2az2
(a , x), (a , y), (a , z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
a x a c o s ( a ,x ) , a y a c o s ( a ,y ) ,a z a c o s ( a ,z )
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
V
V
V
ax x , ay y , az z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
1）离心力位：
Q 2（x2 y2）
2
将Q对各坐标轴求偏导数有：
Q
..
2x x
x
Q
..
2y y
y
Q 0 z
可见，Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量 的负值。因而Q是位函数，称离心力位。
第二节 地球重力场的基本原理
2）离心力位函数的特性： （1）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。 （2）其二阶导数为:
因而
x0=0 v1=0
y0=0
z0=0
第二节 地球重力场的基本原理
③ 最后看v2 将
代入下式
有：
第二节 地球重力场的基本原理
用A、B、C表示质点M对x、y、z轴的转动惯量,用D、E、F表示 惯性（离心力矩）即：
那么：
第二节 地球重力场的基本原理
若用球面坐标表示，作如下变换
则：
仿此推求Vi，代入下式，便可得地球引力位的计算式：
令x=cosψ ，则有：
P n cos
1 d n (cos 2 1 ) n
2 n n!
d cos n
P 0 cos 1 ; P 1 cos cos ;
P 2 cos
3 cos 2
2
1; 2
P 3 cos
5 cos
2
3
第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球公转：
地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。
① 开普勒三大行星定律 a 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质 心相重合
r a1e2 1ecosf 远日点
f 近日点
第一节 地球及其运动的基本概念
b 行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面 积相等，即面积速度(s/t ）=常数
②．当g与l夹角为0时，即(g ,l)=00,则有-dw=gdl a．若dW≠0，必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切 b．若dW＝C，由于各处重力g不同，因而各处的dl也不同 说明水准面之间不平行
（2）重力位是标函数
第二节 地球重力场的基本原理
四、地球的正常重力位和正常重力 1 地球重力位计算的复杂性
3、地球重力 为F与P的和向量
gFP
第二节 地球重力场的基本原理
二）引力位和离心力位 1、引力位 （1）位函数的定义
位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的 一阶导数等于引力在该方向上的分力。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点m和M相互吸引的引力公式是 ：
第二节 地球重力场的基本原理
★ 勒让德多项式： 1）勒让德多项式：
Pnx2n 1n!dn(x d2x n 1)n
递推公式：
P n 1 x 2 n n 1 1 xn P x n n 1 P n 1 x
将（x2-1)n按二项式定理展开有：
第二节 地球重力场的基本原理
第三章 地球重力场及地球形 状
的基本理论
第一节 地球及其运动的基本概念
1.地球概说 1）地球的基本形状 地球表面积：5.1亿Km2，海洋占70.8%，陆地占29.2% 地球体积为10830亿Km3
地球的实际形状很不规则。从总 体情况看，地球的形状可用大地体 来描述：是一个两极略扁，赤道突 出，略显“梨形”的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转 椭球来表达地球形状。
第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球大气 ★大气厚度：2000～3000km； ★大气质量：3.9×1021克 ★从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层(热层)， 外层(散逸层),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 ★对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低；空气对流 ，运动显著；湿度大；天气多变。 ★平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气水平运动 ；水汽含量极少。 ★中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下降，空气 对流。
地球形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下 重力位公式精确求得其重力。
Wf dm 2 x2y2 r2
2 正常椭球: 一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球。它产
生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准 面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准 椭球。
第二节 地球重力场的基本原理
V V0 V1 V2
f r
M
1 r2
2C
(A 2
B)
(
1 2
3 2
sin2
)
3(Ecos Dsin)cos sin
3 2
(
B
2
A
cos2
F
si
n2)cos2
第二节 地球重力场的基本原理
3 cos
2
第二节 地球重力场的基本原理
2）缔合勒让德多项式：
PnKx(1x2)K2dK dPn K x(x)
其中，n表示阶，K表示次，当K=0时即为勒让德多项式 令x=cosψ ，则有：
第二节 球重力场的基本原理
3 地球引力位的数学表达式 （1）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式
V z
Q z
g g2x g2y gz2
对任意方向的偏导数等于重力g在该方向的分力：
W l gl gcogs,(l)
（g ,l）为重力g与l的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。
第二节 地球重力场的基本原理
①．当g与l相垂直时，即(g ,l)=900 dw＝0，有W＝常数，当取不 同常数时，就得到一簇曲面，称重力等位面，也就是水准面。有 无数个。其中，完全静止的海水面所形成的重力等位面，称大地 水准面。
Mm F f r2
假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则必做功：
Mm dA f r2 dr
第二节 地球重力场的基本原理
用V表示位能，此功必等于位能的减少：
Mm dV f r2 dr
对上式积分，则得位能：
Mm Mm
V dV f r2drf r
引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
第二节 地球重力场的基本原理
一）引力与离心力
1、引力F
z ω
F
f
Mm r2
ρ
M为地球质量，
F
P
rg
m为质点质量， f为万有引力常数，
o
y
r为质点到地心的距离。
x
第二节 地球重力场的基本原理
2、离心力
Pm2 为地球自转速度 28616.04957.292111505rads1 为质点所在平行圈半径
第一节 地球及其运动的基本概念
★电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧上升