初一数学：含参一元一次方程
人教版七年级数学上册培优讲义《第4讲 含参一元一次方程》
第4讲 含参一元一次方程【知识目标】目标一 理解方程中参数与未知数的区别，理解方程的解的含义；目标二 掌握方程“解的关系”类题型解法，掌握绝对值方程的解法；目标三 掌握含参方程讨论解的情况的方法，理解分类讨论的本质．模块一：一元一次方程的概念应用【知识导航】1．一元一次方程的定义只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．3．未知数与参数若等式x －2＝a 中，只有x 是未知数，a 当做已知数，我们把这样的方程叫做关于x 的方程，a 叫做参数．解这个方程时只需求出x 的值，x ＝a ＋2就是此方程的解．例如，关于x 的方程mx －2＝3中，只有x 是未知数，m 是参数，若已知此方程的解为x ＝1，则把x ＝1代入方程后能使等式两边值相等，由此得1×m －2＝3，可求得m ＝5．【例1】 （1）(2015江岸区七上期中)若关于x 的方程(m －2)15m x-=是一元一次方程，则m 的值为＿＿＿＿（2） (2012洪山区七上期末)已知x ＝－3是关于x 的方程3x －5a ＝x －1的解，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．2D ．－2（3）已知x ＝6时关于x 的方程m (x －3)－2＝m 的解，则关于y 的方程 13(1)42016m y --=的解为＿＿＿＿＿＿．（4）(2014江汉区七上期末)已知x ＝3是关于x 的一元一次方程(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＝2的解．求a 、b 的值．【练1】 （1）(2013硚口区七上期末)已知x ＝2是关于x 的方程3x －3＝k 的解，则k 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．3（2）(2013年青山区期末)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5模块二：含参方程解的关系题型一：解相同【例2】 （1）若关于x 的方程5x ＋4＝4x －3的解和方程2(x ＋1)－m ＝2(m －2)的解相同，求m 的值．（2）若关于x的方程12524ax ax x-=+和5342x x=-有相同的解，求a的值．【练2】（1）(2012洪山区七上期末)如果关于x的方程51763x-=与71622xm-=+的解相同，那么m的值是多少？（2）若关于x的方程()()3210354k x k xx+--=-与1252(1)3xx--+=的解相同．求k的值．【例3】（1）已知：关于x的方程4x－k＝2与3(2＋x)＝2k的解相同，求k的值及相同的解．（2）(2015江岸区七上期中)已知关于x的方程4x＋2m＝3x＋1与方程3x＋2m＝6x＋1的解相同，则方程的解为＿＿＿＿＿＿．【练3】已知关于x 的方程3x －2k ＝1和22x k k -+=有相同的解，求k 的值及方程的解．总结归纳两个一元一次方程的解有等量关系时：如果其中一个方程不含参，另一个方程含参，可以先解出不含参方程(即先解简单方程)，然后利用解的等量关系写出另一个含参方程的解，再代入含参方程即可求出参数的值；如果两个方程都含参，除了可以像上面一样先解简单方程，再代入复杂方程之外，也可以先分别求出这两个方程的解(即都用参数来表示x )，然后利用解的等量关系列出等式，从而求出参数的值． 只要理解了“方程的解”以及“参数”的含义，理清解的关系，就能灵活运用上述两种方法．而且可以自己体会一下，哪些题用法一较快，哪些题用法二较快，原因是什么．两个解的数量关系可以有很多种，比如相等、互为相反数、几倍等，解题方法都一样．题型二：解互为相反数【例4】 （1）若关于x 的方程ax －2a ＝9与方程2x －1＝5的解互为相反数，求a 的值．（2）如果关于x 的方程()112x m +=的解与方程13x x m -=-的解互为相反数，求m 的值．【练4】若关于x 的方程2x －3＝1和32x k k x -=-的解互为相反数，则k 的值为多少？【拓】已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．题型三： 解的其他等量关系【例5】（1）．若关于x 的方程23136x x --=的解是372a x +=的2倍，求关于x 的方程1432ax -+=的解．（2）．如果关于x 的方程x －2＝3(m ＋3)的解和3(x ＋1)＝－4m ＋5的解的和等于5，求m 值．【练5】已知关于x 的方程23x m x π-=+与1322x x -=-的解互为倒数，求m 2－2m －3的值．模块三：含参方程解的情况【知识导航】当我们解一元一次方程时，最后一步就是“系数化为1”．例如：解得5x ＝6之后，需要等式两边同时除以5，得到x ＝65；解到－3x ＝2之后，需要等式两边同时除以－3，得到x ＝23-． 但如果一个一元一次方程中，未知数的系数含有参数时，例如ax －4＝0，解到ax ＝4之后，需要等式两边同时除以a ．但是，我们知道，等式两边同时除以的数必须是“非零数”．这里a 作为一个参数，它是有可能为0的．一旦a ＝0，ax ＝4就变成了0x ＝4，显然不能再两边除以0来求解，此时关于x 的方程无解，即x 没有任何一个数值能使等式成立．不难看出，对于诸如ax ＝4未知数的系数含有参数的方程，当系数为0和系数非0时，方程的解的情况不同．既然结果不同，那意味着需要分类讨论．【例6】（1）．解下列关于x 的方程：①mx ＝2； ②kx ＝0； ③3x ＝n －2（2）．解下列关于x 的方程：①ax ＝b ； ②(a －1)x ＝b ＋2 ③ax －b ＝x ＋2．（3）．当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有唯一解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b无解；当a＿＿＿＿，b＿＿＿＿时，关于x的方程ax＋1＝－x－b有无穷多个解；【总结归纳】解含参的一元一次方程时，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，一定能将方程化简为ax ＝b的一般形式，然后再以a、b的不同取值为分类依据，对对方程的解分类讨论．①当a≠0时，等式两边可以同时除以非零数a，解为x＝ba，即方程有唯一解；②当a＝0且b＝0时，方程变为0·x＝0，这里x可以是任意数，即方程有无数个解；③当a＝0且b≠0时，方程变为0·x＝非零数，x无论取何值等式均不成立，即此方程无解．【练6】（1）．关于x的方程mx＋4＝3x－n，分别求m，n满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②无解；③有无数多解．（2）．已知关于x的方程3a(x＋2)＝(2b－1)x＋5有无数个解，求a与b的值．（3）．已知：关于x 的方程ax ＋3＝2x －b 有无数多个解，试求：()20175ab a b x x a b a b+-=-++的解．模块四：绝对值方程【知识导航】形如ax b c +=的关于x 的绝对值方程(这里a ≠0)，其解如下三种情况： ①若c ＜0，则方程无解；②若c ＝0，则ax ＋b ＝0，x ＝b a-，方程有唯一解； ③若c ＞0，则ax ＋b ＝±c ，x ＝c b a ±-，方程有两个解．【例7】（1）．若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是( )．A ．m ＜n ＜kB ．m ≤n ≤kC ．m ＞n ＞kD ．m ≥n ≥k（2）．解下列绝对值方程：①15x -=； ②123x --=；③2131x x -=+；④234x x +=-；⑤4329x x +=+；⑥2971x x +=-．【总结归纳】1．形如ax b cx d +=+的绝对值方程的解法：ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，一般有两个解，解完不需要检验．2．形如：ax b cx d +=+的绝对值的解法：法一，从绝对值的代数意义出发分类讨论： ①当ax ＋b ≥0时，ax b ax b +=+，故得ax ＋b ＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ≥0，若不满足则应舍去；②当ax ＋b ＜0时，()ax b ax b +=-+，故得－(ax ＋b )＝cx ＋d ，解完需要把解代入原方程验证这是否满足前提条件ax ＋b ＜0，若不满足则应舍去； 综上得方程的解．法二．从绝对值的非负性出发限定x 的范围：由ax b cx d +=+≥0，所以ax ＋b ＝cx ＋d 或ax ＋b ＝－(cx ＋d )，然后将得出的解代入cx ＋d ≥0检验，若不满足该前提条件此解需要舍去．【练7】解下列绝对值方程①4812x +=；②3544x --=；③2316-+-=；④23x x=-；a a④4329-+=-.x xx x+=+；⑤525拓(1)解方程：125-++=；x x(2)回答下列方程解的情况：①方程124-++=的解是＿＿＿＿；x x②方程123-++=的解是＿＿＿＿；x x③方程122-++=＿＿＿＿．x x第4讲 【课后作业】含参一元一次方程1．如果x ＝1是关于x 的方程－x ＋a ＝3x －2的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－22．七年级的两名爱好数学的学生，在学完第三章《一元一次方程》后，一位同学对另一位同学说：“方程112332x x x ---=+-与方程2224334kx x k +--=-的解相同．则k 的值是多少？”（ ） A ．0B ．2C ．1D ．－1 3．已知关于x 的元一次方程240n x m +-=的解是x ＝3，则m －n 的值是＿＿＿＿．4．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解相同，则m ＝＿＿＿＿．5．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解互为相反数，则m ＝＿＿＿＿．6．关于x 的方程x ＋2m ＝3x －1与方程3x －m ＝6x ＋2的解的和为2，则m ＝＿＿＿＿．7．关于y 的方程25617k ky +-=-与方程2y ＋6＝－8的解互为倒数，则k ＝＿＿＿＿．8．关于x 的方程mx ＋2＝3x －n 有无数多个解，则mn ＝＿＿＿＿．9．已知2x x =+，那么19327m x x ++的值为＿＿＿＿．10．关于x 的方程(a ＋1)x ＋4＝3x －2b ，分别求a 、b 满足什么条件时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解．11．解下列关于x 的方程：①1232x +=； ②258x +-=．③2335x x -=-；④4551x x -=+；⑤3223x x +=+；⑥652x x +=-；⑦mx ＋3＝2x －3；⑧3x －5＝2a ＋8．12．已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解是3151128x a x +--=的解的3倍，求a 的值．。
一元一次方程含参问题
例5、若a，b为定值，关于x的一元一次方 2kx a x bk 1 程 ，无论k为何值 3 6 时，它的解总是x=1，求a，b的值。 解：将x=1代入 2kx a x bk
3 2k a 1 bk 1 3 6 6 1
化简得：(4+b)k=7-2a ① ∵无论ห้องสมุดไป่ตู้为何值时，原方程的解总是x=1 ∴无论k为何值时，①总成立 ∴4+b=0且7-2a=0，解得a=-4，b=3.5
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解， 求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
练习： （1）已知关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有无 数个解，则a= 5 ，b= 10 。
3
2
（2）已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则 a= 3 。 （3）(3a 2b) x ax b 0 是关于x的一元 一次方程，且x有唯一值，则x= 3 。
2
9
2
2
一、含有参数的一元一次方程
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互 为相反数时，求a的值 练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
七年级数学上册第三章一元一次方程3.1.1一元一次方程(图文详解)
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
请你判断下列给定的t的值中,哪个是方程2t＋1＝7-t 的解？
(1)t＝-2 (2)t＝2 (3)t=1 根据方程的解的定义，我们得到t＝2是方程2t＋1＝7－t 的解.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.方程x=3是下列哪个方程的解？（ C ）
(A)3x+9=0
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
你知道什么 叫方程吗？
含有未知数的等式—方程
你能举出一些 方程的例子？
练习：
判断下列式子是不是方程,正确的打“√”,错误的打”×”:
(1) 1+2=3 (2) 1+2x=4 (3) x+1-3
(×) (4) x 2 1 (×)
(√) (5) x+y=2
4．已知数x-5与2x-4的值互为相反数，列出关于x的方程. 解：由题意得：（x-5）＋（2x-4）＝０.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.方程、方程的解、一元一次方程的概念. 2.根据实际问题中的等量关系，用一元一次方程表示问 题中的数量关系. 注:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系 列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，
王家庄到翠湖的路程有多远？
回顾:路程=速度×时间 速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
分析：若知道王家庄到翠湖的路程（比如x千米）， 用含x的式子表示关于路程的数量： 那么王家庄距青山_（__x_-_5_0_）_千米，王家庄距秀水（_x_+_7_0_）_千米. 有关时间的数量： 从王家庄到青山行车___3__小时，王家庄 到秀水行车__5__小时.
第2讲 含参一元一次方程的解法
第2讲 含参一元一次方程的解法模块一：思路导航：若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程。
同解方程一般有两种解法：（1）只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解。
此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案。
（2）两个方程都含有参数，无法直接求得。
此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的一般方法。
注意：（1）两个解的数量关系有很多种，比如相等，互为相反数、多1、2倍等等。
（2）一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元一次方程公共根问题的前铺和基础。
例1（1）若方程ax-2x=9与方程2x-1=5的解相同，则a 的值为 。
（2）若关于x 的方程3x=x 25-4和x 21-2ax=x 4a +5有相同的解，求a 的值。
（3）若关于x 的一元一次方程的解03163-m 2=--m x 也是方程()012-n 1=++n x 的解，求m,n 的值例2（1）已知：p n m x n 333=-++与1232-=+--np m x m 都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程151=+-p x 的解。
（2）当m= 时，关于x 的方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m 的解的2倍。
练习题：1．已知方程的解也是方程|2﹣7x |=a 的解，则a 等于 ． 2．方程的解为 ．3．小明星期天在家里做作业，不小心将方程4﹣=x ﹣中的数字蘸上墨汁，看不清原来的方程，但他知道这两处的数字是相同的，且这个方程的解与方程=也是相同的．你能够知道被墨汁蘸上的数字是多少吗？4．已知方程=x﹣3与方程3n﹣=3（x+n）﹣2n的解相同．求：（2n﹣27）2的值．5．方程和方程的解相同，求a的值．6．已知关于x的方程mx+2=2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1=0，则m的值．7．如果方程3（x﹣1）﹣2（x+1）=﹣3和﹣=1的解相同，求出a的值．8．先阅读下列问题过程，然后解答问题．解方程：|x+3|=2．解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3=2，解得x=﹣1；当x+3＜0时，原方程可化为：x+3=﹣2，解得x=﹣5．所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．仿照上述解法解方程：|3x﹣2|﹣4=0．9．解下列方程：（1）x x 53231223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++）（ （2）1.02.12.08.055.05.14x x x -=---10．解方程：（1）x ﹣2=； （2）=211．解方程：（1）=1﹣ （2）﹣=﹣10．12．解下列方程：（1）x +=6﹣； （2）﹣=．。
北师大数学七年级上册第五章_含参数的一次方程总结
第03讲_含参数的一次方程知识图谱含参数的一次方程知识精讲一．参数有的方程中除了未知数外，还会含有一些其他的字母，它们代表已经确定的数字，只是我们不知道它们具体是多少，这种字母称为“参数”，即“参与运算的数”．虽然都是字母，但未知数与参数各自的地位和含义是不相同的．比如方程ax b =，理论上来讲，如果题目没有说明，里面的每一个字母都可以当做未知数．但是一般情况下，当a b c 、、与x y z 、、同时出现在一个方程时，我们会约定俗成地认为，x y z 、、是未知数，a b c 、、是（已知数）参数．因此，我们通常会说关于x 的方程ax b =，这样比较严谨，就不会出现纠结谁是未知数的问题．对未知数系数不含参数，常数项含参数的方程，在运算中就把参数当成普通的数字来对待，带着参数完成解方程的过程．如解关于x 的一元一次方程()12x a b c -+=，则()2x c b a =-+． 小明在家做作业时,不小心吧墨水滴到了练习册一道解方程题上,题目上一个数字被墨水污染了.这个方程是： 2(115 23)x x +--⎝=⎛⎫⎪⎭- ▇ ,“▇”是被污染的数字,“▇”是哪个数呢?他很着急,想了一想,便翻看了书后答案,得知此方程的解是x=2.你能帮他补上被污染处“▇”的内容吗? 把解代回方程：11252 232()⎛⎫ ⎪+-⨯-=⎝-⎭▇，此时被污染的数字就是这个新的方程的未知数，解方程即可解系数含参问题对于未知数系数含参数的方程，其方程的解与参数的取值有很大关系，需要对参数进行分类讨论．讨论．①当0x ≥时，x x =，原方程化为25x x =+，解得5x =-．但是由于5x =-不满足0x ≥的前提要求，所以舍去；②当0x <时，x x =-，原方程化为25x x -=+，解得53x =-．检验53x =-满足0x <的前提要求，所以53x =-是原方程的解．三点剖析一．考点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．二．重难点：解含参数的一元一次方程及绝对值方程．三．易错点：1．在解系数含参数的一次方程的过程中，忘记对参数进行讨论； 2．解ax b cx d +=+这类绝对值方程时，直接去绝对值．参数的概念例题1、 已知关于x 的方程45365ax b x c ++-=，其中参数是__________，未知量是__________，常数项是__________．【答案】 a 、b 、c ；x ；5b 、5c 、6-． 【解析】 根据参数的概念即可判断常数项含参的一次方程例题1、 小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是：2y+12=12y ﹣．小明翻看了书后的答案，此方程的解是y=﹣53，则这个常数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】 B【解析】 设常数为a ，则2y+12=12y ﹣a ，把y=﹣53代入得：2y+12=﹣176，12×（﹣53）﹣a=﹣176，解得：a=2，例题2、 已知a 为正整数，关于x 的方程5814225x a x -=+的解为整数，求a 的最小值．【答案】 2a =【解析】 原方程的解为()101429a x +=，由题意知，()101429a +为整数，因此142a +为9的倍数，即a 的最小值为2例题3、 解下列关于x 的方程：（1）12x a -=（2）()362x x a +=- （3）()()12112x x a -=--+ 【答案】 （1）2x a =-；（2）26x a =--；（3）1655x a =+【解析】 直接把a 当成已知数计算即可．系数含参的一次方程例题1、 解关于x 的方程：（1）2421m x mx -=+ （2）x a x b bb a a---=，其中0a b -≠ （3）()()1234m x n x m -=+． 【答案】 （1）当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）2a x a b =-；（3）①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解；【解析】 （1）原方程整理为()22141m x m +=-；当12m ≠-时，方程的解为21x m =-；当12m =-时，方程的解为任意数．（2）去分母，得()()2a x a b x b b ---=，去括号，得222ax a bx b b --+=，移项，得222ax bx b a b -=+-，合并同类项，得()2a b x b -=，∵0a b -≠，系数化为1，得2b x a b=-．（3）原方程可整理为()()43223m x m n -=+，①当34m ≠时，方程的解为()22343m n x m +=-；②当34m =，32n =-时，方程的解为任意实数；③当34m =，32n ≠-时，方程无解．例题2、 已知方程2ax x b -=+，问a 、b 分别满足什么条件时： （1）方程有唯一解？ （2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？ 【答案】 （1）1a ≠；（2）1a =且2b ≠-；（3）1a =，2b =-． 【解析】 方程整理为()12a x b -=+．当10a -≠时，方程有唯一解；当10a -=，20b +≠时，方程无解；当10a -=，20b +=时，方程有无穷多个解．例题3、 若k 为自然数，关于x 的方程kx －4＝x ＋3的解是整数，则k ＝________． 【答案】 0；2；8 【解析】 暂无解析随练1、 若关于x 的一元一次方程x ﹣m+2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A.m≥2B.m ＞2C.m ＜2D.m≤2【答案】 C【解析】 ∵程x ﹣m+2=0的解是负数， ∴x=m ﹣2＜0， 解得：m ＜2．随练2、 关于x 的方程3x －2＝kx ＋5的解是正整数，则整数k 的值为________． 【答案】 2或－4 【解析】 暂无解析随练3、 已知关于x 的方程()210a b x +-=无解，则ab 的值是（ ）A.负数B.正数C.非负数D.非正数【答案】 D【解析】 因为()210a b x +-=无解，所以20a b +=，于是0a b ==或2a b =-，即0ab ≤，故答案为D ． 随练4、 若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数，则整数k 的值为__________ 【答案】 8k =±【解析】 方程整理为()917k x -=，因为方程的解为正整数，所以90k -≠，所以179x k =-．要使得179k-为正整数，由于k 为整数，因此9k -只能取1或17．随练5、 解下列关于x 的方程：()112323x x a x b -+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 123x a b =--【解析】 去小括号，得11232312x x x b a --=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去中括号，得23111366x b x x a =+--，移项，得23111366x b x x a =+--，合并同类项，得1126x a b -=+，系数化为1，得123x a b =--随练6、 解关于x 的方程：()2a x b a x ab +-=+．【答案】 当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数． 【解析】 原方程可整理为()2b x a -=，当2b ≠时，2ax b =-；当2b =，0a ≠时，方程无解；当2b =，0a =时，x 为任意数．随练7、 解关于x 的方程1mx nx -=． 【答案】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解 【解析】 移项、整理，得()1m n x -=．①当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解1x m n=-； ②当0m n -=，即m n =时，由于10≠，因此方程无解随练8、 已知关于x 的方程()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？ 【答案】 （1）1a =-；（2）1a =【解析】 原方程可整理为()()121a x a -=-．当10a -=，()210a -≠时，方程无解；当10a -=，()210a -=时，方程有无穷多解．一元一次方程的同解问题例题1、 若方程2x+1=﹣1的解也是关于x 的方程1﹣2（x ﹣a ）=2的解，则a 的值为__．【答案】 ﹣12【解析】 方程2x+1=﹣1， 解得：x=﹣1，代入方程得：1+2+2a=2，解得：a=﹣12，例题2、 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和方程3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值．【答案】 2711a =【解析】 关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，3151128x a x +--=的解为27221a x -=．由题意得，3272721a a -=，解得2711a =． 例题3、 如果方程42832x x -+-=-的解与关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解相同，求1a a-的值． 【答案】 1154a a -=-【解析】 方程42832x x -+-=-的解为10x =，关于x 的方程()431621x a x a -+=+-的解为52x a =-，因此5102a -=，所以4a =-，1154a a -=-． 随练1、 若关于x 的()40k m x ++=和()210k m x --=是关于x 的同解方程，则2km-的值是________【答案】 53-【解析】 由题意知，0k m +≠，20k m -≠．关于x 的()40k m x ++=的解为4x k m=-+，()210k m x --=的解为12x k m =-．由题意得，412k m k m -=+-，解得13k m =．含绝对值的一次方程例题1、 已知关于x 的方程()22mx m x +=-的解满足1102x --=，则m 的值是（ ） A.10或25B.10或25-C.10-或25D.10-或25-【答案】 A【解析】 本题考查的是含绝对值的方程．先由1102x --=， 得32x =或12x =-；再将32x =和12x =-分别代入()22mx m x +=-，求出10m =或25故选A ．例题2、 方程|2x+3|=1的解是_____． 【答案】 x=﹣1或x=﹣2【解析】 根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．解：当x ＜﹣32时，原方程化简为﹣2x ﹣3=1，解得x=﹣2，当x ≥﹣32时，原方程化简为2x+3=1，解得x=﹣1，综上所述：方程|2x+3|=1的解是x=﹣1或x=﹣2， 故答案为：x=﹣1或x=﹣2． 例题3、 解下列方程： （1）331x -= （2）120x +-= （3）6232x -+= （4）()311x x -=+（5）132132x --= （6）()121133x -+=【答案】 （1）43x =或23x =；（2）1x =或3x =-；（3）1x =-或5x =-；（4）2x =±；（5）2x =；（6）0x =或2x =．【解析】 （1）331x -=±，解得43x =或23x =；（2）12x +=±，解得1x =或3x =-； （3）32x +=±，解得1x =-或5x =-； （4）2x =，解得2x =±；（5）1102x -=，解得2x =；（6）11x -=±，解得0x =或2x =．随练1、 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m 、n 、k的大小关系是（ ） A.m k n >> B.n k m >> C.k m n >> D.m n k >>【答案】 D【解析】 由题意知，0m >、0n =、0k < 随练2、 解下列方程：（1）214x x -+= （2）()1311232x x x ---=+ （3）421x x +--=【答案】 （1）53x =或3x =-；（2）1613x =或423x =-；（3）12x =- 【解析】 （1）当210x -≥，即12x ≥时，原方程等价于214x x -+=，解得53x =；当210x -<，即12x <时，原方程等价于()214x x --+=，解得3x =-．（2）553163x x -=+，当13x ≥时，553163x x -=+，解得1613x =；当13x <时，551363x x -=+，解得423x =-．（3）利用零点分段法．当4x <-时，方程等价于()()421x x -++-=，无解；当42x -≤≤时，方程等价于()421x x ++-=，解得12x =-；当2x >时，方程等价于()421x x +--=，无解．拓展1、 已知a 是有理数，在下面4个命题： （1）方程0ax =的解是0x =．（2）方程ax a =的解是1x =．（3）方程1ax =的解是1x a=．（4）方程a x a =的解是1x =±． 其中，结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A【解析】 系数含有参数时，一定要考虑参数是否为0，分类讨论．当0a =时，均不成立，故答案为A ．2、 某同学在解关于x 的方程21133x x a-+=-去分母时，方程右边的1-没有乘以3，因而求得方程的解为2x =，试求a 的值，并求出方程的正确解． 【答案】 2a =，方程的正确解为0x =【解析】 先按照错误的方法（方程右边的1-没有乘以3）求出a 的值（2a =），然后再将2a =代入原方程求出方程的解．3、 我们规定：若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程为定解方程，例如：932x =的解为93322-=，则该方程932x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ；（2）若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值； （3）若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，求代数式()(){}()2212114322m n mn m m mn n n ⎡⎤⎡⎤-+---+--+-⎣⎦⎣⎦的值．【答案】 （1）4m =（2）2a =，1b =（3）149-【解析】 （1）由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2mx =，因此22mm -=，解得4m =．（2）由题意可知2x ab a =+-，由一元一次方程可知2ab ax +=，又因为方程的解为a ，因此2ab aa +=，2ab a a +-=解得2a =，1b =．（3）由题意可知4mn m +=，43mn n +=-，两式相减，得163m n -=．代入，求得原式149=-．4、 若方程3x －5＝1与方程2102a x--=有相同的解，则a 的值等于________．【答案】 2【解析】 暂无解析5、 已知关于x 的方程()()235231326kx x +++=有无数个解，求k 的值． 【答案】 52k =【解析】 原方程可整理为()4100k x -=，要使原方程有无数个解，则4100k -=，解得52k =．6、 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2136kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【答案】 5-【解析】 将1x =代入原方程，整理可得()472b k a +=-．由题意知，无论k 为何值，上式恒成立，即上述方程的解为任意数．因此40b +=，720a -=，所以72a =，4b =- 7、 当k 取何值时，关于x 的方程()315x kx +=-有不大于1的解．【答案】 1k ≥-或3k <-【解析】 解方程()315x kx +=-得23x k =+，根据题意得213k≤+，当30k +>时，23k ≤+，得1k ≥-；当30k +<时，23k ≥+，解得1k ≤-，所以3k <-．综上可得1k ≥-或3k <-8、 当整数m 取何值时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？【答案】 2,3m =【解析】 原方程可化简为()12m x -=，由于原方程有解，因此解为21x m =-．由题意知，21m -为正整数，且m为整数．因此11,2m -=，所以2,3m =9、 已知关于x 的方程5241x m x +=+和方程5281x m x +=+的解相同， （1）求m 的值； （2）求代数式()201320127225m m ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】 （1）12m =；（2）()20132012722255m m ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭【解析】 关于x 的方程5241x m x +=+的解为12x m =-，5281x m x +=+的解为213m x -=．由题意得，21123m m --=，解得12m =． 10、 解下列关于x 的方程：（1）6232x -+= （2）225x x ++= （3）1132x x -=- （4）237x x ++-= 【答案】 （1）1x =-或5x =-；（2）1x =；（3）4x =；（4）4x = 【解析】 （1）32x +=±，解得1x =-或5x =-；（2）当20x +≥，即2x ≥-时，方程等价于225x x ++=，解得1x =．当20x +<，即2x <-时，方程等价于()225x x -++=，解得7x =．因为72>-，舍去． （3）当1102x -≥，即2x ≥时，方程等价于1132x x -=-，解得4x =；当1102x -<，即2x <时，方程等价于1132x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得83x =，舍去． （4）利用零点分段法．当2x <-时，方程等价于()()237x x -+--=，解得3x =-； 当23x -≤≤时，方程等价于()237x x +--=，无解； 当3x >时，方程等价于237x x ++-=，解得4x =． 11、 解绝对值方程：1238412x x x ++=+- 【答案】 14x ≤-【解析】 原方程整理为4114x x +=--．即41x +的绝度值等于它的相反数，因此410x +≤，因此方程的解为14x ≤-．12、 若关于x 的方程1202x x b --+=有2个不同的解，则b 的取值范围为_____________．【答案】 1b <【解析】 该题考查的是含参绝对值方程． 当2x ≥时，原方程化简为22xb =-，即42x b =-，方程要有解，则必有422b -≥，所以，1b ≤； 当2x <时，原方程化简为322x b =+，即2433x b =+，方程要有解，则必有24233b +<，所以，1b <， 从而b 的取值范围是1b <．。
七年级数学一元一次方程
七年级数学一元一次方程一元一次方程是七年级数学中的重要内容。
它是数学中最基础也是最常用的代数表达式之一，在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍一元一次方程的定义、解法以及解决实际问题的应用。
一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为常数，x为未知数。
解一元一次方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。
二、解一元一次方程的方法1. 同加同减法原则同加同减法原则是解一元一次方程的基本方法之一。
根据同加同减法原则，可以将方程的左右两边同时加上或减去同一个数，使得方程的等式依然成立，从而消去方程中的某些项，简化计算。
2. 同乘同除法原则同乘同除法原则是解一元一次方程的另一个常用方法。
根据同乘同除法原则，可以将方程的左右两边同时乘以或除以同一个数，使得方程的等式依然成立，从而简化计算。
三、实际问题的应用一元一次方程在解决实际问题时起到了重要的作用。
下面以几个例子来说明一元一次方程在实际问题中的应用。
1. 问题一：班级花费账单李华和小明一起去超市购买了一些物品，总共花费了200元。
已知小明出了120元，而李华出的钱数是未知的。
根据此情况，我们可以列出如下的一元一次方程：x + 120 = 200通过解这个方程，我们可以得到李华出的钱数x是80元。
2. 问题二：速度问题某辆汽车从A地到B地的距离是120公里，已知汽车以每小时40公里的速度行驶。
现在要求计算汽车行驶的时间。
根据速度问题的公式：速度=距离/时间，我们可以列出如下的一元一次方程：40t = 120通过解这个方程，我们可以得到汽车行驶的时间t为3小时。
3. 问题三：年龄问题父亲的年龄是儿子年龄的3倍，而两人年龄之和是36岁。
现在要求计算父亲和儿子的年龄。
根据此情况，我们可以列出如下的一元一次方程：3x + x = 36通过解这个方程，我们可以得到父亲的年龄3x为27岁，儿子的年龄x为9岁。
七年级下册数学含参问题
七年级下册数学含参问题
摘要：
1.七年级下册数学含参问题的概念和意义
2.七年级下册数学含参问题的主要类型
3.七年级下册数学含参问题的解题技巧和方法
4.七年级下册数学含参问题的应用实例
正文：
【七年级下册数学含参问题的概念和意义】
七年级下册数学含参问题是指在数学问题中，含有一个或多个未知数的问题。
这种问题不仅在数学应用题中经常出现，而且在解决实际问题中也具有很大的意义。
【七年级下册数学含参问题的主要类型】
七年级下册数学含参问题主要包括以下几种类型：一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程、多元二次方程以及不等式等。
【七年级下册数学含参问题的解题技巧和方法】
对于七年级下册数学含参问题，我们可以采用以下几种解题技巧和方法：
1.代入法：将一个未知数用另一个未知数表示，然后代入方程求解。
2.消元法：通过加减消去一个未知数，从而求解另一个未知数。
3.图形法：通过画图，找到问题的关键点，从而解决问题。
4.列方程法：根据问题的实际意义，列出方程求解。
【七年级下册数学含参问题的应用实例】
七年级下册数学含参问题在实际问题中有广泛的应用，例如：
例题：一家书店购进教材和教辅两种书籍，教材每本售价30 元，教辅每本售价15 元。
已知售出教材和教辅共计150 本，共收入3300 元。
请问这家书店分别售出了多少本教材和教辅？
解答：我们可以通过列方程的方法解决这个问题。
含参一元一次方程解法
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若 是关于x的一元一次方程，则 ．
【巩固2】方程 去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
1.5课后习题
【演练1】解方程：
【演练2】解方程：
【演练3】⑴方程 与方程 的解相同，则a的值为．
⑵若关于x的方程 与 的解互为相反数，则 =．
若关于x的方程 和 ，求a得值．
【演练4】解关于x的方程：
【演练5】⑴已知关于x的方程 无解，那么 ，
．
若关于x的方程 有唯一解，则题中的参数应满足的条件是
【例6】⑴若方程 没有解，则a的值为．
⑵若方程 有无数解，则 的值是．
当 时，关于x的方程 是一元一次方程．若该方程的唯一解是 ，求p得值．
已知：关于 的方程 有无数多组解，试求 的值．
1.4绝对值方程
解绝对值方程的一般步骤： 分类讨论去绝对值； 分别求解两个方程； 综合两个方程的解； 验证．
【例7】解绝对值方程：
．
含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解法
含参一元一次方程的解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．易错点3：移项忘记变号．【巩固1是关于x的一元一次方程，则．【巩固2】方程去分母正确的是（）AB．CD【巩固3知识回顾基础巩固1.1一元一次方程的巧解求解一元一次方程的一般步骤是：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，的应用．具体归纳起来，巧解的方法主要有以下三种：⑴提取公因式；⑵对系数为分数的一元一次方程的系数进行裂项；⑶进行拆项和添项，从而化简原方程．【例1】⑴【例2】解方程：⑴⑵()()1123233211191313x x x-+-+=知识导航经典例题1.2 同解方程若两个一元一次方程的解相同，则称它们是同解方程．同解方程一般有两种解法： ⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．【例3】与有相同的解，求a 得值． ；⑵若是关于x 的同解方程，求的值．【例4】x 的一元一次方知识导航经典例题程，且它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？⑵当x的方程y的方程的解得2倍．1.3含参方程当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成的解根据的取值范围分类讨论．1．当时，方程有唯一解．2． 当时，方程有无数个解，解是任意数． 3．当时，方程无解．【例5】 解关于x的方程【例6】⑴若方程没有解，则a 的值为 ．⑵若方程有无数解，则的值是 ．时，关于x是一元一次方程．若该方程的唯p 得值．⑷已知：关于的方程的值．1.4 绝对值方程经典例题解绝对值方程的一般步骤：⑴分类讨论去绝对值；⑵分别求解两个方程；⑶综合两个方程的解；⑷验证．【例7】 解绝对值方程：⑴⑵1.5 课后习题【演练1】【演练2】经典例题【演练3】与方程的解相同，则a的值为．⑵若关于x则= ．⑶若关于x和a得值．【演练4】解关于x【演练5】⑴已知关于x无解，那么，．⑵若关于x的方程有唯一解，则题中的参数应满足的条件是．。
《含参一元一次方程100题》
含参一元一次方程100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元一次方程这一部分的计算能力。
大致分了五个模块：①一元一次方程概念相关（10题）；②同解问题（51题）；③整数解问题（13题）④方程解的情况（21题）⑤错解问题（5题）；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一一元一次方程概念相关方法总结：一元一次方程：指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。
“110”：1个未知数、未知数次数为1、未知数系数不为0一般步骤：①确定系数、次数；②使次数为1，系数不为0；③求解.易错总结：①不要忘记系数不为0；②计算要细心.例题解析：关于x的方程(a−1)x b−1−2=0是一元一次方程，则a,b的取值情况.解：∵(a−1)x b−1−2=0是关于x的一元一次方程∴a−1≠0且b−1=1……【次数为1，系数不为0】解得：a≠1，b=2巩固练习：1.x m−1−4=0是关于x的一元一次方程，那么m的值是多少？2.已知3x|n−1|+5=0为一元一次方程，则n的值是多少？3.关于x的方程(a−2)x|a|−1−2=0是一元一次方程，则a的值是多少？4.关于x的方程(a+2)x|a|−1−2=1是一元一次方程，则a的值是多少？5.若关于x的方程(m−1)x|m|−3=0是一元一次方程，则m的值是多少？6.若(m+3)x|m|−2+2=1是关于x的一元一次方程，则m的值为多少？7.已知方程(k−3)x|k|−2+5=k−4是关于x的一元一次方程，则k的值是多少？8.若方程(2a−1)x2−ax+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是多少？9.若方程(m2−1)x2+(m−1)x+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是多少？10.已知方程2+(k−2)x|k−1|+k−3=0是关于x的一元一次方程，求方程的解．模块二同解问题方法总结：若两个方程同解：①一个方程不含参数,另外一个方程含有参数：先求出一个方程的解，然后将该解代入另一方程；②两个方程都含有参数：分别求出两个方程的解，再令解相等求出参数的值。
(完整版)含参一元一次方程解法
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若 是关于x的一元一次方程，则 ．
【巩固2】方程 去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．解一元一次方程的一般步骤： 去分母； 去括号； 移项； 合并同类项； 未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例4】⑴若方程 与 有相同的解，求a得值．；
⑵若 和 是关于x的同解方程，求 的值．
【例5】⑴已知： 与 都是关于x的一元一次方程，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程 的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．
专题 含参一元一次方程
专题 含参一元一次方程题型一 同解问题1.若关于x 的方程5x−16=2|m |−x 与的解相同，那么m 的值是（ ） A. 1 B. ±1C. 2D. ±2 2.若关于x 的方程 5x−14=72与 8x−16=x +73−m 2 的解相同, 则m= . 3.若关于x 的方程 5x−16=73 与 x +412+2|m | 的解相同，则m= .4.若关于x 的方程 2x −1=3 与 1−3a−x 3=0 的解相同,则a= .题型二 整数解问题5.已知关于x 的一元一次方程 (m +12)x −1=6−12x 中，m 为整数，若方程的解是整数，则所有满足条件的m 取值之和为（ ）A. -3B. 0C. -4D. 4 6.已知关于x 的方程 3x−m 2−x+m 3= 56 有正整数解，则整数m 的最小值为 .7.若关于x 的方程ax+5=3x+1的解为正整数，则整数a 的值为 .8.若关于x 的一元一次方程3x−12+m =5 有正整数解，其中m 是正整数，求m 的值.题型三 方程解的个数问题9.已知关于x 的方程（a-1）x=b-2.（1）若该方程有唯一解，则a ，b 应满足的条件是 .（2）若该方程无解，则a ，b 应满足的条件是 .（3）若该方程有无数个解，则a ，b 满足的条件是 .10.若关于x 的绝对值方程2||x-1|-3|=a 只有三个解，则a= .11.若关于x 的方程ax-2=2bx+x 无解,则4b-2a= .12.若关于x 的方程2ax+x=3b+bx 有无数个解,则a+b= .题型四其它问题13.若关于x的两个一元一次方程 6−3(x+m)=0 和 4x+2n=5x−1 的解互为相反数，求 2m−4n−6 的值.14.若关于x的方程x+a2−a3= x 与方程 4x−2(3−x)+3=0 的解互为倒数，求a的值.15.已知关于x的方程12x+2=2(x−5)的解是关于x的方程 2(x−3)−b=−1 的解的2倍，求b的值.16．若无论k为何值，关于x的方程2kx+a3=2+x−bk6的解总是1，求a，b的值.17.已知 x=12是关于x的方程6（2x+m）=3m+2的解，求关于y的方程my+2=m（1-2y）的解.18.已知关于x的一元一次方程2023x+m=x-2023的解为x=6，求关于y的一元一次方程2023(5-y)-m=2028-y的解.19.小明在解关于x的方程2x−12=x+m2−1 去分母时，方程右边的-1没有乘2，因而求得方程的解为3，求m的值和方程的正确解.20.某同学在解关于x的方程 2−2x−43=3a−2x 时，误将-2x看作+2x，得方程的解为x=1. （1）求a的值；（2）求原方程的正确解.21.我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b-a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x=4的解为x=2，且2=4-2，则方程2x=4是差解方程.请根据上述规定解答下列问题：（1）判断3x=4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程5x=m+1是差解方程，求m的值.。
七年级数学上册人教版整式和一元一次方程含参问题(课堂学案及配套作业)(解析版)
整式和一元一次方程含参问题（原卷版）第一部分 教学案类型一 求单项式或多项式中指数或系数中的字母1．（2022秋•河北区期中）已知（m ﹣1）a |m +1|b 3是关于a 、b 的五次单项式，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣3D ．32．（2022秋•市南区）已知a ，b 满足|a ﹣2|+（b +3）2＝0，则单项式﹣5πx a ﹣b y 的系数和次数分别是（ ） A ．﹣5π，5B ．﹣5π，6C ．﹣5，7D ．﹣5，63．（2021秋•建华区校级期中）已知多项式（m +4）x |m |y 2+xy ﹣4x +1六次四项式，单项式5x 2n y 6﹣m与多项式的次数相同，（m ，n 是常数），则m n ＝ ．4．（2021秋•清镇市校级期中）多项式3x |m |y 2﹣（m +2）x +1是一个四次三项式，那么m ＝ ． 5．（2021秋•克东县校级期中）已知多项式x ﹣3xy m +1+x 3y ﹣3x 4﹣1是五次多项式，则m ＝ ．6．（2021秋•通城县期中）已知多项式﹣2m 3n 2﹣5中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数为c ，则a +b +c ＝ ．7．（2021秋•陇县期末）多项式12x |m|−(m +2)x +7是关于x 的二次三项式，则m ＝ ．二、求同类项中指数的字母及代数式8．（2022秋•武汉期中）若3a x ﹣1b 2与4a 3b y +2是同类项，则x ，y 的值分别是（ ）A ．x ＝4，y ＝0B ．x ＝4＝2C ．x ＝3，y ＝1D ．x ＝1，y ＝39．（2022秋•巴彦县期中）若﹣3x 2m y 3与2x 4y n 是同类项，则m n ＝（ ） A ．6B ．7C ．8D ．910．（2021秋•丰宁县期末）如果单项式﹣3x a +3y 2与2xy b﹣3能合并成一项，那么ab 的结果为（ ） A ．10B ．﹣10C ．﹣12D ．1211．（2022秋•营口期中）单项式2a m b 1﹣2n与a 3b 9的和是单项式，则（m +n ）2022＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．0或112．（2021秋•射阳县校级期末）若3x m +5y 2与23x 8y n +4的差是一个单项式，则代数式n m 的值为（ ） A ．﹣8B ．6C ．﹣6D ．8类型三 整式加减中的取值无关或不含某项问题13．（2021秋•八步区期末）x 2+ax ﹣2y +7﹣（bx 2﹣2x +9y ﹣1）的值与x 的取值无关，则b ﹣a 的值为（ ） A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．114．（2021秋•澄海区期末）若代数式ax 2+4x ﹣y +3﹣（2x 2﹣bx +5y ﹣1）的值与x 的取值无关，则a +b 的值为（ ） A ．6B ．﹣6C ．2D ．﹣215．（2021秋•吉安县期末）已知：A ＝3x 2+2xy +3y ﹣1，B ＝x 2﹣xy ． （1）计算：A ﹣3B ；（2）若（x +1）2+|y ﹣2|＝0，求A ﹣3B 的值； （3）若A ﹣3B 的值与y 的取值无关，求x 的值．16．（2021秋•五莲县期末）当k ＝ 时，多项式x 2+（k ﹣1）xy ﹣3y 2﹣2xy ﹣5中不含xy 项．类型四 求一元一次方程中指数或系数中的字母的值17．（2021秋•长沙期末）若（m ﹣3）x 2|m |﹣5﹣4m ＝0是关于x 的一元一次方程，求m 2﹣2m +1的值．18．（2021秋•巨野县期末）如果方程ax |a +1|+3＝0是关于x 的一元一次方程，则a 的值为 ． 19．（2021秋•阳信县期末）若（a ﹣3）x |a |﹣2﹣7＝0是一个关于x 的一元一次方程，则a 等于 ．类型五 两个一元一次方程的解相关问题20．（2021秋•和平县期末）已知关于x 的一元一次方程x 2020+5＝2020x +m 的解为x ＝2021，那么关于y 的一元一次方程10−y 2020−5＝2020（10﹣y ）﹣m 的解为 ．21．（2022秋•宿城区期中）关于x 的方程ax +4＝1﹣2x 的解恰好为方程2x ﹣1＝5的解，则a ＝ ．22．（2021秋•渭城区期末）已知关于x 的方程x−m 2=x +m3与方程x−12=3x ﹣2的解互为倒数，则m 的值为 ．23．（2022春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x ＝6和3x +9＝0为“友好方程”． （1）若关于x 的方程3x +m ＝0与方程2x ﹣6＝4是“友好方程”，求m 的值． （2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n ，求n 的值．六、一元一次方程的整数解问题24．（2021秋•巫溪县期末）从﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3中选一个数作为k 的值，使得关于x 的方程1−2x−k 4=2x+k3−x 的解为整数，则所有满足条件的k 的值的积为（ ） A ．﹣4B ．﹣12C ．18D ．3625．（2022秋•渝北区校级期中）若关于x 的方程5x ﹣3＝kx +4有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．226．（2021秋•监利市期末）已知关于x 的一元一次方程kx ＝4﹣x 的解为正整数，则满足条件的k 的正整数值是 ． 27．（2021秋•黄陂区期末）下列说法：①若x ＝2是关于x 的方程ax +b ＝0的解，则b ＝﹣2a ；②若a ＝2b ，则关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解为x =−12；③若a ≠b ，则关于x 的方程a （x ﹣1）＝b （x ﹣1）的解为x ＝1；④若2a +b ＝6（a 为正整数），且关于x 的方程ax +b ＝0的解为整数，则a 的值为1或2．其中一定正确的结论有 （填序号即可）． 七、一元一次方程的错解问题28．（2021秋•淮北期末）王涵同学在解关于x 的方程7a +x ＝18时，误将+x 看作﹣x ，得方程的解为x ＝﹣4，那么原方程的解为（ ） A ．x ＝4B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝﹣229．（2021秋•浦口区校级月考）某同学在解方程2x−13=x+a 3−2去分母时，方程右边的﹣2没有乘3x ＝2，试求a 的值，并求出原方程的正确解．八、无解、唯一解、无数解问题29．（2021秋•凤山县期末）若关于x 的方程2ax ﹣b ＝﹣12a +6x 无解，则a ，b 的值分别为（ ） A ．a ＝0，b ＝0B ．a ＝3，b ＝36C ．a ＝36，b ＝3D ．a ＝3，b ＝330．（2022春•上蔡县校级月考）若关于x 的方程mx +2＝n ﹣x 有无数解，则3m +n 的值为（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．以上答案都不对31．（2021秋•昌江区校级期末）（3a ﹣5b ）x 2+ax +b ﹣a ＝0是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x ＝ ．32．（2021秋•闽侯县期末）已知关于x 的一元一次方程kx+a 6−x−bk 3=2，其中a ，b ，k为常数．（1）当k ＝3，a ＝﹣1，b ＝1时，求该方程的解；（2）试说明当k ＝2时，原方程有无数多个解，并求出此时a +4b 的值； （3）若无论k 为何值时，该方程的解总是x ＝﹣3，求ab 的值．第二部分 配套作业1．（2021秋•文登区期末）若−13x m−3y 与2x 2y n﹣2是同类项，则（m ﹣2n ）2022的值为（ ）A ．2022B ．﹣2022C ．﹣1D ．12．（2021秋•逊克县期末）若代数式﹣x 6y 3与2x 2n y 3是同类项，则n 的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．63．（2022秋•西山区期中）若单项式a m ﹣1b 2与12a 2b ﹣n的和仍是单项式，则n m 的值是（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．84．（2022秋•金水区期中）2x 2+ax ﹣y ﹣（bx 2﹣5x +9y +3）的化简结果与x 的取值无关，则﹣a +b 的值为（ ） A ．7B ．﹣3C ．3D ．﹣75．（2021秋•泊头市期末）已知k 为整数，关于x 的方程（k +2）x ＝3有正整数解，则满足条件的k 的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x 的方程（a +1）x ＝a 2+1无解，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＝−1B ．a ＞−1C ．a ≠−1D ．任意实数7．（2021秋•冠县期末）若多项式m （m ﹣1）x 3+（m ﹣1）x +2是关于x 的一次多项式，则m 需满足的条件是 ．8．（2022秋•宿城区期中）如果多项式x 2+5ab +b 2+kab ﹣1不含ab 项，则k 的值为 ． 9．（2020秋•凤凰县期末）若（m +1）x |m |＝6是关于x 的一元一次方程，则m 等于 ． 10．（2021春•遂宁期末）关于x 的方程（k ﹣4）x |k |﹣3+1＝0是一元一次方程，则k 的值是 ．11．（2022•聊城模拟）已知关于x 的方程3a +x =x2−5的解为2，a 的值是 ． 12．（2022春•岳池县期中）已知方程2（x +1）＝3（x ﹣1）的解为a +2，则方程2（2x ﹣5）﹣3（x ﹣4）＝2a 的解为x ＝ ．13．（2021秋•科尔沁区期末）若关于x 的方程mx ＝3﹣x 的解为整数，则正整数m 的值为 ．14．（2019秋•梁园区期末）如果a ，b 为定值，关于x 的一次方程2kx+a 3−x−bk 6=2，无论k 为何值时，它的解总是1，则a +2b ＝ ． 15．（2022秋•秀屿区校级期末）如果方程x−43−8=−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求式子a ﹣a 2的值．16．（2021秋•建瓯市校级期中）已知关于x 的方程2（x +1）＝3m +1的解与方程5x +3＝﹣7的解互为相反数，求m 的值．17．（2021秋•巴南区期末）已知方程3x−52=5x−83的解满足等式m10−3(x−m)2=3x−m 4−25（3x +m ），求m 的值．18．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知方程2（x +1）＝3（x ﹣1）的解为a +2，求方程2[2（x +3）﹣3（x ﹣a ）]＝3a 的解．。
初一数学：含参一元一次方程
含参一元一次方程1 . （2017春•独山县校级期中）已知加-21+勿-1=0，则方程2m +x =n 的解是（）A . x = - 4B . x = - 3C . x = - 2D . x = - 12 . （2016•安徽自主招生）适合I2a +7I+I2a - 11=8的整数a 的值的个数有（）A .5B . 4C . 3D . 23 . （2017秋•江干区期末）解方程a 01 =- 1的步骤如下： 0.3 0.05 解：第一步：A = 3 - 1（分数的基本性质） 3 1 第二步：2x - 1=3（2x +8） - 3……（①）以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则.②等式性质一.③等式性质二.④合并同类项法则.请选择排序 完全正确的一个选项（）A .②①③④②B .②①③④③C .③①②④③D .③①④②③4 . （2018.富阳区一模）七年级一班的马虎同学在解关于x 的方程3 a - x =13时，误将-x 看成+x ，得方程的解x = -2，则原方程 正确的解为（）A .- 2B . 2C . - 1D . 122 5 . （2015秋•萧山区期末）已知a , b 为定值，关于x 的方程4 =1 -，无论k 为何值，它的解总是1 ,则a +b =.3 6 6 . （2016秋•萧山区期末）一题多解是拓展我们发散思维的重要策略.对于方程“4x - 3+6（3 -4x ）=7（4x - 3）”可以有多种不同的解 法，观察此方程，假设4x -3= y .（1）则原方程可变形为关于y 的方程：通过先求y 的值，从而可得x = ________________ ;⑵上述方法用到的数学思想是 ________7 . （2016秋•上城区校级期末）已知关于x 的方程kx =5 - x 有整数解，则整数k 的值为 -----8 . （2014秋•上城区期末）若-3是关于x 的方程mx - n =1（m 翔）的解，则关于x 的方程m （2x +1） - n - 1=0（m 刈）的解为 9 . （2014秋•萧山区期末）已知关于x 的方程吁*=』3的解是x =2，其中a #0且b #0，求代数式& - ^的值. 2 3b a10 . （2011秋•萧山区期末）已知关于％的方程2mx - 6=0+2）%有正整数解，则整数m 的值是 第三步：2x - 1=6x +24 - 3 (②) 第四步：2x - 6x =24 - 3+1……(③)第五步：-4x =22(④)第六步：x = - 11 ... (⑤)211. （2011 ・江西模拟）对于数a ,b , c , d ,规定一种运算"=洲-反，如（_°2）|=lx（ - 2） - 0x2= - 2 ,那么当（% + 1）（% + 2）, m | _（x -1）（%- 1）—27 时，人」％—-- -12. （2009•萧山区模拟）a .b,c.d为实数，先规定一种新的运算：口 :卜洲-be,那么*=2009时，x= ------------------------------- .13.定义a*b=ab+a+b ,若3*x=31 ,贝[]x 的值是 ______ .14.关于x的方程k -21 - ll=a恰有三个整数解，则a的值为----------15. （2017秋•竦州市期末）若关于x 一元二次方程T L%+2018=2%+m的解为x=2018 ,则关于y的一元二次方程20181 ）+2018=2（y+1 ）+m 的解为16. （2017秋•竦州市期末）对于实数〃、q ,我们用符号加,外表示〃,q两数中较小的数，如min{l , 2}=1 ,若m加{工4r, l}=x ,贝[]x= ----------------- .17. （2017秋•郸州区期末）规定：用{m表示大于m的最小整数，例如产}=3 , {4}=5 , { T.5}= T等；用[河表示不大于m的2最大整数，例如的=3 , [2]=2 , [ - 3.2]= -4 ,如果整数％满足关系式：3{%}+2印=23 ,则x= ---------------------218. （2014秋•镇海区期末）已知关于％的方程2mx - 5=（加+2）%有正整数解，则整数m的值是_____19. （2015秋•东阳市期末）关于％的方程皿T=1-%的解是整数，则整数加= ______ .3 220. （2014秋•海曙区期末）定义新运算a※匕满足：（a+b）^c=a^c+b, aXS+c）=a※匕-c ,并规定：1X1=5 ,则关于x的方程（1+4%）※1+1派（1+2%）=12 的解是％=21. （2014秋•乐清市校级月考）已知5x+3=8x - 3和融”J这两个方程的解是互为相反数，则«=• 6 322. （2014秋•上城区期中）设a为整数，且关于％的方程ax=4 - 2x的解为自然数，则«= --------23 . (2015秋•温州月考)方程%+ a + —+…+ ——"—— =2015的解是x= 1+2 1+2+3 1+2+…+201524 . （2011•浙江校级自主招生）方程x+4 + ——+...+ ----------- " ------- =2009的解是x= -------------1+2 1+2+3 1+2+3+…+200925 . （2013春•椒江区校级月考）若关于x方程3 x - 2a =10的解是关于x的方程2x-4 a =10的解的2倍，则a的值为26 . （2017秋•大东区期末）已知关于x的方程2ax=（a+1）x+3的解是正整数，则正整数a=27 . （2018春•普陀区期末）如果关于x的方程（m+2）x=8无解，那么m的取值范围是____28 . （2009秋•上城区期末）阅读下列文字后，解答问题：我们知道，对于关于x的方程ax=b，当a不等于0时，方程的解为x=h ;当a等于0 , b也等于0时，所有实数x都能使方程Q等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a等于0 ,而b不等于0时，没有任何x能满足方程使等式成立，此时，我们说方程无解．根据上述知识，判断a , b为何值时，关于x的方程a（4x - 2）-3b=8x - 7的解为全体实数？a , b为何值时，无解.29.(2016秋•余杭区期末懈方程2{x -1[x -1(x -2)]-2}=x+3 .30 . (2015秋•萧山区期末)已知关于x的方程-2x+a=5的解和方程出-2=H的解相同，求字母a的值，并写出方程的解. 3 231 . (2015秋•拱墅区期末)解方程：(1)4x+2= - 1(12 - 3x) (2)2(1 - *°^)=小3 0.3 532 . (2014秋•上城区校级期中)已知k是不大于10的正整数，试找出一个k的值，使关于x的方程5x - 6k=1(x-5k - 1)的解也2是正整数，并求出此时方程的解.33 . (2016•拱墅区二模)现有四个整式：x2 -1 , 1 , $ ,- 6 . 25(1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成_______ 个方程;⑵请列出⑴中所有的一元一次方程，并解方程.34 . (2014秋•江干区校级月考)已知关于x的方程6x+2a - 1=5x和方程4x+2a=7x +1的解相同，求：(1)a的值；⑵代数式(a+3)2012x(2a - 9)2013 的值•735 .已知关于x的方程2[第2(汽&)] = 3讶口方 a = 1有相同的解，求a与方程的解. 4 9 1236 . (2011秋•慈溪市校级月考)请你仔细阅读下列材料：让我们来规定一种运算：;*|= ad- bc，例如|：：|=2x5 - 3x4=10 C u4 5-12= - 2 ,再如|： 4|=4 x-2，按照这种运算的规定，请你解答下列各个问题：(1)填空|1 1|= ----------- (2)x= ------------------- 时，|： 12 1=0 (3)求x的值，使「31 2| = |： 2 -37 . （2014秋•天台县期末）我们知道分数工写成小数形式即。
七年级上-含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程知识集结知识元一元一次方程的定义知识讲解根据一元一次方程的定义求字母参数的值.例题精讲一元一次方程的定义例1.下列方程中，是一元一次方程的是（）.A．﹣x+2y＝3B．x2﹣3x＝6C．x＝0D．＝1例2.若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是关于x的一元一次方程，则m的值是（）.A．1B．任何数C．2D．1或2例3.'已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．'一元一次方程的解知识讲解已知一元一次方程的解，求一元一次方程中未知系数．例题精讲一元一次方程的解例1.x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（）.A．﹣2B．2C．﹣1D．1例2.当k__________时，关于x的方程2x+3＝k的解为正数．例3.'已知，x＝2是方程的解，求代数式m2﹣（6m+2）的值．'解一元一次方程知识讲解解一元一次方程过程中出错，求字母参数的值或正确的解．例题精讲解一元一次方程例1.解方程时，去分母后可以得到（）A．1﹣x﹣3＝3x B．6﹣2x﹣6＝3xC．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x例2.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是y﹣＝y﹣■，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是：y＝﹣6，小华很快补好了这个常数，并迅速完成了作业．这个常数是（）.A．﹣4B．3C．﹣4D．4例3.'解下列一元一次方程：．'同解方程知识讲解已知两个一元一次方程是同解方程，一个方程不含参数，求另一个方程中未知系数．例题精讲同解方程例1.如果方程6x+3a＝22与方程3x+5＝11的解相同，那么a＝（）.A．B．C．D．例2.'已知两个方程3（x+2）＝5x和4x﹣3（a﹣x）＝6x﹣7（a﹣x）有相同的解，求a的值是．'例3.'已知：方程2﹣3（x+1）＝5﹣x的解与关于x的方程﹣3k﹣2＝2x的解互为倒数，求k的值．'一元一次方程与新定义知识讲解定义一种新的运算法则，根据新定义列出一元一次方程，再求解例题精讲一元一次方程与新定义例1.对于实数a、b，规定a⊕b＝a﹣2b，若4⊕（x﹣3）＝2，则x的值为（）.D．4A．﹣2B．﹣C．例2.'我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：2x ＝4的解为2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．请根据上边规定解答下列问题：（1）判断3x＝4.5是否是差解方程；（2）若关于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．'含绝对值符号的一元一次方程知识讲解在解含绝对值符号的一元一次方程时要注意分两种情况进行讨论．例题精讲含绝对值符号的一元一次方程例1.方程|2x﹣1|﹣a＝0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）.A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a＜1C．0＜a＜1D．＜a＜1例2.满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）.A．4个B．3个C．2个D．5个例3.已知关于x的方程mx+3＝2（x﹣m）的解满足|x﹣2|﹣3＝0，则m的值为练习题单选题练习1.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是y﹣＝y﹣■，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是：y＝﹣6，小华很快补好了这个常数，并迅速完成了作业．这个常数是（）.A．﹣4B．3C．﹣4D．4练习2.已知关于x的方程mx+3＝2（x﹣m）的解满足|x﹣2|﹣3＝0，则m的值为（）. A．﹣5B．1C．5或﹣1D．﹣5或1练习3.某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处数字看错得x＝，他把□处看成了（）. A．3B．﹣9C．8D．﹣8练习4.下列解方程过程中，变形正确的是（）.A．由2x﹣1＝3得2x＝3﹣1B．由2x﹣3（x+4）＝5得2x﹣3x﹣4＝5C．由﹣75x＝76得x＝D．由2x﹣（x﹣1）＝1得2x﹣x＝0练习5.对于实数a、b，规定a⊕b＝a﹣2b，若4⊕（x﹣3）＝2，则x的值为（）.D．4A．﹣2B．C．练习6.下列方程是一元一次方程的是（）.A．x+3＝y B．+3＝2xC．2y＝5+y D．x2﹣4x+4＝0练习7.满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）.A．4个B．3个C．2个D．5个填空题练习1.如果|a+3|＝1，那么a＝．练习2.若关于x的方程3x﹣2a＝0与2x+3a﹣13＝0的解相同，则这两个方程的解为x＝．解答题练习1.'阅读下列例题的解答，并解方程．例：解方程：|x﹣1|＝3．解：根据绝对值的意义，原方程可化为x﹣1＝3…①或x﹣1＝﹣3…②解方程①得x＝4，解方程②得x＝﹣2，所以，原方程的解是x＝4或x＝﹣2．请仿照上面例题的解答方法，解方程：|2x+1|＝5．'练习2.'已知，x＝2是方程的解，求代数式m2﹣（6m+2）的值．'练习3.'若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．（1）试求（﹣2）※3的值；（2）若（﹣5）※x＝﹣2﹣x，求x的值．'练习4.'已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．'练习5.'已知：方程2﹣3（x+1）＝5﹣x的解与关于x的方程﹣3k﹣2＝2x的解互为倒数，求k的值．'练习6.'[现场学习]定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2．|2x﹣1|＝3，﹣x＝1，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．[例]解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝．解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．经检验可知，原方程的解是x＝2，x＝﹣1．[解决问题]解方程：﹣x＝1．'。
含参的一元一次方程
k 2 1、 2、 4 k 2、0、1、 3、 4、 6
4 为整数 k2 k 2 1、 2、 4
整数解问题
【变式训练】
关于k为整数，则使得方程k_、_1_. 解： kx 9x 5 3
x 8 k 9 8 为整数
k 9 k 9 1、 2、 4、 8 又 k 也为整数 k 8、7、5、1
2m 2m 1 3
m1 x1
4
2
同解问题
【经典例题】
已知关于x的方程x 2m 0与 3x 2m 6x 1 的解相同，求m的 值和方程的解. 解法二： x 2m 0 x 2m
解法三：
将 x 2m 代入 3x 2m 6x 1
得 3 2m 2m 6 2m 1 x 2m 0 2m x
整数解问题
【拓展提升】
已知a为正整数，关于x的方程 3 x a 4 x 41的解为整数，则a的最
2
5
小值为___1___.
解： 3 x 4 x a 41 25 7 x a 41 10 x 10(a 41) 7
a 41为7的最小正倍数
即 a 41 42
a 1
整数解问题
【总结归纳】 解整数解方程的一般步骤 1. 求带有参数的方程的解 2. 根据解的表达式，找出分子(分母)中已知数的约数(倍数) 3. 建立方程求解参数(待定系数)
03 解的个数问题
解的个数问题
【知识讲解】
解关于x的方程：ax b 0
解： ax b 当a 0 时，方程为一元一次方程，有一个解为 x b a 当a 0 时，b 0 0 x 0 方程有无数个解
当a 0 时，b 0
x取任意值等式均成立 0 x b 方程无解
x取任意值等式均不成立
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含参一元一次方程1．(2017春•独山县校级期中)已知|m﹣2|+√n−1=0，则方程2m+x=n的解是()A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣12．(2016•安徽自主招生)适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有()A．5 B．4 C．3 D．23．(2017秋•江干区期末)解方程0.2x−0.10.3=0.1x+0.40.05﹣1的步骤如下：解：第一步：2x−13=2x+81﹣1(分数的基本性质)第二步：2x﹣1=3(2x+8)﹣3……(①)第三步：2x﹣1=6x+24﹣3……(②)第四步：2x﹣6x=24﹣3+1……(③)第五步：﹣4x=22(④)第六步：x=﹣112……(⑤)以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项()A．②①③④②B．②①③④③C．③①②④③D．③①④②③4．(2018•富阳区一模)七年级一班的马虎同学在解关于x的方程3a﹣x=13时，误将﹣x看成+x，得方程的解x=﹣2，则原方程正确的解为()A．﹣2 B．2 C．﹣12D．125．(2015秋•萧山区期末)已知a，b为定值，关于x的方程kx+a3=1﹣2x+bk6，无论k为何值，它的解总是1，则a+b=．6．(2016秋•萧山区期末)一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“4x﹣3+6(3﹣4x)=7(4x﹣3)”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x﹣3=y．(1)则原方程可变形为关于y的方程：，通过先求y的值，从而可得x=；(2)上述方法用到的数学思想是．7．(2016秋•上城区校级期末)已知关于x的方程kx=5﹣x有整数解，则整数k的值为．8．(2014秋•上城区期末)若﹣3是关于x的方程mx﹣n=1(m≠0)的解，则关于x的方程m(2x+1)﹣n﹣1=0(m≠0)的解为．9．(2014秋•萧山区期末)已知关于x的方程a−x2=bx−33的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式ab﹣ba的值．10．(2011秋•萧山区期末)已知关于x 的方程2mx ﹣6=(m +2)x 有正整数解，则整数m 的值是 ．11．(2011•江西模拟)对于数a ，b ，c ，d ，规定一种运算|a b c d |=ad ﹣bc ，如|102(−2)|=1×(﹣2)﹣0×2=﹣2，那么当|(x +1)(x +2)(x −1)(x −1)|=27时，则x = ．12．(2009•萧山区模拟)a ，b ，c ，d 为实数，先规定一种新的运算：|a c b d |=ad ﹣bc ，那么|241−x 5|=2009时，x = ．13．定义a *b =ab +a +b ，若3*x =31，则x 的值是 ．14．关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|=a 恰有三个整数解，则a 的值为 ．15．(2017秋•嵊州市期末)若关于x 一元二次方程12018x +2018=2x +m 的解为x =2018，则关于y 的一元二次方程12018(y +1)+2018=2(y +1)+m 的解为 ．16．(2017秋•嵊州市期末)对于实数p 、q ，我们用符号min {p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min {1，2}=1，若min {4x+12，1}=x ，则x = ．17．(2017秋•鄞州区期末)规定：用{m }表示大于m 的最小整数，例如{52}=3，{4}=5，{﹣1.5}=﹣1等；用[m ]表示不大于m 的最大整数，例如[72]=3，[2]=2，[﹣3.2]=﹣4，如果整数x 满足关系式：3{x }+2[x ]=23，则x = ．18．(2014秋•镇海区期末)已知关于x 的方程2mx ﹣5=(m +2)x 有正整数解，则整数m 的值是 ．19．(2015秋•东阳市期末)关于x 的方程mx−33=1﹣x 2的解是整数，则整数m = ．20．(2014秋•海曙区期末)定义新运算a ※b 满足：(a +b )※c =a ※c +b ，a ※(b +c )=a ※b ﹣c ，并规定：1※1=5，则关于x 的方程(1+4x )※1+1※(1+2x )=12的解是x = ．21．(2014秋•乐清市校级月考)已知5x +3=8x ﹣3和5x+a 6=73这两个方程的解是互为相反数，则a = ．22．(2014秋•上城区期中)设a 为整数，且关于x 的方程ax =4﹣2x 的解为自然数，则a = ．23．(2015秋•温州月考)方程x +x 1+2+x 1+2+3+⋯+x 1+2+⋯+2015=2015的解是x = ．24．(2011•浙江校级自主招生)方程x +x 1+2+x 1+2+3+…+x 1+2+3+⋯+2009=2009的解是x = ．25．(2013春•椒江区校级月考)若关于x 方程3x ﹣2a =10的解是关于x 的方程2x ﹣4a =10的解的2倍，则a 的值为 ．26．(2017秋•大东区期末)已知关于x 的方程2ax =(a +1)x +3的解是正整数，则正整数a = ．27．(2018春•普陀区期末)如果关于x 的方程(m +2)x =8无解，那么m 的取值范围是 ．28．(2009秋•上城区期末)阅读下列文字后，解答问题：我们知道，对于关于x 的方程ax =b ，当a 不等于0时，方程的解为x =b a ；当a 等于0，b 也等于0时，所有实数x 都能使方程等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a 等于0，而b 不等于0时，没有任何x 能满足方程使等式成立，此时，我们说方程无解．根据上述知识，判断a ，b 为何值时，关于x 的方程a (4x ﹣2)﹣3b =8x ﹣7的解为全体实数？a ，b 为何值时，无解．29．(2016秋•余杭区期末)解方程 12{x ﹣13[x ﹣14(x ﹣23)]﹣32}=x +34．30．(2015秋•萧山区期末)已知关于x 的方程﹣2x +a =5的解和方程x−43﹣2=a−12的解相同，求字母a 的值，并写出方程的解．31．(2015秋•拱墅区期末)解方程：(1)4x +2=﹣13(12﹣3x ) (2)2(1﹣x+0.10.3)=2−3x 5．32．(2014秋•上城区校级期中)已知k 是不大于10的正整数，试找出一个k 的值，使关于x 的方程5x ﹣6k =12(x ﹣5k ﹣1)的解也是正整数，并求出此时方程的解．33．(2016•拱墅区二模)现有四个整式：x 2﹣1，12，x+15，﹣6． (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成 个方程；(2)请列出(1)中所有的一元一次方程，并解方程．34．(2014秋•江干区校级月考)已知关于x 的方程6x +2a ﹣1=5x 和方程4x +2a =7x +1的解相同，求：(1)a 的值；(2)代数式(a +3)2012×(2a ﹣97)2013的值．35．已知关于x 的方程2[x −2(x −a 4)]=3x 和x+a 9−1−3x 12=1有相同的解，求a 与方程的解．36．(2011秋•慈溪市校级月考)请你仔细阅读下列材料：让我们来规定一种运算：|a b c d |=ad ﹣bc ，例如|2345|=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，再如|x 214|=4x ﹣2，按照这种运算的规定，请你解答下列各个问题： (1)填空|−12−11|= (2)x = 时，|x 1−x 12|=0 (3)求x 的值，使|x −1233|=|x −21−1|．37．(2014秋•天台县期末)我们知道分数13写成小数形式即0.3，反过来，无限循环小数0.3⋅写成分数形式即13．事实上，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．以0.7⋅为例：设0.7⋅=x ，即：x =0.777…，则10x =7.777…；所以10x ﹣x =7．解方程得：x =79．请模仿上述方法，将0.8⋅9⋅写成分数形式．38．(2014秋•象山县校级期中)小明在解方程2x +(2﹣5a )÷8=14(x 为未知数)时，误将“÷”号看作“+”，得方程的解为x =﹣3，请求出原方程的解．39．若方程253x −m =512x +139有一个正整数解，则m 取的最小正数是多少？并求出相应的解．40．(2017秋•句容市月考)m 为何值时，关于x 的方程3m +4x =1+3x 的解比关于x 的方程2x−m 3﹣x−12=1的解大2．41．(2015秋•禹州市期末)已知关于x 的方程2x ﹣a =1与方程2x−12=x+a 3﹣a 的解的和为114，求a 的值．42．(2016秋•江阴市校级月考)已知关于x 的方程x−m 2=x +m 3与方程4y−15=2y+13﹣0.6的解互为倒数，求m 的值．43．(2017秋•凉州区期末)当m 为何值时，关于x 的方程5m +12x =6+x 的解比关于x 的方程x (m +1)=m (1+x )的解大2．44．(2017秋•东台市月考)已知关于x 的方程2ax =(a +1)x +6，则当整数a 为何值时，方程的解为正整数？45．(2017秋•江阴市期中)当m 为何值时，关于x 的方程3x +m =2x +7的解比关于x 的方程4(x ﹣2)=3(x +m )的解大9？46．(2016春•巴州区月考)m 为何值时，关于x 的方程4x ﹣m =2x +5的解比2(x ﹣m )=3(x ﹣2)﹣1的解小2．47．(2013秋•相城区期末)小明做作业时，不小心将方程中x−22﹣1=4x 3+●的一个常数污染了看不清楚，怎么办呢？ (1)小红告诉他该方程的解是x =3，那么这个常数应是多少呢？(2)小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，请你试求该方程的解．(友情提醒：设这个常数为m ．)48．(2015春•资中县月考)已知关于x 的方程9x ﹣3=kx +10．(1)若这个方程的解是2，求k 的值；(2)当整数k 为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解．49．(2015秋•盐城校级月考)已知关于x 的方程3a ﹣x =x 2+3． (1)若x =2，求代数式a 2﹣2a +1的值．(2)已知关于x 的方程x+a 2=2x−a 3的解比方程3a ﹣x =x 2+3的解小3，试求a 的值．50．若关于x的方程(3x+2)m+(2x+3)n+x﹣1=0有无数多个解，求实数m，n的值．。