季节性时间序列模型
季节模型原理
季节模型原理季节模型的原理解析什么是季节模型？季节模型是用于分析和预测时间序列数据（如销售数据、股票价格等）中的季节性变动的一种统计模型。
它可以帮助我们了解某个现象在不同季节中的表现，并预测未来的趋势。
季节模型的基本原理季节模型基于以下两个基本原理来进行分析：1. 季节性变动时间序列数据中往往存在一定的季节性变动，即某些现象在特定季节或时间段中表现出一定的规律性。
例如，零售业中的销售额在每年的春节和圣诞节期间通常会大幅增长，而在其他时间段则相对较平稳。
季节性变动可能是由于天气、节假日、学校开学等因素的影响。
2. 周期性变动除了季节性变动外，时间序列数据还可能存在一定的周期性变动，即某些现象在一定的时间长度内呈现出重复的模式。
例如，股票市场往往存在一定的周期性波动，一般呈现出7天、30天、365天这样的周期。
周期性变动可能是由于经济周期或其他影响因素的影响。
季节模型可以应用于多个领域，帮助分析和预测各种季节性变动的现象。
以下是一些常见的应用领域：•零售业：通过分析历史销售数据的季节性模式，可以预测未来几个季度的销售趋势，从而进行合理的库存管理和促销活动安排。
•旅游业：通过分析过去几年不同季节的旅游需求变化，可以预测未来季度的旅游需求，并根据需求波动进行优化资源配置和价格调整。
•股票市场：通过分析历史交易数据中的周期性变动，可以预测未来股票价格的趋势，从而指导投资决策。
季节模型的建模方法季节模型的建模方法主要包括以下几个步骤：1. 数据收集与准备首先，需要收集相关的时间序列数据，并进行数据清洗和准备工作。
这包括处理缺失值、异常值和噪声等，确保数据的质量。
2. 季节性分析接下来，需要进行季节性分析，找出数据中的季节性模式。
常用的方法包括绘制季节性曲线、计算季节指数和进行分解。
在了解了数据的季节性模式后，可以选择合适的季节模型进行建立。
常用的季节模型包括季节指数法、季节ARIMA模型和季节回归模型等。
4. 模型评估与预测建立季节模型后，需要对模型进行评估，并进行预测。
季节时间序列SARIMA模型
12Lnyt= (1+1 L) (1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 【例】(1-1.20L+0.66 L2) (1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2) (1-0.95L4)vt
(14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.9)
季节时间序列SARIMA模型
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包 括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序 列。经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周 度时间序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在 以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额 比其他季度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model) ，用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（ multiplicative seasonal model） 。因为模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。 ● SARIMA 方法可以为任何周期的经济时间序列建模。
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
● 对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转 换成一个平稳的序列。 ● 若原序列长度用 T 表示， 经过一次季节差分和一次非季节差分， 序列将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
季节性时间序列模型
季节性时间序列模型季节性时间序列模型通常包括四个主要组成部分：趋势、周期、季节和残差。
趋势表示数据的长期增长或下降趋势，可以是线性或非线性的。
周期表示数据中的循环模式，例如月度或年度循环。
季节表示数据在特定季节中的重复模式，例如每年夏季销售增长。
残差表示无法通过趋势、周期和季节解释的部分，即剩余误差。
为了建立季节性时间序列模型，首先需要对数据进行季节性分解，以提取趋势、周期和季节成分。
常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一系列连续时间段内的平均值来平滑数据，并提取趋势和周期成分。
指数平滑法则通过加权计算最近一段时间内的数据，赋予更高的权重，以反映近期数据的影响力，进而提取趋势成分。
一旦趋势、周期和季节成分被提取，可以使用这些成分来预测未来的值。
最常用的方法是加法模型和乘法模型。
加法模型中，趋势、周期和季节成分相加得到预测值。
乘法模型中，趋势、周期和季节成分相乘得到预测值。
具体选择哪种模型取决于数据的性质。
季节性时间序列模型还可以通过调整模型参数和增加复杂度来提高预测性能。
常用的技术包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。
这些模型通过考虑多个时间点的数据来提高预测的准确性。
季节性时间序列模型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在销售领域，可以使用季节性时间序列模型预测未来几个月的销售量，以制定合理的库存管理策略。
在经济学中，可以使用该模型预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府的宏观调控政策。
然而，季节性时间序列模型也面临一些挑战和限制。
首先，它依赖于数据中的季节性模式，如果季节性模式发生变化，则模型的准确性可能会下降。
其次，模型的复杂度和参数调整可能会带来计算上的困难。
此外，模型所能提供的准确度也取决于数据的质量和可用性。
总的来说，季节性时间序列模型是一种强大的工具，可以用于分析和预测数据中的季节性变化。
通过合理的调整和选择模型参数，可以提高预测的准确性。
时间序列计量经济学模型概述
时间序列计量经济学模型概述时间序列计量经济学模型是在经济学研究中广泛使用的一种方法，用于分析经济变量随时间的变化。
该模型基于时间序列数据，即经济变量在一段时间内的观测值。
时间序列计量经济学模型的核心是建立经济变量之间的关系，以解释和预测经济现象的变化。
其中最常用的模型是自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARCH）和季节性时间序列模型。
自回归移动平均模型（ARMA）是一个包含自回归项和移动平均项的线性模型。
该模型以过去的观测值和随机项为输入，预测当前观测值。
ARMA模型基于假设，即经济变量的行为受到历史观测值的影响。
自回归条件异方差模型（ARCH）是一种考虑了随时间变化方差的模型。
该模型通过引入一个条件异方差项，模拟经济变量中的波动性。
ARCH模型的应用范围广泛，特别是在金融市场波动性分析中。
季节性时间序列模型用于分析具有明显季节性特征的经济变量，如销售额、就业人数等。
这些模型通常基于季节、趋势和随机成分的组合，以预测未来观测值。
在建立时间序列计量经济学模型时，常常需要进行模型识别、参数估计和模型诊断等步骤。
识别模型的目标是确定适当的模型结构，参数估计则是利用历史数据估计模型的参数值。
模型诊断用于检验模型的拟合程度和误差分布是否符合模型假设。
时间序列计量经济学模型在经济研究中有广泛的应用，例如预测未来经济指标、分析经济周期和波动性、评估政策效果等。
它提供了一种量化的方法，使经济学家可以更好地理解和解释经济变量的演变。
时间序列计量经济学模型是经济学研究中一种重要的统计工具，广泛应用于宏观经济、金融市场和企业经营等领域。
它可以帮助我们理解和解释经济变量随时间的变化规律，进行预测和政策分析。
本文将进一步探讨时间序列计量经济学模型的相关概念和应用。
在构建时间序列计量经济学模型之前，首先需要了解时间序列数据的特点。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，通常具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。
第八章季节性时间序列模型
n
表4.1 单变量时间序列观测数据表
n 例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
第八章季节性时间序列模型
n 二、季节时间序列的重要特征 n 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
n 可见当得到样本的自相关函数后，各滑动平均参数的矩 法估计式也就不难得到了。
n 更一般的情形，如果一个时间序列服从模型
n
n
(8.18)
n 其中，
。整理后可以看出该时间
序列模型是疏系数MA(ms+q)，可以求出其自相关函数，
2348 2454.9 2881.7
1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2
2326 2286.1 2314.6 2443.1
2536 2652.2 3131.4
1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8
2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7
n 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值
n 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
第八章季节性时间序列模型源自例1 季节指数的计算第八章季节性时间序列模型
季节指数图
第八章季节性时间序列模型
二、综合分析
n 常用综合分析模型
n 加法模型
n 乘法模型
n 混合模型
个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先
第八章 季节性时间序列分析方法
81❝§8.1 季节性时间序列的重要特征82❝§8.2 季节性时间序列模型❝§8.3 季节性检验❝§8.4 季节性时间序列模型的建立所谓是指具有某种周期性变化季节性时间序列，是指具有某种周期性变化规律的随机序列，并且这种周期性的变化规律往往是由于季节变化引起由于季节变化引起。
如果一个随机序列经过个时间间隔后观测数据呈现相似性比如同处于波峰或波谷则我们称该序S 呈现相似性，比如同处于波峰或波谷，则我们称该序列具有以为周期的周期特征，并称其为季节性时S 间序列，为季节长度。
S季节性时间序列存在着规则的周期如果我们把季节性时间序列存在着规则的周期，如果我们把原序列按周期重新排列，即可得到一个所谓的二维表。
对于季节性时间序列按周期进行重新排列是极其有益的不仅有助于考察同周期点的变化情况加有益的，不仅有助于考察同一周期点的变化情况、加深对序列周期性的理解，而且对于形成建模思想和理解季节模型的结构也都是很有帮助的。
影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外❝影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，往往还存在趋势变动和随机变动等。
t t t tX S T I =++❝研究季节性时间序列的目的，就是分解影响经济指标变动的季节因素、趋势因素和随机因素，从而了解它们对经济的影响。
❝1. 简单季节模型❝2. 乘积季节模型季节性时间序列表现出也就是说时间 同期相关性，也就是说时间相隔为的两个时间点上的随机变量有较强的相关性。
比如对于月度数据S 12比如，对于月度数据则与相关性较强。
我们可以利用这种同期相关性在与之12,S =t X 12t X -t X 12t X -间进行拟合。
简单季节模型通过简单的趋势差分季节差分之通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常表示如下：()(1)(),(*)S S D St tB B X B aΦ-=ΘSAR算子其中为白噪声序列,{}ta2()1,S S S pSB B B BΦ=-Φ-Φ--Φ12212()1.pS S S qSqB B B BΘ=-Θ-Θ--ΘSMA算子称（*）为简单季节模型，或季节性自回归求和移动SARIMA p D q平均模型，简记为模型。
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
第七章__季节性时间序列分析方法
三、季节性模型的建模方法
利用B－J建模型方法来建立季节性时间序 列模型，首先需要判明周期性，即S的取 值，然后根据自相关和偏自相关函数提 供的信息来判别模型的类型（AR、MA 和ARMA）和阶数，最后进行参数估计 和检验，具体步骤可概括如下：
第一步，对时间序列进行差分和季节差分以得到 一个平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函 数，选择一个暂定（尝试性的）模型。 第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值 求得模型的初始估计值。并将这些估计值作为 最小二乘估计的初始值，对模型参数进行最小 二乘估计。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余进行适应 性检验，决定是否接受暂定模型。当模型的适 应性检验表明暂定模型不是最优模型时，可根
2.(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 )at
显然这个模型也是由两个模型组合而成：一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的资料之间 的相关关系；另一个是 et (1 1 B)at 它表示同年不同月份 之间几乎不存在依赖关系，但受前一期扰动的影响，即时间 序列资料消除了季节因素之后适合一个MA（ 1 ）模型。
推而广之，季节模型的 ARMA形式 U ( B S )Wt V ( B S )et
D 或 U ( B S ) S X t V ( B S )et
(7.1.5) (7.1.6)
其中， U ( B S ) 1 u1 B S u2 B 2 S u p B pS V ( B S ) 1 v1 B S v2 B 2 S vq B qS 这里，et 是原序列消除了周期点 之间相关部分（即季节 分量）之后 的剩余序列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上 的相关部分，作为响应 系统，除了不同周期的 同一周期点之间具有一 定相关 随机季节模型有一定的 不足，在一定程度上说 它是一个不完备的模型 。
季节时间序列模型
乘积季节模型拟合效果图
黑点为序列观察值，红线为模型拟合值
乘积季节模型
使用场合：
季节序列既有季节效应又有长期趋势效应
模型结构： ARIMA (p,d,q)×(P,D,Q)
BU
BS
d
D S
X
t
B V
BS
t
d
1
B
d
，
D S
1 BS
D
其中
U
V
BS BS
1 1BS 2B2S 1 1BS 2B2S
P B PS Q BQS
季节时间序列的重要特征表现为周期性。
在一个序列中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周期特性。
一般，季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料的周期 表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或5天。
处理季节性时间序列的一个重要工具：
1BS
D
Xt V
BS
t
U BS 11BS 2B2S PBPS
V BS 11BS 2B2S QBQS
消除了序列在 不同周期相同 周期点上的季 节相关成分
D为季节差分阶数，P为季节自回归的阶数，Q 为季节移
动平均的阶数
U(BS)为季节自回归多项式， V(BS)为季节移动平均多项式
EVIEWS上的实现： i S A R iS , j S M A jS
(B)
பைடு நூலகம்
(B)
1 1
1B 1B
2 B 2 2B2
pBp qBq
E V IE W S 实 现 ：
i S A R iS i S M A iS i A R i i M A i
季节变异性分析与统计学中的时间序列模型
季节变异性分析与统计学中的时间序列模型时间序列是统计学中一种重要的数据类型，它描述了一系列按时间顺序排列的数据点。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的趋势、周期性和季节性变化。
其中，季节变异性是指数据在一年内按照季节性规律变化的特征。
在统计学中，时间序列模型被广泛应用于季节变异性分析。
一、季节变异性的定义和特征季节变异性是指数据在一年内按照季节性规律变化的特征。
这种变异性往往与自然环境、人们的生活习惯以及经济因素等相关。
例如，冬季的销售额可能会因为节日购物季的到来而增加，而夏季的销售额可能会因为人们购买夏季用品而增加。
季节变异性的存在使得数据在不同季节之间具有不同的均值和方差，因此需要采用适当的统计方法进行分析。
二、时间序列模型在季节变异性分析中的应用时间序列模型是一种用于描述时间序列数据的统计模型。
它可以帮助我们预测未来的趋势和季节性变化。
常见的时间序列模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）和自回归移动平均模型（ARMA）等。
这些模型可以通过拟合历史数据来估计未来的变化趋势，并提供置信区间以评估预测的准确性。
在季节变异性分析中，常用的时间序列模型是季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
SARMA模型是ARMA模型的扩展，它考虑了季节性因素对数据的影响。
通过拟合SARMA模型，我们可以得到季节变异性的参数估计，并用于预测未来的季节性变化。
这对于制定合理的经营策略和预测市场需求非常有帮助。
三、季节变异性分析的实例为了更好地理解季节变异性分析的应用，我们以某电商平台的销售数据为例进行分析。
该平台的销售额数据按月记录，我们希望通过时间序列模型来分析销售额的季节性变化。
首先，我们绘制销售额随时间的折线图。
从图中可以看出，销售额在每年的第四季度明显增加，而在第一季度相对较低。
这表明销售额具有明显的季节性变化。
接下来，我们拟合SARMA模型来分析季节变异性。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数估计。
第三章-季节ARIMA模型
第三章 季节时间序列模型在某些时间序列中, 存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
在经济领域中, 季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model), 用SARIMA 表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model ）。
3.1 季节时间序列模型的建立设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s, 则通常时间间隔为s 的观测值之间存着一定的相关关系。
1.季节差分: 消除季节单位根与非季节时间序列模型一样, 当存在季节单位根时, 即季节性时间序列yt= yt – s + ut, 则首先用季节差分的方法消除季节单位根，即yt - yt – s.季节差分算子定义为， ∆s = 1- L s 也称为s 阶差分, 则对yt 进行一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s ) y t = y t - y t - s若非平稳季节性时间序列存在D 个季节单位根, 则需要进行D 次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
即∆s D y t = (1- L s ) D y t2.季节自回归算子与移动平均算子: 描述季节相关性类比一般的时间序列模型, 序列xt=(s Dyt 中含有季节自相关和移动平均成份意味着,1221221t t s t s P t Ps t t s t s t Qs x x x x u u u u αααβββ------=++++++++即∆s D y t 可以建立关于周期为s 的P 阶自回归Q 阶移动平均季节时间序列模型。
A P (L s ) ∆s D y t =B Q (L s ) u t (2.60)其中(P (Ls)=(1-(1 Ls-(2 L2s-(P LPs)称为季节自回归算子; (Q (Ls) =(1+(1Ls+(2 L2s+(Q LPs)称为季节移动平均算子（注意季节自回归项和季节移动平均项的表示方法, 例如P 、Q 等于2时, 滞后算子应为(Ls)1 = Ls, (Ls)2 = L2s ）。
季节性时间序列模型(PPT 67页)
xt TtStIt
X11过程获得的季节指数图
季节调整后的序列图
趋势拟合图
随机波动序列图
§第四节 季节时间序列模型
4.1季节时间序列的重要特征 一、季节时间序列表示 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的
季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周 期的一个观测值，如表8.1所示。
表4.1 单变量时间序列观测数据表
例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
二、季节时间序列的重要特征
季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。
第七章_季节性时间序列模型
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
第三节 季节性检验
一、季节性MA的自相关系数 二、季节性AR的偏自相关系数
一、季节性MA模型的自相关函数
设某一季节性时间序列 的季节性，即各周期点 之间的相关性 可用：X t (1 S B S )et 而et 又适合于一个MA（ 1 ）模型， 即et (1 1 B)at 二式结合得：X t (1 1 B)(1 S B S )at
二、乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复
杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(k,m)
模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系， 模型结构如下
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
常用综合分析模型
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
第四节 季节时间序列模型的建立
1.根据时间序列的ACF和PACF确定是否为季节性 时间序列，其周期是多少； 2.对序列进行差分和季节差分，以得到一个平稳序 列； 3.计算差分后序列的ACF和PACF识别模型阶数， 选择一个初始模型； 4.对模型进行初估计，然后以初估计值为初始值， 进行普通最小二乘估计或极大似然估计；
季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法非平稳时间序列是指在时间序列数据中，均值、方差、自相关函数等统计性质随时间变化的数据。
这种时间序列模型常常由于其自身的特性而较难进行分析和预测。
不过，季节时间序列是非平稳时间序列的一种特殊类型，其特点是在数据中存在明显的季节性变化。
对于这种时间序列，可以采用不同的分析方法进行预测和建模。
一、非平稳时间序列分析方法：1.差分法：差分法是通过对序列数据进行相邻时间点的差分，使得序列转变为平稳时间序列。
差分法有一阶差分、二阶差分等。
通过差分法可以使得序列的单位根等统计性质得到稳定。
2.滑动平均法：滑动平均法基于序列的平均值，将序列转化为平稳时间序列。
该方法通过计算序列的滑动平均值来消除序列的变化趋势。
3.指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均的方法来消除序列的变化趋势。
指数平滑法可以根据实际情况选择不同的权重系数来进行计算。
4.回归分析：对于非平稳时间序列，通过引入自变量，建立回归模型来描述序列的变化。
回归分析可以通过多个变量的关系来解释序列的变动。
二、季节时间序列分析方法：1.季节分解法：季节分解法是将季节时间序列分解为长期趋势、季节性和随机成分的组合。
这种方法可以将季节性的变动独立出来，从而更好地进行建模和预测。
2.季节移动平均法：季节移动平均法通过计算时间序列在相邻季节的平均值，消除序列的季节性变动。
这种方法可以降低季节时间序列的变化趋势。
3.季节差分法：季节差分法是将季节时间序列转化为其相邻时间点的差分。
通过差分法可以去除序列的季节性变化，使得序列更为平稳。
4.季节ARIMA模型：季节ARIMA模型是一种结合了季节差分和ARIMA 模型的方法。
该方法可以同时考虑序列的季节性变化和非平稳性，通过建立ARIMA模型来进行预测和分析。
以上所述是常用的非平稳和季节时间序列模型分析方法。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来分析和预测时间序列数据，以提高分析的准确性。
季节性时间序列模型PPT课件
数据。
SARIMA模型
02
季节性自回归积分滑动平均模型，适用于具有明显季节性的时
间序列数据。
SARIMA-X模型
03
基于SARIMA模型的扩展，适用于具有特定季节性和非季节性
特征的时间序列数据。
季节性时间序列模型的参数
AR参数
自回归模型的参数，用于描述时间序列数据 的自相关关系。
P参数
季节性自回归模型的参数，用于描述时间序 列数据的季节性特征。
在股票价格的时间序列分析中，可以使用季节性自回归积分滑动 平均模型（SARIMA）等季节性时间序列模型来拟合数据，并预 测未来的股票价格走势。
通过对股票价格的时间序列数据进行季节性分析和预测，可以帮 助投资者制定更加科学和有效的投资策略，提高投资收益。
案例二：气温变化的季节性分析
01
气温变化的季节性分析是另一个应用季节性时间序列模型的案例。通过对气温 历史数据的季节性分析，可以了解气温变化的规律和趋势，为气象预测和气候 变化研究提供支持。
感谢您的观看
02
03
季节性时间序列模型的分类：根据不同 的分类标准，季节性时间序列模型可以 分为不同的类型。常见的分类标准包括 模型的复杂度、季节性周期的长度等。 常见的季节性时间序列模型包括季节性 自回归积分滑动平均模型（SARIMA）、 季节性指数平滑模型（SEAS）等。
季节性时间序列模型的应用实例： SARIMA模型在股票市场预测中取得 了较好的效果；SEAS模型在电力需求 预测中得到了广泛应用。这些应用实 例证明了季节性时间序列模型在数据 分析和预测中的实用性和有效性。
对未来研究方向的展望
改进现有模型的性能
尽管现有的季节性时间序列模型取得 了一定的成果，但仍存在一些局限性 ，如对异常值的敏感性、对非平稳数 据的适应性等。未来的研究可以针对 这些局限性，对现有模型进行改进， 提高模型的预测精度和稳定性。
季节性时间序列模型
1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3
1966 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6
1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6
1. 季节性MA模型的自相关函数 假设某一季节性时间序列适应的模型为
(8.16)
a(t8.17)
X t (1SBS )ut
ut (11B)t
是白噪声序列。将式(8.17)代入(8.16)，可得
Xt (1SBS )(11B)t
整理后，有 Xt t 1t1 Sts 1sts1
这实际上是一个疏系数的MA(S+1)模型，除滞后期为1，
4.2 季节时间序列模型
一、随机季节模型
季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上
的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列
表相现关出关周系期，相于关是，我比们如可对以于利月用度这数种据周，期相S=关12性，在Xt 与Xt
X t12
与X
有
t 12
之间进行拟合。
设一个季节性时间序列{
1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5
1286 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2
1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1
1756 1818 1935.2 2389.5
如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值
如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值
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nl 2
且当n很大时，该醉汉离初始点的距离服从零均值正态分布。这意味 着，假如有人想去寻找醉汉的话，最好是去初始点附近找他，该地 点是醉汉未来位置的无偏估计值。
作为一个最简单的ARIMA模型，随机游走模型目前广泛应用于计量 经济学领域。传统的经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机 游走模型，随机游走模型也是有效市场理论(Efficient Market Theory) 的核心。
考虑到他完全丧失方向感，那么他第步的位置将 是他第步的位置再加一个完全随机的位移。用数 学模型来描述任意时刻这个醉汉可能的位置，即 为一个随即游走模型(8.3)。
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1905年8月，雷利爵士(Lord Rayleigh)对卡尔·皮尔逊的这个问题作出 了解答。他算出这个醉汉离初始点的距离为至的概率为：
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图8.1 ARIMA(1,1,1)模型一个模拟数据 图8.2 模拟数据的一阶差分数据
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求和自回归移动平均模型这个名字的由来 是因为阶差分后序列可以表示为：
d
d X t (1)d Cdi X t1
i 1
式中Cdi
d ! ，即差分后序列等于原序
由式(8.2)显而易见，ARIMA模型的实质就是差分运算与 ARMA模型的组合。这一关系意义重大，这说明任何非 平稳序列只要通过适当阶数的差分运算实现差分后平稳， 就可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了。而ARMA模 型的分析方法非常成熟，这意味着对差分平稳序列的分 析也将是非常简单、非常可靠的了。
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8.1.2 ARIMA模型的性质
一、平稳性 假如服从ARIMA(p,d,q)模型：
(B)d X t (B)t
式中： d (1 B)d
(B) 1 1B p B p (B) 11B q Bq
记(B) (B，)d (被B)称为广义自回归系数多项式。显然 ARIMA模型的平稳性完全由 (B)的 根0 的性质决定。
1
)
t
2
这是一个时间的递增函数，随着时间趋向无穷，序列 {Xt}的方差也 趋向无穷。
但1阶差分之后，X t t
差分后序列方差齐性 Var(Xt ) 2
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8.1.3 ARIMA模型建模
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二、方差齐性 对于ARIMA(p,d,q)模型，当d 0时，不仅均值非平稳，序列方差也非
平稳。以最简单的随机游走模型ARIMA(0,1,0)为例：
X t X t1 t X t2 t t1
X 0 t t1 1
则 Var( X t ) Var( X 0 t t1
非平稳和季节时间序列模型分析方法
在第四章中，我们介绍了非平稳时间序 列模型，但是在前面的讨论中，对于时 间序列的特性分析，以及模型的统计分 析都集中于平稳时间序列问题上。本章 将介绍几个非平稳时间序列的建模方法， 并且分析不同的非平稳时间序列模型的 动态性质。
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§8.1 ARIMA模型的分析方法
8.1.1 ARIMA模型的结构 具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均(Autoregressive
Integrated Moving Average)，简记为ARIMA(p,d,q)模型：
式中：
(B)d
Xt
(B)t
E(t ) 0,Var(t )
2
,
E(t
s
)
0,
s
(8.1) t
E
i!(d i)!
列的若干序列值的加权和，而对它又可以
拟合自回归移动平均(ARMA)模型，所以称
它为求和自回归移动平均模型。
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特别地， 当d=0时，ARIMA(p,d,q)模型实际上就是ARMA(p,q)模型； 当p=0时，ARIMA(o,d,q)模型可以简记为IAM(d,q)模型； 当q=0时，ARIMA(p,d,0)模型可以简记为ARI(p,d)模型. 当d=1,p=q=0时，ARIMA(0,1,0)模型为：
X t X t1 t
E
(
t
)
0,Var ( t
)
2
,
E ( t
s
)
(08.,3s)
t
E( X st ) 0, s t
该模型被称为随机游走(Random Walk)模型。
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随机游走模型的产生有一个有趣的典故。它最早 于1905年7月由卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)在《自 然》杂志上作为一个问题提出：假如有一个醉汉 醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊 野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到 他的概率最大呢？
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例如，设ARIMA(1,1,1)模型
10.5B1 B Xt 1 0.3Bt, t ~ i.i.d.N 0,1
图8.1是给出的ARIMA(1,1,1)模型一个模拟 数据，样本容量为200，可以看出时间趋 势是非常明显的。图8.2是经过一阶差分得 到的数据。经过一阶差分我们看到下降的 时间趋势被去掉，新的序列看起来是平稳 的。
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因为阶差分后平稳，服从ARMA(p,q)模型，所以不妨设
则
p
(B) (1 i B), i 1;i 1, 2, , p i 1
p
(B) (B)d [ (1 iB)](1 B(8)d.4) i 1
由式(8.4)容易判断，ARIMA(p,d,q)模型的广义自回归系数 多项式共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单 位圆上。因为有d个特征根在单位圆上而非单位圆内，所 以当 d 0时，ARIMA(p,d,q)模型不平稳。
(
X
s
t
)
0,
s
t
d (1 B)d
(B) 11B (B) 11B
pB p，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式 q Bq，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式
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式(8.1)可以简记为：
d
Xt
(B) (B)
t
(8.2)
式中，{t }为零均值白噪声序列。