永磁直流电动机气隙磁场的解析计算
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图 3 为电枢表面一个极距内的电流分布，面电流密度的幅值为 Jsm=NsIa/(2b0a)
式中 Ns——每槽导体数 a——并联支路对数 Ia——电枢电流 b0——槽口宽度
令 θ0=b0/Rr，θ=2π/Qa，Qa 为槽数，则电枢表面面电流密度为
用傅里叶级数展开，得
图 3 电枢表面面电流密度分布 Fig.3 The distribution of electric current density
Keywords:Permanent magnet direct current motor Air-gap magnetic field Calculation of commutation performances
1 引言
由于气隙磁场的复杂性，换向性能计算成为永磁直流电动机设计计算尚未解决的问题 之一。实际中主要依赖于设计人员的经验和反复试验保证电机的换向性能，延长了产品开 发周期，增加了开发成本。
Rbrush——电刷与换向器接触电阻，Ω
Rc——换向元件的电阻，Ω Is——经过电刷的电流，A ΔUb——电刷与换向器接触压降，V 求出火花因数，即可根据火花因数与火花等级的对应关系确定火花等级。
4 结论
本文考虑电刷偏移的影响，建立了永磁直流电动机空载磁场和电枢反应磁场的计算模 型，导出了电枢表面气隙磁场的解析表达式，据此计算换向电动势和换向性能，便于在设 计中保证换向性能，使换向性能计算问题的解决成为可能。
2 考虑电刷偏移后的气隙磁场
2.1 空载气隙磁场 本文的分析是在极坐标下进行的，计算空载磁场的物理模型如图 1 所示。为便于分析，
作如下假设：①电枢表面光滑、无齿槽，齿槽效应用气隙系数考虑；②铁磁材料不饱和。
图 1 空载磁场的物理模型 Fig.1 Model of no-load magnetic field 在求解区域内，B、H 满足
(10)
3 换向电动势计算
换向元件内的电动势由两部分组成，一部分是电抗电动势 er，另一部分是旋转电动势 ek。电抗电动势的计算见文献［3］，下面讨论旋转电动势的计算。
根据电枢表面的合成磁场，计算出换向区域内的平均磁密，即可计算旋转换向电动势。 换向区宽度为
式中 bb——电刷沿换向器周向的宽度 εk——节距的缩短 k——换向片数 p——极对数
y1——第一节距 tc——换向片距 Da——电枢直径 Dc——换向器直径 根据式(10)可计算出 bk 范围内电枢表面气隙磁场分布，进而求得平均磁密 Bδav，则换向元 件内的旋转换向电动势为
ek=2NcvalefBδav
式中 Nc——换向元件匝数 va——电枢表面线速度 lef——电枢铁心计算长度
永磁直流电动机气隙磁场的解析计算
王秀和 张端桥 唐任远
摘要 换向性能计算因气隙磁场的复杂性而成为永磁直流电动机设计计算的难点之 一。本文考虑电刷偏移的影响，建立了空载磁场和电枢反应磁场的计算模型，导出了电枢 表面气隙磁场的解析表达式，据此进行换向性能计算，使这一问题的解决成为可能。
关键词：永磁直流电动机 气隙磁场 换向性能计算
at the surface of armature 在极坐标下，标量磁位满足方程
方程满足的边界条件为： ①对称性条件 (r，α)=φ(r，-α) ② Hα(r，α)｜r=Rr=-Js(α) Hα(r，α)｜r=Rs=0
Br1(r，α)｜r=Rm=Br2(r，α)｜r=Rm Hα1(r，α)｜r=Rm=Hα2(r，α)｜r=Rm 求得空气中电枢反应磁密的径向分量为
机械工业部教育司和辽宁省教委资助项目。 作者单位：王秀和 男，1967 年生，博士，副教授，主要从事特种电机、电机设计专家系 统等方面的研究，现在山东工业大学任教。
张端桥 男，1962 年生，硕士，副教授，现在山东工业大学工作。 Wang Xiuhe was born in 1967.He is doctor degree,now an associate professor in the department of automation engineering,Shandong University of Technology.His interests are in the areas of special electrical machines and expert systems. 作者单位：王秀和(山东工业大学电力工程学院 250061) 张端桥(山东工业大学天宇公司 250061) 唐任远(沈阳工业大学特种电机研究所 110023)
进而可得电枢表面气隙磁密径向分量
2.3 负载气隙磁场的计算 将空载气隙磁场和电枢反应磁场叠加即为负载磁场，但二者坐标系不Hale Waihona Puke Baidu致。为此，首
先必须统一坐标系。α=0 对应于电刷中心线的位置，而 θ=0 对应于磁极中心线的位置。计 算负载磁场时，以电刷中心线为坐标原点，将式(5)中的 θ 改为 α+π/(2p)-β，其中 β 为电刷顺电枢旋转方向偏移的角度。根据式(5)和式(9)，得到电枢表面的合成磁场
B1=μ0H1 (空气中) (1) B2=μmH2+μ0M (永磁体内) (2) 式中 μm——永磁材料的回复磁导率 μm=μ0μr M——磁化强度矢量 M=Br/μ0 Br——剩磁密度 磁化强度径向分量的分布如图 2 所示，将其用傅里叶级数展开，得
式中
图 2 磁场强度径向分量的分布 Fig.2 Distribution of radial component for magnetic strength 空气中标量磁位满足拉普拉斯方程，永磁体内部标量磁位满足泊松方程，即
参考文献
1 Gabsi M k. Calculation and measurement of commutation current in DC machine.Electric Machines and Power Systems，1989，17：167～182 2 沈本荫.直流脉流电机换向.北京：中国铁道出版社，1986. 3 陈世坤.电机设计.北京：机械工业出版社，1982. 4 王秀和.永磁起动机电机设计研究及设计专家系统：［博士学位论文］.沈阳工业大学， 1996.
Analytical Calculation of the Air-gap Magnetic Field for the Permanent Magnet Direct Current Motors
Wang Xiuhe Zhang Duanqiao (Shandong University of Technology 250061
换向元件内的电动势 e=er+ek 为了判断 e 与火花等级的对应关系，A.B.郁飞提出了火花因数 Φu 的概念，用来评价电
机的换向性能，火花因数与火花等级具有一定的对应关系［2］，火花因数为
式中
lb——电刷长度，cm Lc——换向元件的电感，H vc——换向器表面线速度，m/s ik——附加短路电流，A
为解决这一问题，国内外学者进行了大量研究［1，2］，A.B.郁飞提出了火花因数的概念， 并给出了火花因数和火花等级的对应关系［2］，而火花因数计算的关键取决于气隙磁场的计 算，而气隙磁场的计算非常复杂，限制了这一方法的推广应用。
本文考虑电刷偏移的影响，建立了空载磁场和电枢反应磁场的计算模型，导出了电枢 表面气隙磁场的解析表达式，据此计算换向电动势和换向性能，便于设计人员在设计中保 证换向性能，使换向性能计算问题的解决成为可能。
方程的边界条件为：①对称性条件
根据边界条件，得到标量磁位表达式，进而得到电枢表面气隙磁密径向分量
式中 a1=
2.2 电枢反应磁场的解析计算 为便于求解，作如下假设：①电枢表面光滑、无齿槽；②铁磁材料不饱和；③永磁磁
极不存在，其位置用磁导率与永磁磁极相同的材料填充；④每槽内电流在电枢表面槽口宽 度范围内均匀分布。
Tang Renyuan (Shenyang University of Technology 110023
China) China)
Abstract Due to the complexity of air-gap magnetic field for the permanent magnet direct current motor,the calculation of commutation performances is one of the problems which are difficult to overcome.In this paper,taking the effects of brushe shift into consideration,the calculation models of no-load and load magnetic fields are given and the expression of air-gap magnetic field at the surface of armature is deduced,on basis of which the commutation performances can be obtained.
式中 Ns——每槽导体数 a——并联支路对数 Ia——电枢电流 b0——槽口宽度
令 θ0=b0/Rr，θ=2π/Qa，Qa 为槽数，则电枢表面面电流密度为
用傅里叶级数展开，得
图 3 电枢表面面电流密度分布 Fig.3 The distribution of electric current density
Keywords:Permanent magnet direct current motor Air-gap magnetic field Calculation of commutation performances
1 引言
由于气隙磁场的复杂性，换向性能计算成为永磁直流电动机设计计算尚未解决的问题 之一。实际中主要依赖于设计人员的经验和反复试验保证电机的换向性能，延长了产品开 发周期，增加了开发成本。
Rbrush——电刷与换向器接触电阻，Ω
Rc——换向元件的电阻，Ω Is——经过电刷的电流，A ΔUb——电刷与换向器接触压降，V 求出火花因数，即可根据火花因数与火花等级的对应关系确定火花等级。
4 结论
本文考虑电刷偏移的影响，建立了永磁直流电动机空载磁场和电枢反应磁场的计算模 型，导出了电枢表面气隙磁场的解析表达式，据此计算换向电动势和换向性能，便于在设 计中保证换向性能，使换向性能计算问题的解决成为可能。
2 考虑电刷偏移后的气隙磁场
2.1 空载气隙磁场 本文的分析是在极坐标下进行的，计算空载磁场的物理模型如图 1 所示。为便于分析，
作如下假设：①电枢表面光滑、无齿槽，齿槽效应用气隙系数考虑；②铁磁材料不饱和。
图 1 空载磁场的物理模型 Fig.1 Model of no-load magnetic field 在求解区域内，B、H 满足
(10)
3 换向电动势计算
换向元件内的电动势由两部分组成，一部分是电抗电动势 er，另一部分是旋转电动势 ek。电抗电动势的计算见文献［3］，下面讨论旋转电动势的计算。
根据电枢表面的合成磁场，计算出换向区域内的平均磁密，即可计算旋转换向电动势。 换向区宽度为
式中 bb——电刷沿换向器周向的宽度 εk——节距的缩短 k——换向片数 p——极对数
y1——第一节距 tc——换向片距 Da——电枢直径 Dc——换向器直径 根据式(10)可计算出 bk 范围内电枢表面气隙磁场分布，进而求得平均磁密 Bδav，则换向元 件内的旋转换向电动势为
ek=2NcvalefBδav
式中 Nc——换向元件匝数 va——电枢表面线速度 lef——电枢铁心计算长度
永磁直流电动机气隙磁场的解析计算
王秀和 张端桥 唐任远
摘要 换向性能计算因气隙磁场的复杂性而成为永磁直流电动机设计计算的难点之 一。本文考虑电刷偏移的影响，建立了空载磁场和电枢反应磁场的计算模型，导出了电枢 表面气隙磁场的解析表达式，据此进行换向性能计算，使这一问题的解决成为可能。
关键词：永磁直流电动机 气隙磁场 换向性能计算
at the surface of armature 在极坐标下，标量磁位满足方程
方程满足的边界条件为： ①对称性条件 (r，α)=φ(r，-α) ② Hα(r，α)｜r=Rr=-Js(α) Hα(r，α)｜r=Rs=0
Br1(r，α)｜r=Rm=Br2(r，α)｜r=Rm Hα1(r，α)｜r=Rm=Hα2(r，α)｜r=Rm 求得空气中电枢反应磁密的径向分量为
机械工业部教育司和辽宁省教委资助项目。 作者单位：王秀和 男，1967 年生，博士，副教授，主要从事特种电机、电机设计专家系 统等方面的研究，现在山东工业大学任教。
张端桥 男，1962 年生，硕士，副教授，现在山东工业大学工作。 Wang Xiuhe was born in 1967.He is doctor degree,now an associate professor in the department of automation engineering,Shandong University of Technology.His interests are in the areas of special electrical machines and expert systems. 作者单位：王秀和(山东工业大学电力工程学院 250061) 张端桥(山东工业大学天宇公司 250061) 唐任远(沈阳工业大学特种电机研究所 110023)
进而可得电枢表面气隙磁密径向分量
2.3 负载气隙磁场的计算 将空载气隙磁场和电枢反应磁场叠加即为负载磁场，但二者坐标系不Hale Waihona Puke Baidu致。为此，首
先必须统一坐标系。α=0 对应于电刷中心线的位置，而 θ=0 对应于磁极中心线的位置。计 算负载磁场时，以电刷中心线为坐标原点，将式(5)中的 θ 改为 α+π/(2p)-β，其中 β 为电刷顺电枢旋转方向偏移的角度。根据式(5)和式(9)，得到电枢表面的合成磁场
B1=μ0H1 (空气中) (1) B2=μmH2+μ0M (永磁体内) (2) 式中 μm——永磁材料的回复磁导率 μm=μ0μr M——磁化强度矢量 M=Br/μ0 Br——剩磁密度 磁化强度径向分量的分布如图 2 所示，将其用傅里叶级数展开，得
式中
图 2 磁场强度径向分量的分布 Fig.2 Distribution of radial component for magnetic strength 空气中标量磁位满足拉普拉斯方程，永磁体内部标量磁位满足泊松方程，即
参考文献
1 Gabsi M k. Calculation and measurement of commutation current in DC machine.Electric Machines and Power Systems，1989，17：167～182 2 沈本荫.直流脉流电机换向.北京：中国铁道出版社，1986. 3 陈世坤.电机设计.北京：机械工业出版社，1982. 4 王秀和.永磁起动机电机设计研究及设计专家系统：［博士学位论文］.沈阳工业大学， 1996.
Analytical Calculation of the Air-gap Magnetic Field for the Permanent Magnet Direct Current Motors
Wang Xiuhe Zhang Duanqiao (Shandong University of Technology 250061
换向元件内的电动势 e=er+ek 为了判断 e 与火花等级的对应关系，A.B.郁飞提出了火花因数 Φu 的概念，用来评价电
机的换向性能，火花因数与火花等级具有一定的对应关系［2］，火花因数为
式中
lb——电刷长度，cm Lc——换向元件的电感，H vc——换向器表面线速度，m/s ik——附加短路电流，A
为解决这一问题，国内外学者进行了大量研究［1，2］，A.B.郁飞提出了火花因数的概念， 并给出了火花因数和火花等级的对应关系［2］，而火花因数计算的关键取决于气隙磁场的计 算，而气隙磁场的计算非常复杂，限制了这一方法的推广应用。
本文考虑电刷偏移的影响，建立了空载磁场和电枢反应磁场的计算模型，导出了电枢 表面气隙磁场的解析表达式，据此计算换向电动势和换向性能，便于设计人员在设计中保 证换向性能，使换向性能计算问题的解决成为可能。
方程的边界条件为：①对称性条件
根据边界条件，得到标量磁位表达式，进而得到电枢表面气隙磁密径向分量
式中 a1=
2.2 电枢反应磁场的解析计算 为便于求解，作如下假设：①电枢表面光滑、无齿槽；②铁磁材料不饱和；③永磁磁
极不存在，其位置用磁导率与永磁磁极相同的材料填充；④每槽内电流在电枢表面槽口宽 度范围内均匀分布。
Tang Renyuan (Shenyang University of Technology 110023
China) China)
Abstract Due to the complexity of air-gap magnetic field for the permanent magnet direct current motor,the calculation of commutation performances is one of the problems which are difficult to overcome.In this paper,taking the effects of brushe shift into consideration,the calculation models of no-load and load magnetic fields are given and the expression of air-gap magnetic field at the surface of armature is deduced,on basis of which the commutation performances can be obtained.