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浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
韦达定理→斜率韦达定理法-FIDELHUB
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ，判断它
解：联立方程组
1 y x 2 x2+4y2=2
消去y
5x 4x 1 0
2
----- (1)
因为 ∆>0
所以，方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解。
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
直线与椭圆的位置关系
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 42 52 41 40 25
o
x
dmax
思考：最大的距离是多少？
65 41 42 52 41
40 25
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
△ 0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
韦达定理的推导过程
韦达定理的推导过程韦达定理（Vieta's formula）是数学中一个重要的定理，它描述了多项式的根与系数之间的关系。
韦达定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，并被广泛应用于代数学和数论等领域。
韦达定理的推导过程可以从一个简单的一元二次方程开始。
假设我们有一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b和c都是实数，且a不等于0。
我们想要求解这个方程的两个根x1和x2。
我们将方程展开：ax^2+bx+c=0然后，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
根据求根公式，方程的两个根可以表示为：x1 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a)x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)接下来，我们可以对这两个根进行一些变换，将它们表示为与系数a、b和c之间的关系。
我们可以先求解两个根的和：x1 + x2 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a) + (-b - √(b^2-4ac))/(2a)= -b/a然后，我们再求解两个根的积：x1 * x2 = ((-b + √(b^2-4ac))/(2a)) * ((-b - √(b^2-4ac))/(2a))= (b^2 - (b^2-4ac))/(4a^2)= c/a通过上述推导，我们得到了韦达定理的表达式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a这就是韦达定理的推导过程。
通过这个定理，我们可以通过方程的系数来求解方程的根。
这对于解决各种实际问题以及在数学研究中都非常有用。
除了一元二次方程，韦达定理还可以推广到更高次的多项式方程。
对于一个n次多项式方程anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a1x + a0 = 0，韦达定理可以表示为：x1 + x2 + ... + xn = -an-1/anx1 * x2 * ... * xn = (-1)^n * an-1/an这个推广的过程与一元二次方程的推导类似，只是系数的数量和计算的复杂度会增加。
韦达定理及其推广
设一元 n 次方程 a0 x 则有：
n
a1xn1 an1x an 0 的根为 xi (i 1,2,, n)
a1 xi (1) a 0
a1 xi (1) a 0
1 2
a2 xi x j (1) a 0
谢谢
请多多指正
有了上述方法，我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了。 （若用第一种方法需要求出根，而三次方程求根公式表示较复杂，故不采用该x3 是方程 ax3 bx2 cx d 0(a 0) 的根
a( x x1 )(x x2 )(3 ) x 2 a( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) x ax 1 x2 x3 0(a 0)
考虑到题目的特殊性，方程最高只有 7 次，再由有理根定理（或 韦达定理最后的求积式）可知方程的根必定是 an 的正约数，这对 题目的进一步优化铺平了道路。 先用有理根定理求出所有可能的方程的解，如果解的个数不到方 程的次数（根的个数定理），那么必定有重根，重根只需要用一 个数组存个数，然后枚举每一个个数，利用韦达定理前两个式子 进行检验即可。
所以 与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理。
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x1 x3 x2 x3 a d x1 x2 x3 a
先解方程，再检验韦达定理的正确性。
x 6 x 11x 6 0
3 2
韦达定理的推广：
韦达定理 及其推广
首先我们考虑一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
韦达定理推广的证明_3
3.4对称多项式代数学基本定理，即实系数n （n ≥）次多项式至少有一个复数根，是代数学上的一个重要成果.它是在18世纪由高斯首先证明的，由于该定理的重要性，以后又陆续出现许多不同的证明方法，但无论怎样的证明都必须依靠实数与复数的连续性质.在我们给出该定理的代数证明前，先给出一些预备知识.定义 3.13 域F 上的n 元多项式n n x ，x x x x x f ,),,(2121称为的多项式.对n x ，x x ,21的任意排列in i i x ，x x ,21，均有),(),,(2121in i i n x ，x x f x x x f =例如 232221321321),,(x x x x x x x x x f +++++=就是对称多项式.如果域F 上的n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n +++=--有n 个根：)(,,,21x f n 则ααα 分解为)())(()(21n n x x x a x f ααα---=将上式展开，再与原多项式011a x a x a n n n n +++-- 比较两边的系数，可得nn n a a 121--=++ααα nn n n a a 213121--=++αααααα n n n n n a a 312421321----=++ααααααααα nn n a a 021)1(-=ααα 上面n 个等式，实际上是一元二次方程中韦达定理的推广.我们把下面的多项式)()(31242132132131212211项共项共n n n n n n n nC x x x x x x x x x C x x x x x x x x x ---++=++=++= σσσn n x x x 21=σ称为n x x x ,,21的初等对称多项式.一元多项式可按升幂或降幂排列去写，即可写为011)(a x a x a x f n n n n +++=--或者 n n x a x a a x f ++=10)(.但是n 元多项式各项可以次数相同，但却不是同类项.一般地，n 元多次式可按字典排列法书写.例如比较两项,21212121n n i n i i k n k k ax x bx ax x ax 和若 )(,,12211t t t i k k i k i k >==-则前项项在n n in i i k n k k ax x bx ax x ax 21212121.如多元项式2212123222132132),,(x x x x x x x x x x f ++++= 按字典排列法：2322212122132132·),,(x x x x x x x x x x f ++++=按字典排列的多元多项式的第一项称为多项式的首项.显然两个多元多项式乘积的首项等于两个多元多项式首项的乘积（读者可以自行证明）. 定理 3.13 任意n 元对称多项式),,,(21n x x x f 都表示成初等对称多项式的多项式，即),,,(21n x x x f =),,,(21n g σσσ其中n x x x +++= 211σn n x x x x 1211-+= σn n x x x 21=σ该定理可见于几乎所有高等代数教材中，我们这里再给出简洁证明.证明 设),,,(21n x x x f 的首项为n kn k k x x ax 2121则必有 n k k k ≥≥ 21.否则，若,1+<i i k k 由于f 是对称多项式，所以f 必含有项n i i kn k i k i k k x x x x ax 121121++ n ki k i k k x x x x ax i i 121121++ 与它是f 的首项矛盾.我们令n n n k n k k n k k k k a σσσσϕ-----=132211211 易知1ϕ的首项与f 的首项相等，1ϕ当然是n x x x ,,21的对称多项式，所以),,,(21n x x x f -1ϕ=),,,(211n x x x ff 1也是对称多项式，f 1的首项低于f 的首项.若f 1的首项为121,21f x x bx n l n l l 对 重复上面的方法，令n n n l n l l n l l l l b σσσσϕ-----=132211212 221f f =-ϕ这里，f 2是对称多项式，它的首项低于f 1.上述过程继续下去，得一系列多项式：s s s f f f f f f f ϕϕϕ-=-=-=-121211,,,,这些f i 的首项一个比一个低，而此过程不可能无限做下去.即，必存在一个s ，使得f s =0, 所以 s f ϕϕϕ+++= 21这里，所有n i ，，，σσσϕ 21是的多项式，所以f 是n ，，，σσσ 21的多项式. 定理3.14 若实系数n 次多项式01a x a x a n n ++有n 个根，它们分别为n n αααααα ,,,,,2121那么的任意对称多项式),,(21n f ααα 都是系数011,,,,a a a a n n -的多项式，特别是当),,(21n f ααα 是实系数对称多项式时，则),,(21n f ααα 也为实数.证明 由定理3.13存在一个实系数多项式g ，使得),,(21n f ααα =),,(21n g σσσ其中 nn n a a 1211-=+++=ααασn n n n a a 2131212--=+++=αααααασ nn n a a 0)1(-=σ 所以),,(21n g σσσ 是n n a a 1-，n n a a 2-，…，n a a 0的多项式.所以),,(21n f ααα 为实数.。
韦达定理及其推广应用
韦达定理及其推广应用
杨艳丽;王广富
【期刊名称】《保山学院学报》
【年(卷),期】2011(030)005
【摘要】韦达定理是初等数学中的重要内容,它是揭示一元二次方程根与系数关系的重要定理.利用多项式理论将其推广到一元n次方程中,并介绍其简单应用.【总页数】3页(P86-88)
【作者】杨艳丽;王广富
【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;华东交通大学基础科学学院,江西南昌330013
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.例谈余弦定理与韦达定理的联合应用 [J], 赵绪昌
2.韦达定理的逆定理的应用 [J], 夏林鑫
3.韦达定理和逆定理在解析几何中的应用 [J], 叶忠国
4.韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用 [J], 王志
5.谈韦达定理及其逆定理在解题中的应用 [J], 陈启耀
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n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理是一个关于多项式根及系数之间的关系。
根据韦达定理，设一个n次多项式P(x)的根为r1, r2, ..., rn，其中r1, r2, ..., rn可能重复或复数根，那么该多项式的系数与根
之间有如下关系：
1. 一阶系数和：c1 = -(r1 + r2 + ... + rn)，即该多项式的常数项
与根的和取负数相等。
2. 二阶系数和：c2 = r1*r2 + r1*r3 + ... + (n-1)rn-1*rn，即该多
项式的一次项系数与两两相乘的根的和相等。
3. 三阶系数和：c3 = -(r1*r2*r3 + r1*r2*r4 + ... + (n-2)rn-2*rn-
1*rn)，即该多项式的二次项系数与三两相乘的根的和取负数
相等。
依次类推，韦达定理可以推广到任意阶系数和与根之间的关系。
韦达定理的一个重要应用是求解多项式的系数。
通过已知根与系数和的关系，可列立方程组来求解多项式的系数。
韦达定理推广的证明
证明：当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,则：x1+x2=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]=[(-b)^2-Δ]/4a^2=4ac/4a^2=c/ a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0 则方程没有实数解韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数X围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须射影定理图掌握的.韦达定理推广的证明设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
复数的韦达定理
韦达定理是指一元二次方程中根和系数之间的关系。
韦达定理解析法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理关系设一元二次方程ax+bx+c=0（a，b，c∈R,a≠0）中，两根x1、x2有如下关系：x+x=-a/b xx=a/c韦达定理推广逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=-a/b，α·β=a/c，那么这两个数α和β是方程ax+bx+c=0（a，b，c∈R,a≠0）的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
韦达定理发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理意义韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
=b-4ac一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
向量数乘韦达定理-概述说明以及解释
向量数乘韦达定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述韦达定理是高等数学中的重要定理之一，它描述了向量与数乘之间的关系。
向量数乘是指将向量与一个实数相乘，这个操作在向量运算中具有很大的实用价值。
韦达定理的前身可以追溯到线性方程组的解法中，而现在已经发展成了更为广泛且深入的研究领域。
本文将对向量数乘韦达定理进行详细的介绍和阐述。
首先，我们将介绍韦达定理的定义和原理，包括其数学表达式和推导过程。
接着，我们将介绍向量数乘的概念和性质，从几何和代数的角度分析了向量数乘的几何意义和运算规律。
然后，我们将详细阐述向量数乘韦达定理的证明过程，并探讨其在实际问题中的应用。
本文的目的旨在帮助读者深入理解向量数乘韦达定理的内涵和外延，掌握其具体的数学推导和运用方法，以及了解其在不同领域中的应用情况。
同时，通过对该定理的研究和探讨，读者也可进一步认识到韦达定理在解决实际问题中的重要性和价值。
通过本文的阅读，相信读者能够对向量数乘韦达定理有一个全面而深刻的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。
此外，文章还将对向量数乘韦达定理的重要性进行总结，并对未来相关研究的发展方向进行展望。
最后，我们将给出本文的结论，总结文章的主要内容，并给出对进一步研究的建议。
本文将深入探讨向量数乘韦达定理，希望读者在阅读后能够对该定理有一个全面而深刻的理解，并将其应用于实际问题中。
文章结构部分的内容应该包括以下几个方面：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述：第一部分为引言部分，主要包括概述、文章结构和目的。
在概述中，将简要介绍向量数乘韦达定理的背景和意义。
在文章结构部分，我们将说明本文的整体结构和各个部分的内容安排。
在目的部分，将阐明本文的核心目的和研究意义。
第二部分为正文部分，本文将分为三个小节进行论述。
2.1 韦达定理的定义和原理：在这一小节，将详细介绍韦达定理的定义和原理，阐明其数学背景和基本思想。
同时，将补充一些基础的例子，以帮助读者更好地理解和掌握韦达定理的概念。
高次方程和韦达定理的推广
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积
程大师的奇妙技巧。为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开
始都被塔塔利亚拒绝了。但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，
他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密。
卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，
将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起。
然而，这种失信大大激怒了塔塔利亚。1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了。
1548年在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化。卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马。这个学生的名字叫费拉里.
他后来成为了四次方程求根公式的发现者
由p=-3ab可知
27a6 +p^3 = 27qa3
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事。
在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到
结果。于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方
直到他去世的时候才把这个公式传给了他的女婿和一个学生菲奥尔.
然而在15世纪近中.
非奥尔很不服气 于是约塔塔里亚进行比试
二人相约在米兰进行公开比赛。双方各出三十个三次方程的问题，
约定谁解出的题目多就获胜。
塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法。
韦达定理的应用及推广
韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。
在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。
韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=−bax 1x 2=ca 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−ba x 1x 2=c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1.求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2=−b±√b 2−4ac2a可得x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−bax 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=ca2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2)左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−ba ，x 1×x 2=c a与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a|三、 韦达定理的应用1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3，1A2+1B 2，A −B（2）求以1A、1B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程解(1)：由韦达定理知{A +B =−b aA ×B =c a∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB =b 2a2−2c a=b 2−2ac a 2A ３+B ３=(A +B)3−3AB (A +B )=−b 3a 3+3bc a 2=−b 3+3abca 31A 2+1B 2=A 2+B 2A 2B 2=b 2−2ac a 2÷c 2a 2=b 2−2acc 2A −B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√b 2−2ac a 2−2ca|=√b 2−4ac a 2=√b 2−4ac|a |解(2)：由韦达定理知{A +B =−ba A ×B =c a⟹ A 2+A +1+B 2+B +1=b 2−2ac a 2−ba+2=b 2−2ac−ab+2a 2a 2(A 2+A +1)(B 2+B +1)=c 2a 2+ac −bc a 2−b a +1+b 2−2ac a 2=a 2+b 2+c 2−ab −bc −caa 2∴此方程为a 2x 2−(b 2+2a 2−2ac −ab )x +(a 2+b 2+c 2−ab −bc −ca)=02. 证明恒等式：x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 2n )−x 1x 2(x 1n−1+x 2n−2) 证明：设x 1+x 2=A x 1x 2=B ,则x 1、x 2为方程x 2+Ax+B=0的两根∴{x 12=Ax 1−B x 22=Ax 2−B ⟹{x 1n+1=Ax 1n −Bx 1n−1x 2n+1=Ax 2n −Bx 2n−1⟹x 1n+1+x 2n+1=A (x 1n +x 1n)−B(x 1n−1+x 2n−1) ⟹x 1n+1+x 2n+1=(x 1+x 2)(x 1n +x 1n)− x 1x 2(x 1n−1+x 2n−1)3. 已知A 、B 是方程4ax 2−4ax +a +4=0的两个实数根○1适当选取实数a 的值，问能否使(A −2B)(B −2A)的值等于54 ○2求使A 2B2+B 2A 2的值为整数的整数a解○1:此必为一元二次方程，那么a ≠0 △=16a 2-16a(a+4)=-64a ≥0⟹a ≤0由韦达定理知{A +B =−1A ×B =a+44a 若(A −2B )(B −2A )= 54 ⟹ 9AB −2(A +B )2=54⟹9×a+44a−2=54⟹ 52a =36a +36⟹ a =9∵a ≤0又∵a =9>0∴无满足条件的a解○2 原式=(A+B )3−3AB (A+B )AB=1a+44a−3=4a a+4−3a+12a+4=1−16a+4所以a+4被16整除 所以a+4=±1、±2、±4、±8、±16且a ≤0所以满足条件的a=-3，-5，-2，-6，-8，-12，-204. 求证：不存在整数a 、b 、c 使得方程ax 2+bx +c =0与方程(a +1)x 2+(b +1)x +(c +1)=0都有两个整数根。
解方程练习题二次方程的韦达定理
解方程练习题二次方程的韦达定理解方程练习题——二次方程的韦达定理二次方程在数学中占有重要的地位，解二次方程是数学学习的基本内容之一。
本篇文章将针对二次方程的韦达定理进行深入讨论，帮助读者更好地理解和掌握解方程的方法。
一、什么是二次方程的韦达定理韦达定理是解二次方程的一种常用方法。
对于一般的二次方程ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，我们可以通过韦达定理来求解其根的数值。
韦达定理的核心思想是找到一个巧妙的等式，使得通过变换后的方程可以简化为形如(x-p)(x-q)=0的形式。
其中，p和q分别代表方程的两个根。
二、韦达定理的具体应用我们以下面两个例子来具体讲解韦达定理的应用。
例1：解方程x²-5x+6=0根据韦达定理，我们可以得到以下等式：(x-2)(x-3)=0通过展开等式，我们可以发现等式两边是相等的。
而根据乘法的先决定理，我们知道只有当两个因子至少有一个为零时，乘积才会为零。
所以，我们得到以下两个方程：x-2=0 或 x-3=0解上述方程可以得到方程的两个根：x=2 或 x=3例2：解方程2x²-7x+3=0同样地，我们可以使用韦达定理来解决这个方程。
首先，我们需要找到等式右边的形式：(x-p)(x-q)=0通过计算，我们可以得到以下等式：(x-1)(x-3)=0由乘法的先决定理，我们可以得到以下两个方程：x-1=0 或 x-3=0解上述方程可以得到方程的两个根：x=1 或 x=3三、韦达定理的推广除了刚才介绍的一般形式的二次方程，韦达定理还可以应用于其他形式的方程。
1. 一般形式的二次方程对于一般形式的二次方程ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，我们可以利用韦达定理进行求解。
具体的求法是：通过将方程两边展开，使其化简为(x-p)(x-q)=0的形式，然后解出方程。
2. 完全平方形式的二次方程对于完全平方形式的二次方程(x-a)²=b（a、b为已知数），我们可以通过韦达定理进行求解。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
韦达定理推广
韦达定理推广
韦达定理是数学中一个重要的定理，它指出三角形中三边长度的平方之和等于三角形内切圆半径的平方与三条角平分线长度的乘积。
但事实上，这个定理还可以推广到四边形、五边形和更高维度的图形中。
具体来说，对于一个$n$边形，我们可以将其分为$n-2$个三角形，然后根据韦达定理依次计算每个三角形的三条边长度平方之和与内切圆半径平方两者之比，再将这些数值相乘即可得到$n$边形的总面积。
这个推广过程在许多实际应用中非常有用，例如在土木工程中测量不规则形状的土地面积时，就可以通过将其划分为多边形，并利用韦达定理推广来得到准确的面积计算结果。
总之，韦达定理的推广为数学和实际应用提供了更多的可能性和工具，让我们能更好地理解和应用这个重要的定理。
关于韦达定理的证明方法
说起韦达定理，其实就是一元二次方程中根与系数的关系，说到这，你可能会想，难道这也算是定理吗？不就是把两个根加起来一次，乘起来一次吗？要是我出生的比韦达早，那这个定理就要改名了。
其实不是这样的，这个定理可以推广到n次方程，根据代数基本定理，n次方程有n个根，那么你还会求出这n个根来相加，相乘吗，不说很高次的，就比如说一元三次方程，其求根公式是：
其中（i² = - 1），那么他的根与系数的关系是
给你笔你有本事算算啊，还能是一加一乘就算出来吗？
到了五次以上的方程就没有求根公式了你还怎么算，找规律吗？
我个人认为，书上给出的韦达定理的证明那根本不叫证明而是验证
会误导学生..
接下来我会写出5种韦达定理的别样证法，其中1种为几何方法的证明
那么，接下来是几何证法，说是几何但需要借助平面直角坐标系的帮助
那么，到这里就结束了。
然后，补充一种与上面相似的几何证法。
韦达定理
6 -8
。 。
2:）已知 －x2＋mx＋n=0 且 x1＋x2 = －3 , ） ＋
5:）已知x2＋mx－1 = 0 的两个根 ）已知 － 互为相反数， 互为相反数，则m =
0
。
。
6:）已知x2＋7x－k= 0 的两根互 ）已知 － 为倒数， 为倒数，则k=
-1
• 例4
已知方程 2 x 2 + 4 x − 3 = 0 的两个根分别为 x1 , x2 ， 利用根与系数的关系，求下列各式的值： 利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1） ）
− b + b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac b x1 + x2 = + =− 2a 2a a − b + b 2 − 4 ac − b − b 2 − 4 ac c x1 x2 = • = 2a 2a a
与上述观察结果对比,可得到根系关系.
b x1 + x 2 = − a
c x1 ⋅ x2 = a
韦达定理） （韦达定理）
如果
2+bx+c=0 ax
(a=0)
的两个根是x 的两个根是 1和x2,那么 那么 b , x .x = c x1+x2= a a 1 2
不解下列方程，写出两根之和与两根之积。 不解下列方程，写出两根之和与两根之积。
一元二次方程 x2－7x＋1=0 ＋ 2x2－5x－4=0 －
1 2 1 - 3
x1·x2
6 3
1 - 2 2 - 3
观察上面的结果，你能发现什么规律？ 观察上面的结果，你能发现什么规律？
推广： 推广：
方程ax2+bx+c=0(a≠0 b2−4ac≥0)
【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【初中数学】初中数学韦达定理知识点总结
【—韦达定理总结】知识要点：一元二次方程ax+bx+c=0?a≠0?中，两根x1,x2有如
下关系：x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a。
韦达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设立两个根为x1，x2
则
x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a
用韦达定理推论方程的木
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)中，
由二次函数发推得若b^2-4ac<0则方程没实数根
若b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac>0则方程存有两个不成正比的实数根
推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程
∑aix^i=0
它的木记作x1,x2 (x)
我们有右图等式组
其中∑就是议和，π就是算草。
如果二元一次方程
在复数分散的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n次方程
在复数分散必存有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/a
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
科学知识诀窍总结：韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
韦达定理在方程学说中有著广为的应用领域。
数学百科小知识点：韦达定理
数学百科小知识点：韦达定理
数学百科小知识点：韦达定理
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韦达定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则
X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韦达定理判断方程的根
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0)中，
由二次函数推得若b^2-4ac0 则方程没有实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根
推广
一般的，对一个一元n次方程AiX^i=0
它的根记作X1,X2，Xn
我们有右图等式组
其中是求和，是求积。
如果二元一次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程。
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韦达定理推广的证明
证明：
当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程
ax^2+bx+c=0(a≠ 0)
有两个实根 ,设为 x1,x2.
由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取
x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a,
则： x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a]
=[(-b)^2-]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.
烽火 TA000DA 2014-11-04
若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用
的。
一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2⋯,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)
⋯
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程
在复数集中必有根。
因此，该方程的左端
可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。
两端比较系数即得
韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与
系数之间有这种关系，因此，人们把这个关
系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代
数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。
(3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法 )
在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个
根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须
射影定理图
掌握的 .
韦达定理推广的证明
设 x1 ，x2 ，⋯⋯， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。
则有： An(x-x1)(x- 所以：An(x-x1)(x-
x2) ⋯⋯ (x -xn)=0
x2) ⋯⋯ (x -xn)= ∑AiX^i
（在打开 (x-x1)(x- x2) ⋯⋯ (x -xn) 时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（ n-1 ）=- An(∑xi)
A（ n-2 ）=An(∑xixj)
⋯
A0==(-1)^n*An * ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)
⋯
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
有关韦达定理的经典例题
例1 已知 p ＋ q＝ 198 ，求方程 x2 ＋ px ＋q ＝ 0 的整数根．
( ’94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为 x1 、 x2 ，不妨
设 x1≤x2．由韦达定理，得
x1 ＋ x2 ＝－ p ， x1x2 ＝ q ．
于是 x1x2 －(x1 ＋ x2) ＝p ＋q ＝ 198 ，
即x1x2 －x1 － x2 ＋ 1＝
199 ．∴(x1 － 1)(x2 －1) ＝
199 ．
注意到 x1 －1、 x2 －1 均为整数，
解得 x1 ＝ 2，x2 ＝200 ；x1 ＝－ 198 ， x2 ＝0．
例2 已知关于 x 的方程 x2 － (12 －m)x ＋m － 1＝ 0 的两个根都是正整数，求m 的值．解：设方程的两个正整数根为x1 、x2 ，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1 ＋ x2 ＝12 －m ，x1x2 ＝m － 1．
于是 x1x2 ＋x1 ＋x2 ＝11 ，
即(x1 ＋ 1)(x2 ＋1) ＝ 12．
∵x1 、x2 为正整数，
解得 x1 ＝ 1，x2 ＝5； x1 ＝ 2，x2 ＝3．
故有 m ＝6 或 7．
例3 求实数 k，使得方程 kx2 ＋ (k ＋1)x
＋(k －1) ＝0 的根都是整数．
解：若 k＝ 0，得 x＝ 1，即 k＝ 0 符合要
求．若 k≠0，设二次方程的两个整数根为
x1 、
x2 ，由韦达定理得
∴x1x2 －x1 －x2 ＝ 2，
(x1 － 1)(x2 －1) ＝3 ．
因为 x1 － 1、x2 －1 均为整数，所以
例4 已知二次函数 y＝－ x2 ＋px ＋ q 的图像与 x 轴交于 ( α，0) 、( β，0) 两点，且α＞1＞β，求证： p ＋q ＞1．
( ’97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x2 ＋px ＋ q＝0 的两根为α、β．由韦达定理得
α＋β＝ p ，αβ＝－ q ．
于是 p＋ q ＝α＋β－αβ，
＝－ ( αβ－α－β＋ 1) ＋ 1
＝－ ( α－1)( β－1) ＋ 1＞1( 因α＞ 1＞β)．映射定理
正玄定理与余弦定理。