重要但常不为人知道的几何定理

阿基米德折弦定理：AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

角平分线定理

定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。该命题逆定理成立：在角的部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。该命题逆定理成立：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。

xv=uy

燕尾定理

因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）。

S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；

同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；

S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。

推论：

共边比例定理：四边形ABCD（不一定是凸四边形），设AC,BD相交于E，则有BE ：DE=S △ABC ：S△ADC。此定理是面积法最重要的定理.

典型例题：

如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．

答案：4

解析:过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积，由DM‖BF知道△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=

CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积．

解：过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，

因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等

所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积

DM‖BF所以△DMC相似△CBF 所以CM：CF=CD：CB=1：3

即FM=CF

因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，

所以AF=AC

所以△ABF的面积10×=4（平方厘米）

即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米

答：阴影部分的面积是4平方厘米，

故答案为：4．

共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

分角定理：在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有

BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

角定理:在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么

sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理：如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那么B,D,C三点共线。

角定理定理的推论：

在定理的条件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，则B D C共线的充要条件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为高线，则有如下关系：AB2+AC2=2BI2+2AI2

或作AB2+AC2=BC2/2+2AI2

重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。（三角形的重心是各中线的交点，）

共边定理

设直线AB与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM（有一条公共边的三角形叫做共边三角形）共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

证法2：S△PAB=(S△PAM-S△PMB)

=(S△PAM/S△PMB+1)×S△PMB

=(AM/BM+1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）

同理，S△QAB=(AM/BM+1)×S△QMB

所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）

定理得证！

特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=△QAB，则PB∥AQ

射影定理，又称“欧几里得定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·DC

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。

射影定理的推广证明

欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinα·sinβ（如图）

若已知二面角其中一个半平面某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值。

折叠角公式（又名：三余弦定理）：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是锐角）

通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面直线成的最小角．

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD 和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。