2013年高考数学试题(18)实际应用题

1.（湖北文理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，
显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=3200
31b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003
1,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003
1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；
当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．
所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值
3
10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
2.（湖北文）里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振
幅的__________倍。

答案：6,10000
3（山东文理）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，
长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803
π立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部
分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r . 【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3
243
r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,又因为2,02l r r ≥∴<≤，所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2
1608033
r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =
2216084r cr r πππ-+,定义域为(]0,2. （Ⅱ）由'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]
c r r π-- =328(2)20(2
c r r c π---）,(]0,2x ∈， 因为3,20c c >∴->，当3320200,=22r r m c c -==--即，
则0m >，所以 '228(2)()()c y r m r rm m r
π-=
-++， （1）当902,2
m c <<>即时，'0r m y ==时；当'0,)0r m y ∈<（时；',2)0r m y ∈>（时， 所以r m =是函数的极小值点，也是最小值点；
（2）当92,2m c ≥≤即3<时，当'(0,2)0,r y ∈<时，函数单调递减，2r ∴=是函数的最小值点； 综上：当92c >时，建造费用最小时3202
r c =-；当92c ≤3<时，建造费用最小时2r = 4（江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的r r |
l
高与底面边长的比值．
解：（1）由题意可知，正四棱柱的底面边长为x 2，高为)30(2)260(2
2x x -=- 1800)2
30(8)30(8)30(2242=-+⨯≤-=-⨯⨯=∴x x x x x x S 侧 等号成立时15=x ，即15=x ，包装盒的侧面积S 最大为21800
cm 。

（2）包装盒的容积)30(22)30(2222x x x x V -=-⨯=，则)20(26x x V -='，又300<<x ，所以当)20,0(∈x 时，0>'V ，)(x V 单调递增，)30,20(∈x 时，0<'V ， )(x V 单调递减，28000400022)20()(max =⨯==∴V x V ，此时包装盒的高与底面边长之比为212)30(2=-x
x 。

5（福建理）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =
+--，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a 的值
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

解：（1）根据题意有，)11,5(在函数2)6(103
-+-=
x x a y 的图像上，所以A
60
E
F B x x C
D P
2)65(103
511-+-=
a 解得：2=a （2）商场日销售利润为])6(1032[
)3()3()(2-+-⋅-=⋅-=x x x y x x f )63()6()3(1022<<-⋅-+=x x x
对)(x f 求导数得：])6()6)(3(2[10)(2-+--⨯='x x x x f )6)(4(30--=x x 63<<∴x ，当43<<x 时，0)(>'x f ，当64<<x 时，0)(<'x f
∴函数)(x f 在)4,3(上为单调增函数，在)6,4(上为单调减函数，所以函数)(x f 在4=x 时取到最大值42)4(=f 。

6（福建文）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及常数)10(<<x x 确定实际销售价格)(a b x a c -+=，这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于_____________.
解：由)(a b x a c -+=得：a
b a
c x --=，又))(()(2a b c b a c --=-，令n a b m a c =-=-, 则m n c b -=-，所以)(2m n n m -=，整理得：022=-+n mn m ，所以2
51±-=n m 此时，n m x =，而10<<x ，所以2
15-=x 。

7（湖南理）如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈。

E 移动时单位时间．．．．
内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12
，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当
移动距离d=100，面积S=
32时。

（Ⅰ）写出y 的表达式 （Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

解析：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202
v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v
=-+=-+. （II ）由(I)知，当0v c <≤时，55(310)(3310)15c y c v v v +=
-+=-； 当10c v <≤时，55(103)(3310)15c y v c v v
-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c v y c c v v +⎧-<≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩。

(1)当1003c <≤时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202
c y =-。

(2) 当1053
c <≤时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c =。

8（湖南文）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%．
（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；
（II ）设12,n n a a a A n
+++= 若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．
解析：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)13010;n a n n =--=-
当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为
34为等比数列，又670a =，所以 63
70();4n n a -=⨯
因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为⎪⎩
⎪⎨⎧≥⋅≤-=-7,)43(706,101306n n n a n n 。

(II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得
当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=-
当7n ≥时，
66
6786333()570704[1()]780210()444
3780210()4.n n n n n n S S a a a A n
---=++++=+⨯⨯⨯-=-⨯-⨯= 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又
86968933780210()780210()4779448280,7680,864996
A A ---⨯-⨯==>==< 所以须在第9年初对M 更新．
9.（陕西理）
植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题．
【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图）
，
1 2 … i … 19 20
那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是
(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯
(1)(20)(120)10[(20)]22
i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+ 210(21210)i i =-+，所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002
+⨯+++⨯=⨯⨯= ；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ 9(19)10(110)1021029001100200022
⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=，所以路程总和最小为2000米.
【答案】2000
12（陕西文）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳．．．．坑位的编号为（ ）
（A ）⑴和⒇ （B ）⑼和⑽ (C) ⑼和 ⑾ (D) ⑽和⑾
【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．
【解】选D （方法一） 选项
具体分析 结论
A ⑴和(20) ：10(1219)23800⨯+++⨯= 比较各个路程和可知D 符合题意 B
(9)：10[(128)2(1211)2]2040⨯+++⨯++++⨯= (10)：10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ =2000 C
(11)：10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ =2000 D
(10)和(11)：路程和都是2000
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10(1219)2⨯+++⨯ 19(119)10238002
+=⨯
⨯=；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯ 9(19)10(110)10210222⨯+⨯+=⨯
⨯+⨯⨯ 90011002000=+=，所以路程总和最小为2000米.。