六年级数学复习二元一次方程组和一元一次不等式和一元一次不等式组人教四年制版
六年级微专题复习之一元一次不等式的解法
六年级微专题复习之一元一次不等式的解法在本单元中，我们将梳理不等式及其基本性质(II)、一元一次不等式及其解得概念(II)、一元一次不等式的解法(III)及数轴表示不等式的解集(III)。
1、不等式的定义用不等号“>”“<”“≥”或“≤”表示的关系式，叫做不等式。
(1)方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系.(2)常用的不等号有“>”“<”“≥”“≤”和“≠”五种，在“≥”和“≤”中，只要有一个符号成立，该不等式就成立，如3≥2，2≤2，而“≠”仅表示左、右两边不相等。
1、“不小于”、“不低于”、“不少于”等表示“≥”；2、“不超过”、“不大于”、“不多于”等表示“≤”；3、“非负数”→“≥0”、“非正数”→“≤0”、“正数”→“＞0”、“负数”→“<0”.2、不等式的性质运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘以或除以同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向！不等式的其他性质：(1)反对称性：若a>b，则b<a；(2)传递性：若a>b，b>c，则a>c.1、不等式解得定义在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
(如不等式x<4的解有1、1.5、0.3、-5、-10...等数).2、不等式的解集的定义不等式的解的全体叫做不等式的解集. 一般情况下，一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个.3、一元一次不等式的定义只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.(如：12+x>2x就是一元一次不等式).4、在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，应注意两点：一是确定“端点”，二是确定方向.若解集包含“端点”，则用实心圆点；若解集不包含“端点”，则用空心圆圈.对于方向，相对于“端点”而言，大于向右画，小于向左画。
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组(学生)
第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。
本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。
过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。
情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。
2．二元一次方程组的解法。
3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。
2．二元一次方程组的消元技巧。
3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。
教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。
2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。
3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。
★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。
（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。
2．整式加减的去括号的方法。
3．合并同类项的方法。
★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
六年级数学一元一次不等式组和它的解法;一元一次不等式(组)的应用人教四年制版
六年级数学一元一次不等式组和它的解法；一元一次不等式（组）的应用人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容1. 一元一次不等式组和它的解法2. 一元一次不等式（组）的应用二. 教学目标和要求1. 知道一元一次不等式组的解集的含义2. 会借助数轴解一元一次不等式组3. 会利用一元一次不等式（组）解决简单的实际问题三. 教学重、难点1. 重点：一元一次不等式组的解法2. 难点：不等式组的解集的确定四. 知识要点1. 一元一次不等式组的有关概念（1）一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（2）一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
（3）解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
2. 解一元一次不等式组的步骤（1）分别求出这个不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集。
3. 确定由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集，有以下四种基本情况：（设【典型例题】[例1] 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<--)2(12312)1(7)14(x x x x解：解不等式（1），得174-<-x x 63<-x 2->x解不等式（2），得63)12(2≤-+x x 2634-≤-x x 4≤x在数轴上表示不等式（1）和（2）的解集为∴ 原不等式组的解集为42≤<-x [例2] 解不等式53123<-≤-x 解法一：解：把原不等式写成不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≤-)2(5312)1(3123x x解不等式（1），得4-≥x ，解不等式（2），得8<x ∴ 不等式组的解集为84<≤-x ∴ 原不等式的解集为84<≤-x解法二：解：去分母，得15129<-≤-x移项，得1628<≤-x 系数化为1，得84<≤-x ∴ 原不等式的解集为84<≤-x [例3] 解不等式组⎩⎨⎧->+>-)2(11)1(2)1(0xx a x解：解不等式（1），得a x > 解不等式（2），得3>x∴ ⎩⎨⎧>>3x ax当3>a 时，原不等式组的解集为a x >。
二元一次不等式组知识点讲解及习题
第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。
（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。
（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
【六年级寒假班讲义】第8讲：一次方程(组)和一次不等式(组)章节复习(学生版)
- 1 -一次方程（组）和一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第2章的内容．本章学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程组以及一元一次不等式（组）的概念及其解法，学习时应注意方程与不等式及其解法之间的联系与区别，体会消元与化归的数学方法和数学思想，加强用方程解决实际问题的意识．单元练习：一次方程（组）和一次不等式（组）内容分析知识结构一次方程（组）一次不等式（组）三元一次方程组一元一次方程二元一次方程（组） 一元一次不等式（组） 三元一次方程组一元一次方程二元一次方程组 消元消元多元一元化归思想实际问题检验解方程方程获得问题的解构建方程解决 问 题 方程意识- 2 -【练习1】 下列各式中，方程有（ ）个（1）633-+=-；（2）35x +=；（3）22ππ⨯=；（4）38a =；（5）7y =；（6）32p q -；（7）719nm +=；（8）1a a =+． A ．3B ．4C ．5D ．6【练习2】 下列各式中，一元一次方程有（ ）个（1）30x =；（2）437x y -=；（3）21303x -=；（4）()397y y --=；（5）23x -；（6）4x ≠． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习3】 下列各式中，二元一次方程有（ ）个（1）2311x y -=；（2）23xy =-；（3）35m y+=；（4）25p q ->；（5）221x x +=；（6）21953m n -=．A ．1B ．2C ．3D ．4【练习4】 下列各式中，二元一次方程组有（ ）个（1）()()23111x y xy x y +=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩；（2）31230x y x y +=⎧⎨-=⎩；（3）235x x y =⎧⎨+=-⎩；（4）3227x y x y -=+=+．A ．1B ．2C ．3D ．4【练习5】 二元一次方程组324526x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C ．112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩【练习6】 如果0m n <<，那么下列各式中正确的是（ ）A ．0.30.3m n <B ．22m n <C ．11m n <D ．m n m n -<+选择题- 3 -【练习7】 下列判断中正确的是（ ）A ．如果0x <，那么15x x <B ．不等式35x ->-的解集是53x <C ．如果113x <-，那么3x >-D ．不等式组11x x >⎧⎨<⎩的解集为1x =【练习8】 若方程()2210a x bx c +++=是表示字母x 的一元一次方程，则（ ）A ．12a =，0b ≠，c 为任意数 B ．12a ≠，0b ≠，0c = C ．12a =-，0b ≠，0c ≠D ．12a =-，0b ≠，c 为任意数【练习9】 下列式子中一定正确的是（ ）A ．23a a< B ．a b a -< C ．2a a >D ．322x x-< 【练习10】 下列说法中错误的是（ ）A ．方程ax b =的解是bx a=（0a ≠）B ．如果ax b ->，则bx a<-（0a ≠）C ．若2k =时，方程()22k x k -=无解D ．8-是不等式32x ->一个解【练习11】 下列各对数值，是方程342x y +=的解的为（ ）A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22x y =-⎧⎨=⎩C ． 114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ． 21x y =-⎧⎨=⎩【练习12】 某运输队运煤，第一天运了总量的27，第二天运煤恰好是第一天的23，还剩14 吨，设一共运煤x 吨，则可列出方程（ ）A ．22214773x x x +⨯=-B ．221473x x x ++=C ．222114737x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭D ．22214773x x x +÷+=【练习13】 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3 : 2，求两种球各有多少个？若设篮球有x 个，排球有y 个，则根据题意得到的方程组是（ ） A ．2332x y x y =-⎧⎨=⎩B ．2332x y x y =+⎧⎨=⎩C ．2323x y x y =-⎧⎨=⎩D ．2323x y x y =+⎧⎨=⎩【练习14】 已知不等式组00x a x b -<⎧⎨-<⎩的解集为x a <，则不等式组00x a x b +>⎧⎨+>⎩的解集为（ ）A ．x a <-B ．x a >-C ．x b >-D ．x b <-- 4 - 【练习15】 323x y+=的正整数解的个数为（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【练习16】 观察下列方程组，无解的是（ ）A ．61x y x y -=⎧⎨+=-⎩B ．52210x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．5229x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．423x y x y +=⎧⎨-=⎩【练习17】 已知不等式组5x x m >⎧⎨>⎩的解集为5x >，则m 的取值范围是（ ）A ．5m >B ．5m ≥C ．5m <D ．5m ≤【练习18】 已知方程组35223x y k x y k+=+⎧⎨+=⎩，其中x 是y 的2倍，则k 的值是（ ）A ．72-B ．72C ．0D ．以上都不对【练习19】 如果关于x 的不等式32x a ->的所有正整数解之和为6，则a 的取值范围为（ ） A ．5a ≥-B ．3a <-C ．53a -<<-D ．53a -≤<-【练习20】 如果关于x 的不等式组30310x m x m -->⎧⎨-+<⎩无解，那么m 的取值范围是（ ）A ．2m <B ．2m ≤C ．2m >D ．2m ≥【练习21】 若3350m x ---=是一元一次方程，则m =______．【练习22】 把方程5239x y -+=化成用含x 的式子表示y 的形式，得______________．【练习23】 用不等式表示：2x y+减去()21x --所得的差是非负数________________． 填空题- 5 -【练习24】 用不等号填空，并说明不等式变形过程．（1）若x y >，则4x -______4y -； （2）若235x +≤-，则3x ______7-； （3）若1233x x -≥-，则x ______2； （4）若x y >，则6x -______6y -； （5）若x y >，则2x -______2y -； （6）若x y >，0m >，则mx ______my ； （7）若m n ≥，20k +<，则mk ______nk ．【练习25】 解集32x -≤<中的整数解为__________________．【练习26】 不等式组340731x x +>⎧⎨-≥-⎩的解集为____________________．【练习27】 判断：（1）如果a b >，那么3232a b ->-；（ ） （2）如果a b <，那么22a b <；（ ） （3）如果22a b >，那么a b >；（ ） （4）如果a b >，那么a b >；（ ） （5）如果1a >，那么a 比1a大；（ ） （6）如果5a >，那么55a a -=-；（ ） （7）如果144m <-，那么1m <-；（ ）（8）如果x y >，那么()()2211m x m y -->--．（ ） 【练习28】 若0a b +<，且0ab >，则a ______0，b ______0．- 6 - 【练习29】 满足不等式()10484x x ++≤的最大整数解是_______．【练习30】 当x ______时，52x -的值是正的，此时最小的整数x =_______．【练习31】 如果43x y =⎧⎨=-⎩是方程436x ay -=的一个解，则a =______．【练习32】 如果3235351m n m n x y +--++=-是二元一次方程，那么m =______，n =_______．【练习33】 若357x -+=，则x =______．- 7 -【练习34】 若:5:3x y =，且x 与y 的和是10，则x =______，y =______．【练习35】 已知1y =是方程()1223m y y --=的解，那么关于x 的方程 ()()3225m x m x --=-的解是______．【练习36】 若关于x 、y 方程组352278x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，则a =______．【练习37】 如果()222303x y x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，那么2016y =______．- 8 - 【练习38】 甲、乙两班共有88名学生，若从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x 人，乙班y 人，可列出方程组_______________________，并解得甲班有______人，乙班有______人．【练习39】 有一个两位数，个位数字和十位数字之和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数．可设这个两位数的个位数字为x ，根据题意，可列不等式 ________________________，最后这个两位数为_______________________．【练习40】 若关于x 的不等式()22a x a +>+的解集是1x <，则a 的取值范围是______．- 9 -【练习41】 解方程：（1）1071253x x x +=--；（2）()()160%2180%22x x +-+=；（3）111257918643x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭； （4）1.88 1.5350.401.220.3x x x -----=．【练习42】 解不等式：（1）()23213x x +-≤；（2）()30%151%x x +<+；（3）()()11221225x x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥⎣⎦； （4）()()0.20.30.40.50.10.21110.030.066x x --->+．解答题【练习43】解不等式组：（1）()()3241353324x xx x⎧-->-⎪⎨+≤+⎪⎩；（2）()210381274332xxxxx⎧---≤-⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩；（3）13222364553522x xx xx x⎧+>+⎪⎪+>+⎨⎪⎪-<-⎩；（4）()1226323112184xxx xx x⎧+>⎪⎪⎪+≥+⎨⎪+-⎪-<-⎪⎩．【练习44】解方程组：（1）521347a ba b+=-⎧⎨+=⎩；（2）5.3 4.7804.75.320x yx y+=⎧⎨+=⎩；- 10 -- 11 -（3）34135353x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩；（4）2636315764949x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩．【练习45】 关于x 的方程()143321223x x x a x x +----=-的解是最小的质数的倒数，求a 的值．【练习46】 解方程：2015122320152016x x x +++=⨯⨯⨯．【练习47】若关于x、y的方程组2323ax byx y-=⎧⎨-=-⎩和3424y xax by-=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求a、b的值．【练习48】甲、乙两人同时求7mx ny-=的整数解，甲求出一组解为34xy=⎧⎨=⎩，而乙把7mx ny-=中的7看成1，求出一组解为12xy=⎧⎨=⎩，求m、n的值．【练习49】已知关于x、y的方程组321431x y px y p+=+⎧⎨+=-⎩满足x > y，求p的取值范围．【练习50】解方程组：252821126x yy zz uu x+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩．- 12 -。
六年级一元一次方程、二元一次方程组的解法及应用
六年级一元一次方程、二元一次方程组的解法及应用学生编号学生姓名授课教师辅导学科六年级数学教材版本上教课题名称一元一次方程、二元一次方程组的应用课时进度总第（）课时授课时间5月26日教学目标1.熟练掌握一元一次不等式和一元一次方程的解法和应用；2.会解二元一次方程组；能够熟练的运用二元一次方程组解决实际问题；3.使学生掌握三元一次方程、三元一次方程组和它的解的含义；重点难点1.二元一次方程组和三元一次方程组的解题技巧；2.根据应用题的题意列出二元一次方程组。
同步教学内容及授课步骤一、一知识梳理1.列二元一次方程组解应用题的步骤①弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；②找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系；③根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组；④解这个二元一次方程组，求出未知数的值；⑤检查所得结果的正确性及合理性；⑥写出答案．2.设未知数的几种常见方法（1）设直接未知数：即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个．（2）设间接未知数：即设的不是所求量．有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程．（3）少设未知数：有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解．（4）多设未知数：有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数．3.应用题常见的几种类型：（1）行程问题：①基本量之间的关系：路程＝速度×时间②解题时一般应画线段示意图。
（2）工程问题①基本量之间的关系：工作量＝工作效率×工作时间甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率②解题时，若工作总量是抽象的，通常把它设为单位1。
（3）浓度问题①基本量之间的关系：溶液＝溶质＋溶剂（指体积或质量）溶液的浓度＝溶质溶液×100% ②解题时应注意配制前后溶液中的不变量和变化量分别是什么？（4）利润问题：①有关量的关系：利润＝售价－进价利润率＝售价进价进价-×100% 利息＝本金×利率×期数1. 已知 z y x z y x 26=-=+)0(≠xyz ，则z y x ::= ；2. 解方程组：⎩⎨⎧=++=20233:2:1::z y x z y x3. 解方程组：435:4:3)(:)(:)(-=-+=+++z y x x z z y y x4.⎪⎩⎪⎨⎧=++==355:4:3:2:z y x z y y x【拓展题】方程组⎩⎨⎧-=--=+322m y x m y x 的解满足32=+y x ，求m 的值. 解法指导 把m 看作已知字母.求出的x 与y 的值是含有m 的式子，再把求出的x 与y 的值代入32=+y x ，得到关于m 的一元一次方程，再求出m 的值；也可以把这三个方程组成三元一次方程组，求出m 的值.【典型例题5】六年级（2）班去春游，全班分成若干个小组进行活动，其中女同学分成2组，第一组人数的2倍比第二组人数多4人；如果从第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等，求女同学的第一组、第二组人数分别是多少人？解法指导 设第一组的人数是x 人，第二组的人数是y 人.根据“第一组人数的2倍比第二组多4人”列出第一个方程，“第二组调2人到第一组，那么两个小组的人数相等”列出第二个方程.【基础习题限时训练】 1. 西部山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县一部分耕地改还为林地。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂 州 第 12 题 3 分 ) 若 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为
2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22； 【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节 一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集 表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在 数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取 值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种 方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、 销售费用问题，以解答题为主
二元一次方程组和一元一次不等式组家教辅导资料
知识结构：第七章二元一次方程组实二二元元二元一次际一一次次方程组的问方方解法程程题组应知一、基本概念二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
二元一次方程组：两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和 y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、基本法则二元一次方程组的解法主要运用“消元”思想。
主要方法有两种：代入消元法： 将一个未知数用另一个未知数来表示， 然后代入方程中， 消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
【注意】更多时候同一未知数的系数需经简单变形后， 才成为相反数或相等。
应会1. 列二元一次方程式 (组)。
2. 解二元一次方程组。
3. 用二元一次方程组解实际问题。
例题1. 下列方程组是不是二元一次方程组。
不是的请说明理由。
x 3y 4 xy 4 (1)5y 7 (2)5y72x2xx 3y 4 x 2 3y 4(3)z7(4)5y72x2x2. （ 1）方程（ a ＋2）x +( b-1) y =3 是二元一次方程，试求 a 、b 的取值范围 .a –1 是二元一次方程，试求 a 的值 .（ 2）方程 x∣ ∣+( a-2) y = 2 3. 已知下列三对值：x ＝－ 6 x ＝ 10 x ＝10y ＝－ 9y ＝－ 6y ＝－ 1（1）哪几对数值使方程1x－y＝6 的左、右两边的值相等？2（2）哪几对数值是方程组1 x y6的解？231y2x114.x a是方程 2x+y=2 的解，求 8a+4b-3 的值。
六年级数学 二元一次方程组
二元一次方程组教学目标：1、灵活运用代入消元法和加减消元法解解二元一次方程组。
2、会用二元一次方程组解决数学实际问题。
3、培养学生分析问题解决问题的能力，训练学生运用多种方法解题的能力，加强学生的数学逻辑思维。
教学重点：1、灵活运用代入消元法和加减消元法解解二元一次方程组。
2、会用二元一次方程组解决实际问题。
教学难点：会用二元一次方程组解决实际问题。
教学过程：一、旧知铺垫，引入新知幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。
问鸡、兔各几何？”师：同学们还记得有关鸡兔同笼的数学问题吗？（记得）我们是用什么方法来解决这类问题的呢？生：假设法。
师：除了假设法，还有其他的方法吗？生：用一元一次方程。
师：很好，同学们说的都很正确。
今天我们就一起先来看一个中国古代的算术问题：鸡兔同笼（PPT课件展示问题）。
用你们刚刚说到的两种方法来解答（学生自主完成，展示完成情况）算术方法：假设都是鸡一元一次方程：设鸡有x只，则列方程得35×2=70（条） 2x+4（35-x）= 9494-70=24（条） 2x+140-4x = 944-2=2（条） 2x = 46兔子的只数：24÷2=12（只）鸡的只数： x = 23 鸡的只数： 35-12=23（只）兔子的只数： 24÷2=12（只）师：同学们非常棒！除了这两种方法外，还有其他方法吗？今天这节课我们就一起来探究。
（板书课题）二、思维探索（一）出示例1展示例题：例1：今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？师：分析刚刚的数学问题，问题中要求什么呢？生：鸡和兔的只数各有几只。
（若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程）师：问题中要求两个未知量，我们不妨设这两个量分别为x和y，那我们可以得到哪些等量关系呢？生：鸡的只数+兔的只数=35只，可以得到x+y=35。
一元一次不等式(组)及二元一次方程(组)
一元一次不等式（组）及二元一次方程（组）一、不等式（组）及其性质用不等号>、<、≤、≥表示的关系式，叫做不等式。
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组，不等式组中的所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
不等式性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变，即：如果a>b ，那么a+m>b+m;如果a<b, 那么a+m<b+m.不等式性质2 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,且m>0，那么am>bm(或a m >b m)； 如果a>b,且m<0，那么am<bm(或a m <b m ). 不等式性质3 不等式的两边同时乘以（或除以）同一负数，不等号的方向改变。
即：如果a>b,且m<0，那么am<bm （或a m <b m）； 如果a>b,且m>0, 那么am>bm （或a m >b m ）. 二、一元一次不等式的解法在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解的全体叫做不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：① 去分母② 去括号③ 移项④ 化成ax>b 或ax<b （a ≠0）⑤ 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中的各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3、确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。
例1 解不等式2- 1-x 6 ＞x+42例2解不等式组例 3 若不等式组的解集为x＞3，求a的取值范围．三、用不等式和不等式组解决实际问题用不等式（组）解决实际问题的步骤1、一般步骤：⑴审题；⑵设未知数；⑶找出大小关系；⑷列出不等式（组）；⑸解不等式（组），并根据问题的实际意义确定问题的解.⑹检验，写出答案.2、注意：①“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”等词语很关键，一定要准确理解.②在实际问题中对答案很可能有一定的限制（往往取正整数），所以要根据实际情况把解集中的符合条件的解选出来.例4 在一次环保知识竞赛中，竞赛试题共有25道题.每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得4分，不选或错选倒扣2分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了多少道题？例5 今年9月份，我市某果农收获苹果30吨，梨13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹果4吨和梨1吨，乙种货车可装苹果、梨各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你设计出来.四、二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。
精品 中考数学一轮综合复习 第03课 方程与不等式(一元一次方程、二元一次方程组)
9.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置，再交换两木块的位置， 按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是（ A.73cm B.74cm C.75cm ） D.76cm
10.已知 x=-2 是方程 mx-6=15+m 的解，则 m= ______ 11.已知方程 (n 1) x
36.有一个水池,用两个水管注水.如果单开甲管,2 小时 30 分注满水池,如果单开乙管,5 小时注满水池. （1）如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟,然后由乙单独注水.问还需要多少时间才能把水池注满？ （2）假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 3 小时可以把一满池水放完.如果三管同时开放,多少 小时才能把一空池注满水？
37.张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说： “如果老师买全票一张，则学 生可享受半价优惠。 ”乙旅行社说： “包括老师在内按全票价的 6 折优惠。 ”若全票价为 240 元，当学生 从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
38.去年秋季以来,我市某镇遭受百年一遇的特大干旱,为支援该镇抗旱,上级下拨专项抗旱资金 80 万元 用于打井.已知用这 80 万元打灌溉用井和生活用井共 58 口， 每口灌溉用井和生活用井分别需要资金 4 万 元和 0.2 万元，求这两种井各打多少口？
39.小华从家里到学校的路是一段平路 和一段下坡路 .假设他始终保持平路每分钟走 60 米,下坡路每分 ．．．． ．．．．． 钟走 80 米,上坡路每分钟走 40 米,从家里到学校需 10 分钟,从学校到家里需 15 分钟.请问小华家离学校 多远？
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40.在“家电下乡”活动期间,凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价 13%的财政补贴.村 民小李购买了一台 A 型洗衣机,小王购买了一台 B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴 351 元,又知 B 型洗 衣机售价比 A 型洗衣机售价多 500 元.求：(1)A 型洗衣机和 B 型洗衣机的售价各是多少元？ (2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？
六年级微专题复习之一元一次不等式组及其解法
六年级微专题复习之一元一次不等式组及其解法
在本节中，我们将梳理一元一次不等式的定义、解法以及一元一次不等式的应用。
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
注意：(1)一元一次不等式组式由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一未知数的不等式；在不等式组中，每一个不等式的地位是相同的，缺一不可；(2)不等式组中不等式的个数至少是2，也可以更多。
解析：选项A中，第二个不等式是一元一次不等式，因此A不少一元一次不等式组；B中，两个不等式都含有两个未知数，因此B不是一元一次不等式组；C中，6<12不含未知数，因此C不是一元一次不等式组；只有选项D符合定义，故选D.
(1)不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。
(2)由两个不等数组成的不等式组的解集情况的讨论.当a>b时，则有：
(3)解一元一次不等式组的一般过程：
①求出不等式组中各个不等式的解集；
②在数轴上表示各个不等式的解集；
③确定各个解集的公共部分，得到不等式组的解集；
④看清题意，是否需要求整数解、非负整数解等。
根据题意列出不等式组，注意实际问题中有时需要取整数解.。
第13讲二元一次方程组(原卷版)六年级数学下学期重难点讲义
第13讲二元一次方程组1． 理解二元一次方程及二元一次方程组的解的概念；2． 掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法．1．求二元一次方程515x y +=的正整数解．2．解二元一次方程组82x y x y +=⎧⎨-=⎩，总结归纳解二元一次方程组的两种方法．1．已知3523254m n xy -+-=是二元一次方程，则m ＝__________，n ＝___________．2．二元一次方程2314x y +=的正整数解有__________个．3．如果42x y =⎧⎨=-⎩是方程436x ay -=的一个解，则a =_______________．4．一个二元一次方程组的解是12x y =⎧⎨=⎩－，这个二元一次方程组可以是 ．（只要写出一个符合条件的方程组即可）．5．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） （A ）31x y x z +=⎧⎨+=⎩ （B ）32x y y +=⎧⎨=⎩ （C ）233x y x y +=⎧⎨-=⎩ （D ）32x y xy +=⎧⎨=⎩练习例题1：解方程组23(1) 328(2) y xx y=-⎧⎨+=⎩试一试：解方程组28(1) 38250(2) x yx y-=⎧⎨--=⎩例题2：解方程组：5616(1) 231(2) x yx y+=⎧⎨-=⎩试一试：解方程组：23 5 (1) 32 1 (2)x yx y-=⎧⎨+=⎩例题3：解方程组1533()2(3)15 m nm n m n⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩试一试：解方程组4(2)17(1) 31(2) 24x yy x+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩1．（2021·上海市延安初级中学期末）如图，C 是线段AB 上的一点，D 是线段CB 的中点，已知图中所有线段的长度之和为16，且所有线段的长度都是正整数，则线段AC 的长度是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．52．（2021·上海·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）A ．31x y x z +=⎧⎨+=⎩B ．2121x y x y ⎧+=⎨+=-⎩C ．0235x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．212x y xy -=⎧⎨=⎩3．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）若方程232a b a b x y -+-=是关于x 、y 的二元一次方程，则ab =______．4．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）已知二元一次方程5x ＋2y ＝7，用含x 的式子表示y ＝______．5．（2021·上海·期末）将24x y +=变形成用含x 的式子表示y ，那么y =_______．6．（2021·上海普陀·期末）解方程组：42233x y x y +=⎧⎨+=⎩．7．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组32210x y x y -=⎧⎨+=⎩．8．（2021·上海市西南模范中学八年级期中）方程组111115x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解是______．9．（2021·上海市民办新世纪中学期末）解方程组：32(1)2324x y x y ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩①②．10．（2021·上海·期末）解方程组：262(2)10x y x y y -=⎧⎨-+=⎩．11．（2021·上海市民办扬波中学期末）已知不等式组()5131131722a a a a ⎧->+⎪⎨-<-⎪⎩的整数解a 满足方程组：27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩①②，求此方程组的解．12．（2021·上海市民办新世纪中学期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）A ．31x y x z +=⎧⎨+=⎩B ．32x y xy +=⎧⎨=⎩C ．233x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．32x y y +=⎧⎨=⎩13．（2021·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）①4223x y x y +=⎧⎨-=-⎩；①211x y y z -=⎧⎨+=⎩；①350x y =⎧⎨-=⎩；①22331x y x y ⎧-=⎨+=⎩．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）二元一次方程24x y +=的自然数解有______．（写出所有符合条件的解）15．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）关于x 、y 的方程组2125x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足4x y +>，求m 的取值范围．16．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）关于x 、y 的二元一次方程31x ay -=有一个解为32x y =⎧⎨=-⎩，则a 的值为______．17．（2021·上海中学东校期末）已知关于x 、y 的方程组23224x y mx y m +=⎧⎨+=-⎩的解满足5x y +=，则m 的值为______．18．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）如果方程组236441x y m x y m -=+⎧⎨+=+⎩的解中，x与y 互为相反数，求x ，y ，m 的值．19．（2021·上海民办建平远翔学校七年级期末）解方程组5132351123x y x y --⎧+=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩．20．（2021·上海市第四中学期末）解方程组：78388737x y x y +=⎧⎨+=⎩21．（2021·上海同济大学实验学校期末）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示．例如：()245f x x x =+-，把x =某数时，多项式的值用f （某数）来表示，例如1x =时多项式245x x +-的值记为()2114150f =+⨯-=．（1）已知()2231g x x x =-+，分别求出()1g 和12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再把2231x x -+分解因式．（2）若23x -和31x +都是()323215f x ax bx x =+++的因式，求a ，b 的值．22．（2021·上海市民办沪东外国语学校期末）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？。
一元一次不等式(组)与二元一次方程组中考总复习原创课件
【例1】解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点1】解一元一次不等式
解：去分母，不等式各项乘6，得2(2x－1)－3(5x+1)＜6. 去括号，得4x－2－15x－3＜6. 移项，得4x－15x＜6+2+3. 合并同类项，得－11x＜11. 系数化为1，得x＞－1. 解集在数轴上表示（略）
(1) (2)
6．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y的值为4； 当x＝－1时，y的值为10；当x＝2时，y的值为7， 求a，b，c的值
解：依题意在数轴上表示正确的是( )
D
A
D
提示:用整体思想,两个方程相加,得3x+3y=9.方程两边除以3,得x+y=3,故选D.
4.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来： (1)3y－2<1＋4y； (2)
解：(1) y>－3.解集在数轴上表示(略). (2)去分母，不等式各项乘6，得3(x－1)－6≥1+2x. 去括号，得3x－3－6≥1+2x. 移项，得3x－2x≥1+3+6. 合并同类项，得x≥10. 解集在数轴上表示(略) .
1. 已知a<b，若c是任意实数，则下列不等式总能成立的是( ) A．a－c>b－c B．ac<bc C．ac>bc D．a＋c<b＋c
3.已知方程组 ，则x＋y的值为( ) A．－1 B．0 C．2 D．3
【变式1】解不等式1－2(x＋3)≥3(1－2x)，并把它 的解集在数轴上表示出来．
解：去括号，得 1－2x－6≥3－6x. 移项，得 －2x+6x≥3－1+6. 合并同类项，得 4x≥8. 系数化为1，得 x≥2.解集在数轴上表示(略).
2024年中考重点之一元一次方程与一元一次不等式
2024年中考重点之一元一次方程与一元一次不等式一、引言2024年中考将重点考察数学中的一元一次方程与一元一次不等式。
这两个重要的数学概念在我们的日常生活中起着重要的作用，不仅能够帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将对一元一次方程与一元一次不等式的定义、性质以及解题方法进行详细介绍，希望能够帮助同学们更好地掌握这些知识点。
二、一元一次方程1. 定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 性质一元一次方程具有以下性质：- 等式两边同时加或减同一个数，仍然相等。
- 等式两边同时乘或除同一个非零数，仍然相等。
3. 解法解一元一次方程的基本思路是通过逆向运算，将未知数的项移到等式的一边，使得方程变为x = 常数的形式。
举个例子，我们来解一个一元一次方程3x + 5 = 2x - 1：首先，将方程中含有未知数x的项移到等式的一边，得到3x - 2x = -1 - 5；化简得到x = -6，即方程的解为x = -6。
三、一元一次不等式1. 定义一元一次不等式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b < 0或ax + b > 0，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 性质一元一次不等式具有以下性质：- 不等式两边同时加或减同一个非负数，不等关系保持不变。
- 不等式两边同时乘或除同一个正数，不等关系保持不变；但若乘或除的是负数，则不等关系反转。
3. 解法解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，也是通过逆向运算得到未知数的范围。
举个例子，我们来解一个一元一次不等式2x + 3 < 5：首先，将不等式中含有未知数x的项移到不等式的一边，得到2x <5 - 3；化简得到2x < 2；最后，将不等式两边同时除以2，得到x < 1，即不等式的解为x < 1。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
4．(2021·荆门第 15 题 3 分)关于 x 的不等式组1＋32x≥x－1 恰有 2 个
整数解，则 a 的取值范围是 5≤5a≤＜a＜6. 6
2x≥x－1， ① 5．(2021·武汉第 17 题 8 分)解不等式组4x＋10>x＋1 ②请按下列步骤 完成解答． (1)解不等式①，得 x≥x≥－－11； (2)解不等式②，得 x＞x＞－－33；
3x－2≥1， (2021·通辽)若关于 x 的不等式组2x－a<5 有且只有 2 个整数 解，则 a 的取值范围是－1－<a1<a≤≤11..
【思路点拨】先求出不等式组的解集(用含字母 a 的代数式表示)，再根 据不等式组有且只有 2 个整数解，可推出 a 的取值范围．
解含参不等式(组)的 8 个“母题”： (1)若不等式 ax>a 的解集是 x>1，则 a>0； (2)若不等式 x>a 的解集是 x>2，则 a＝2；
第四节 一元一次不等式(组) 及其应用
命题点 1：一元一次不等式组的解法及解集表示(近 3 年考查 18 次)
x－1＜－3， 1．(2020·黄石第 6 题 3 分)不等式组2x＋9≥3 的解集是
(
C)
A．－3≤x＜3
B．x≥－2
C．－3≤x＜－2
D．x≤－3
x－4≤2(x－1)，
某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和 篮球，用于学校球类比赛活动，每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同，已知篮球的单价比足球单价的 2 倍少 30 元，用 1 200 元购买 足球的数量是用 900 元购买篮球数量的 2 倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共 200 个，但要求足球 和篮球的总费用不超过 15 500 元，学校最多可以购买多少个篮球？
六年级春季班第11讲：一元一次不等式(组)及其解法-教师版
一元一次不等式（组）是初中数学六年级下学期第2章第3节的内容．本讲的重点是理解不等式的概念及其性质，并利用性质解不等式及不等式组．1、不等式的概念用不等号“>”、“<”、“≤”或“≥”表示的关系式，叫做不等式．2、不等式的性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或用一个含字母的式子，不等号的方向不变．即：如果a > b，那么a + m > b + m；如果a < b，那么a + m < b + m．3、不等式的性质2不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．即：已知m > 0，如果a > b，那么am > bm（或a bm m>）；如果a < b，那么am < bm（或a bm m<）．4、不等式的性质3不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．即：已知m < 0，如果a > b，那么am < bm（或a bm m<）；如果a < b，那么am > bm（或a bm m>）．一元一次不等式（组）及其解法内容分析知识结构模块一：不等式及其性质知识精讲【例1】 用不等式表示：（1）a 大于0：____________； （2）x y +是负数：_________；（3）5与x 的和比x 的3倍小：___________． 【难度】★【答案】（1）0>a ；（2）0<+y x ；（3）x x 35<+． 【解析】考察不等式的表达．【例2】 根据不等式的性质填空．如果a b >，则a m +______b m +； 如果x y <，则x n -______y n -； 如果p q ≥，则2p ______2q ； 如果m n ≤，则3m -______3n -． 【难度】★【答案】>；<；≥；≥．【解析】不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两 边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【总结】考察不等式的性质的运用．【例3】 根据不等式的性质填空．（填“>”或“<”）如果a b >，则()21m a --_______()21m b --； 如果a b <，则21a m +_____21bm +． 【难度】★★ 【答案】<；<．【解析】因为012<--m ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；因为012>+m ，所以不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【总结】考察不等式的性质的运用．例题解析【例4】 用不等式表示下列语句：（1）x 的2倍与3的差的相反数是正数； （2）a 与b 两数和的平方不大于100；（3）x 的14与x 的5倍的和是非负数；（4）x 除以3的商加上4，至多等于8． 【难度】★★【答案】（1）()032>--x ；（2）()1002≤+b a ；（3）0541≥+x x ；（4）843≤+x． 【解析】“不大于”可以转换为“≤”；“至多”可以转换为“≤”． 【总结】考察不等式的表示方法，注意对关键字的理解．【例5】 根据不等式的性质，把下列不等式表示为“x a >”或“x a <”的形式．（1）872x x >+； （2）163x <；（3）59x ->；（4）122x -<．【难度】★★【答案】（1）2>x ；（2）18<x ；（3）59-<x ；（4）21->x ．【解析】利用不等式的基本性质进行加减乘除，则可得到答案． 【总结】考察不等式的基本性质的运用．【例6】 比较下列各对数的大小．（1）若m < 0，比较2m 与3m 的大小；（2）若m > n ，比较233m -+和233n -+的大小；（3）比较2321x x -++和2323x x -+-的大小． 【难度】★★【答案】（1）m m 32>；（2）332332+-<+-n m ；（3）22321323x x x x -++>-+-．【解析】（1）因为32<，m < 0，所以m m 32>； （2）因为m > n ，所以n m 3232-<-，所以332332+-<+-n m ；（3）因为31->，所以22321323x x x x -++>-+-． 【总结】考察不等式的基本性质的运用．【例7】 比较a b +和a b -的大小． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当b b -=即0=b 时，b a b a -=+；当b b ->即0>b 时，b a b a ->+； 当b b -<即0<b 时，b a b a -<+．【总结】考察不等式性质的用法，注意分类讨论．1、 不等式的解和解集在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解的全体叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，如： 不等式x < 3的解集在数轴上的表示如下：不等式2x ≥-的解集在数轴上的表示如下：不等式23x -<≤的解集在数轴上的表示如下：模块二：一元一次不等式的解法知识精讲0注：-1上面的点是空心点01-1-4-5注：-1上面的点是空心点02、 解不等式求不等式的解集的过程叫做解不等式． 3、 一元一次不等式及其解法只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式． 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b >（或ax b <等）的形式（其中0a ≠）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．【例8】 检验3，3-是否是不等式3212x x +<-的解． 【难度】★【答案】3不是不等式的解；-3是不等式的解【解析】将3代入不等式中，可得不等式不成立，则3不是不等式的解；将-3代入不等式中不等式成立，则-3是不等式的解． 【总结】考察不等式解的定义．【例9】 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． （1） 2.5x ≤； （2）1x >-； （3）14x -<≤．【难度】★ 【答案】（1）（2）（3）【解析】考察数轴上不等式的表示．例题解析【例10】 根据数轴上表示的不等式的解集，写出满足条件的不等式．（1）（2）【难度】★【答案】（1）答案有无数个，例如42-≥x ；（2）答案有无数个，例如224<≤-x ． 【解析】（1）由数轴可知解集为2-≥x ，则可写成不等式为42-≥x ；（2）由数轴可得解集为12<≤-x ，则可写出不等式为224<≤-x ． 【总结】考察不等式的解集的定义．【例11】 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A ．21x y +> B ．720-< C ．323x x ->+ D ．24x> 【难度】★ 【答案】C【解析】A 答案中有两个未知数；B 答案中没有未知数；D 答案中有分式．所以均不是一元一次不等式．【总结】考察一元一次不等式的概念．【例12】 填空：（1）满足不等式5x <的最大整数解是______； （2）满足不等式4x ≤的非负整数解是______． 【难度】★【答案】（1）4；（2）0，1，2，3，4． 【解析】（1）满足不等式5x <的最大整数解是4；（2）满足不等式4x ≤的解集为44≤≤-x ，其中非负整数解为0，1，2，3，4． 【总结】考察不等式整数解的求法，注意看清题目的要求．【例13】 填空：不等式315x ≤的解集是___________；不等式315x -≤-的解集是___________． 【难度】★【答案】5≤x ；5≥x ．【解析】不等式315x ≤的两边同时除以3可得解集为5≤x ； 不等式315x -≤-的两边同时除以-3可得解集为5≥x ． 【总结】考察不等式的解集的确定．2-【例14】 解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来：（1）332x-≥-； （2）()2540.5x x -<+；（3）()()321251x x x --≤+． 【难度】★★【答案】（1）0≥x ；（2）27->x ；（3）27≤x ；数轴上的表示见解析．【解析】（1）移项可得：02≥x，解得：0≥x ；（2）去括号可得：2452+<-x x ，移项可得72<-x ，解得：27->x ；（3）去括号可得：55423+≤+-x x x ，移项可得72≤x ，解得：27≤x ．【总结】考察不等式的解法和数轴上解集的表示方法．【例15】 解下列不等式：（1）21326x x --≤；（2）121180.50.25x x -++>； （3）0.020.030.50.10.020.3x x -+≥． 【难度】★★【答案】（1）6≥x ；（2）58>x ；（3）194≤x ．-5-4-110注：-3.5上面的点是空心点01-1-4-5-5-4【解析】（1）两边同时乘以6可得：()x x ≤--2318，去括号可得：x x ≤+-6318，移项可得：244-≤-x ，解得：6≥x ∴不等式的解集为6≥x ；（2）两边同时乘以0.5可得：()91221>++-x x去括号可得：9241>++-x x ，移项可得：85>x ，解得：58>x ∴不等式的解集为58>x ； （3）不等式可变形为315232+≥-x x ，两边同时乘以6可得：()()152323+≥-x x 去括号可得：21096+≥-x x ，移项可得：419-≥-x ，解得：194≤x ∴不等式的解集为194≤x ． 【总结】考察不等式的解法．【例16】 求满足不等式11136y y +--≤的非负整数解． 【难度】★★ 【答案】0、1、2、3．【解析】不等式两边同时乘以6可得：()()6112≤--+y y ，去括号可得：6122≤+-+y y ，移项可得：3≤y ， 则满足不等式的非负整数解为0、1、2、3．【总结】考察不等式的解法，注意最终求得是非负整数解．【例17】 已知不等式()()52186117x x -+<-+的最小整数解是方程24x ax -=的解，求a的值． 【难度】★★★ 【答案】4=a ．【解析】不等式去括号可得：176618105+-<+-x x ，移项可得：3<-x ，解得：3->x ，则不等式的最小整数解为2-=x ，所以-2是方程24x ax -=的解，则424=+-a ，解得：4=a ． 【总结】考察不等式的解法和方程解的定义，综合性较强，认真分析．【例18】 解不等式：11315111x x x x ++>+-++． 【难度】★★★【答案】1<x 且1-≠x ．【解析】两边同时减去11+x 可得：1513->+x x ，移项整理可得：22->-x ，解得：1<x ，而01≠+x ，所以1-≠x ，所以不等式的解集为1<x 且1-≠x ． 【总结】考察不等式的解法．注意要考虑分母不能为0．1、 一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 2、 不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集． 3、 解不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组． 4、 解一元一次不等式组的一般步骤（1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．模块三：一元一次不等式组知识精讲【例19】 利用数轴确定下列不等式组的解集： （1）22x x >-⎧⎨≥⎩；（2）22x x <-⎧⎨≤⎩； （3）22x x >-⎧⎨≤⎩； （4）22x x <-⎧⎨≥⎩； （5）212x x x >-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩．【难度】★【答案】（1）2≥x ；（2）2-<x ；（3）22≤<-x ；（4）无解；（5）21≤≤x ． 【解析】由数轴可得解集．【总结】不等式组的解集规律是：“同大取大，同小取小，一大一小取中间”．【例20】 若a < b ，则不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是__________．【难度】★ 【答案】b x >．【解析】由数轴可得解集．【总结】不等式组的解集规律是：“同大取大，同小取小，一大一小取中间”．【例21】 解不等式组： （1）230320x x -≤⎧⎨+>⎩；（2）39217531x x x +<⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩；（3）53126x--<≤． 【难度】★ 【答案】（1）32≥x ；（2）64<≤x ；（3）31137<≤-x ． 【解析】（1）不等式①可得：32≥x ；不等式②可得：23->x ， 则不等式组的解集为32≥x ； （2）不等式①可得：6<x ；不等式②可得：4≥x ；不等式③可得：34>x ， 则不等式组的解集为64<≤x ；例题解析（3）不等式组可化为：⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-26351635x x，不等式①可得：311<x ；不等式②可得：37-≥x ， 则不等式组的解集为31137<≤-x 【总结】考察不等式组的解法，注意利用性质求出每一个不等式的解集，再求出公共部分．【例22】 解不等式组： （1）()()2341324x x x x -->⎧⎪⎨--≥⎪⎩；（2）()51116313143x x x x ⎧-≤+⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩； （3）24341532736x x x x x x +>+⎧⎪->-⎨⎪+>+⎩．【难度】★★【答案】（1）2<x ；（2）803x <≤；（3）11<<-x ．【解析】（1）不等式①去括号移项可得：2->-x ，解得：2<x ；不等式②去括号移项可得：4112->-x ，解得：211<x ，则不等式组的解集为2<x ；（2）不等式①去括号移项可得：1423x ≤，解得：83x ≤；不等式②移项可得：0121<-x ，解得：0>x ， 则不等式组的解集为803x <≤；（3）不等式①可得：1->x ；不等式②可得：2<x ；不等式③可得：1<x 则不等式组的解集为11<<-x ． 【总结】考察不等式组的解法．【例23】 求不等式组()()714360.5125x x x x ⎧-<+⎪⎨+≥-⎪⎩的整数解．【难度】★★【答案】整数解为-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3．【解析】不等式①去括号移项可得：103<x ，解得：310<x ； 不等式②去括号移项可得：11-≥x ；则不等式组的解集为31011<≤-x ．所以不等式组的整数解为-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3． 【总结】考察不等式组的解法，注意审题仔细，需要求整数解．【例24】 不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x > 3，则a 的取值范围是________．【难度】★★ 【答案】3≤a ．【解析】根据“同大取大”的原则可知3≤a ．【总结】考察不等式组的解法及其不等式组的解集的运用．【例25】 解不等式组：（1）()35311520.50.40.4 1.5x x x x x +⎧++>-⎪⎨⎪-≤+⎩；（2）()()()37173410257364171153x x x x x x -++⎧+>-⎪⎨⎪-+-<--⎩；（3）()21311333115445x x x x x⎧---<-⎪⎪⎨-+⎪≥⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）45-≥x ；（2）无解；（3）2123≤<-x ．【解析】（1）不等式①左右两边同时乘以10可得：()()102532130->+++x x x ，移项整理可得：467->x ，解得：746->x ， 不等式②两边同时乘以10可得：15445+≤-x x ，移项整理可得：108≤-x ，解得：45-≥x ，所以不等式组的解集为45-≥x ；（2）不等式①左右两边同时乘以10可得：()()x x x 372401573+->++-， 移项整理可得：184>x ，解得：29>x ， 不等式②去括号可得：155114684221+-<-+-x x x ， 移项整理可得：022<x ，解得：0<x ，所以不等式组无解； （3）不等式①左右两边同时乘以3可得：()129313--<--x x x ，移项整理可得：64<-x ，解得：23->x ，不等式②两边同时乘以20可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-414515x x ， 去括号移项整理可得：12-≥-x ，解得：21≤x ， 所以不等式组的解集为2123≤<-x ． 【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解．【例26】 解不等式组：（1）()354112142322x x x x x +>-⎧⎪⎨+<-≤⎪⎩； （2）()273321831312x x x x x x -⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-⎪-<-⎩； （3）()()3121211421345x x x x x x ⎧-≥+-⎪⎪⎪-≤+⎨⎪-+⎪>⎪⎩． 【难度】★★ 【答案】（1）635<<x ；（2）61≤<x ；（3）17>x ． 【解析】（1）不等式①可得：6<x ，不等式②可变为：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--<+2221324132421x x x x ，由（1）可得：35>x ；由（2）可得：524-≥x ，所以不等式组的解集为635<<x ； （2）解不等式①可得：1->x ，解不等式②可得6≤x ，解不等式③可得1>x ， 所以原不等式组的解集为61≤<x ；（3）解不等式①可得：3≥x ，解不等式②可得10-≥x ，解不等式③可得17>x ， 所以原不等式组的解集为17>x ．【总结】考察不等式组的解法，注意不等式组的解集是各个不等式的解集的公共部分．【例27】 求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围．【难度】★★★【答案】572m <<．【解析】将第一个方程乘以4与第二个方程相减可得：52-=m y ，代入第一个方程可得：m x -=7，因为x 、y 都是正数，所以⎩⎨⎧>->-05207m m ，解得：725<<m ．【总结】考察方程组和不等式组的解法，注意对题意的正确理解．【例28】 若不等式组2224x ax a-≥⎧⎨+<⎩无解，求a 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】2≤a ．【解析】不等式①可得：22+≥a x ；不等式②可得：24-<a x ， 因为不等式组无解，所以2224+≤-a a ，解得：2≤a ． 【总结】考察不等式组的解法以及对不等式组无解的理解．【例29】 不等式组21x a b x a b+>+⎧⎨-<-⎩的解集是32x -<<，求()2017a b +的值．【难度】★★★ 【答案】-1．【解析】不等式①可得：2-+>b a x ；不等式②可得：1+-<b a x ，因为不等式组的解集是32x -<<，所以⎩⎨⎧=+--=-+2132b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==10b a ，所以()()2017201711a b +=-=-．【总结】考察不等式组的解法及对不等式组的解集的理解和运用．【例30】 当37a ≤≤，59b ≤≤时，下列各不等式是否成立？为什么？（1）816a b ≤+≤； （2）62a b -≤-≤；（3）1563ab ≤≤；（4）537ba≤≤．【难度】★★★【答案】都成立．理由见解析．【解析】（1）因为73≤≤a ，所以b b a b +≤+≤+73，因为95≤≤b ，所以1238≤+≤b ，16712≤+≤b ，所以816a b ≤+≤； （2）因为73≤≤a ，所以b b a b -≤-≤-73， 因为95≤≤b ，所以59-≤-≤-b ，所以236-≤-≤-b ，272≤-≤-b ，所以62a b -≤-≤； （3）因为73≤≤a ，0>b ，所以b ab b 73≤≤，因为95≤≤b ，所以27315≤≤b ，63735≤≤b ，所以1563ab ≤≤；（4）因为59b ≤≤，0>a ，所以a a b a 95≤≤，因为37a ≤≤，所以11173a ≤≤，所以55573a ≤≤，9937a ≤≤，所以537ba≤≤． 【总结】考察不等式的性质的综合运用．【习题1】 已知1a <-，在下列各式中错误的是（ ）A ．10a +<B ．0a <C ．21a a <-D ．32a a >【难度】★ 【答案】D【解析】D 答案可得：0>a ，不符合1a <-． 【总结】考察不等式的解集．随堂检测【习题2】 如图，数轴表示的解集是不等式组（ ）A ．23x x ≥⎧⎨<-⎩B ．23x x >⎧⎨<-⎩C ．23x x ≤⎧⎨>-⎩D ．23x x <⎧⎨≥-⎩【难度】★ 【答案】D【解析】注意左边的是实心点，右边的是空心点． 【总结】考察不等式组的解法．【习题3】 用不等式表示：（1）x 与y 的一半的和是非负数； （2）a 的3倍与b 的10倍的和不等于6； （3）比b 的18%少19的数比19小． 【难度】★ 【答案】（1）02≥+yx ；（2）6103≠+b a ；（3）191918<-b ％． 【解析】考察不等式的表示．【习题4】 满足不等式5213x -≤-<的所有整数解的和等于________． 【难度】★★ 【答案】2-【解析】不等式变形为⎩⎨⎧<--≥-312512x x ，解得：22x -≤<，则不等式的整数解为2101--、、、，则其和为2-． 【总结】考查不等式的解法，注意对整数解的理解．【习题5】 已知关于x 的不等式组2x x a<⎧⎨>⎩的解集是2a x <<，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．2a <C ．2a ≥D ．2a ≤【难度】★★ 【答案】B【解析】考察对等式组的解集的理解．【习题6】 解不等式：（1）212567234x x x -+--≤；（2）()()11435023x x ⎡⎤---+>⎢⎥⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）145-≥x ；（2）1411x <． 【解析】（1）不等式两边同时乘以12可得：()()()763524126-≤+--x x x ，去括号移项可得：514≤-x ，解得：145-≥x ， 所以不等式组的解集为145-≥x ； （2）不等式两边同时乘以-2可得：()053134<+--x x ， 去括号移项可得：111433x <，解得：1411x <， 所以不等式组的解集为1411x <． 【总结】考察不等式的解法，注意对性质的准确运用．【习题7】 解不等式组：（1）()512632145233x xx x +>-⎧⎪+⎨+->-⎪⎩；（2）()()2211232242xx x x ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪++≤⎪⎩．【难度】★★【答案】（1）5>x ； （2）010≤≤-x ．【解析】（1）解不等式①可得：43->x ，解不等式②两边乘以3可得：()x x +->-+126154， 去括号移项整理可得：153>x ，解得：5>x ， 所以不等式组的解集为5>x ；（2）解不等式①可得：10-≥x ，解不等式②可得：0≤x ， 所以不等式组的解集为010≤≤-x ．【总结】考察不等式组的解法，注意对不等式组的解集的准确理解．【习题8】 a 取什么负整数时，关于x 的方程28x a =+的解是正整数． 【难度】★★★ 【答案】246---、、． 【解析】解方程可得：28ax +=． ∵方程的解为正整数，所以028>+a，解得：8->a ， 因为a 取负整数，且方程的解为正整数， 所以a 的值可取246---、、．【总结】考察一元一次方程的解法和整数解的讨论方法．【习题9】 如果不等式20.532x a->与()5120x a -<-的解集完全相同，求a 及不等式的解集． 【难度】★★★【答案】5=a ；不等式的解集为4>x ．【解析】不等式①两边同时乘以6可得：()a x 35.022>-，去括号移项可得134+>a x ，解得：413+>a x ， 不等式②去括号移项可得：255-<-a x ，解得：525-->a x ， 因为不等式的解集相同，所以525413--=+a a ， 解得：5=a ，不等式的解集为4>x ． 【总结】考察对不等式的解集的运用及理解．【习题10】 如果关于x 的不等式30x a -<的正整数解是1、2，那么a 的取值范围是多少？ 【难度】★★★ 【答案】96≤<a ． 【解析】不等式的解集为3a x <，因为不等式的正整数解是1、2，所以332≤<a， 解得：96≤<a ．【总结】考察不等式的解法及对正整数解得准确理解及运用．【作业1】 由x < y 得到ax > ay ，则a 应满足（ ）A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥【难度】★ 【答案】A【解析】不等号方向改变，则a 为负数． 【总结】考察不等式的性质．【作业2】 满足不等式337x x +<+的最小整数为________． 【难度】★ 【答案】-1【解析】解不等式可得：2->x ，则其最小的整数为-1． 【总结】考察不等式的解法和整数解．【作业3】 （1）不等式组23x x >⎧⎨>⎩的解集是____________；（2）不等式组22x x <⎧⎨≥-⎩的解集是___________．【难度】★【答案】（1）3>x ；（2）22<≤-x ． 【解析】考察不等式组的解集的求法．【作业4】 用不等式表示：（1）比m 的30%少11的数是负数； （2）a 与b 的平方和的相反数不为正数； （3）a 的40%与b 的70%的差至少为1000． 【难度】★★【答案】（1）01130<-m ％；（2）()022≤+-b a ；（3）10007040≥-b a ％％． 【解析】“不为正数”可以转换为“0≤”；“至少为1000”可以转换为“1000≥” 【总结】考察不等式的表示方法．课后作业【作业5】 已知01a <<，则下列各式中正确的是（ ）A ．11a a <<B ．11a a <<C ．11a a <<D ．11a a<< 【难度】★★ 【答案】C 【解析】取21=a ，则21=a ，21=a ，所以aa 11<<． 【总结】比较有理数的大小．【作业6】 解不等式： （1）()311211423x x x -++-≥-； （2）4 1.550.5 1.20.50.20.1x x x---->． 【难度】★★ 【答案】（1）1123≥x ；（2）1425-<x ． 【解析】（1）不等式左右两边乘以12可得：()()()124161219+-+≥--x x x去括号移项可得：2311≥x ，解得：1123≥x ，所以不等式的解集为1123≥x ； （2）方程两边同时乘以1可得：()()()x x x ->---2.1105.0555.142 去括号移项可得：5.127>-x ，解得：1425-<x ，所以不等式的解集为1425-<x ． 【总结】考察不等式的解法，注意性质的准确运用．【作业7】 求不等式组350177433x x x ->⎧⎪⎨-<+⎪⎩的整数解．【难度】★★ 【答案】2、3、4、5． 【解析】解不等式①可得：35>x ，解不等式②可得：6<x ， 所以不等式组的解集为635<<x ，则整数解为2、3、4、5． 【总结】考察不等式组的解法，注意题目中求的是不等式组的整数解．【作业8】 解不等式组： （1）()1631143422x x x +-≤<-+； （2）11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩． 【难度】★★【答案】（1）13>x ； （2）8>x 且10≠x ．【解析】（1）不等式组可转换为：()1631426314322x x x x +⎧-≤⎪⎪⎨+⎪<-+⎪⎩①② 不等式①两边同时乘以4可得：()3624+≤-x x去括号移项整理可得：1011≤-x ，解得：1110-≥x 不等式②两边同时乘以2可得：()13836+-<+x x去括号移项整理可得：262-<-x ，解得：13>x所以不等式组的解集为13>x ．（2）不等式①可转换为：41>-x 且010≠-x ，解得：5>x 且10≠x ， 不等式②解得：8>x ，所以不等式组的解集为8>x 且10≠x ．【总结】考察不等式组的解法，注意第二个不等式组中要强调分母不为零．【作业9】 求不等式组20x x a >⎧⎨≥⎩的解集． 【难度】★★★【答案】见解析．【解析】因为02≥a ，所以当0=a 时，不等式组可化为：⎩⎨⎧≥>00x x ，则其解集为0>x ， 当0≠a 时，02>a ，则不等式组的解集为2a x ≥．【总结】考察不等式组的解法，注意分类讨论．【作业10】 已知2a >，2b >，试比较a b +与ab 的大小．【难度】★★★【答案】b a ab +>．【解析】因为()b a ab +-()()()()()1111111111---=----=-+--=-++-=b a b b a b a ab b a ab ， 且2a >，2b >，所以()()111>--b a ，所以()()0111>---b a ，即()0>+-b a ab ， 所以b a ab +>．【总结】考察有理数比较大小，注意利用因式分解的思路去解题．。
第8讲一元一次不等式(原卷版)六年级数学下学期重难点讲义
第8讲一元一次方程1． 掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形；2． 理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；3． 掌握解一元一次不等式的方法和步骤并准确地求出不等式的解集．案例：猴子分桃海滩上有一堆桃子，是两只猴子的共有财产，猴子性急，有时也很正直，第一只猴子来到海滩后想要取走自己的一份，于是便把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，第二只猴子来到海滩后也想取走自己的一份，猴子总归是猴子，它无法知道伙伴已取走一份，于是第二只猴子又把桃子均分为两堆，发现还多一个，便把多余的一个扔进大海，取走自己应得的一份，如果原有的桃子数不少于100，那么第一只猴子至少可以取走几个桃子呢？例题1：若a b <，用“＞”号或“＜”号填空：5____5a b --， －2a －2b ， 12____12a b -+-+， 6____6a b --， 35a -+_____35b -+ 23a +_____23b +试一试：（1）下列不等式的变形正确的是（ ）A ．由a b <，得ac bc <B ．由x y >，得22xz yz >C ．由22xz yz >，得x y >D ．由a b <，得11a b ->-（2）已知0a b >>，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A ．2ab b > B ．2a b b +> C ．11a b < D ．ac bc >例题2：解不等式：3(1)614x x --+>+试一试：解不等式：2(53)3(12)x x x +≤--例题3：解不等式532123x x ++-<，并把不等式的解集表示在数轴上。
试一试：解不等式2352323x x x x -+--≥-,并把它的解集在数轴上表示出来.例题4：解不等式：0.2 1.20.120.130.30.05x x ---≤-试一试：解不等式：12180.50.25x x -++≥例题5：小丽带了30元钱去超市，准备买4支水笔和2本笔记本，小丽先选了每本4元的笔记本，那么她选的水笔单价不能超过多少元？试一试：10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？1．如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ）A ．ab ＞0B ．ac ²＞bc ²C ．ca ＞cbD ．a +3＜b 32．下列说法中不正确的个数有（ ）①有理数21m +的倒数是211m + ①绝对值相等的两个数互为相反数①绝对值既是它本身也是它的相反数的数只有0①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则乘积为负数①若a b >，则22(1)(1)a c b c +>+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．3388Y X ⨯>，那么（ ） A ．X Y <B ．X Y >C ．X Y =D ．无法确定4．不等式313x x -<+的自然数解是_________．5．一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为x 元，则x 的取值范围是______________6．不等式组36x x <-⎧⎨≤⎩的解集是_______．7．不等式的3x ﹣6≤2+x 非负整数解共有 ___．8．解不等式：213232x x --，并把它解集在数轴上表示出来．9．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？10．解不等式组：5(9)156(1)122455x x x x ->--⎧⎪⎨--⎪⎩．11．解不等式：253164x x --+．12．解不等式组：52(1)16532x x x +->-⎧⎪⎨-≥--⎪⎩，并将其解集在数轴上表示出来．1．不等式3442(2)x x -+-的最小整数解是（ ）A ．4-B ．3C ．4D ．52．若|m ﹣1|+m ＝1，则m 一定（ ）A ．大于1B ．小于1C ．不小于1D ．不大于13．如果a 、b 都是实数，且a b <，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．1a b < B ．1a b -+>- C ．11a b > D ．||||a b <4．不等式528x +的非负整数解为__．5．不等式35x x -<的解集是__．6．不超过数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]例如，[3.4]=3，[2.1]=3则满足关系式[37]6x +=5的x 的整数值有________7．若不等式763x x -的最小整数解是a ，不等式47413x x -<+的最大负整数解是b ，则ab =_____．8．解不等式组：563(1)1135x xx x+>+⎧⎪-+⎨≤⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来9．已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？10．渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共4000尾，甲种鱼苗每尾0.6元，乙种鱼苗每尾0.8元．(1)若购买这批鱼苗共用了2900元，甲乙两种鱼苗分别购买了多少尾？(2)若要使这批鱼苗的费用不超过3000元，那么应至少购买多少尾甲种鱼苗？11．在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款.其中六年级的两个班级的捐款情况如下表：小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息：信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元；信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元；请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：(1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？(2)六（2）班的学生数至少是多少人？12．解不等式组：3(1)512242x xxx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并写出它的所有非负整数解．。
六年级数学复习二元一次方程组和一元一次不等式和一元一次不等式组人教四年制版
3 分钟，问他家平均每
月通话至少多少次？
解： 设他家平均每月通话 x 次。
24 0.18x 42 18x 1800 x 1 0 0
∵ 通话次数为正整数
∴ x 取 101
答：他家平均每月通话至少 101 次。
【模拟试题】
（答题时间： 60 分钟）
一. 填空
1. 方程 2x y 7 的所有正整数解是
。
x0 x4
的整数解有 5 个，则求 a 的取值范围。
x a 0 (2)
解： 由（ 1）得 x 2 ∴ a 的取值范围是
由（ 2）得 x a 4a 3
∵ 不等式组有 5 个整数解
-4 -3 -2 -1 0 1 2
[ 例 5] 若 4 a 5 与 2a 1 的值符号相同，求 a 的取值范围。
4a 5 0
解： 根据题意得
2. 已知
和
都是方程 ax by 8 的解，则 a
，b
y 2 y1
3. 若关于 x，y 的方程组
4x
y
5 ax by
和
3
有相同的解，则
a
3x 2 y 1 ax by 1
b
。
1 4. 若 x 3
2( y 1)2
( z 7) 2
0 ，则 x
，y
，z
2
x 2y a取值为
x 2 y 3a 1
3x 2 y 7
6. 方程组
的解为
。
2x 3y 8
7. 不等式 10( x 4) x 84 的最大整数解是
，最小正整数解是
8. 3 2x 5 6所有整数解是
。
。 ，
。 。
。
等式
不等式
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1.重点：
（1）二元一次方程组的解法
（2）列二元一次方程组解简单应用题
（3）一元一次不等式的解法
2.难点：
（1）列二元一次方程组解简单应用题
（2）了解不等式的解集和不等式组的解集以及不等式基本性质3的运用
四.知识要点
1.知识结构总结
2.思想方法总结
（1）消元的数学思想：消元是解方程组的基本思想，其目的是把多元的方程组逐步转化为一元方程。
6.方程组 的解为。
7.不等式 的最大整数解是，最小正整数解是。
8. 所有整数解是。
9.不等式组 的解集是。
10.若 ，则x的取值为。
二.选择
1.下列各式中是二元一次方程的是（）
A. B. C. D.
2.下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）
A. B. C. D.
3.已知 是方程 的一个解，则 。
8.不等式 的非负整数解的个数是（）
A.8B.9C.10D.7
9.不等式 的整数解的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.若 ，则 等于（）
A. B. C.2D.
三.解下列方程组
1.
2.
3.
四.解下列不等式（组）
1.
2.
3.
五.解应用题
1.两列火车同时从相距910千米的两城同时出发，相向而行，出发后10小时相遇，如果第一列火车比第二列火车早开出4小时20分钟，那么在第二列火车开出8小时后，两列火车相遇，求每列火车的速度。
（3）在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，如果是负数，一定不要忘记改变不等号的方向。
（4）用数轴表示不等式的解集时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别。
【典型例题】
[例1]关于x的方程 的解为不大于2的非负数，求m的取值范围。
解：解方程 ，得 ∵方程的解为不大于2的非负数
∴ ∴m的取值范围为
解一元一次不等式
解法步骤
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化成1
（1）去分母
（2）去括号
（3）移项
（4）合并同类项
（5）系数化成1
解的情况
只有一个解
解集中含有无限多个解
3.需注意的问题
（1）要根据情况灵活运用代入法和加减法解一次方程组。
（2）在解应用题的最后，既要检查所求得的解是否适合原方程组的每一个方程，又要检查这些解是否符合题意。
∴ 的取值范围是
[例5]若 与 的值符号相同，求a的取值范围。
解：根据题意得 ，解不等式组得 ∴
或 ，解不等式组得 ∴
∴a的取值范围为 或
[例6]小明家平均每月付电话费多于42元，其中月租费24元，已知市内每次通话不超过3分钟，则话费收0.18元，如果小明家的市内通话时间每次都不超过3分钟，问他家平均每月通话至少多少次？
六年级数学复习二元一次方程组和一元一次不等式和一元一次不等式组人教四年制
【同步教育信息】
一.本周教学内容
复习二元一次方程组和一元一次不等式和一元一次不等式组
二.教学要求
1.能说出什么是二元一次方程，二元一次方程组及它的解，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
2.能灵活运用代入法，加减法解二元一次方程组，并能解简单的三元一次方程组。
解：设他家平均每月通话x次。
∵通话次数为正整数∴x取101
答：他家平均每月通话至少101次。
【模拟试题】
（答题时间：60分钟）
一.填空
1.方程 的所有正整数解是。
2.已知 和 都是方程 的解，则 ， 。
3.若关于x，y的方程组 和 有相同的解，则 ， 。
4.若 ，则 ， ， 。
5.若方程组 的解，x为正数，y为负数，则a的取值为。
2.甲班的人数比乙班人数的 多6人，若从乙班调3人到甲班，则两班的人数相等，求.
1. 2. 3； 3.2；1
4.3；1； 5. 6.
7.4；18.1，2，3，4，59.
10.
二.
1. C2. A3. C4. D5. C6. A7. D
8. B9. C10. C
等式
不等式
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍
是等式。
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结
果仍是等式。
两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
解一元一次方程
方法：代入消元法和加减消元法
（2）数形结合的思想：在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地看到不等式有无数多个解，并易于确定不等式组的解集。
（3）类比方法：我们把不等式的基本性质与等式的基本性质进行类比，把一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法进行类比，如下表：
[例2]已知不等式 的最小整数解为方程 的解，求a值。
解：解不等式
∵大于 的最小整数为 ∴
把 代入
∴ 的值为4
[例3]在方程组 中，若未知数 ，则求m的取值范围。
解：（1）－（2）得 得
∵ ∴
∴m的取值范围为
[例4]若关于x的不等式组 的整数解有5个，则求a的取值范围。
解：由（1）得 由（2）得 ∵不等式组有5个整数解
2.解：设甲班原有x人，乙班原有y人。
三.
1.解：化简得 解得
2.解：化简得 解得
3.
解：[（1）+（2）+（3）]÷2得 （4）
（4）－（1）得
（4）－（2）得
（4）－（3）得
∴
四.
1.解：
2.解：
3.
解：由（1）得
由（2）得
∴原不等式组的解集为
五.
1.解：设第一列火车速度为x千米/小时，第二列火车速度为y千米/小时。
由题意得 解得
答：第一列火车速度为42千米/小时，第二列火车速度为49千米/小时。
3.能列出二元，三元一次方程组解简单的应用题。
4.知道不等式，不等式的解集的含义，会在数轴上表示不等式的解集。
5.会用不等式的基本性质将不等式变形，并会用它们解一元一次不等式。
6.知道一元一次不等式组和它的解集的含义，能借助数轴求出一元一次不等式组的解集。
7.会用不等式和不等式组解决有关不等关系的实际问题。
A.3B.4C.5D.6
4.如果关于x、y的方程组 的解为 那么a、b的值为（）
A. B. C. D.
5.如果 和 互为相反数，那么x、y的值是（）
A. B. C. D.
6.在 中，当 时， ，当 时， ，则k、b的值是（）
A. B. C. D.
7.若 ，则下列各式一定成立的是（）
A. B. C. D.