第十章压杆稳定问题1ppt课件

Pc r
2EI (l )2
称 为 长 度 系 数
l称 为 相 当 长 度 。
几种典型约束下的细长压杆临界压力 公式如表所示。
不同约束压杆的临界压力欧拉公式（表）
[例10-1]五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性 模量为E。
求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所 能承受的最大载荷。
2
nmin 1 k
Fcr
2EI
(2l)2
2l
Fcr EI 2l
三.一端固定一端铰支细长压杆临界压力公式
F cr
F y Fcr
1.弯矩方程 MFCw RFy(lx)
E Iw M (x ) F cw r F y (l x )
即wFcrwFy (lx)
EI EI
w
w L-x令3k.2微分FEc方Ir 则 程w的解k2wFFcyrk2(lx)
Pmax 2Pcr
23Ed4
Pmax 64a2
[例10-2]图示结构，①、②两杆截面和材料 相同，为细长压杆（设0<θ<π/2） 。
① 90
求载荷P为最大值时的θ角。
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为 ：
②百度文库
N1 Pcos， N2 Psin
两杆的临界压力分别为
2EI
Pcr1 l12
，Pcr2l22E 2I
问题属于拉压超静定
平衡方程
物理方程 协调方程
N 1 l N 22 l P 3 l
N 12N 23P
1FEN1lA2
FN2l EA
21 2
FN1N1
3P 5
FN2N2
6P 5
1 号杆属拉杆，只考虑强度
FN1[]A
[P 1]5 3[]1 4d27.7 0kN
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
解（a）BD杆受压其余杆受拉
BD杆的临界压力
Pcr
2E I
2
2a
2EI
2a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷
Pmax Pcr
2EI
2a 2
Pcr
3Ed4
128a2
（b）BD杆受拉其余杆受压 四个杆的临界压力
2EI
Pcr a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：
p
3.欧拉公式的应用范
2E I Pcr ( l ) 2
cr
Pc r A
2EI (l)2 A
2 E (i 2 A) (l )2 A
2E (l / i)2
令 l
i
则
cr
2E 2
压杆的长细比 压杆的柔度
2. 压杆的临界应力
cr
2E
2
p
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
或写成 E p
边界条件：
x0时w ： 0 0A B 0
x0时w ： 0 k A 0 B 0 0
xl时w ： A sk i n l B ck o l0 s
变形与载荷有关，可由借助B、A、 三个数描
述0 k
1 0
10BA0
0 k
11 0 0 0
sinkl coskl 0 sinkl coskl 0
4.临界压力 kcoks l 0k0,kl1(2n1) (n0,1,2, )
1.弯矩方程 MFC(Rw)
E Iw M (x)F c(r w )
即wFcr wFcr
EI EI
令k 2 Fcr 则 wk2wk2
w
F cr
EI
3.微分方程的解
特征方程 1,2 ki
x
齐次方程的通解
y
wM w *Asikn xBco ksx
Fcr 非齐次方程的特解 w
微分方程的解 w A sk i n B x ck o x s
FN1
3 5
P
FN2
6 5
P
[P1]7.0 7kN
2 号杆属压杆，先计算柔度
il4 dl80 p
2 号杆属大柔度杆，只考虑稳定
Fcr(2lE )2 I63El424d4.71kN
[P2]65F n[cstr]26.1 kN 故应取 [P]26.1 kN
例 求图示结构的临界荷载。要提高构件抗失稳的能力，中间 铰应往哪个方向移动？移动到何处可使结构抗失稳能力最大？
i 1 b 23
i 1d 4
i 1d(12)
4
l
i
柔度 ( slenderness )
cr
2E 2
压杆稳定临界应力应限制在线弹性范围内。
cr 22Ep
Euler 公式的柔度条件
p
p
E
p
E
p
临界总图
< s s< < p
> p
s
小柔度
中柔度
大柔度
cr s crab cr2E2
s p
直线型处理方式
• 如果:l~a~b 材料的潜力得以充分发挥,材 料以强度失效的形式丧失承载能力.
• 拉伸没有失稳的现象; • 压缩变形转换成稳定问题; • Pcr由压杆的弯曲形式确定! • 求平衡状态的分界点是目的!
§10-2细长压杆临界 压力的欧拉公式
一.两端铰支细长压杆 的欧拉公式
1.压杆截面上的弯矩
M(x)Fcrw
压杆稳定临界应力应限制在线弹性范围内。
cr 22Ep
p
E
p
Euler 公式的柔度条件
p
E
p
临界总图
s
< p 中小柔度 > p 大柔度
cr02
cr2E2
抛物线型处理方式
s p
稳定安全条件
nst
cr w
[nst]
l1 d
l1
P
l2 h
b
横梁承受拉弯组合荷载
maxMWmaxNA
6P1sl inPcos
弯矩的符号由 坐标和应力的 符号共同决定：
M Iz
y
Fcr
2.杆曲线的微分方程
M(x)Fcrw
E Iw M (x)F cw r 即w
令k 2 Fcr 则wk2w0
Fcr EI
w
0
EI
3.微分方程的解
特征方程 2k2 0
有两个共轭复根 k i
w C 1 e 1 x C 2 e 2 x C 1 e ix C 2 e ix
二.失稳的定义
1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡称为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
压杆的失稳
为什么会产生失稳现象?
• L>>a~b 材料有承载能力,但结构的平衡 位置发生改变,导致结构的失效!
失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 ◆ 有时杆件失稳的应力远小于屈服极限或强度极限 ◆ 突发性
2005 年 9 月 5 日晚 10 点 10 分，北京西单“西西 工程 4 号地”综合楼工地的模板支撑体系失稳， 导致 脚手架坍塌 ，47 名工人坠落，造成 6 人死亡、28 人 受伤的严重后果 。
6P 5
1 号杆属拉杆，只考虑强度
FN1[]A
[P 1]5 3[]1 4d27.7 0kN
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
问题属于拉压超静定
变形与载荷有关，可由借助B、A、 三个数描述
0
k
sin kl
1 0 cos kl
l
Fcr 1
Fcr 0
A B Fy
0
0
1
k
0
sin kl cos kl
l
F cr 1 0
F cr 0
1 (klcokslsink)l0
tak nlklkl4.49
Fcr
4.临界压力 k
0.7l
bh 2
bh
14 .78 M P []a
先计算立柱柔度
l2
i
110p
E = 210 GPa = 30° b = 60 h = 80
l1 = 1250
l2 = 550 d = 20 P = 15kN
p = 100
[nst] = 2 [ ] = 200 MPa
例 校核如图的矩形截面横梁和圆
形截面立柱的安全性。
记为 s 。
cr
2E 2
p 大柔度杆
l i
2.临界应力总图
s p 称为中柔度杆
cr ab
采用直线型临界应力的经验公式
cr s
失稳前发生塑性变
cr ab
p
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆
O
s
a
s
b
p
大柔度杆
l i
§10-3 压杆的稳定计算
一.压杆的稳定条件
Pmax
Pc r [nst ]
takn xk l4 .49
kx1 1.35
4.49 l
x1
1.35
x1 0.3l
kx2 4.494.l49x2 4.49 x2 l
由E 于 w IM (x)知道: M(0.3L)=M(L)=0
长为0.7L的细长杆两端受轴向压力，其
临界压力为：
Fcr
2EI
(0.7l)2
四.不同约束条件下细长压杆的临界压力通式
Fcr EI 0.7l
0.7
Fcr
2EI
(0.7l)2
5.位移函数
A Fy , BFyl
wFy [sk in xkc klFco rks xk(1 lF crx)]
kcF r
l
6.拐点 (M=0)
w Fy (k2sikn xk3lcok)sx0 kcF r
sk in x kclk o x s 0
EI 2L/ 3
F L/ 2
FPFF
EI
2Lx/ 3
L/ 2
L
FAB(0.7E 2L I2/3)20E .2IL 2 22
FBC(2 ELI/22)2 EL2I2
要提高构件抗失稳的能力， 中间铰应往右方向移动。
结构的两部份同时失稳 时，抗失稳能力最大。
EI2
(0.7x)2
2(E LIx2)2
x L 0.74L 1.35
记p
E
p
称为临界柔度
欧拉公式的适用范围
p
满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆）
p 称为小柔度杆，欧拉公式不适用
二.临界应力总图
1.欧拉临界应力曲线
在cr
~
坐标系中做出曲线 cr
2E 2
cr p曲线没有实际意义 c r
结构钢的临界柔度值
s
p
E 100
p
p
研究表明结构钢 30
时压杆主要是强度不足 O s 造成破坏，这时的柔度
L M 齐次方程的通解
F cr
w *Asikn xBco ksx
x
y
非齐次方程的特解 w Fy (l x)
微w分A 方s程ik的n 解xBcoks xFFcyr (lx) Fcr
3.边界条件：
xxx 0 0 l时 时 时w ： w w ： ： 000kA As A0k BiB n Fl B lFc1rcc FrFy yk o 00 l0 s
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
问题属于拉压超静定
平衡方程
物理方程 协调方程
N 1 l N 22 l P 3 l
N 12N 23P
1FEN1lA2
FN2l EA
21 2
FN1N1
3P 5
FN2N2
分析和讨论 如图的连杆可能怎样失稳？
面内失稳和面外失稳
L L
§10-2 压杆的临界应力及临界应力总图
一、欧拉公式的应用范
1.推导欧拉公式的条件
（1）小变形
推导欧拉公式时使用了小变形假设，导出了挠 曲线的近似微分方程
EIvM (x) （2）线弹性 在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
N1、N2都达到临界P压 最力 大时 ，即
P cos
2EI
l1 2
（1）
P sin
2EI
l22
（2）
① 90
②
将式 (2)除以(1)式 ,便得
tg(l1)2 ctan2
l2
artcg(c2tg)
11.2.2 临界应力和稳定性条件
临界应力
cr
Fcr A
2EI ( l)2 A
i I A
惯性半径 ( radius of gyration )
故立柱属于大柔度杆
cr
2E171MPa 2
w2PsAin4dP247MPa
nst
cr w
3.6[nst]
故结构安全。
①l N1
N2
l
l②
lP
l
E = 120 GPa l = 1000
[ ] = 70 MPa
d = 30 [nst] = 1.5
p = 75
例 图示结构中横梁是 刚性的。两杆均为圆截 面杆，求许用荷载 P。
通解： w A sikn x B ck ox s
3.边界条件
x0时：w0B0
xl时：w0 Asinkl0
sinkl0 k l n( n 0 ,1 ,2 , )
k n Fcr n
l EI l
Fcr
n2 2EI
l2
nmin 1
Fcr
2EI l2
二.一端固定一端自由细长压杆临界压力公式
Fcr
第十章压杆稳定问题1ppt课件
§10-1 压杆稳 定性的概念
一.研究压杆稳定的意义
1907年加拿大魁北克桥的 失稳
(跨度548m,重9000T。86 人施工，死75人)
11.1 失稳的一般概念
平衡形态比拟
屈曲 ( buckling )
平衡路径图
F
u
临界荷载 Fcr
失稳的特点
◆ 不是所有的构件都存在失稳问题 结构失稳的例子
Pmax ---压杆所受最大工作载荷
Pc r ---压杆的临界压力
稳[定n s性t ] -条--压件杆也的可规以定表稳示定成安全nst 系 PP数mcarx [nst] n s t ---为压杆实际的工作稳定安全系数。
二.折减系数
[]st
cr [] nst[]