同济大学高等数学期中考试试题及解答

解 (1)
z 2 f1 f 2 1 ; x
z 3 f 1 2 yf 2 y
dy f y dx f x
由必要条件
得到
f1 (1,0) 2; f 2 (1,0) 3
二阶偏导
大
确定的可导函数，
(2)
2z 2(3 f11 2 yf12 ) (3 f 21 2 yf 22 ) xy 6 f11 (4 y 3) f12 2 yf 22 x 2 y 2 uv 0
D
2
dxdy ，其中 D 是由 x 2 y 2 2 y; x 0 确定的
九． （本题 8 分） ( x1 , y1 , z1 ), , ( x n , y n , z n ) 是空间 n 个点，证明：若平面 是使得该 n 点到 平面距离的平方和取得最小值的平面，则该平面必经过点 ( x, y, z ) ，其中
4 2 (1 2 sin cos ) sin 4 d
0

设 Ax By Cz D 0
是使得 n 点到平面的距离平方和取得最小值的平面
学
即 则有

3 4 9 16 4 3 12
f ( A, B, C , D)
1 2 A B2 C 2
( Ax
5 5 2
大
f ( x y)d 的计算值为
D
.
B．2
2、 若曲面 的方程为 z
程为
z2
x2 y2 a2 b2
济
x2 y2 ，如果 关于平面 z 1 对称的曲面为 1 ，则 1 的方 a2 b2
，若再将 1 向着 x 轴的正向移动 2 个单位得到曲面 2 ，则
i 1
n
i
By i Cz i D) 2 取得了最小值，
fD
1 2 A B2 C 2
2( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0
z x 2 绕z 轴 八． （本题 10 分）计算三重积分 z x y dv ， 其中 是由平面曲线 y0
x2 4 x y 2 x 2 ln 2 arctan 4 2
六． （本题 10 分）利用交换积分次序的方法计算积分 解
同
2 x u x v uv x 0 解 各方程两边对 x 求导， 2 y 2uu x 2vv x 0
dx
0
2
4
2
x
x 3 e y dy
6x 5 y 2z 9 0
9 65
114 65
I f ( x, y )dxdy 分别化成先对 y 再对 x ，以及先对 x 再对 y 的二次积分式时，积分
D
坐标原点到该法平面的距离： d
I f ( x, y )dxdy
D
dx
1
4
x 3
x 2 2 x 1
在 (1,1) 点取得极值，试写出函数 f (u , v) 满足的必要条件；
f ( x, y ) ( x 2 2 x 6)e x 2 y 的梯度方向运行，试求该梯度曲线的轨迹.
解 梯度方向 gradf ( f x , f y ) 与曲线的切线方向一致，所以有
2z （2）求出函数 z ( x, y ) 的二阶偏导 . xy
;该方向与 z 轴正向
x 1 y 1 z 1 6 5 2
的夹角余弦为
cos
14 14
2
.
6( x 1) 5( y 1) 2( z 1) 0
或
4、若 D 是由抛物线 y x 2 x 1 与直线 y x 3 所围成的有界闭区域，则二重积分
此卷选为：期中考试(√ )、期终考试(
b c；
B d a,
b c；
一
四
五
六
七
八
九
总分
得分
（注意：本试卷共九大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 100 分钟.解答题要求写出解题过程）
学
6、函数 f ( x) 则二重积分 A．1
专业 题号
学号 二 三
姓名
任课教师
a d b以及a b c ；
D

2
2
d y
1 y 2
1 y 2
f ( x, y )dx d y
2
7
1 y 2
y 3
f ( x, y )dx
.
5、记条件 a 为函数 z f ( x, y ) 可微分；条件 b 为函数 z f ( x, y ) 具有偏导数；条件 c 为函 数 z f ( x, y ) 连续；条件 d 为函数 z f ( x, y ) 具有连续的偏导数.则以下正确的充分必要 关系为 A d a, C 【 D 】
2 2
二. （本题 10 分） 求曲线
x 2 y 2 z 2 3x 0 2x 2 y z 1 0
在点 (1,1,1) 的切线与法平面方程，并分
别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离. 解

2 的方程为
2 3
z2
同
( x 2) y 2 2 a b
2 2
大
得到
旋转所成曲面与平面 z 1 所围成的立体. 解
( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0 因此有
成立
I d d 2 zdz
0 0
2
1
1

济 同
Ax B y C z D 0
n
(1 4 ) 2 d
2 x 2 ln( x 2 4) 2 arctan
由 y (0) 0 得到 C 2 ln 4 ，所以得到所求的曲线
2 2 2 xy u v 0
试求偏导数
u v ， . x x
济
四． （8 分）已知函数 u u ( x, y ); v v( x, y ) 是由方程组
学
y 2
ห้องสมุดไป่ตู้
z x (1,1) 2 f 1 (1,0) f 2 (1,0) 1 0 3 f1 (1,0) 2 f 2 (1,0) 0 z y (1,1)
dy 2( x 2 2 x 6) 即得 dx x2 4 y (0) 0 x 2 2x 6 dx x2 4 x C 2
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（期中试卷） 2011—2012 学年第二学期
命题教师签名：董力强 课号：122005 审核教师签名：刘庆生 考试考查： 课名：高等数学 B(下)
)、重修( )试卷
I f ( x, y )dxdy
( x y)
D
2
dxdy ( x 2 2 xy y 2 )dxdy
D
x
证
2 d
0

2 sin
1 n 1 n 1 n x ， y y ， z i i zi n i 1 n i 1 n i 1
0
(1 2 sin cos ) 3 d
D . d a b以及d a c
（其中 a b 表示 a 是 b 的充分条件， a b 表示 a 是 b 的充分必要条件）

2 0
0 x2 ，若 D 是正方形的闭区域： 0 x 2; 0 y 2 ， x 0或x 2
【 C 】 C．4 D．8
一、填空选择题(每空格 4 分，共 24 分) 1、 以 (1,2,3), (2,0,5) 以及 (1,2,4) 为顶点的三角形面积为
0
1
（注：可用条件极值 L
( Ax
i 1
i
By i Cz i D) 2 ( A 2 B 2 C 2 1) 类似讨论）

4 21
n 1 (2 x 3,2 y,2 z ) (1,1,1) (1,2,2) ， n 2 (2,2,1)


.
切线的方向向量为: 切线方程： 法平面方程：
l n 1 n 2 (6,5,2)


u x y e 在 (1,1,1) 点函数值增加最快的方向为 3、
z
k (2,3,1), k 0
f ( x, y )dy
；
以及
坐标原点到该切线的距离： d
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--2
三． （本题 10 分）f (u , v) 具有二阶连续的偏导数 （1） 如果函数 z ( x, y ) f (2 x 3 y, x y ) x
2
五． （ 本 题 10 分 ） 如 果 从 (0,0) 点 开 始 ， xoy 平 面 上 的 一 条 曲 线 始 终 沿 着 函 数
4


0
1 (15e16 1) 4
u 4 xv uy 2 ； x 2(u 2 v 2 )
v 4 xu vy 2 x 2(u 2 v 2 )
2011-2012 学年第二学期《高等数学 B(下)》期中考试试卷--3
七． （本题 10 分）计算二重积分 闭区域. 解
( x y)
2
Fx G u （或 x Fu x Gu
得到
Fv Gv Fv Gv
，
Fu G v u Fu x Gu
Fx Fv
dx
0
2
4
2
x
x 3 e y dy dy
2
4
y
0
0
x 3 e y dx
2
Gx Gv
）

1 2 y2 y e dy 4 0
4
2 1 2 ( y 1)e y 4