一次函数一二元一次方程组的关系(知识点+例题)

一次函数与二元一次方程(组)

【教学目标】

1. 理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；

2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；

【重点难点】

1. 对应关系的理解及实际问题的探究

2.二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解

【教学内容】

一、提出问题，y =3x +1是什么？ 一次函数，二元一次方程. 从而引入新课. 二、新课讲解

1.探究一次函数与二元一次方程的关系 (1)对于方程358

x y +=,如何用x 表示y ? 38

55

y x =-+

(2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？

① 30x y -= ②

11

=623x y + 3y x = 3

182

y x =-+

你对二元一次方程与一次函数的解析式之间的关系有什么看法？

一一对应

(3) 直线38

55

y x =-+上每一点的坐标,)x y （都是方程358x y +=的解吗？ 是

(4)你对二元一次方程与一次函数的图像之间的关系有什么看法？ 总结：

一次函数与二元一次方程的关系

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来：一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.

2.探究一次函数与二元一次方程组的关系 (1)在同一直角坐标系中画一次函数38

55

y x =-+ 与21y x =-的图象， 它们有交点吗？交点坐标是多少？

是方程组385521

y x y x ⎧

=-+

⎪⎨⎪=+⎩的解吗?为什么？

(2)当自变量x 取何值时,函数3

8

55

y x =-+ 与21y x =-的值相等，这个值是多少？1y 1

x ==时它们的值相等， 我们已经学会了如何求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代人法，也可以用加减法．我们如何用函数的观点去看待方程组的解呢?

首先，任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．比如

⎪⎩

⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+

-=⇔=-=+125853152853x y x y y x y x ①

对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x 取什么数值时，两个—次函数的y 值相等?它反映在图象上，就是求直线5

8

53

+

-=x y 和直线12-=x y 的交点坐标. 教师点拨：根据方程组解的意义和函数的观点，解方程组就是求当x 取何值时，两个函数的

y 值相等；从图象上看就是求两条直线的交点坐标.

我们可以从数形两个方面归纳一次函数与二元一次方程组的关系.渗透数形结合思想. 一次函数与二元一次方程组的关系：

＋5

8

从数

的角

度看：从形的角度看：

求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标

x 为何值时，两个函数的值相等

3.例题讲解

例3 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B 除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分时，两种方式的计费相等？

分析：计费与上网时间有关，所以可设上网时间为 x 分，分别写出两种计费方式的函数模型，然后再考虑自变量为何值时两个函数的值相等.

解：设上网时间为x 分，方式A 的计费为0.1y x =元，方式B 的计费为0.0520

y x =+元. 方法1.解方程组0.10.0520y x y x =⎧⎨=+⎩的解为40040x y =⎧⎨=⎩

方法2.这表示当

（1则方程组

（2的解为x y ⎧⎨⎩

（3）根据图象，你能说出哪个方程组的解?

由图可以得出方程组3

20

x y x y -=-⎧⎨

+=⎩

的解为2

1x y =-⎧⎨

=⎩

（4） 直线24

y x =-+和2

43

y x =+的交点坐标为 （3，-2） . 分析：求两条直线的交点坐标可转化为求相应的方程组24

2312

x y x y +=⎧⎨

-=⎩的解.我们很快可以解

得方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩

，所以可得交点坐标为(3,-2)

（5）解方程组0

25

x y x y -=⎧⎨

+=⎩，你有哪些方法？

一般用代数方法. （6）已知方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩ 的解为2

1

x y =⎧⎨=⎩ ，那么直线25y x =-+与直线1y x =-的交

点坐标为(2，1).

分析：一个方程组对应两个一次函数，即对应两条直线. （7）直线210y x =+与54

y x =+的交点坐标为（2，14）. 分析：求方程组210

54

y x y x =+⎧⎨

=+⎩的解即可.

【拓展训练】

一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式： 方式以每分元的价格按上网时间计费;方式除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择计费方式使上网者更合算？

分别从数和形两个方面思考问题.法1，解不等式；法2，画出两个函数图象，从图象上得出.

课堂小结

1. 一次函数与二元一次方程的关系

以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上. 反过来：一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 即每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 2.一次函数和二元一次方程组的关系

3.图象法解方程组的步骤：

①将方程组中各方程化为)b ax y +=的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解．

【课后作业】

数形结合题型：在同一坐标系中直线y =2x +10与y =5x +4的图象如图，请根据图象回答下列问题：

(1)方程组21054x

y x y -=-⎧⎨-=-⎩

的解为

(2)不等式2x +10＜0的解集为

(3)不等式2x +10＜5x +4的解集为

从数的角

度看：从形

的角度看：

求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解

是确定两条直线交点的坐标

x 为何值时，两个函数的值相等

+10