反三角函数(正课)复习课程

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正弦函数 ytanx(xk,kz) 有反函数吗？
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
2
2
正弦函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？
22
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。
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三、反正切函数
1、定义：正切函数 ytanx(x(,)的反函数
反三角函数
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
(4)正弦函数y=s没inx有在,因[ 为他, 不 ]是一上一有对反应函函数数吗？ 22
若 x a [ 1 ,1 ],有 y a rc s in a ,
这里的“arcsina ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arcsina(a 1) 符号
（1）、arcsin a 表示一个角
（2）、这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
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2、反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]
(13) a、rc熟sin记1 特_殊_2 __值__的(2反) a正rcs弦in(函1数) 值__ _2___
(3)
arcsin
0
__0 ____(4) arcsin
1 2
___6 ___
(5)
arcsin(
1
)
___6 ___(6)
arcsin
2
2 2
__4 ______
(7) arcsin(
（2）、这个角的范围是 ( , ) 22
即arctana(,).
22
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2、反正切函数 y=arctanx,x∈R的图象与性质
(1)定义域R
(2)值域: ( , )
22
(3)单调性:
是增函数
-4
-3
-2
-1
2
yarcx,txa R n,y (,)
22
yx
y tanx,x( ,)
2 2
)
_ __4 _____(8)
arcsin
wenku.baidu.com3 2
__3 ____
(9) arcsin(
3 2
)
___3 _____
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只有正弦4、函数已主知值三区角间函数[ 值求, 角 ] 上的角才能用
反正弦表示
22
2
a
F
x4
x3
-2 2
O
E1
x=?
2x1
2
x2
ysinx,x[,]
22
-2
x3
-arccosa -2 arccosa
2π-arccosa 2π+arccosa
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例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
(1)arccos 1
对
23
(2)arccos 1
32
错 1
3
(3)arccos02k(kZ) 错
2
(4)arccos()arccos
3
3
错
1 3
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
3 2
_6_____
(9) arccos(
3 2
)
5
__6 ______
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4、已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区 间[0，π]上的角才能 用反余弦表示
2
ycox,x s [0,]
a
F
π
-2
x x O
E1
1
2
x2
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3、熟记特殊值的反正弦函数值
(1) arccos1 __0 ____(2) arccos(1) ______
(3)
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y( ,)
22 若 x a R ,有 y a rc ta n a ,
这里的“ arctana ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arctana(aR) 符号
（1）、arctana 表示一个角
2、反余弦函数y=arccosx,x∈[-1，1]的图 象与性质
(1)定义域： [-1，1]。
(2)值域: [0，π]。
y
5 y=arccosx,x∈[-1，1]
4.5
4 y∈[0，π]
3.5 3
2.5
2
1.5
1
(3)单调性:
0.5
π
-4
-3
-2
-1
-1
o-0.5
11
2
3
x4
是减函数。
-1
yx
y=cosx,x∈[0，π] y∈[-1，1]
arcsina
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例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
(1)arcsin 3
对
23
(2)arcsin
3
32
错 1
3
(3)arcsin12k(kZ) 错
2
(4)arcsin( )arcsin
3
3
错
1 3
余弦函数 ycosx(xR)有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 ( , ) 上有反函数吗？
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一、反正弦函数
1、定义：正弦函数ysinx(x[,]) 的反函数
22
叫反正弦函数，记作 xarcsiny
习惯记作 yarcsinx
x[1,1],y[ , ] 22
x[1,1],y[0,]
若 x a [ 1 ,1 ] ,有 y a r c c o s a ,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
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理解和掌握 arccos(a 1) 符号
（1）、arccosa表示一个角
（2）、这个角的范围是 0 ,
即arccos0,.
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的图象与性质：
(1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[ , ] 22
y
-3
(3)单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
2 -1
-2
-1
21
0.5
o
-0.5
ysinx,x [,],y [1,1]
22
1
2
12
x3
-1
-1.5
y x -2
2
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许多角。
y
1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
余弦函数 ycosx(x[0,])有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。
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二、反余弦函数
1、定义：余弦函数 ycosx(x[0,]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 xarccosy (本义反函数)
习惯记作yarccosx(矫正反函数)