高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题二 高考中的三角函数综合问题文档强练 文 新人教A版(1)

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新高考数学理一轮总复习知能演练专题二三角函数、平面向量综合题的解答(含答案详析)

新高考数学理一轮总复习知能演练专题二三角函数、平面向量综合题的解答(含答案详析)

π 1. (2013 安·徽皖南质检)已知函数f(x) = Asin( ωx+ φ) A > 0, ω> 0, |φ|< , x ∈ R 的图2象的一部分如下图.(1)求函数 f(x)的分析式;(2)当 x ∈ - 6,-2时,求函数 y = f(x)+ f(x + 2)的最大值与最小值及相应的 x 的值.3解: (1)由图象知 A = 2, T = 8,2π π∵T = ω= 8,∴ω= 4.π又∵图象经过点 ( -1,0),∴2sin - 4+φ = 0. π π∵|φ|<2,∴φ= 4.π π∴f(x)= 2sin 4x +4 .(2)y = f(x)+ f(x + 2)π ππ π π= 2sin 4x +4 + 2sin 4x + 2+ 4π π π = 2 2sin4x + 2 = 22cos 4x.23π ππ∵x ∈- 6,- 3 ,∴- 2 ≤ 4x ≤ - 6.π π 2时, y = f(x)+ f(x + 2)获得最大值 6;当 π ∴当 ,即 x =-4x =- π,即 x =- 4 时, 4x =- 6 3y = f(x)+ f(x + 2)获得最小值- 2 2.2. (2012 ·高考湖北卷)已知向量 a = (cos ωx- sin ωx, sin ωx ), b = (- cos ωx- sin ωx ,23cos ωx ),设函数 f(x)= a ·b + λ(x ∈R )的图象对于直线x = π对称,此中 ω,λ为常数,且ω∈(1) 求函数 f(x)的最小正周期;3π (2) 若 y = f(x) 的图象经过点 π,求函数 f(x)在区间 0, , 0 上的取值范围.452 23sin ωx·cos ωx+ λ解: (1)f(x) = sin ωx- cos ωx+ 2π =- cos2ωx+ 3sin2ωx+ λ= 2sin 2ωx- 6 + λ.由直线 x = π是函数 f(x)图象的一条对称轴,可得πsin 2ωπ- 6 =±1,ππ k 1因此 2ωπ- 6= k π+2(k ∈Z ),即 ω=2+ 3(k ∈Z ).1 5 又 ω∈2, 1 ,故 ω= 6.1,1 .2因此 f(x)的最小正周期是6π5 .(2)由 y = f(x) 的图象过点π,得 f π, 0 4 = 0,45 π π π即 λ=- 2sin 6× 2-6 =- 2sin 4=- 2,即 λ=- 2.5π故 f(x)= 2sin 3x - 6 - 2,3π π 5 π 5π由 0≤x ≤ 5 ,有- 6≤ 3x -6≤ 6 , 因此- 1≤ sin 5 π≤1,得23x - 6 5π- 1- 2≤2sin 3x - 6 - 2≤ 2- 2,故函数 f(x)在 0,3π5 上的取值范围为 [- 1- 2, 2- 2].3π3. (2013 锦·州质检 )向量 a = (2,2),向量 b 与向量 a 的夹角为 4 ,且 a ·b =- 2.(1)求向量 b ; (2)若 t = (1,0),且 b ⊥ t ,c = cosA , 2cos2C,此中 A 、B 、C 是△ ABC 的内角,若△ ABC2的内角 A 、 B 、C 挨次成等差数列,试求 |b + c |的取值范围.解: (1)设 b = (x , y),则 a ·b = 2x + 2y =- 2,且 |b |=a ·b= 1= x 2+ y 2,3π|a |cos 4x =- 1,x = 0,∴解得或y = 0,y =- 1.∴b =(-1,0)或 b = (0,- 1).(2)∵b ⊥t ,且 t = (1,0),∴b = (0,- 1).π∵A 、 B 、C 挨次成等差数列,∴ B = 3.2C∴b +c = cosA , 2cos 2 -1 = (cosA , cosC).∴|b +c |2=cos 2A + cos 2C1 = 1+2(cos2A + cos2C)1 4π = 1+2 cos2A + cos3 -2A113= 1+2 cos2A -2cos2A - 2 sin2A 1 π= 1+2cos 2A +3 . π π 5π∵2A + 3∈ 3, 3 ,π 1∴-1≤ cos 2A + 3 < 2,1 2 5∴ ≤|b + c | < ,242≤ |b +c |< 5∴2 2 .4. (2011 高·考福建卷 )设函数 f(θ)= 3sin θ+ cos θ,此中,角 θ的极点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点P(x , y),且 0≤θ≤ π.(1)若点 P 的坐标为 1,3,求 f(θ)的值;22x + y ≥ 1(2)若点 P( x ,y)为平面地区 Ω: x ≤ 1,上的一个动点,试确立角θ的取值范围,y ≤ 1并求函数 f(θ)的最小值和最大值.3sin θ= 2 ,解: (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得1cos θ=2.3 1于是 f(θ)= 3sin θ+ cos θ= 3× 2 + 2= 2.(2)作出平面地区 Ω(即图中暗影部分 )如下图,此中 A(1,0), B(1,1),C(0,1) .π于是 0≤ θ≤ 2.π又 f(θ)= 3sin θ+ cos θ= 2sin(θ+ 6),π π 2π≤θ+ ≤且 6 6 3 ,π π π故当 θ+ 6= 2,即 θ=3时,f(θ)获得最大值,且最大值等于 2;π π 当 θ+ 6= 6,即 θ= 0 时,f(θ)获得最小值,且最小值等于 1.π ππ5.已知函数 f(x)= 2cos(x + 3)[sin( x + 3) - 3cos(x + 3)] .(1)求 f(x)的值域和最小正周期;π(2)若对随意 x ∈ [0, 6] ,使得 m[f(x)+ 3]+ 2=0 恒建立,务实数m 的取值范围.π π π解: (1)f(x) = 2sin(x + )cos(x +)- 2 3cos 2(x +)3332π2π= sin(2x + 3 )- 3[cos(2x + 3 )+ 1]2π 2π = sin(2x + 3 )- 3cos(2x + 3 )- 3π= 2sin(2x + 3)- 3.π ∵-1≤ sin(2x +3)≤ 1,∴-2- 3≤ π2π2sin(2 x +3, T = = π,3)- 3≤ 2-2即 f(x)的值域为 [ - 2- 3, 2- 3],最小正周期为 π.π π π 2π(2)当 x ∈[0, 6] 时, 2x + 3∈[3, 3 ],π3故 sin(2x + 3)∈[ 2 , 1],π此时 f(x)+ 3= 2sin(2x + 3)∈[ 3,2].由 m[f(x)+3]+2= 0 知, m ≠ 0,且 f(x)+ 3=- 2 ,m 2m + 3≤ 02≤2,即∴ 3≤ -m2 +2≥0,m解得- 2 3 3≤ m ≤- 1.即实数 m 的取值范围是- 2 33,-1 .6.(2013 安·徽名校质检 )如下图, A 、 B 分别是单位圆与 x 轴、 y 轴正半轴的交点,点 P在单位圆上,∠ AOP = θ(0< θ< π), C 点坐标为 (- 2,0),平行四边形 OAQP 的面积为 S.→ →(1)求 OA ·OQ + S 的最大值;(2)若 CB ∥ OP ,求 sin 2θ- π的值.6解: (1)由已知得 A 、 B 、P 的坐标分别为 (1,0)、 (0,1)、(cos θ,sin θ),∵四边形 OAQP 是平行四边形,→ → →+ (cos θ, sin θ)= (1+ cos θ, sin θ), ∴OQ = OA + OP = (1,0)→ → ∴OA ·OQ =1+ cos θ,又平行四边形 → →OAQP 的面积 S = |OA| ·|OP|sin θ= sin θ, → → θ+ π + 1. ∴OA ·OQ +S = 1+ cos θ+ sin θ= 2sin 4∵0<θ< π,π → →2+ 1.∴当θ= 时, OA ·OQ + S 的最大值为4→ →(2)由题意知, CB = (2,1), OP = (cos θ, sin θ),∵CB ∥OP ,∴tan θ=12,π∵0<θ< π,∴0< θ<2,由 cos θ= 2sin θ, cos 2θ+ sin 2θ= 1,52 5得 sin θ= 5 , cos θ= 5 ,∴sin2θ= 2sin θcos θ= 4, cos2θ= cos 223, 5θ- sin θ= 5 π π π ∴sin 2θ-6 = sin2θcos 6- cos2θsin 6= 4× 4 3- 3 3-3× 1= 10 .5 2 5 2。

(广东专用)高考数学一轮复习第五章专题二三角函数问题课件文

(广东专用)高考数学一轮复习第五章专题二三角函数问题课件文

【例 1】 已知函数 f(x)=sin(ωx

π 6
)

sin(ωx-
π 6
)

2cos2
ωx 2

x∈R(其中 ω>0).
(1)求函数 f(x)的值域;
(2)若函数 y=f(x)的图象与直线
y=-1 的两个相邻交点间的距
离为π2,求函数 y=f(x)的单调增
区间.
思维启迪
解析
思维升华
(1)f(x)=
的值.
高考题型突破
题型二
三角函数和解三角形
【例 2】 (2013·重庆)在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b, c,且 a2+b2+ 2ab=c2.
思维启迪
解析
思维升华
三角函数和三角形的结合, 一般可以利用正弦定理、余
(1)求 C;
(2) 设
cos
Acos
B

32 5

cosα+cAosc2oαsα+B= 52,求 tan α
高考题型突破
跟踪训练 2 (2012·安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长
分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.
(2)方法一 因为A→D2=A→B+A→C2 2
(2)由题设条件及三角函数图象
和性质可知,y=f(x)的周期为 π,
所所以以2ωfπ(x=)=π,2si即n(2ωx=-2π6.)-1,
再由
2kπ
-2π
≤2x

数学一轮复习专练23大题专练二三角函数的综合运用含解析文

数学一轮复习专练23大题专练二三角函数的综合运用含解析文

专练23 高考大题专练(二)三角函数的综合运用1.[2020·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2错误!+cos A=错误!.(1)求A;(2)若b-c=错误!a,证明:△ABC是直角三角形.2.[2019·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a sin错误!=b sin A。

(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.3.[2019·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。

已知b+c=2a,3c sin B=4a sin C。

(1)求cos B的值;(2)求sin错误!的值.4.[2020·山东青岛一中高三测试]已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2错误!sin x cos x(x∈R).(1)求f错误!的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.5.[2020·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=错误!c,b=2错误!,求△ABC的面积;(2)若sin A+错误!sin C=错误!,求C。

专练23高考大题专练(二)三角函数的综合运用1。

解析:(1)由已知得sin2A+cos A=错误!,即cos2A-cos A +错误!=0.所以错误!2=0,cos A=错误!.由于0<A<π,故A=错误!。

(2)由正弦定理及已知条件可得sin B-sin C=错误!sin A。

由(1)知B+C=错误!,所以sin B-sin错误!=错误!sin错误!。

即错误!sin B-错误!cos B=错误!,sin错误!=错误!.由于0<B<错误!,故B=错误!.从而△ABC是直角三角形.2.解析:本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin A sin错误!=sin B sin A.因为sin A≠0,所以sin错误!=sin B。

(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析.doc

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弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 .设锐角ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b, c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为,, 2 .ABC c , sin sin2 . 2 2(I)试判断△ABC的形状 ;(I I)若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 .已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4.在ABC 中,角A.B.C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5.已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x , xπ π.x4,4 2(1)求f ( x)的最大值和最小值;(2)f ( x) m 2 在 x π π上恒成立,求实数m 的取值范围.,4 26.在锐角△ABC 中,角..的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7.已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 .在ABC中,已知内角 A . B . C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当 号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x( Ⅰ )cos2x21 2sin 2xπ.3又∵ xπ ππ 2xπ 2π, , ∴≤≤,4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3,3∴ f ( x) max 3, f ( x) min 2 .(Ⅱ ) ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 , xπ π ,4,2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ,∴1 m 4 ,即 m 的取值范围是 (14), .6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。

苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章 解答题专项(二)三角函数中的综合问题

苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章 解答题专项(二)三角函数中的综合问题

sin

sin
= 1,
变形可得sin − − sin + = sin ,即−2cos sin = sin ,
1
而0 < sin ≤ 1,所以cos = − .又0 <
2
1
1
故△ 的面积△ = sin = × 1
2
2
< π,所以sin =
∴ 2sin cos − 2cos sin = sin cos + cos sin ,
∴ sin cos = 3cos sin ,
∴ sin = 3cos ,
即tan = 3.又∵ 0 < <
∴ sin =
3
10
=
3 10
.
10
π
,
2
(2)设 = 5,求边上的高.
所以的最小值为 6.
= 2 + 2 − ≥ = 6,
4.在△ 中,内角,,所对的边分别为,,,且2 2 − 2 + 2 = 0.
(1)求
sin cos
的值;
cos sin
sin cos
解由余弦定理得
cos sin
∵ 2 2 − 2 + 2 = 0,
sin =

根据正弦定理,可得
sin
=

,则
sin
=
sin
sin
= 2, =
故△ 的周长△ = + + = 2 3 + 2.
6

2
6
,
6
(负值舍去).
30
6

高考数学一轮复习高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形课件理北师大版

高考数学一轮复习高考大题专项二高考中的三角函数与解三角形课件理北师大版
查的都是解三角形.
3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 三角函数与三角变换的综合
4
题型一
题型二
题型三
题型四
பைடு நூலகம்
5
题型一
题型二
题型三
题型四
6
题型一
题型二
题型三
题型四
解题心得1 .解三角函数与三角变换相结合的题,先是把异名、异
次、异角化异为同,最终化为一个函数一个变角的三角函数式;
2 .确定函数y=A sin(ωx+ φ)(A> 0,ω> 0)的单调区间和对称性 时,基本思想是把ωx+ φ看作一个整体.
20
题型一
题型二
题型三
题型四
21
题型一
题型二
题型三
题型四
22
题型一
题型二
题型三
题型四
对点训练4 已知锐角三角形ABC 的内角A ,B,C 的对边分别为
a,b ,c,且满足cos 2B- cos 2C- sin2A=- sin A sin B,sin(A-
B)= cos(A+B ).
(1)求角A ,B,C ;
、余弦定理确定三角形的边与角,再代入到三角恒等变换中求值.
具体解题步骤如下: 第一步利用正(余)弦定理进行边角转化; 第二步利用三角恒等变换求边与角; 第三步代入数据求值;
第四步查看关键点、易错点. 3 .解三角形的问题的关键是如何借助转化和消元,同时注重正弦定 理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.
高考大题专项二
高考中的三角函数与解三角 形
2
从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查都 呈现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题共15 分,要

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)1.docx

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)1.docx

高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)一、单选题2TC1.已知cos。

= 一,0 < a < 勿,贝!jtan( -------- a)=( )3 4A.--B. -7C. -4A/5 - 9D. 4右-92.设函数f(x) = x3,若0<6><yHt, 恒成立,则实数扪的取值范围是A. (-8,1)B. [一°°,;]C.(YO,0)D. (0,1)3.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为人=40的楼/W的底部《处和楼顶B处分别测得仰角6=60。

,a=30。

,若山坡高为a=35,则灯塔的高度是( )A. 20B. 25C. 20^/2D. 30TT4.已知函数/(x) = A sin — x, g (x) = - 2), fc > 0. & 知A = 1 时,函数/z(x) = y(x)-g(x)的所有零点之和为6,贝。

当A = 2时,函数h(x) = f(x)-g(x)的所有零点之和为A. 6B. 8C. 10D. 125.下列说法中正确的是A.若数列{%}为常数列,贝州%}既是等差数列也是等比数列;B.若函数六了)为奇函数,贝0/(0) = 0;C.在AABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件;D.若两个变量X,,的相关系数为「,贝越大,x与 > 之间的相关性越强.6.要得到函数y = 4sin]4x-f|的图像,只需要将函数y = 4sin4x的图像( )A.向左平移尚个单位B.向右平移%个单位C.向左平移:个单位D.向右平移:个单位7. 将函数f (x) = cos(2x-g)向左平移中(9>0)个单位长度,所得图像的对应函数为g(x),则“9 =;‘是“g(x)为奇函数"的( )取值范围是( )变横坐标压缩为原来的?,得到函数顼:的图象,则使球为增函数的一个区间是12.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为二、填空题13. A>4BC 的内角 4、B 、C 的对边分别为 a, b, c,已知 c+b (sinA - cosA) =0, c= ^2 , a =1,则人=.14. 在 AABC 中,若Z? = 2asinB,则 A 等于15. 甲船在岛A 处南偏西50。

2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数高考解答题专项二三角函数中的综合问题

2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数高考解答题专项二三角函数中的综合问题

3
B= ,
2 7
(2)在△ABC 中,由 =
1
= (||2+| |2+2
4
1

2
1
2 1
+ 2 ,得|| =4 |
· ).
由余弦定理得 2 · =||2+| |2-| |2.
故||
1
=4(2||2+2| |2-| |2),
2
即 AD
π

由∠ADC=3,得∠ADB= 3 ,
1
所以sin
=

,故 csin

sin
3
3
B= 2 .

将②式代入①式,得 a=4.
在△ADB 中,由余弦定理得 AB =c =AD +BD
2
即 c =1 +2 -2×1×2×
2
2
2
在△ABD 中,cos
sin
3
B= ,tan
2 7
1
-2
2
2
7+4-1
个.
π

3 个条件依次是:①f(x)的图象关于点(12,0)对称;②当 x=12时,f(x)取得最大值;
3
③0 是函数 y=f(x)+2的一个零点.
(1)试写出满足题意的2个条件的序号,并说明理由;
(2)求函数g(x)=f(x)+6cos2x的值域.
解 (1)①f
π
12
=3sin
π
+

6

π
②2×12+φ=2kπ+2,k∈Z,则
高 考
解答题
专项二

(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析

(完整版)高三一轮复习三角函数专题及答案解析

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小;(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状;(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B,且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中,角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值;2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn,-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值;(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立,求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值?7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期;(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中,已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1,且m//n?2(I) 求锐角B的大小;(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】:(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C,所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角,二sin A由正弦定理得:-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号,此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】:(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角,• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ;-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^,已知b=2,由余弦定理,得: 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •,ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ,△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理:cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —;=;ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n [、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以,T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ,得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以,函数f x 的最大值为1 2此时,因为一2x —丄,所以,2x ,即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4,即m 的取值范围是(1,4).6【解析】:(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中,所以A=60,[不说明是锐角 △ ABC 中,扣 1 分](II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

高考数学一轮复习高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形课件新人教A版理

高考数学一轮复习高考大题增分专项二高考中的三角函数与解三角形课件新人教A版理
∴f(x)的单调递增区间为


4kπ- 3 ,4kπ+ 3
(k∈Z).
-11题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,
∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,
即 2sin Acos B=sin(B+C).
1
∵sin(B+C)=sin A>0,∴cos B=2.
4
4
- =
π
4
tan -tan
=-3.
因为tan α<0, 所以角α的终边在第二或第四象限,
所以点A在第二或第四象限.
- =-2.
-5题型一
题型二
(2)由 B
题型三
3
题型四
4
4
,- 知,tan β=-3,
5 5
π
2
sin cos (+)cos -cos +-
所以
sin (-π) +3sin
中常用到辅助角公式 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ).
-8题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
例 2 已知函数 f(x)=4tan xsin
π
-
2
cos
π
3
− 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
π π
4 4
(2)讨论 f(x)在区间 - ,
上的单调性.
π
解:(1)f(x)的定义域为 ≠ 2 + π,∈Z .
π π
设 A= - 4 , 4 ,

高考数学一轮复习精选试题: 三角函数(解答题) Word版含答案

高考数学一轮复习精选试题: 三角函数(解答题) Word版含答案

三角函数02解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)1.已知角的终边经过点.(1) 求的值;(2)求的值.【答案】由角的终边过点知:, ,, (1) =, (2)=…11分 =。

2.已知函数. (Ⅰ)求函数的值域;α(3,4)P -sin()cos()tan()πααπα-+-+α(3,4)P -224sin 5(3)4α==-+223cos 5(3)4α==--+44tan 33α==--sin()cos()sin cos tan()tan πααααπαα-+-+=+4343()/()55320--=-))cos(2)23(cos()2sin(πααπαπ--+⋅+)cos 2(sin cos ααα+24336()2()55525⨯-+⨯-=2()23cos 2sin 333x x x f x =-()f x(Ⅱ)在△中,角所对的边分别为,若,且,求的值【答案】(1) ∵,∴ ∴ ∴函数的值域为(2), ∴,而, ∴. 在中,,,∴, 得 解得 ∵, ∴.3.如图所示,甲船在A 处,乙船在A 处的南偏东45°方向,距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少h 能尽快追上乙船?ABC ,,A B C ,,a b c ()1f C =2b ac =sinA 22()cos 133x x f x =+-22sin()136x π=+-x R ∈21sin()136x π-≤+≤232sin()1136x π-≤+-≤()f x [3,1]-2()2sin()1136C f C π=+-=2sin()136C π+=(0,)C π∈2C π=Rt ABC ∆2b ac =222c a b =+22c a ac =+2()10aa c c+-=a c =0sin 1A <<1sin 2a A c -==【答案】设用t 小时,甲船能追上乙船,且在C 处相遇.在△ABC 中,AC=28t ,BC=20t ,AB=9,∠ABC=1200,根据余弦定理得,AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·Bccos ∠ABC即(28t)2=(20t)2+(20t)2-2×9×20tcos1200,整理得,128 t 2-60t -27=0,(4t -3)(32t+9)=0,解得或(舍). 所以AC=21,BC=15, 在△ABC 中,, 所以∠BAC=380,所以甲船应沿南偏西70方向行驶.答:甲船应沿南偏西70方向,用0.75h 能尽快追上乙船.4.已知向量,函数. (Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积.【答案】(Ⅰ)3t 4=9t 32=-015BC sin1202sin BAC 0.6186AC21⋅∠===≈1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-()()2f x a b a =+⋅-()f xT a b c ABC ∆A B C A 4a c ==()1f A =,A b ABC ∆S 2()()22f x a b a aa b =+⋅-=+⋅-21sin 1cos 22x x x =++-因为,所以5.化简:【答案】原式=6.已知函数(I )化简函数f (x )的解析式,并求函数f (x )的最小正周期;(Ⅱ)在锐角△ABC 中,若,求△AB C 的面积.【答案】(1) (2) 1cos 21sin 2222x x -=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=-2ω=22T ππ==)()(()(αππααπααπ+++323tan --cos )(cos )-cos sin αααααααα333323cos tan sin tan cos )cos (cos )sin (==-⋅⋅-2()2sin cos f x x x x x R =+-∈()1,2f A AB AC =⋅=)32sin(2)(π+=x x f ππ==22T 22=s。

三角函数的综合应用 高三数学一轮复习

三角函数的综合应用 高三数学一轮复习

(2)21bc sin A=4 3,A=π3,
则12bc× 23=4 3,解得 bc=16,
由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bc·cos
A=b2+c2-2bc·cos
π 3
=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=16,当且仅当 b=c=4 时,等号成立,
故 a2≥16,
∵a>0, ∴a≥4, 在△ABC 中,b+c>a 恒成立, ∵b+c≥2 bc=2 16=8,当且仅当 b=c=4 时,等号成立, 故 a<8, 综上所述,a 的取值范围为[4,8).
∴a2+c2 b2=sin2Asi+n2Csin2B=cos22sCin+2Ccos2C =(1-2sin2Cs)in2+2C(1-sin2C)=2+4sins4iCn2-C 5sin2C
=sin22C+4sin2C-5≥2× 2×4-5=4 2-5,
当且仅当 sin2C= 22时取等号. ∴a2+c2 b2的最小值为 4 2-5.
圆半径. (2)根据 b=2R sin B,c=2R sin C 把边长问题转化为三角函数
问题.
(3)再利用 sin B=sin (A+C)[或 sin C=sin (A+B), cos B=-cos (A+C)]消去一个未知角.
(4)利用三角恒等变换公式,化简为 M sin (ωx+φ)的形式. (5)根据未知角的取值范围确定三角函数的取值范围. 注意:若题目对三角形的形状有限制(如锐角三角形),需全面 考虑三个内角的取值范围.
23cos
A
=8sin A+π6.
因为 0<A<23π,
所以 A+π6∈π6,56π,所以 sin A+π6∈12,1,则 a+c∈(4,8].
所以 a+c 的取值范围是(4,8].

旧教材适用2023高考数学一轮总复习高考大题专题研究二三角函数的综合问题课件

旧教材适用2023高考数学一轮总复习高考大题专题研究二三角函数的综合问题课件

[解题策略] 纵观近年的高考试题,许多新颖别致的三角函数解答题就 是以数列为出发点设计的.在这类试题中数列往往只是起到包装的作用,实 质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问 题的能力.解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣,抓住问题的实质, 选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.
整理得 c2-9c+14=0,解得 c=7 或 c=2, 又 a=c-4>0,则 c>4,∴c=7.
(2)若△ABC 的外接圆面积为 π,求△ABC 周长的最大值.
解 (2)设 B=θ,外接圆的半径为 R,则 πR2=π,
解得 R=1,由正弦定理可得
a sin
A=sinb
B=sinc
C=2R=2,
∴sinb θ= sin
aπ3-θ=sinc
2π=2, 3
可得 b=2sin θ,a=2sin π3-θ,c= 3,
∴△ABC 的周长=2sin θ+2sin π3-θ+ 3
=2sin θ+2sin
π 3cos
θ-2cos
π 3sin
θ+
3
=sin θ+ 3cos θ+ 3=2sin θ+π3+ 3, 又 θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<23π, ∴当 θ+π3=π2,即 θ=π6时,△ABC 的周长取得最大值 2+ 3.
专题研究 三角函数的综合问题 题型一 三角函数图象与性质的综合 例 1 已知函数 f(x)=sin (ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M34π,0对称. (1)求 φ,ω 的值;
解 (1)因为 f(x)=sin (ωx+φ)是 R 上的偶函数,所以 φ=π2+kπ,k∈Z, 又 0≤φ≤π,则 φ=2π,即 f(x)=cos ωx. 因为图象关于点 M34π,0对称, 所以 ω×34π=π2+kπ,k∈Z, 又 0<ω<1,所以 ω=23.

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项二三角函数中的综合问题北师大版

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高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.已知函数f (x )=2sin ωx cos ωx-π6-12(0<ω<2),函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,且b-a 的最大值为π2,求f (x )在-π2,π2上的单调递减区间.2.(2021湖南怀化高三二模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足2tanBtanA+tanB =bc . (1)求角A ;(2)若a=√13,b=3,求△ABC 的面积.3.(2021天津静海一中高三月考)已知锐角三角形ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,且b cos C+√3b sin C=a+c.(1)求B;(2)若b=2,△ABC的面积为√3,求a,c.4.平面凸四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AD=3,AB=4.(1)若∠ABC=45°,求CD;(2)若BC=2√5,求AC.5.(2021江苏徐州高三二模)若f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,f(0)=12,f5π12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角三角形ABC中,若A>B,f A-B2−π12=35,求cos A-B2,并证明sin A>2√55.6.(2021河南郑州高三三模)在△ABC中,AB=2AC,点D在BC边上,AD平分∠BAC.(1)若sin∠ABC=√5,求cos∠BAC;5(2)若AD=AC,且△ABC的面积为√7,求BC.高考解答题专项二 三角函数中的综合问题1.解f (x )=2sin ωx cos ωx-π6-12=2sin ωx cos ωx cos π6+sin ωx sin π6-12=√3cos ωx sin ωx+sin 2ωx-12=√32sin2ωx-12cos2ωx=sin 2ωx-π6.若f (x )在[a ,b ]上单调递增,且b-a 的最大值为π2, 则T=π=2π2ω,故ω=1,所以f (x )=sin 2x-π6.由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π(k ∈Z ),得π3+k π≤x ≤5π6+k π(k ∈Z ),令k=0,得π3≤x ≤5π6;令k=-1,得-2π3≤k ≤-π6.又-π2≤x ≤π2, 所以f (x )在-π2,π2上单调递减区间为-π2,-π6,π3,π2.2.解(1)由2tanBtanA+tanB =bc 及正弦定理可知,2sinBcosB sinA cosA +sinBcosB=sinBsinC ,所以2sinB cosB·cosA ·cosB sin(A+B)=sinB sinC,因此2cos A=1.又A ∈(0,π),所以A=π3.(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得13=9+c 2-3c , 所以c 2-3c-4=0,即(c-4)(c+1)=0,解得c=4. 从而S △ABC =12bc sin A=12×3×4×√32=3√3.3.解(1)由正弦定理得sin B cos C+√3sin B sin C=sin A+sin C=sin(B+C )+sin C=sin B cos C+cos B sin C+sin C. 因为C 为三角形内角,sin C ≠0,所以√3sin B-cos B=1,sin B-π6=12.因为-π6<B-π6<π3,则B-π6=π6,即B=π3. (2)由已知S=12ac sin B=√34ac=√3,得ac=4.又a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,即a 2+c 2-4=ac ,解得a=c=2.4.解(1)连接BD ,在Rt △BAD 中,由AB=4,AD=3,∠BAD=90°, 得BD=5,∴sin ∠ABD=35,cos ∠ABD=45.∵∠ABC=45°,∴∠DBC=45°-∠ABD ,∴sin ∠DBC=sin45°·cos ∠ABD-cos45°·sin ∠ABD=√22×45−√22×35=√210. 在Rt △BCD 中,由∠BCD=90°,知CD=BD ·sin ∠DBC=5×√210=√22.(2)连接AC ,由(1)知BD=5,在Rt △ABD 中易知sin ∠ABD=35,cos ∠ABD=45. 在Rt △BCD 中,由BC=2√5,BD=5,得CD=√5. 易知sin ∠CBD=√55,cos ∠CBD=2√55. ∴cos ∠ABC=cos(∠ABD+∠CBD )=cos ∠ABD ·cos ∠CBD-sin ∠ABD ·sin ∠CBD=45×2√55−35×√55=√55. 在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=42+(2√5)2-2×4×2√5×√55=20, ∴AC=2√5.5.解(1)由f (0)=12,得sin φ=12.又0<φ<π2,故φ=π6. 由f5π12=0,得sin ω·5π12+π6=0,所以ω·5π12+π6=2k π+π(k ∈Z ),即ω=2+24k5(k ∈Z ).由ω>0,结合函数图象可知12·2πω>5π12,所以0<ω<125.又k ∈Z ,所以k=0,从而ω=2,因此f (x )=sin 2x+π6.(2)由fA -B 2−π12=sin(A-B )=35,因为0<B<A<π2,所以0<A-B<π2,故cos(A-B )=45. 因为cos(A-B )=2cos 2A -B2-1,于是cosA -B 2=√1+cos(A -B)2=3√1010. 所以sinA -B 2=√1-cos 2A -B 2=√1010. 又A+B>π2,故A=A+B 2+A -B 2>π4+A -B 2.又y=sin x 在0,π2上单调递增,且A ∈0,π2,π4+A -B 2∈0,π2, 所以sin A>sinπ4+A -B 2=sin π4cosA -B 2+cos π4sinA -B 2=√22×3√1010+√1010=2√55.6.解(1)令△ABC 的边AC ,AB ,BC 为b ,c ,a ,由题意可得c=2b , ∵AB>AC ,∴∠ABC<∠ACB ,∴∠ABC 为锐角,即cos ∠ABC=√1-15=2√55.∵AC sin ∠ABC=AB sin ∠ACB,∴sin ∠ACB=2√55.∵∠ACB ∈(0,π),∴cos ∠ACB=±√55. ∴cos ∠BAC=-cos(∠ABC+∠ACB )=sin ∠ABC sin ∠ACB-cos ∠ABC cos ∠ACB.当cos ∠ACB=√55时,cos ∠BAC=√55×2√55−2√55×√55=0. 当cos ∠ACB=-√55时,cos ∠BAC=√55×2√55+2√55×√55=45.所以cos ∠BAC=0或45.(2)设∠CAD=∠DAB=θ,由于S △ABC =S △ACD +S △ADB , 所以12AC ·AD sin θ+12AB ·AD sin θ=12AB ·AC sin2θ, 由AD=AC ,AB=2AC 可得3sin θ=4sin θcos θ.因为sin θ≠0,则cos θ=34,sin θ=√1-cos 2θ=√74, S △ABC =12AC ·AB sin2θ=b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=√7,解得b 2=83.又cos2θ=2cos 2θ-1=18,∴a=√b 2+4b 2-2b ·2bcos2θ=2√3,即BC=2√3.。

届高考一轮复习 高考大题专题研究(二) 三角函数与三角形的综合问题 课件(共19张PPT)

届高考一轮复习 高考大题专题研究(二) 三角函数与三角形的综合问题 课件(共19张PPT)

类题通法
三角形中的最值(范围)求解策略
[巩固训练1] [2022·湖南长郡中学月考]在△ABC中,角A,B,C所
对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足S= 43(a2+b2-c2), (1)求角C的大小; (2)求sin A+sin B的最大值.
题型二 三角变换与解三角形的综合 [例2] [2022·山东莱芜一中月考]已知A,B,C为△ABC的三个内角, 且其对边分别为a,b,c,若a cos C+(c+2b)cos A=0. (1)求A;
[巩固训练2] [2022·重庆实验外国语学校模拟]在△ABC中,角A,B,
C所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=5,c= 21.
(1)求角C的大小;
(2)求sin
2A − π 的值.
4
题型三 三角函数与解三角形的综合
[例3]
[2022·北京昌平模拟]已知f(x)= 3cos 2x+2sin
(2)若a=2 3,b+c=4,求△ABC的面积.
类题通法
在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定 理的变形如cos A=b2+2cb2c−a2将角化为边.在三角形中利用三角变换求 三角式的值时,要注意角的范围的限制.还有隐含条件:A+B+C= π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.
3π + x
2
sin

-x),x∈R,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=
- 3,a=4,求BC边上的高的最大值.

高中数学一轮复习高考大题强化练二三角综合问题理含解析新人教A版

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高考大题强化练(二)三角综合问题1.已知函数f(x)=cos 2ωx + 3 sin 2ωx +t(ω>0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴间的距离为π4 ,图象过点(0,0).(1)求f(x)的表达式和f(x)的递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移π8 个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =g(x)的图象.若函数F(x)=g(x)+k 在区间⎣⎡⎦⎤0,π2 上有且只有一个零点,求实数k 的取值范围.〖解 析〗(1)因为f(x)=cos 2ωx + 3 sin 2ωx +t =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π6 +t ,f(x)的最小正周期为2π2ω=π2 ,所以ω=2.因为f(x)的图象过点(0,0),所以2sin π6 +t =0, 所以t =-1,即f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π6 -1.令2k π-π2 ≤4x +π6 ≤2k π+π2 ,k ∈Z , 12 k π-π6 ≤x ≤12 k π+π12 ,k ∈Z , 故f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2-π6,k π2+π12 ,k ∈Z . (2)将函数f(x)的图象向右平移π8 个单位长度,可得y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x -π2+π6 -1=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x -π3 -1的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3 -1的图象.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2 ,所以2x -π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3 ,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1 ,故g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3 -1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2 上的值域为〖- 3 -1,1〗.若函数F(x)=g(x)+k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2 上有且只有一个零点,即函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3 -1的图象和直线y =-k 存在交点,根据图象可知,- 3 -1≤-k < 3 -1或-k =1. 解得1- 3 <k ≤ 3 +1或k =-1,故实数k 的取值范围是(1- 3 , 3 +1〗∪{-1}. 2.已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4 sin (x -π4 )+ 3 sin x cos x.(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f(θ)=12 ,求角θ的取值集合;(3)设f ⎝⎛⎭⎫α2+π4 =33 ,f ⎝⎛⎭⎫β-π4 =13 ,且-π2 <α<0,π4 <β<π2 ,求cos (α-2β)的值.〖解 析〗f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4 +3 sin x cos x=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4+π2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4 + 3 sin x cos x=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4 + 3 sin x cos x=12 sin 〖2(x -π4 )〗+3 sin x cos x =-12 cos 2x +32 sin 2x=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6 .(1)最小正周期T =2π2 =π. (2)f(θ)=sin (2θ-π6 )=12 ,所以2θ-π6 =π6 +2k π或2θ-π6 =5π6 +2k π,k ∈Z , 所以θ=π6 +k π或θ=π2 +k π,k ∈Z ,故角θ的取值集合为{θ|θ=π6 +k π或θ=π2 +k π,k ∈Z }.(3)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π4 =33 ,所以sin 〖2(α2 +π4 )-π6 〗=33 , 即sin (α+π3 )=33 .因为-π2 <α<0,所以α+π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π3 ,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3 =63 .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4 =13 ,所以sin 〖2(β-π4 )-π6 〗=13 , 即sin (2β-2π3 )=13 .因为π4 <β<π2 ,所以2β-2π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π3 ,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2β-2π3 =223 .所以cos (α-2β)=-cos 〖(α+π3 )-(2β-2π3 )〗 =-cos (α+π3 )·cos (2β-2π3 )-sin (α+π3 )·sin (2β-2π3 ) =-63 ×223 -33 ×13 =-539 .3.如图,设A ,B 是半径为1的圆O 上的动点,且A ,B 分别在第一、二象限,C 是圆O 与x 轴正半轴的交点,△AOB 为等边三角形,记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.(1)若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35,45 ,求5sin (-θ)-5cos (π+θ)+3tan θ的值; (2)设f(θ)=|BC|2,求函数f(θ)的解析式和值域.〖解 析〗(1)因为A 的坐标为⎝⎛⎭⎫35,45 ,以Ox 轴正半轴为始边,射线OA 为终边的角为θ.所以根据三角函数的定义可知,sin θ=45 ,cos θ=35 ,tan θ=43 , 5sin (-θ)-5cos (π+θ)+3tan θ=-5sin θ+ 5cos θ+3tan θ=-5×45 +5×35 +3×43 =3.(2)因为△AOB 为正三角形,所以∠AOB =60°. 所以cos ∠COB =cos (θ+60°),所以f(θ)=|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos ∠COB =2-2cos (θ+60°), 因为30°<θ<90°,所以f(θ)∈(2,2+ 3 ).4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,tan A +B 2 +tan C 2 =433 .(1)求角C 的大小;(2)已知△ABC 不是钝角三角形,且c =2 3 ,sin C +sin (B -A)=2sin 2A ,求△ABC 的面积. 〖解 析〗(1)因为A +B +C =π,所以tanA +B 2 +tanC 2 =tan π-C 2 +tan C2=433 ,所以( 3 tan C 2 -1)(tan C2 -3 )=0, 解得tan C 2 =33 或tan C2 =3 , 因为C ∈(0,π),所以当tan C 2 =33 时,C 2 =π6 ,即C =π3 ; 当tan C 2 = 3 时,C 2 =π3 ,即C =2π3 . 故角C 的大小为π3 或2π3 .(2)因为△ABC 不是钝角三角形,所以C =π3 , 所以sin C =32 ,A +B =2π3 , 因为sin C +sin (B -A)=2sin 2A ,所以32 +sin (2π3 -2A)=2sin 2A , 即32 +32 cos 2A +12 sin 2A =2sin 2A , 整理得,3 sin 2A -cos 2A =1, 即sin (2A -π6 )=12 ,所以2A -π6 =π6 +2k π或2A -π6 =5π6 +2k π,k ∈Z , 解得A =π6 +k π或A =π2 +k π,k ∈Z , 因为A ∈(0,π2 〗,所以A =π6 或π2 .当A =π6 时,B =π2 ,因为c =23 ,所以a =2, 所以S △ABC =12 ac =23 ;当A =π2 时,B =π6 ,因为c =2 3 ,所以b =2, 所以S △ABC =12 bc =23 . 综上所述,△ABC 的面积为2 3 .5.现给出两个条件:①2c - 3 a =2b cos A ,②2a sin 2B 2 +2b cos 2A2 =b +c.从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题:在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,________. (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 〖解 析〗选择条件:①2c - 3 a =2b cosA , (1)因为由余弦定理可得2c - 3 a =2b cos A =2b ·b 2+c 2-a 22bc ,所以整理可得a 2+c 2-b 2= 3 ac , 可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =32 , 因为B ∈(0,π),所以B =π6 . (2)因为b =2,B =π6 ,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 可得4=a 2+c 2-2ac·32 ,所以4=a 2+c 2- 3 ac ≥2ac - 3 ac ,可得ac ≤8+4 3 ,当且仅当a =c 时等号成立, 所以S △ABC =12 ac sin B ≤12 ×(8+4 3 )×12 =2+3 ,即△ABC 面积的最大值为2+ 3 . 选择条件:②2a sin 2B 2 +2b cos 2A2 =b +c ,(1)由条件可得2a·1-cosB 2 +2b·1+cos A2 =b +c ,整理可得a -a cos B +b cos A =c , 所以由正弦定理可得sin A -sin A cos B +sin B cos A =sin C , 又因为sin C =sin (A +B)=sin A cos B +sin B cos A , 所以整理可得sin A =2sin A cos B , 因为sin A >0, 所以cos B =12 , 因为B ∈(0,π), 所以B =π3 .(2)因为b =2,B =π3 ,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,可得4=a 2+c 2-2ac·12 ,所以4=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ,可得ac ≤4,当且仅当a =c 时等号成立, 所以S △ABC =12 ac sin B ≤12 ×4×32 =3 ,即△ABC 面积的最大值为 3 .6.△ABC 内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =3 2 ,b 2+c 2-a 2=ac cos C +c 2cos A. (1)求b +csin B +sin C的值;(2)若bc =b +c ,求△ABC 的面积.〖解 析〗(1)由b 2+c 2-a 2=ac cos C +c 2cos A 得b 2+c 2-a 22bc =ac cos C +c 2cos A2bc , 又由正、余弦定理得cos A=sin A cos C +sin C cos A 2sin B =sin (A +C )2sin B =12 , 而0<A <π, 故A =π3 , 又a =3 2 ,从而b +csin B +sin C=asin A =2 6 .(2)由余弦定理得cos A =12 =b 2+c 2-182bc, 即(b +c)2-3bc =18,又bc =b +c ,故(bc)2-3bc =18,解得bc =6, 故△ABC 的面积为S △ABC =12 bc sin A =332 .。

山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 三角函数(2)(

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三角恒等变换1、已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,(1)求tan 2α的值; (2)求β.解 (1)∵cos α=17,0<α<π2,∴sin α=437,∴tan α=43,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×431-48=-8347. (2)∵0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,∴sin(α-β)=3314,∴cos β=cos[α-(α-β)]=co s αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =17×1314+437×3314=12. ∴β=π3.2、已知f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1tan x sin 2x -2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4. (1)若tan α=2,求f (α)的值; (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,π2,求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )=(sin 2x +sin x cos x )+2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4· cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=1-cos 2x 2+12sin 2x +sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2 =12+12(sin 2x -cos 2x )+cos 2x =12(sin 2x +cos 2x )+12. 由tan α=2,得sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=45. cos 2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35.所以f (α)=12(sin 2α+cos 2α)+12=35.(2)由(1)得f (x )=12(sin 2x +cos 2x )+12=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,π2,得2x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12,5π4. ∴-22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4≤1,∴0≤f (x )≤2+12, 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2+12. 3、已知函数f (x )=4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6-1.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π4上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )=4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6-1=4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x +12cos x -1=3sin 2x +2cos 2x -1=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x +π6≤2π3.于是,当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值2;当2x +π6=-π6,即x =-π6时,f (x )取得最小值-1.4、设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12的值为________.解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=45, ∴α+π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,2π3,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π12=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-π4=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos π4-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6sin π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6-1 =2×35×45-22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452-1=12225-7250=17250. 答案172505、已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos(α-β)的值为________.解析 ∵cos α=13,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴sin α=223,∴sin 2α=429,cos 2α=-79.又cos(α+β)=-13,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=223.∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-79×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13+429×223=2327.答案23276.计算cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°的结果等于( ). A.12 B.33 C.22 D.32解析 原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18° =sin(48°-18°)=sin 30°=12.答案 A 7.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=13,则cos(π+2α)的值为( ).A .-79 B.79 C.29 D .-23解析 由题意,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=13.所以cos(π+2α)=-cos 2α=-(2cos 2α-1)=1-2cos 2α=79.答案 B8.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =35,则sin 2x =( ).A.1825B.725 C .-725 D .-1625 解析 因为sin 2x =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2x =cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x =2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x -1,所以sin 2x =2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352-1=1825-1=-725.答案 C9.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,且cos α=-45,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α等于( ). A .7 B.17 C .-17D .-7解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,32π,且cos α=-45,所以sin α<0,即sin α=-35,所以tan α=34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=1-tan α1+tan α=1-341+34=17. 答案 B10.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-12,且π2<α<π,则sin 2α-2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4等于( ). A.255 B .-3510 C .-255 D .-31010解析 sin 2α-2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=2sin αcos α-2cos 2α22sin α-cos α=22cos α,由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-12,得tan α+11-tan α=-12,解得tan α=-3,因为π2<α<π,所以解得cos α=-1tan 2α+1=-1010,所以原式=22cos α=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1010=-255.答案 C11.设f (x )=1+cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x +sin x +a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的最大值为2+3,则常数a =________.解析 f (x )=1+2cos 2x -12cos x +sin x +a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=cos x +sin x +a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=(2+a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4.依题意有2+a 2=2+3,∴a =± 3. 答案 ± 312、已知cos 4 α-sin 4α=23,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π3=________.解析 ∵cos 4α-sin 4 α=(sin 2 α+cos 2α)(cos 2α-sin 2 α)=23,∴cos 2α=23,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴2α∈(0,π), ∴sin 2α=1-cos 22α=53, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=12cos 2α-32sin 2α =12×23-32×53=2-156. 答案2-15613.已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=35,求f (2α)的值.解 (1)f (x )=12cos x +32sin x -cos x=32sin x -12cos x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6.∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6-π6=sin α=35,∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴cos α=1-sin 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫352=45. ∴sin 2α=2sin αcos α=2×35×45=2425,cos 2α=2cos 2α-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452-1=725,∴f (2α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π6=32sin 2α-12cos 2α =32×2425-12×725=243-750. 14.已知函数f (x )=-3sin 2x +sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6的值.(2)设α∈(0,π),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=14-32,求sin α的值.解 f (x )=-3sin 2x +sin x cos x =-3×1-cos 2x 2+12sin 2x =-32+sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3, (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6=-32+sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π3+π3=0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2=-32+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=14-32,∴0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=14<12,又∵α∈()0,π,∴α+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,4π3.∴α+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,π, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=-154,∴sin α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-π3=14×12+154×32=1+358. 15.已知tan(α+β)=25,tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=14,那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4等于( ).A.1318B.1322C.322D.16解析 因为α+π4+β-π4=α+β,所以α+π4=(α+β)-⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α+β-⎝⎛⎭⎪⎫β-π4=tan α+β-tan ⎝⎛⎭⎪⎫β-π41+tan α+βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π4=25-141+25×14=322.答案 C15.已知α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,满足t an (α+β)=4tan β,则tan α的最大值是( ). A.14 B.34 C.34 2 D.32解析 由tan(α+β)=4tan β,得tan α+tan β1-tan αtan β=4tan β,解得tan α=3tan β1+4tan 2β,因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以tan β>0.所以tan α=31tan β+4tan β≤321tan β·4tan β=34,当且仅当1tan β=4tan β,即tan 2β=14,tan β=12时取等号, 所以tan α的最大值是34. 答案 B16.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α,则tan 2α=________.解析 由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=32sin α+12cos α=3cos α,即32sin α=52cos α,所以tanα=533, 所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=2×5331-⎝ ⎛⎭⎪⎫5332=-5311. 答案 -5311。

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专题二 高考中的三角函数综合问题1.(2013·北京)“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ=π时,y =sin(2x +φ)=-sin 2x 过原点.当曲线过原点时,φ=k π,k ∈Z ,不一定有φ=π.∴“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过原点”的充分不必要条件. 2.已知向量a =(2,sin x ),b =(cos 2x,2cos x ),则函数f (x )=a·b 的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π 答案 B解析 f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =1+cos 2x +sin 2x=1+2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,T =2π2=π. 3.若函数f (x )=(1+3tan x )cos x,0≤x <π2,则f (x )的最大值为( )A .1B .2 C.3+1 D.3+2答案 B解析 依题意,得f (x )=cos x +3sin x =2sin(x +π6),当0≤x <π2时,π6≤x +π6<2π3,f (x )的最大值是2. 4.已知向量OB →=(2,0),向量OC →=(2,2),向量CA →=(2cos α,2sin α),则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0,π4 B.⎣⎡⎦⎤π4,512πC.⎣⎡⎦⎤512π,π2 D.⎣⎡⎦⎤π12,512π答案 D解析 由题意,得:OA →=OC →+CA →=(2+2cos α,2+2sin α),所以点A 的轨迹是圆(x -2)2+(y -2)2=2,如图,当A 位于使向量OA →与圆相切时,向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值,故选D.5.如图, 正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE =1,连接EC 、 ED ,则sin ∠CED =________________________________________.答案 1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解. 由题意知,在Rt △ADE 中,∠AED =45°, 在Rt △BCE 中,BE =2,BC =1,∴CE =5,则sin ∠CEB =15,cos ∠CEB =25.而∠CED =45°-∠CEB , ∴sin ∠CED =sin(45°-∠CEB ) =22(cos ∠CEB -sin ∠CEB ) =22×⎝⎛⎭⎫25-15=1010. 方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解. 由题意得ED =2,EC =12+22= 5.在△EDC 中,由余弦定理得cos ∠CED =CE 2+DE 2-DC 22CE ·DE =31010,又0<∠CED <π, ∴sin ∠CED =1-cos 2∠CED=1-⎝⎛⎭⎫310102=1010.题型一 三角函数的图象和性质例1 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)+sin(ωx -π6)-2cos 2ωx2,x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f (x )的值域;(2)若函数y =f (x )的图象与直线y =-1的两个相邻交点间的距离为π2,求函数y =f (x )的单调增区间.思维启迪 对三角函数的性质的讨论,首先要化成y =A sin(ωx +φ)+k (一角、一次、一函数)的形式;根据(2)中条件可确定ω.解 (1)f (x )=32sin ωx +12cos ωx +32sin ωx -12cos ωx -(cos ωx +1) =2(32sin ωx -12cos ωx )-1=2sin(ωx -π6)-1.由-1≤sin(ωx -π6)≤1,得-3≤2sin(ωx -π6)-1≤1,所以函数f (x )的值域为[-3,1].(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y =f (x )的周期为π,所以2πω=π,即ω=2.所以f (x )=2sin(2x -π6)-1,再由2k π-π2≤2x -π6≤2k π+π2(k ∈Z ),解得k π-π6≤x ≤k π+π3(k ∈Z ).所以函数y =f (x )的单调增区间为[k π-π6,k π+π3](k ∈Z ).思维升华 三角函数的图象和性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式,然后将t =ωx +φ视为一个整体,结合y =sin t 的图象求解.已知函数f (x )=sin 2x -2sin x cos x +3cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)当x ∈[19π24,π]时,求函数f (x )的最大值和最小值.解 f (x )=sin 2x -2sin x cos x +3cos 2x =1-sin 2x +2cos 2x =2+cos 2x -sin 2x=2+2cos(2x +π4).(1)函数f (x )的最小正周期T =π.(2)因为19π24≤x ≤π,所以116π≤2x +π4≤9π4.所以22≤cos(2x +π4)≤1.所以3≤2+2cos(2x +π4)≤2+2,即3≤f (x )≤2+ 2.所以函数f (x )的最小值为3,最大值为2+ 2. 题型二 三角函数和解三角形例2 (2013·重庆)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2+b 2+2ab =c 2. (1)求C ;(2)设cos A cos B =325,cos (α+A )cos (α+B )cos 2α=25,求tan α的值.思维启迪 (1)利用余弦定理求C ;(2)由(1)和cos A cos B =325可求得A +B ,代入求tan α.解 (1)因为a 2+b 2+2ab =c 2,由余弦定理有cos C =a 2+b 2-c 22ab =-2ab 2ab =-22.又0<C <π,故C =3π4.(2)由题意得(sin αsin A -cos αcos A )(sin αsin B -cos αcos B )cos 2α=25.因此(tan αsin A -cos A )(tan αsin B -cos B )=25,tan 2αsin A sin B -tan α(sin A cos B +cos A sin B )+cos A cos B =25, tan 2αsin A sin B -tan αsin(A +B )+cos A cos B =25.① 因为C =3π4,所以A +B =π4,所以sin(A +B )=22,因为cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B , 即325-sin A sin B =22, 解得sin A sin B =325-22=210.由①得tan 2α-5tan α+4=0,解得tan α=1或tan α=4.思维升华 三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角,再代入到三角函数中,三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.(2012·安徽)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且有2sin B cosA =sin A cos C +cos A sin C . (1)求角A 的大小;(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长. 解 (1)方法一 由题设知,2sin B cos A =sin(A +C )=sin B .因为sin B ≠0,所以cos A =12.由于0<A <π,故A =π3.方法二 由题设可知,2b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+b 2-c 22ab +c ·b 2+c 2-a 22bc ,于是b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.由于0<A <π,故A =π3.(2)方法一 因为AD →2=⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →+AC →22=14(AB →2+AC →2+2AB →·AC →) =14(1+4+2×1×2×cos π3)=74, 所以|AD →|=72.从而AD =72.方法二 因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+1-2×2×1×12=3,所以a 2+c 2=b 2,B =π2.因为BD =32,AB =1,所以AD = 1+34=72.题型三 三角函数与平面向量的综合应用例3 已知向量m =⎝⎛⎭⎫3sin x 4,1,n =⎝⎛⎭⎫cos x 4,cos 2x 4. (1)若m·n =1,求cos ⎝⎛⎭⎫2π3-x 的值;(2)记f (x )=m·n ,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足(2a -c )cos B =b cos C ,求函数f (A )的取值范围.思维启迪 (1)由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值.(2)在△ABC 中,求出∠A 的范围,再求f (A )的取值范围.解 (1)m·n =3sin x 4·cos x 4+cos 2x4=32sin x2+1+cosx22=sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π6+12, ∵m·n =1,∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π6=12.∵cos ⎝⎛⎭⎫x +π3=1-2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2+π6=12, ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3-x =-cos ⎝⎛⎭⎫x +π3=-12. (2)∵(2a -c )cos B =b cos C ,由正弦定理得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C , ∴2sin A cos B -sin C cos B =sin B cos C . ∴2sin A cos B =sin(B +C ).∵A +B +C =π,∴sin(B +C )=sin A ≠0. ∴cos B =12,∵0<B <π,∴B =π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2+π6<π2,sin ⎝⎛⎭⎫A 2+π6∈⎝⎛⎭⎫12,1. 又∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π6+12.∴f (A )=sin ⎝⎛⎭⎫A 2+π6+12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1,32. 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.(2013·北京延庆模拟)已知a =(53cos x ,cos x ),b =(sin x,2cos x ),设函数f (x )=a ·b +|b |2+32.(1)当x ∈[π6,π2]时,求函数f (x )的值域;(2)当x ∈[π6,π2]时,若f (x )=8,求函数f (x -π12)的值;(3)将函数y =f (x )的图象向右平移π12个单位后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并判断奇偶性.解 (1)f (x )=a ·b +|b |2+32=53sin x cos x +2cos 2x +4cos 2x +sin 2x +32=53sin x cos x +5cos 2x +52=532sin 2x +5×1+cos 2x 2+52=5sin(2x +π6)+5.由π6≤x ≤π2,得π2≤2x +π6≤7π6, ∴-12≤sin(2x +π6)≤1,∴当π6≤x ≤π2时,函数f (x )的值域为[52,10].(2)f (x )=5sin(2x +π6)+5=8,则sin(2x +π6)=35,所以cos(2x +π6)=-45,f (x -π12)=5sin 2x +5=5sin(2x +π6-π6)+5=332+7.(3)由题意知f (x )=5sin(2x +π6)+5→g (x )=5sin[2(x -π12)+π6]+5-5=5sin 2x ,即g (x )=5sin 2x ,g (-x )=5sin(-2x )=-5sin 2x =-g (x ), 故g (x )为奇函数.1.函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内,当x =π4时,y 取最大值1,当x =7π12时,y 取最小值-1.(1)求函数的解析式y =f (x );(2)函数y =sin x 的图象经过怎样的变换可得到y =f (x )的图象;(3)若函数f (x )满足方程f (x )=a (0<a <1),求在[0,2π]内的所有实数根之和.解 (1)∵T =2(712π-π4)=23π,∴ω=3,又∵sin(34π+φ)=1,∴3π4+φ=2k π+π2,k ∈Z .又|φ|<π2,得φ=-π4,∴函数的解析式为f (x )=sin(3x -π4).(2)y =sin x 的图象向右移π4个单位,得到y =sin(x -π4)的图象,再由y =sin(x -π4)的图象上所有点的横坐标变为原来的13,纵坐标不变,得到y =sin(3x -π4)的图象.(3)∵f (x )=sin(3x -π4)的最小正周期为23π,∴f (x )=sin(3x -π4)在[0,2π]内恰有3个周期,∴sin(3x -π4)=a (0<a <1)在[0,2π]内有6个实数根且x 1+x 2=π2.同理,x 3+x 4=11π6,x 5+x 6=196π,故所有实数根之和为π2+11π6+19π6=11π2.2.(2013·安徽)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的单调性. 解 (1)f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4 =22sin ωx ·cos ωx +22cos 2ωx =2(sin 2ωx +cos 2ωx )+ 2=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π4+ 2. 因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0. 从而有2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知,f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+ 2. 若0≤x ≤π2,则π4≤2x +π4≤5π4.当π4≤2x +π4≤π2,即0≤x ≤π8时,f (x )单调递增; 当π2≤2x +π4≤5π4, 即π8≤x ≤π2时,f (x )单调递减.综上可知,f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π8上单调递增, 在区间⎣⎡⎦⎤π8,π2上单调递减.3.(2013·四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2cos 2A -B 2cos B -sin(A-B )sin B +cos(A +C )=-35.(1)求cos A 的值;(2)若a =42,b =5,求向量BA →在BC →方向上的投影.解 (1)由2cos 2A -B 2cos B -sin(A -B )sin B +cos(A +C )=-35,得[cos(A -B )+1]cos B -sin(A -B )sin B -cos B =-35,即cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-35.则cos(A -B +B )=-35,即cos A =-35.(2)由cos A =-35,0<A <π,得sin A =45,由正弦定理,有a sin A =b sin B ,所以,sin B =b sin A a =22.由题知a >b ,则A >B ,故B =π4,根据余弦定理,有(42)2=52+c 2-2×5c ×⎝⎛⎭⎫-35, 解得c =1或c =-7(舍去).故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B =22.4.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos x ,sin x ),c =(sin x +2sin α,cos x +2cos α),其中0<α<x <π.(1)若α=π4,求函数f (x )=b ·c 的最小值及相应x 的值;(2)若a 与b 的夹角为π3,且a ⊥c ,求tan 2α的值.解 (1)∵b =(cos x ,sin x ),c =(sin x +2sin α,cos x +2cos α),α=π4,∴f (x )=b ·c=cos x sin x +2cos x sin α+sin x cos x +2sin x cos α =2sin x cos x +2(sin x +cos x ).令t =sin x +cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π, 则2sin x cos x =t 2-1,且-1<t < 2.则y =t 2+2t -1=⎝⎛⎭⎫t +222-32,-1<t <2,∴t =-22时,y min =-32,此时sin x +cos x =-22,即2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=-22,∵π4<x <π,∴π2<x +π4<54π, ∴x +π4=76π,∴x =11π12.∴函数f (x )的最小值为-32,相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3,∴cos π3=a ·b |a |·|b |=cos αcos x +sin αsin x =cos(x -α).∵0<α<x <π,∴0<x -α<π,∴x -α=π3.∵a ⊥c ,∴cos α(sin x +2sin α)+sin α(cos x +2cos α)=0,∴sin(x +α)+2sin 2α=0,即sin ⎝⎛⎭⎫2α+π3+2sin 2α=0. ∴52sin 2α+32cos 2α=0,∴tan 2α=-35. 5.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式;(2)设g (x )=[f (x -π12)]2,求函数g (x )在x ∈[-π6,π3]上的最大值,并确定此时x 的值.解 (1)由题图知A =2,T 4=π3,则2πω=4×π3,∴ω=32.又f (-π6)=2sin[32×(-π6)+φ]=2sin(-π4+φ)=0,∴sin(φ-π4)=0,∵0<φ<π2,∴-π4<φ-π4<π4,∴φ-π4=0,即φ=π4,∴f (x )=2sin(32x +π4).(2)由(1)可得f (x -π12)=2sin[32(x -π12)+π4]=2sin(32x +π8),∴g (x )=[f (x -π12)]2=4×1-cos (3x +π4)2=2-2cos(3x +π4),∵x ∈[-π6,π3],∴-π4≤3x +π4≤5π4,∴当3x +π4=π,即x =π4时,[g (x )]max =4.。

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