因式分解(十字相乘法)ppt课件
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十字相乘法课件
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 二次三项式x2+(a+b)x+ab的特点: 1.二次项的系数是1. 2.常数项是两个数之积. 3.一次项系数是常数项的两个因数之和.
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q,如果能够 把常数项q分解成两个因数a`b的积,并且a+b等 于一次项系数p,那么它就可以分解因式: 即x2+px+q= X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
cd=(-2)x(-5)=10=C=原式中的常数项
解:原式=(x-2)(3x-5)
1 -2
3
-5
(2)
2
6x2-11x-10
-5
3
2
解:原式=(2x-5)(3x+2)
2 (11)3x -7x+2 2 (12)2x -x-3
(13)5x2+13x+6 2 (14)6x -2x-8 (15)10x2-15x+5 2 (16)3x +11x+10
2-5x-14 X
-14=(-1)×14 -14=1×(-14) -14=(-2)×7
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a+b=-5,ab=-14
谁是a? 谁是b?
-14=2×(-7)
a= -7 b= 2
解:原式=(x-7)(x+2)
(1)
x2-5x+6
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) a+b=-5 ab=6 a=-3 b=-2 解:原式=(x-3)(x-2)
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q,如果能够 把常数项q分解成两个因数a`b的积,并且a+b等 于一次项系数p,那么它就可以分解因式: 即x2+px+q= X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
cd=(-2)x(-5)=10=C=原式中的常数项
解:原式=(x-2)(3x-5)
1 -2
3
-5
(2)
2
6x2-11x-10
-5
3
2
解:原式=(2x-5)(3x+2)
2 (11)3x -7x+2 2 (12)2x -x-3
(13)5x2+13x+6 2 (14)6x -2x-8 (15)10x2-15x+5 2 (16)3x +11x+10
2-5x-14 X
-14=(-1)×14 -14=1×(-14) -14=(-2)×7
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a+b=-5,ab=-14
谁是a? 谁是b?
-14=2×(-7)
a= -7 b= 2
解:原式=(x-7)(x+2)
(1)
x2-5x+6
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) a+b=-5 ab=6 a=-3 b=-2 解:原式=(x-3)(x-2)
十字相乘法因式分解课件
步骤二：寻找两个数，它们的乘积等于常数项
总结词
确定两个数的乘积与常数项相等
详细描述
在找到两个数的和与一次项的系数相等后，我们需要找到这两个数的乘积等于常数项的数。例如，在因式分解 “x^2 + 5x + 6”，我们需要找到两个数，它们的乘积为6。
步骤三：验证结果
总结词
验证分解结果的正确性
详细描述
十字相乘法因式分解
目录
CONTENTS
• 引言 • 十字相乘法的基本原理 • 十字相乘法的步骤 • 十字相乘法的应用 • 练习与挑战
01 引言
什么是十字相乘法
十字相乘法是一种数学方法，用于将 多项式因式分解为两个一次因式的乘 积。
该方法通过将多项式的常数项和一次 项系数分别分解为两个数的乘积，然 后交叉相乘得到一次项系数，从而找 到因式分解的两个一次因式。
代数式的化简
代数式化简的定义
将一个代数式通过变形、合并同 类项等方式简化。
十字相乘法的应用
在代数式化简过程中，有时需要通 过因式分解来简化代数式，而十字 相乘法是因式分解的一种常用方法 。
代数式化简的步骤
首先将代数式整理为易于因式分解 的形式，然后使用十字相乘法进行 因式分解，最后将因式分解后的代 数式进行简化。
在这个例子中，我们通过观察二次多项式的系数，找到两个数6和-1，它们的和 等于二次项的系数5，并且它们的乘积等于常数项-6，从而实现了因式分解。
03 十字相乘法的步骤
步骤一
总结词
确定两个数的和与一次项的系数相等
详细描述
在因式分解过程中，首先需要找到两个数，它们的和应等于一次项的系数。例 如，在因式分解“x^2 + 5x + 6”，我们需要找到两个数，它们的和为5。
因式分解——十字相乘法 —初中数学课件PPT
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24
= 9a4-(4a2-4a+1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
人教版初中八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt课件
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
=x2+3x+2
(2) (x+2)(x-1) =X2+x-2
(3) (x-2)(x-1) =x2-3x+2
(4) (x+2)(x+3)
一般地,
=x2+5x+6
(x+p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq
x2+(p+q)x+pq
= (x+p)(x+q)
x2 + 3x + 2 =(x+1)(x+2)
x
-4
练习一：分解因式
-4x-2x=-6x
(1) x2-2x-15
=(x-5)(x+3)
(2) －y2 －4y＋12
= - (y+6)(y-2)
对于二次项系数为1的二次三项式分解的方法是 “拆常数项，凑一次项”
例2 分解因式 3x －10x2＋3
解：3x －210x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1)
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
十字相乘法PPT课件
用十字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ乘法解一元二次方程
学习目标 : 理解并学会熟练运用十字相乘法进行因
式分解，解一元二次方程 .
学习重点 : 准确应用十字相乘法进行因式分解并进
行适当变式练习。
一、温故知新、自主学习
1．类比：
多位数乘以多位 数
125
x +7
× 13
× x -1
3 75
-x -7
③求二次函数y=kx2+x－k+1（k≠0，k 为常数）图象与x轴的交点坐标.
五、自我评价:
1，本节课我主要是学习了： 2，仍感觉有困惑 ： 3，我认为我这一节课的表现： （A很棒 B一般 C没发挥出来D还需力）. 4，下节课我打算：
=（x+a）（x+b）
其中 p=a+b ，q=ab
二、探究新知、合作交流
1．自主探究：（十字相乘法解一元二次方程） (1)X2+4X+3=0 (2)X2-7X+12=0
(3) X2-7X-30=0
(4)
X2+2X+
3 4
=0
2．合作交流：（十字相乘法法解一元二次方程） (1)3X2-5X+2=0 (2)12y2-5y-2=0
1 2 5
x2 +7x
16 2 5
X2 +6x -7
（x+7 ）（x-1）= X2 +6x -7
过程的对称：
2．计算：
（x+1）(x+2)= （x+3）(x-5)=
3．因式分解： X2-7X+12=
学习目标 : 理解并学会熟练运用十字相乘法进行因
式分解，解一元二次方程 .
学习重点 : 准确应用十字相乘法进行因式分解并进
行适当变式练习。
一、温故知新、自主学习
1．类比：
多位数乘以多位 数
125
x +7
× 13
× x -1
3 75
-x -7
③求二次函数y=kx2+x－k+1（k≠0，k 为常数）图象与x轴的交点坐标.
五、自我评价:
1，本节课我主要是学习了： 2，仍感觉有困惑 ： 3，我认为我这一节课的表现： （A很棒 B一般 C没发挥出来D还需力）. 4，下节课我打算：
=（x+a）（x+b）
其中 p=a+b ，q=ab
二、探究新知、合作交流
1．自主探究：（十字相乘法解一元二次方程） (1)X2+4X+3=0 (2)X2-7X+12=0
(3) X2-7X-30=0
(4)
X2+2X+
3 4
=0
2．合作交流：（十字相乘法法解一元二次方程） (1)3X2-5X+2=0 (2)12y2-5y-2=0
1 2 5
x2 +7x
16 2 5
X2 +6x -7
（x+7 ）（x-1）= X2 +6x -7
过程的对称：
2．计算：
（x+1）(x+2)= （x+3）(x-5)=
3．因式分解： X2-7X+12=
因式分解(十字相乘)课件
探索因式分解在其他学科中的应用， 如物理、化学等。
感谢您的观看
THANKS
十字相乘法是一种用于因式分解的数学方法，通过将一个多项式分解为两个因式的 乘积，从而简化问题。
它基于二次多项式的根与系数之间的关系，通过构造一个交叉相乘的方程组来找到 因式。
这种方法在代数、方程求解和数学竞赛等领域有广泛应用。
十字相乘法的应用
01
02
03
04
解决一元二次方程
通过十字相乘法，可以将一元 二次方程转化为两个一次方程
通过实例分析和练习，掌握十 字相乘法的运用。
结合实际问题和数学模型，加 深对因式分解的理解和应用。
课程安排
介绍因式分解的概念和意义 。
讲解因式分解的基本方法和 步骤。
02
01
重点介绍十字相乘法的原理
和应用。
03
通过实例演示和练习，巩固 所学知识。
04
05
总结课程重点和难点，提出 学习建议。
02
因式分解的基本概念
因式分解的步骤
总结词
因式分解通常按照一定的步骤进行。
详细描述
因式分解通常按照以下步骤进行：首先观察多项式的各项，尝试将其转化为整式的积的形式；然后提取公因式； 最后利用公式法或分组法进行因式分解。在每一步中，都需要仔细分析多项式的各项，并灵活运用数学规则和技 巧。
03
十字相乘法
什么是十字相乘法
因式分解(十字相乘)ppt 课件
目录 CONTENT
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 十字相乘法 • 因式分解的实例解析 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程目标
掌握因式分解的基本 原理和方法。
人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
例1．利用十字相乘法分解因式 （1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】 方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在 利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一 般把 所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势： 本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法， 即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：
人教版数学十字相乘法公开课PPT课件
(2)把q分解成两个整数的积的符号规律： q＞0则a，b同号， 若p＞0，a，b同正，若p＜0，a，b同负； q＜0则a，b异号， 若p＞0，a，b中正数绝对值大， 若p＜0，a，b中负数的绝对值大。 (3)当二次项系数为负时，先提负号 (4)注意题目中换元思想的运用。
我们知道（x+2）（3x+5）=3x2 +11x+10
反过来，就得到3x2 +11x+10的因式分解的形式
3x2 +11x+10 = （x+2）（3x+5）
我们可以发现，二次项3x 2分解成x、3x两个
因式的积；常数项10分解成2、5两个因数的积；
当我们把 x、3x、2、5写成
1
2 即：1 ·5＋2 ·3 = 11
3
5
这个例子启发我们，应该如何把二次三项式
2yb 2+4bc+3c 2 ） 1
c
=a（b+c）（b+3c） 1 3c
（1）y 2-7y+12 （3）x -24xy-12y2 （5）a 2-9ab+14b2
（7）6y 2-11yz-10z 2
（2）m 2 +7m-18 （4）2x 2 +15x+7
（6）5x +27xy-6y2 （8）x 4-x 2 -20
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
(1) x2 5x 6 (2) a2 2a 3 (3) x2 2x 8 (4) (x y)2 3(x y) 2
x 2 px q
型的二次三项式中p和q都是整数，
(1)找出a，b使a+b=p且ab=q (先分解q再考虑p)
我们知道（x+2）（3x+5）=3x2 +11x+10
反过来，就得到3x2 +11x+10的因式分解的形式
3x2 +11x+10 = （x+2）（3x+5）
我们可以发现，二次项3x 2分解成x、3x两个
因式的积；常数项10分解成2、5两个因数的积；
当我们把 x、3x、2、5写成
1
2 即：1 ·5＋2 ·3 = 11
3
5
这个例子启发我们，应该如何把二次三项式
2yb 2+4bc+3c 2 ） 1
c
=a（b+c）（b+3c） 1 3c
（1）y 2-7y+12 （3）x -24xy-12y2 （5）a 2-9ab+14b2
（7）6y 2-11yz-10z 2
（2）m 2 +7m-18 （4）2x 2 +15x+7
（6）5x +27xy-6y2 （8）x 4-x 2 -20
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
(1) x2 5x 6 (2) a2 2a 3 (3) x2 2x 8 (4) (x y)2 3(x y) 2
x 2 px q
型的二次三项式中p和q都是整数，
(1)找出a，b使a+b=p且ab=q (先分解q再考虑p)
十字相乘ppt课件免费
中等难度实例解析
总结词
中等难度实例涉及稍微复杂的因式分 解和乘法运算。
详细描述
例如，将3x^3 - 9x^2 + 6x分解为(x - 2)(3x^2 - 3x + 2)，这个过程需要 更深入的理解因式分解的概念，并掌 握更复杂的乘法运算。
高难度实例解析
总结词
高难度实例涉及复杂的因式分解和乘法运算，需要较高的数学技巧。
教师可设计多样化的练习题目，让学生充分练习 和掌握十字相乘法的技巧，提高解题能力。
教师还应关注学生的反馈和表现，及时给予指导 和帮助，促进学生的学习进步。
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总结词
求解一元一次方程
详细描述
最后，我们将交叉相乘的结果相加或相减，得到一元一次方程的解。如果一元一次方程有两个解，则原多项式方 程也有两个解。
04 实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例主要涉及基本的因式分解和 乘法运算。
详细描述
例如，将2x^2 - 4x + 2分解为(2x 2)(x - 1)，这个过程需要理解因式分解 的概念，并掌握基本的乘法运算。
= b，则这两个数就是方程的两个根。
通过这种方法，我们可以将原方程转化为两个一元一 次方程，从而求解出方程的根。
这种方法的关键在于找到合适的 m 和 n，使得它们满 足上述条件。
Hale Waihona Puke 原理的数学表达如果 ax^2 + bx + c = 0 是我们要解的 一元二次方程，那么我们可以通过以下 步骤找到它的根
对学生的建议
学生应熟练掌握十字相乘法的步骤和技巧，通过多练习来提高自己的解题能力。
在学习过程中，学生应积极思考和探索，尝试不同的方法和思路，以培养自己的数 学思维和创新能力。
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
因式分解(十字相乘法) ppt课件
(4). 分解a 2 3ab 2b2的结果为 ( D )
练习二丶把下列各式分解因式:
1. x 4 x 3;
2
2. y 7 y 12;
2
3. m 7 m 18;
2
4. p 5 p 36;
2
ppt课件
因式分解：
2 (1)x +8x+12 2 (3)x +13x+12
2 (2)x -11x-12 2 (4)x -x-12
ppt课件
ppt课件
分解因式： 3x －10x＋3 解：原式=(x－3)(3x－1) x
3x －3
2
－1
（－x）+（ －9x） =－10x
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分解因式： 5x －17x-12 3x² +10x+8
2
ppt课件
1多项式称为字母的二次三项式其中称为二次项为一次项为常数项
因式分解--方法三
十字相乘法
一、整式的有关概念
数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 1、单项式： 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数： 单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 7、整式：单项式与多项式统称整式。
(2)x2 -5x+6
ppt课件
例2. 分解因式 (1)x2-7x-60
(2)x2+14x-72
ppt课件
x (a b)x ab
2
x px q
因式分解---《十字相乘法》教学PPT课件 初中数学八年级下册公开课
6.挑战自我
(x y)2 10(x y) 9
解( x原 式y)
(x y)
(x
y
1)(x--19y
9)
x4 10x2 9
解 原式 (x2 1)( x2 9)
(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)
四、课堂练习
n -14
1. 因式分解
n2 4n 140
义务教育教科书北师大版八年级数学下册
第四章 因式分解
4.十字相乘法
一、前情回顾
因式分解: 把一个多项式化 为几个整式的乘积的形式。 这种变形也叫分解因式。
分解因式的常见方字相乘法是指什么？ 2.今天所学能用十字相乘法 的多项式有什么特征？ 3.你能否快速的运用十字相 乘法进行因式分解？
(n+9)(n+8)=n²+17n+72 . 4y²-3y-70= (y-10)(y+7)
x²-5x+(-84)=(x+7)(x-12)
x²y²+(-4xy)-60 = (xy-10)(xy+ 6 )
3.观察与探究
(x a)(x b) x2 bx ax ab
即：十字 x2 (a b)x ab 交叉线左边 相乘等于二 次项, 右边 相乘等于常数项,交叉相乘再 相加等于一次项。
三、合作交流，探究新知
(a 3)(a 5) a2 8a 15 (x 3)(x 2) x2 x 6
(m 7)(m 8) m2 15m 56
通过计算,请思考：
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
2.快速写出答案
4.试一试
十字相乘法因式分解公开课课件
详细描述
介绍十字相乘法在数学竞赛中的应用 场景，包括代数、几何、数论等领域， 以及在解题中的技巧和注意事项。
04
实例解析
简单代数式的因式分解
总结词：基础应用
详细描述：通过简单的代数式，如 $x^2 + 2x - 3$，演示如何使用十字相乘法进 行因式分解，并解释每一步骤的原理。
二次方程的解法实例
与其他因式分解方法的比 较
与分组法比较
分组法需要将多项式分组后再进行因 式分解，而十字相乘法可以直接对整 个多项式进行因式分解。
与公式法比 较
公式法需要使用特定的公式进行因式 分解，而十字相乘法更加灵活，可以 根据具体情况选择不同的分解方式。
03
十字相乘法的应用
代数式因式分解
总结词
理解并掌握代数式因式分解的方法
综合练习题
题目7
分解因式：$9x^2 - 8x - 10$
题目8
分解因式：$10x^2 + 7x - 9$
题目9
分解因式：$11x^2 - 6x + 8$
06
总结与展望
本节课的总结
十字相乘法因式分解的概念
详细介绍了十字相乘法因式分解的定义、原理和步骤，通过实例 演示了如何应用十字相乘法进行因式分解。
详细描述
通过实例演示，让学生了解如何使用十字相乘法对代数式进行因式分解，包括 多项式、二次多项式等。
二次方程的解法
总结词
掌握使用十字相乘法解二次方程的方法
详细描述
通过实例演示，让学生了解如何使用十字相乘法求解二次方程，包括一元二次方 程、一元三次方程等。
在数学竞赛中的应用
总结词
了解十字相乘法在数学竞赛中的应用
课程目标
介绍十字相乘法在数学竞赛中的应用 场景，包括代数、几何、数论等领域， 以及在解题中的技巧和注意事项。
04
实例解析
简单代数式的因式分解
总结词：基础应用
详细描述：通过简单的代数式，如 $x^2 + 2x - 3$，演示如何使用十字相乘法进 行因式分解，并解释每一步骤的原理。
二次方程的解法实例
与其他因式分解方法的比 较
与分组法比较
分组法需要将多项式分组后再进行因 式分解，而十字相乘法可以直接对整 个多项式进行因式分解。
与公式法比 较
公式法需要使用特定的公式进行因式 分解，而十字相乘法更加灵活，可以 根据具体情况选择不同的分解方式。
03
十字相乘法的应用
代数式因式分解
总结词
理解并掌握代数式因式分解的方法
综合练习题
题目7
分解因式：$9x^2 - 8x - 10$
题目8
分解因式：$10x^2 + 7x - 9$
题目9
分解因式：$11x^2 - 6x + 8$
06
总结与展望
本节课的总结
十字相乘法因式分解的概念
详细介绍了十字相乘法因式分解的定义、原理和步骤，通过实例 演示了如何应用十字相乘法进行因式分解。
详细描述
通过实例演示，让学生了解如何使用十字相乘法对代数式进行因式分解，包括 多项式、二次多项式等。
二次方程的解法
总结词
掌握使用十字相乘法解二次方程的方法
详细描述
通过实例演示，让学生了解如何使用十字相乘法求解二次方程，包括一元二次方 程、一元三次方程等。
在数学竞赛中的应用
总结词
了解十字相乘法在数学竞赛中的应用
课程目标
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因式分解--方法三
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
B. x 2 5x 6;
C. x 2 5X 6;
D. x 2 5x 6;
(4). 分解 a 2 3ab 2b 2的 结果为 ( D )
A. a b a 2b ;
B. (a b)(a - 2b);
.
x 2 ( ab )a xb2 p x x q
.
1. 分解 a 2 a 12 的 结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3 a 4 ; C. a 6 a 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; D. a 6 a 2 ;
2. 分解 x 2 2x 8的 结果为 ( A )
A. a 4 a 2 ; B. a 4 a 2 ; C. a 4 a 2 ; D. a - 4 a 2 ;
7、整式：单项式与多项式统称整式。 . （分母含有字母的代数式不是整式,而是分式。）
1．二次三项式-----课本P172：
（1）多项式 x22x3 ，称为字母 的二次
三项式，其中
称为二次项， 为一次项，
为常数项．
（2）在多项式2a2b27a b3，把 看作一个整体，
即
，就是关于 的二次三项式．
同样，多项式 (xy)27(xy)1，2 把
.
.
分解因式： 3x2－10x＋3
解：原式=(x－3)(3x－1)
x
－3
3x
－1
（－x）+（ －9x） =－10x
.
分解因式： 5x2－17x-12 3x²+10x+8
.
解:原式(x+3) (x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
把a27a10分解因; 式
解:原式= (a+5) (a+2)
.
a
5
a
2
5a+2a=7a
例1：分解因式 (1)x2+7x+12
(2)x2 -5x+6
.
例2. 分解因式 (1)x2-7x-60
(2)x2+14x-72
.
x 2 ( ab )a xb2 p x x q
看作一个
整体，就是关于
的二次三项式．
.
回顾 因式分解有哪些方法？ 1、提公因式法
m m a m b m a c b c
2、公式法
a2 b2 abab
a 2 2 a b b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 a b 2
.
1:计算: (1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
C.. (a - b)(a 2b);
D. (a - b)(a - 2b);
练习二丶把下列各式分解因式:
1. x2 4x 3;
2. y2 7y 12;
3. m2 7m18; 4. p2 5p36;
.
因式分解：
(1)x2+8x+12 (2)x2-11x-12 (3)x2+13x+12 (4)x2-x-12
十字相乘法
一、整式的有关概念
1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式： 几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项：组成多项式中的单项式叫多项式的项 6、多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
x2(ab) xab (x+a)(x+b)
例:1把x2 5x6分解因式;
解:原式= (x+2)(x+3)
x
2
x
3
2x+3x=5x
(1).因式分解拆两边;
(2).交叉相乘验中间;
3x +2x=5x
(3).竖着分解横着写;
.
(x+2)和(x+3)
x2 2x15分解因;式
解 :原 x 2 式 2 x 3 x 2 3
x2(23)x6
x25x6
(3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
.
( xa) b ( x )x 2 ( ab )axb
反过来: x2(ab)xab(x+a)(x+b)
也就说 是,对于二次三 x2 项 px式 q,如果常q 能分为 解分解为两 数a个 ,b的 因 积,并且 abp时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的 解公 因.式 式
3. 若 多 项项 M 分解的因式是 (x - 2)(x - 3), 则 M 是 ( C)
A. x 2 5x 6;
B. x 2 5x 6;
C. x 2 5X 6;
D. x 2 5x 6;
(4). 分解 a 2 3ab 2b 2的 结果为 ( D )
A. a b a 2b ;
B. (a b)(a - 2b);
.
x 2 ( ab )a xb2 p x x q
.
1. 分解 a 2 a 12 的 结果为( B )
A. (a - 3)(a 4); B. a 3 a 4 ; C. a 6 a 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; D. a 6 a 2 ;
2. 分解 x 2 2x 8的 结果为 ( A )
A. a 4 a 2 ; B. a 4 a 2 ; C. a 4 a 2 ; D. a - 4 a 2 ;
7、整式：单项式与多项式统称整式。 . （分母含有字母的代数式不是整式,而是分式。）
1．二次三项式-----课本P172：
（1）多项式 x22x3 ，称为字母 的二次
三项式，其中
称为二次项， 为一次项，
为常数项．
（2）在多项式2a2b27a b3，把 看作一个整体，
即
，就是关于 的二次三项式．
同样，多项式 (xy)27(xy)1，2 把
.
.
分解因式： 3x2－10x＋3
解：原式=(x－3)(3x－1)
x
－3
3x
－1
（－x）+（ －9x） =－10x
.
分解因式： 5x2－17x-12 3x²+10x+8
.
解:原式(x+3) (x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
把a27a10分解因; 式
解:原式= (a+5) (a+2)
.
a
5
a
2
5a+2a=7a
例1：分解因式 (1)x2+7x+12
(2)x2 -5x+6
.
例2. 分解因式 (1)x2-7x-60
(2)x2+14x-72
.
x 2 ( ab )a xb2 p x x q
看作一个
整体，就是关于
的二次三项式．
.
回顾 因式分解有哪些方法？ 1、提公因式法
m m a m b m a c b c
2、公式法
a2 b2 abab
a 2 2 a b b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 a b 2
.
1:计算: (1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
C.. (a - b)(a 2b);
D. (a - b)(a - 2b);
练习二丶把下列各式分解因式:
1. x2 4x 3;
2. y2 7y 12;
3. m2 7m18; 4. p2 5p36;
.
因式分解：
(1)x2+8x+12 (2)x2-11x-12 (3)x2+13x+12 (4)x2-x-12