第一节 数域
数域f的概念
数域f的概念引言在代数学中,数域(field)是一个具有特定代数结构的数学对象,它是一种满足一些特定性质的集合。
数域的概念是代数学中的基础概念之一,它在数论、代数几何、代数拓扑等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数域f的概念,探讨它的性质和应用。
什么是数域f?数域f是一个非空集合,其中包含了加法运算和乘法运算,并且满足一定的性质。
具体来说,数域f需要满足以下四个性质:1.加法结合律:对于数域f中的任意三个元素a、b和c,有(a + b) + c = a+ (b + c)。
2.加法交换律:对于数域f中的任意两个元素a和b,有a + b = b + a。
3.存在加法单位元:数域f中存在一个特殊元素0,使得对于任意的元素a,有a + 0 = 0 + a = a。
4.存在加法逆元:对于数域f中的任意元素a,存在一个元素-b,使得a + (-b) = (-b) + a = 0。
另外,数域f中的乘法也需要满足类似的性质:1.乘法结合律:对于数域f中的任意三个元素a、b和c,有(a * b) * c = a* (b * c)。
2.乘法交换律:对于数域f中的任意两个元素a和b,有a * b = b * a。
3.存在乘法单位元:数域f中存在一个特殊元素1,使得对于任意的元素a,有a * 1 = 1 * a = a,并且1不等于0。
4.存在乘法逆元:对于数域f中的任意非零元素a,存在一个元素a的逆元素a^(-1),使得a * a^(-1) = a^(-1) * a = 1。
根据以上定义和性质,我们可以看出,数域f中的加法和乘法都满足结合律和交换律,并且有单位元和逆元。
这些性质使得数域f成为一个具有代数结构的数学对象。
数域f的例子数域f的例子有很多,其中最为常见的是有理数域(Q)、实数域(R)和复数域(C)。
1.有理数域(Q):有理数包括整数和分数,其中分母不为0。
有理数域中的加法和乘法的定义和性质都符合数域的要求,因此有理数域是一个数域。
1.1 数域
{
}
是至少含两个数的数集, 例2.设P是至少含两个数的数集,证明:若P中任 . 是至少含两个数的数集 证明: 中任 意两个数的差与商(除数≠ )仍属于P, 意两个数的差与商(除数≠0)仍属于 ,则P为一 为一 一个数域. 一个数域. 证:由题设任取 a , b ∈ P , 有
b 0 = a − a ∈ P , 1 = ∈ P (b ≠ 0), a − b ∈ P , b a ∈ P (b ≠ 0), a + b = a − (0 − b) ∈ P , b a b = 0 时, ab = 0 ∈ P . 当b ≠ 0时,ab = ∈ P,
c + d 2 (c + d 2)(a − b 2) = a + b 2 (a + b 2)(a − b 2) ac − 2bd ad − bc 2 ∈ Q. = 2 + 2 2 2 a − 2b a − 2b ∴ Q( 2)为数域. 为数域.
Gauss数域 数域
是数域. 类似可证 Q( i ) = a + bi a , b ∈ Q , i = −1 是数域
例如,整数集Z 就作成一个数环. 例如,整数集 就作成一个数环.
§1.1 数域
数学归纳法
数学归纳法原理) 定理 (数学归纳法原理) 的命题,如果 1 当n=1时,命题成立; 2 假设n=k时命题成立,则n=k+1命题也成立 ;那 么这个命题对于一切自然数n都成立. 设有一个与自然数n有关
§1.1 数域
例如,求方程 x 4 − 4 = 0 的根。在有理数范 围内此方程无根,在实数范围内,这个方程有 两个根: 2 ,− 2 。在复数范围内,这个方程 有四个根:± 2 ,± 2i 。由此可见,同一问题 在不同的数的范围内可能有不同的结论.
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第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义:P 是由一些复数组成的集合,包含0和1,如果P 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍在P 中,则称P 为一个数域。
简单地说:P 是一个含0和1的非空集合,且对四种运算封闭。
2、例1:有理数的集合Q ,实数集合R ,复数集合C 均为数域。
例2:{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明:Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习:证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注:在数域P 上进行讨论,x 是一个符号。
1、定义:0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(-∈Z n )称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ,用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ,则称n a 为首项系数,n 为多项式的次数,用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等:)()(x g x f =当且仅当次数相同,对应系数相等。
3、运算:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ,m n ≥(1) 加法: )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中:011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ (2) 乘法:snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若:0)(,0)(≠≠x g x f ,则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律:(1))()()()(x f x g x g x f +=+(加法交换律)(2)))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++(加法结合律) (3))()()()(x f x g x g x f =(乘法交换律)(4)))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =(乘法结合律) (5))()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+(分配律) (6)若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =(消去律) 5、多项式环。
高等代数课程教学大纲.总结
精品文档高等代数( 1)课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别:专业基础课2.开课单位:数学与财经系3.适用专业:数学与应用数学专业4. 备选教材:《高等代数(第三版)》,北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社,2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学,使学生掌握代数基本理论和基本方法,培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维,逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力,为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式,行列式,线性方程组,矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数,复变函数、等后续课程打下坚实的基础,也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练,全面掌握高等代数的基本理论知识;培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数:96 学时,其中理论教学81 学时,实践教学15 学时学分数: 6 学分教学时数具体分配:教学内容理论教学实践教学合计(学时)(学时)(学时)第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标:要求学生理解数域的概念;掌握一元多项式的概念、运算及基本性质;掌握带余除法与整除性的关系,会进行相关运算;会求多项式的最大公因式;理解不可约多项式的概念,掌握求重因式的方法;理解多项式在不同的数域的因式分解形式;掌握Eisenstein判别法,会求有理系数多项式的根。
2.教学重点:整除概念,带余除法及整除的性质,最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质,k 重因式与 k 重根的关系。
数域的包含关系
数域的包含关系数域的包含关系是数学中一个重要的概念。
数域是数学中的一个基本概念,是指由一组数构成的集合,包含了加法、减法、乘法和除法等运算,并满足一定的性质。
在数域的研究中,数域之间的包含关系是一个重要的研究方向。
我们需要明确什么是数域。
数域是满足一定性质的数的集合。
在数学中,常见的数域有有理数域、实数域和复数域等。
有理数域是由整数和分数构成的数的集合,实数域是由有理数和无理数构成的数的集合,而复数域是由实数和虚数构成的数的集合。
在数域的包含关系中,有理数域是实数域的子集,实数域是复数域的子集。
这是因为实数域包含了有理数域中的所有数,并且还包含了无理数,而复数域则包含了实数域中的所有数,并且还包含了虚数。
因此,我们可以得出有理数域包含于实数域,实数域包含于复数域的结论。
除了这些常见的数域之外,还存在着其他的数域,如有限域和无限域等。
有限域是指元素个数有限的数域,而无限域则是指元素个数无限的数域。
有限域的研究在密码学和编码理论等领域有着重要的应用。
在数域的研究中,还存在着一些重要的结论和定理。
例如,代数基本定理指出,任何一个非常数的单项式方程都至少有一个复数解。
这个定理在复数域中是成立的,但在实数域和有理数域中却不一定成立。
这个定理的证明需要使用到复数域的性质,因此也说明了复数域包含了实数域和有理数域。
除了数域之间的包含关系,还存在着数域之间的扩张关系。
数域的扩张是指将一个数域中的元素扩展到另一个数域中。
例如,将有理数域中的元素扩展到实数域中,或者将实数域中的元素扩展到复数域中。
数域的扩张是数学中一个重要的概念,它在代数学和数论等领域有着广泛的应用。
数域的包含关系是数学中一个重要的研究方向。
不同的数域之间存在着包含关系和扩张关系,这些关系对于数学的发展和应用起着重要的作用。
通过对数域的包含关系的研究,我们可以更好地理解数学中的各种数的集合,为其他数学理论的研究提供基础。
数域知识点总结
数域知识点总结一、数域的基本概念1.1 数域的定义数域是一个满足一定性质的数集合,其中包括了加法、减法、乘法和除法运算。
形式化地,一个数域K是一个集合,其中定义了两个二元运算“+”和“·”,满足以下性质:加法运算“+”满足交换律、结合律、存在零元素和存在相反元素;乘法运算“·”满足交换律、结合律、存在单位元素和对每个非零元素存在乘法逆元素;加法和乘法满足分配律。
在数域中,零元素和单位元素通常分别表示为0和1,非零元素的乘法逆元素通常表示为a^-1。
1.2 数域的例子常见的数域包括有理数域Q、实数域R、复数域C等。
有理数域Q是所有可以表示为分数的数的集合,包括正整数、负整数、分数等;实数域R包括了所有实数的集合,包括有理数和无理数;复数域C包括了所有形式为a+bi的复数的集合,其中a和b都是实数,i是虚数单位。
1.3 有限域和无限域根据数域中元素的个数,可以将数域分为有限域和无限域。
有限域是指其元素个数是有限的数域,通常表示为GF(q),其中q是素数幂。
无限域则是指其元素个数是无限的数域,如实数域R和复数域C。
二、数域的性质和定理2.1 数域的加法和乘法性质在数域中,加法和乘法满足一系列性质,包括交换律、结合律、分配律等。
其中,最重要的性质之一是加法和乘法的交换律和结合律。
交换律表示对于任意的a和b,a+b=b+a,a·b=b·a;结合律表示对于任意的a、b和c,(a+b)+c=a+(b+c),(a·b)·c=a·(b·c)。
2.2 数域的单位元素和逆元素在数域中,加法单位元素通常表示为0,乘法单位元素通常表示为1。
对于任意非零元素a,其乘法逆元素表示为a^-1,满足a·a^-1=1。
有关单位元素和逆元素的性质和存在性有一系列相关定理和推论,这些是数域中非常重要的内容。
2.3 数域的子域在数域中还有一个重要的概念是子域。
高等代数课本笔记及其例题详解
高等代数课本笔记及其例题详解第一章 多项式1.1 数域定义1.1(数域):设P 是由一些复数组成的集合,其中包括0与1. 如果P 中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P 中的数,那么P 就称为一个数域.即:设{}C x x P ∈=,P b a ∈∀,,其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,,称P为一个数域. (注:Z 表示全体整数;R 表示全体实数;C 表示全体复数;Q 表示全体有理数;N 表示全体自然数;)例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明:()2Q 是一个数域. 证明:1)()22000,2011Q ∈+=+=(其中:Q ∈1,0)2)Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++(其中: Q d b c a ∈++,);()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+(其中:Q d b c a ∈--,); ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++(其中:Q bc ad bd ac ∈++,2); 若02≠+b a ,有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++(其中:Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22,且0222≠-b a ). 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明:()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明:1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭;若商不封闭,得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾,故()πP是一个数域.注:最小的数域为有理数域,任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1(一元多项式) 设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式. (注:i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. )定义1.2.2 (多项式相等)如果在多项式()x f 与()x g 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么()x f 与()x g 就称为相等,记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0. (注:若0≠n a ,则n n x a 称为多项式的首项;n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数,记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ) 性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂(其中()0≠x f 且()0≠x g ). 运算规律:1. 加法交换律:()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律:()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律:()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律:()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律:()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律:如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ,那么()()x h x g =.定义1.2.3 (一元多项式环)所有系数在数域P 中的一元多项式的全体,称为数域P 上的一元多项式环,记为[]x P ,P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 (带余除法)对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ,其中()0≠x g ,一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在,使()()()()x r x g x q x f +=成立,其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ,并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. (注:()x q 通常称为()x g 除()x f 的商;()x r 称为()x g 除()x f 的余式)定义1.3.1(整除)数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ,如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ,用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .(注:当()()x f x g 时,()x g 就称为()x f 的因式;()x f 称为()x g 的倍式.)定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,,其中()0≠x g ,()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质:1. 如果()()x g x f ,()()x f x g ,那么()()x cg x f =,其中0≠c .2. 如果()()x g x f ,()()x h x g ,那么()()x h x f (整除的传递性).3. 如果()()x g x f i ,r i ,,2,1 =,那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.(注:()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.) 注:两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1(最大公因式)设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:1)()x d 是()()x g x f ,的公因式;2)()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.(注:两个零多项式的最大公因式就是0) 引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立,那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,,在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ,且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合,即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.(注:两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的;()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.) 辗转相除法:例题3. 设()343234---+=x x x x x f ,()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,,并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解:即:()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即:()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将(1)代入(2)式可得:()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2(互素)[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素(也称互质)的,如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ,且()()()x h x g x f ,那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1,()()x g x f 2,且()()()1,21=x f x f ,那么()()()x g x f x f 21.推广:定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式,如果()x d 具有下面的性质:2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =;3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ,那么()()x d x ϕ.(注:符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.)性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++,其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1(不可约多项式) 数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式,如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积(注:一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的).性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式,()[]x P x f ∈∀,()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即:对于()[]x P x f ∈∀,有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,,由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2(定理1.5.1的推广) 如果()x p 是不可约多项式,若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3(因式分解及唯一性定理)数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==,那么必有t s =,并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==,其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.(注:()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式;已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式,那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.)1.6 重因式定义1.6.1(k 重因式)不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式,如果()()x f x p k ,而()x p k 1+ ()x f .(注:0=k 时,()x p 不是()x f 的因式;1=k 时,()x p 是()x f 的单因式;1≥k 时,()x p 是()x f 的重因式.)定义1.6.2(微商)设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商(也称导数)是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 :1)()()()()()x g x f x g x f '''+=+2)()()()x cf x cf ''=,3)()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=,4)()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3(高阶微商)微商()x f '称为()x f 的一阶微商;()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商;等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .(注:()()n x f =∂ο,则()()c x f n =,()()01=+x f n .)定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ,那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ,那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式,但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.(注:辗转相除法可用于求解重因式;()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.)1.7 多项式函数定义1.7.1(多项式函数)设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式,α是P 中的数,在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值,记为()αf .这样一来,多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1(余数定理)用一次多项式α-x 去除多项式()x f ,所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值()αf .(注:其中()0=αf 时,α=x 是()x f 的一个根或者零点.) 推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2(重根)α称为()x f 的重根,如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时,α称为单根;当1>k 时,α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个,重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ,而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值,即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα,那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1(代数基本定理)每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根(即:复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.).定理1.8.2(复系数多项式的分解定理)每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.(复系数多项式的标准分解式:()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121,其中C s ∈≠≠≠ααα 21,+∈Z l l l s ,,,21 )定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根,那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4(实系数多项式因式分解定理)每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积(即是说:实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式).1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1(本原多项式)如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子,也就是说,它们是互素的,它就称为一个本原多项式.(任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积:()()x rg x f =)定理1.9.2(高斯(Gauss )引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式,且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =,其中()x h 是有理系数多项式,那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,而sr 是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么必有n a s ,0a r .特别地,如果()x f 的首项系数1=n a ,那么()x f 的有理根都是整根,而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解:令()32234-+-=x x x x f 得:24=a 的因子为:2,1±±30=a 的因子为:1±,3± ()x f ∴的有理根可能为:21±,23±,1±,2±.判别根的方法一:0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f (不为()x f 的根,舍弃);0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f (不为()x f 的根,舍弃); ()021≠-=-f (不为()x f 的根,舍弃); ()01=f (为()x f 的根); 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f (不为()x f 的根,舍弃); 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (不为()x f 的根,舍弃);()0332≠=-f (不为()x f 的根,舍弃); ()0252≠=f (不为()x f 的根,舍弃); 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二:即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得:1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三:21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得:1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5(艾森斯坦(Eisenstein )判别法)设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ,使得1. p n a ;2. 021,,,a a a p n n --;3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明:依题意可得()x f 的有理根可能为:1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根,即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1(n 元多项式)设P 是一个数域,n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子,其中P a ∈,n k k k ,,,21 是非负整数,称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式,或者简称多项式.(注:若两个单项式中相同文字的幂全一样,那么它们就称为同类项.)定义1.10.2(元多项式环)所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体,称为数域P 上的n元多项式环,记为[]n x x x P ,,21.(注:n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数;系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法:字典排列法;)定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ,()0,,,21≠n x x x g 时,乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ,那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .(两个齐次多项式的乘积是齐次多项式,乘积的次数等于因子的次数的和.)1.11 对称多项式定理1.11.1(一元多项式根与系数的关系)设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ,那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下:()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121,的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1(对称多项式)n 元多项式()n x x x f ,,,21 ,如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,,都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =,那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ,使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.(其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.)例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解:令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为:31x 对应的有序数对()0,0,3,()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项:2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ,求商()x q 与余式()x r :1)()1323---=x x x x f ,()1232+-=x x x g ; 解:()9113-=∴x x q ,()99+-=x r . 2)()524+-=x x x f ,()22+-=x x x g解:()12-+=∴x x x q ,()75+-=x x r . 3)()1434--=x x x f ,()132--=x x x g 解:()1032++=∴x x x q ,()929+=x x r . 4)()13235-+-=x x x x f ,()233+-=x x x g . 解:()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ,()562-+=x x x r . 5)()x x x x f 85235--=,()3+=x x g 解:带余除法:()109391362234+-+-=∴x x x x x q ,()()3327-=-=f x r . 6)()x x x x f --=23,()i x x g 21+-=. 解:综合除法:i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴,()i ix x x q 2522---=. 2. m ,p ,q 适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+321 解:方法一:带余除法:12-+mx xm x -即:()()m q x p m x r ++++=12,又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2)q px x mx x ++++2421. 解:方法二:待定系数法:设商为:()c bx x x q ++=2,又由q px x mx x ++++2421可得:()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和,即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式:1)()5x x f =,10=x ;解:辗转相除法:即:()()()111234+++++-=x x x x x x f .即:()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2)()3224+-=x x x f ,20-=x 解:综合除法:2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3)()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234,i x -=0. 解:综合除法:i - i - i - i -即:()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式:1)()143234---+=x x x x x f ,()123--+=x x x x g 解:带余除法:即:1322即:()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又:()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2)()1434+-=x x x f ,()1323+-=x x x g . 解:带余除法:即:()()()2312+--=x x x g x f .即:()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即:41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3)()11024+-=x x x f ,()124624234+++-=x x x x x g . 解:即:()()x x f x g 242423-=即:()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即:()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即:12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ,()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1)()242234---+=x x x x x f ,()22234---+=x x x x x g . 解:()13即:()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将(1)代入(2)得:()()()()2212-=+++-x x g x x f x即:取()1--=x x u ,()2+=x x v 可得:()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2)()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解:即:()()622--=x x x g x f 即:()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ,将(1)式代(2)式得:()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即:取()()131--=x x u ,()()322312--=x x x v 就有:()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3)()144234++--=x x x x x f ,()12--=x x x g 解:即:1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将(1)式代入(2)式得:()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ,()()233123--+=x x x x v 就有:()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=,()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式,t ,u 的值. 解:又()()u x x t x x f 22123++++=,()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得:⎩⎨⎧=-=04u t ,或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ,或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121,或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明:如果()()x f x d ,()()x g x d ,且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合,那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明:()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即:()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ,()()x g x d ,即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀,且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明:()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=,(()x h 的首项系数为1). 证明:()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴,()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即:()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀,()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ,()x g 不全为零,证明:()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明:()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ,()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ,又()x u ∃,()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即:()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明:如果()x f ,()x g 不全为零,且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+,那么()()()1,=x v x u .证明:()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ,()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明:如果()()()1,=x g x f ,()()()1,=x h x f ,那么()()()()1,=x h x g x f . 证明:()()()1,=x g x f ,()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴,()x v 1,()x u 2,()x v 2使得:()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由(1)式与(2)式相乘可得:()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1, ,()x f m ,()x g 1, ,()x g n 都是多项式,而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证:()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明:由11题可得:()()()1,=x g x f ,()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i (其中m i ,,1 =;n j ,,1 =)可得,对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有:()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得:()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明:如果()()()1,=x g x f ,那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明:()()()1,=x g x f 故有:()()()()1=+x g x v x f x u .即:()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ;同理可得:()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根:()12223+++=x x x x f ,()12234++++=x x x x x g . 解:()()()212+-=∴x x x f x g 即:()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令:012=++x x 解得:2311i x +-=;2312ix --=. 即:()x f 与()x g 的公共根为:2311i x +-=和2312ix --=.(提示:公共根出现在多项式的公因式中.)15. 判别下列多项式有无重因式: 1)()842752345-+-+-=x x x x x x f解:()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即:()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式:2-x2)()34424--+=x x x x f解:()124484'33-+=x x x f即:()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解:依题意可得:待定系数法:当有()x f 重根时,可得重根为有理根时,此时只能取重根为:1±=α.当重根为:1=α 1可得:3=t .当3=t 时,()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根;当重根为:1-=α1-解得:5-=t ,当5-=t 时,()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾,舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得:021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得:415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解:()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得: ()x f q px'32+即得:027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ,求A ,B .解:依题意可由综合除法可得:1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得:⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得:⎩⎨⎧-==21B A .19.证明:!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明:令()!!212n x x x x f n ++++= 得:()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法:设()x f 的重根为α得:()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即:()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得:0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根,证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明:依题意可得:()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明:0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ,而()()00≠x f k证明: 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃,使得:()()()x g x x x f k0-=,其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得:()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到:()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得:()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤,即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ,而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根,那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解:例如:()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根,但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明:如果()()n x f x 1-,那么()()n n x f x 1-. 证明:令:n x y =得:()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明:如果()()()323121x xf x f x x +++,那么()()x f x 11-,()()x f x 21-证明:.令:012=++x x 解得:2311i x +-=,2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即:()()()32311x f x f x x +-,()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即:()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解:()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-,()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解:在复数域上分解:()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解:当n 为奇数:()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中:n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数,21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时:()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根: 1)1415623-+-x x x解:令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为:1±,2±,7±,14±.由综合除法计算得:1即:()41-=f同理:()361-=-f ,()762-=-f ,()02=f ,()7567-=-f ,()1407=f ,()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为:2.2)157424---x x x解:令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为:41±,21±,1± 将根挨个代入原式得:641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理:6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ,()11=-f ,()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为:21-.3)3111462345----+x x x x x解:令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为:1±,3±由带余除法计算得:即:()01=-f 同理:()321-=f ,()963-=-f ,()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为:1-,3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约? 1)12+x解:不可约;理由如下:依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为:1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.(二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根)2)2128234++-x x x解:不可约;理由如下: 取素数2=p 得: (1)p 41a =.(2)38a p =-,212a p =,10a p =,02a p = (3)42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得:多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3)136++x x解:不可约;理由如下:令()136++=x x x f ,1+=y x 得:原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出:39182115623456++++++y y y y y y 不可约;∴136++x x 不可约.4)1++px x p ,p 为奇素数;解:令1+=y x 作转化,再由艾森斯坦判别法判别不可约; 5)144++kx x ,k 为整数. 解:同4),不可约:。
1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)
展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0
0
1
Eij
0
j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法(难点、重点) • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用 表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A: A的行数=列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n,B = (bij)s×t 则A = B 必须同 时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同 的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章 矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域;
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相 等概念;
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和·差·积·伤(除数不为零)仍然是P 中的数,那么P就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义2 设n是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++(1),其中01,,...,na a a 全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f (x )与g (x )中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么f (x )与g (x )就称为相等,记为f (x )=g (x )系数全为零的多项式称为零多项式,记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为[P],P称为[P]的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中()0g x ≠,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在,使()()()()fx q x g x r x =+成立,其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的。
定义5 数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示g(x)整除f(x),用“()|()g x f x ”表示g(x)不能整除f(x)定理1 对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零。
第四节 最大公因式定义6 设f(x),g(x)是P[x]中两个多项式。
P[x]中多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件:(1)d(x)是f(x),g(x)的公因式;(2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式。
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲
《高等代数Ⅰ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标通过《高等代数Ⅰ》的教学,使学生掌握多项式及代数学的基础知识和基础理论、初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法、理解具体与抽象、特殊与一般,有限与无限等辩证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力,为学习本专业其余课程奠定基础。
应达到的具体能力目标:具有独立思维能力和解决实际问题能力;具有较强的抽象思维和逻辑推理能力;熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅰ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第一章多项式(18学时)(一)教学要求1. 了解一元多项式的运算,复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理;2. 理解多项式的带余除法;3. 掌握整除的概念与性质,带余除法定理及证明,最大公因式的概念与求法,多项式互素的概念与性质,因式分解及唯一性定理。
4. 理解多项式在不同的数域的因式分解形式;5. 掌握Eisenstein判别法,会求有理系数多项式的根。
(二)教学重点与难点(内容五号仿宋GB2312,段前段后0行,段落固定值18磅)教学重点:整除概念,带余除法及整除的性质,最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质,k重因式与k重根的关系;教学难点:因式分解及唯一性定理,多项式根的理论,复(实)系数多项式分解定理,本原多项式,Eisenstein判别法。
(三)教学内容第一节数域1. 代数研究的基本问题2. 数域的定义第二节一元多项式1. 基本知识2. 多项式的运算规律3. 一元多项式环第三节整除概念1. 例解多项式竖式除法,普通除法2. 定理(带余除法)3. 整除,余式,因式,倍式4. 多项式整除的充要条件5. 整除的几个性质第四节最大公因式1. 公因式,最大公因式的定义2. 求最大公因式的方法3. 辗转相除法4. 互素及特性第五节因式分解定理1. 不可约多项式2. 不可约多项式的性质3. 因式分解唯一性定理4. 标准分解式第六节重因式1. k重因式2. 重因式的性质3. 求重因式的方法第七节多项式函数1. 余数定理2. 多项式函数与多项式的根第八节复系数与实系数多项式的因式分解1. 复系数多项式的因式分解定理与标准分解式2. 代数基本定理3. 实系数多项式因式分解定理第九节有理系数多项式1. 有理数域上一元多项式多项式的因式分解问题。
1多项式
12
+ a0 ,
在 (1)
中,如果 an 0,那么 anxn 称为多项
式 (1) 的首项, an 称为首项系数,n 称为多项式
(1) 的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.
多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x) ) .
m+b m-1 + … + b x + b g ( x ) = b x x 1 0 (2x2 - 1) (x2 m - x + 1)m-1 是数域 P 上两个多项式 . 那么它们可以写成 4 3 2 2 = 2x - 2x + 2x x + x 1 n m
3 , .g ( x) = 2x4 f -( 2x x) + x2 +ax -1 ix
所以 f (x) g(x) 可表成
i j s
a b
i
j
.
16
s x . f ( x) g ( x) a b i j s 0 i j s
m n
显然,数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘
等运算后,所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法,不难看出 ( f (x) g(x) ) max( ( f (x) ) , (g(x) ) )
+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
(ai bi ) x .
i i 0
n
15
3. 乘法
f (x) · g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
高等代数1-数域讲解
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
Q( 2)为数域.
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
5/9
例2.设P是至少含两个数的数集,若P中任意两个 数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为一个数域。
证:由题设任取 a,b P, 有
证明: 设P为任意一个数域.由定义可知, 0 P, 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
7/9
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商,
Q P.
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练习 判断数集 P1, P2 是否为数域?为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以,P是一个数域.
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q. 即,有理数域为最小数域.
一、数域的概念 二、数域性质定理
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合,其中包括
0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除 数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域. 常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q; (注意:自然数集N及整数集Z都不若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
高等代数教学大纲
高等代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质:高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。
对学生数学思想的形成有着重要意义,是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础,也为深入理解中学数学打下必要的基础。
高等代数是现代数学的基础知识,是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具,尤其在本世纪,计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域,这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。
高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程,既是中学代数的继续和提高,对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用,又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。
2、课程教学目的要求(1)使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论,着重培养学生解决问题的基本技能。
(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法,提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系,培养其辩证唯物主义观点。
(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力,训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识,以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材,进一步提高中学数学教学质量。
(6) 根据教学的实际内容的需要,对大纲所列各章内容,分别提出了具体的目的要求,教学时必须着重抓住重点内容进行教学。
本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。
线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。
本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。
多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识,为后继课提供准备;线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组,线性空间与线性变换理论。
数域知识点
数域知识点数域是数学中一个重要的概念,它是指具有加法、减法、乘法和除法运算的数的集合。
数域是代数学的基础,它涉及到了很多重要的知识点,本文将围绕数域展开讨论。
一、数域的定义和性质数域是一个非空集合,其中定义了加法、减法、乘法和除法运算,并满足以下性质:1. 加法性质:对于任意两个数a和b,其和a+b也属于数域。
2. 减法性质:对于任意两个数a和b,其差a-b也属于数域。
3. 乘法性质:对于任意两个数a和b,其积ab也属于数域。
4. 除法性质:对于任意两个数a和b(其中b不等于0),其商a/b 也属于数域。
二、常见的数域1. 有理数域:有理数域是指所有可以表示为两个整数的比的数的集合,包括正整数、负整数、0、分数等。
2. 实数域:实数域是指包括有理数和无理数的数的集合,可以用无限不循环小数表示。
3. 有限域:有限域是指元素个数有限的数域,其中的元素可以用一个整数模一个素数表示。
4. 复数域:复数域是指所有实部和虚部都是实数的数的集合,可以用a+bi的形式表示,其中a和b都是实数,i是虚数单位。
三、数域的运算性质1. 加法交换律:对于任意两个数a和b,有a+b=b+a。
2. 加法结合律:对于任意三个数a、b和c,有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 加法零元素:对于任意数a,有a+0=a。
4. 加法负元素:对于任意数a,存在一个数-b,使得a+(-b)=0。
5. 乘法交换律:对于任意两个数a和b,有ab=ba。
6. 乘法结合律:对于任意三个数a、b和c,有(ab)c=a(bc)。
7. 乘法单位元素:对于任意数a,有a×1=a。
8. 乘法倒数元素:对于任意非零数a,存在一个数1/a,使得a×(1/a)=1。
四、数域的扩张数域的扩张是指在一个数域上添加新的元素,使得新的集合仍然构成一个数域。
常见的数域扩张有:1. 有理数域到实数域的扩张:添加无理数,如π和√2。
2. 实数域到复数域的扩张:添加虚数单位i。
1.数域
而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商,
Q P.
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练习 判断数集 P1, P2 是否为数域?为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
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Q( 2)为数域.
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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例2.设P是至少含两个数的数集,若P中任意两个 数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为一个数域。
证:由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
中,则说数集P对这个运算是封闭的. 2)数域的等价定义:如果一个包含0,1在内的数
集P对于加法,减法,乘法与除法(除数不为0) 是封闭的,则称集P为一个数域.
3/9
例1.证明:数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域. 证:Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
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(否则,若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾)
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以,P是一个数域.
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二、数域的性质定理
《高等代数》第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是中的数,那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中,就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任何有理数),构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域,其中m n ,为任意非负整数,),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的.性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数,形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式(1)以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意:这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.在(1)中,如果0≠n a n a 称为首项系数,n 称为多项式(1)的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式,那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时,如m n ≥,为了方便起见,在)(x g 中令011====+-m n n b b b ,那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然,数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法,不难看出对于多项式的乘法,可以证明,若0)(,0)(≠≠x g x f ,则0)()(≠x g x f ,并且由以上证明看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律:1. 加法交换律:)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律:))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律:. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律:))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律:)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律:若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ,则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体,称为数域P 上的一元多项式环,记为][x P ,P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ,其中0)(≠x g ,一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在,使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商,)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ,如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ,用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时,)(x g 就称为)(x f 的因式,)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时,带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ,)(x g ,其中0)(≠x g ,)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中,)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时,如0)(≠x g ,)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f (整除的传递性).6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =,则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常,)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后,两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ,)(x g 是][x P 中两个多项式,P 是包含P 的一个较大的数域.当然,)(x f ,)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出,不论把)(x f ,)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式,用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此,若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ,则在][x P 中,)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+,则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,,使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /,则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式,又是)(x g 的因式,那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ,)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件:1))(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式;2))(x f ,)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如,对于任意多项式)(x f ,)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立,那么)(x f ,)(x g 和)(x g ,)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ,)(x g ,在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ,且)(x d 可以表成)(x f ,)(x g 的一个组合,即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出,如果)(),(21x d x d 是)(x f ,)(x g 的两个最大公因式,那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ,也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说,两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形,我们约定,用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求()(x f ,)(x g ),并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注:定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立,而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式,则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ,)(x g 称为互素(也称为互质)的,如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ,)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广:对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ,)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式,如果)(x d 具有下面的性质:1)s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2)如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ,那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在,而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时,))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式,即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样,利用以上这个关系可以证明,存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ,那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形:1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素,则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ,且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素,则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素,则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义,一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然,不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广:如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =,并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数,)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则)(x f 与)(x g 互素.注意:上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ,那么)(x p 根本不是)(x f 的因式;如果1=k ,那么)(x p 称为)(x f 的单因式;如果1>k ,那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然,如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重,2r 重,… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式;指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+)))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商;)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商;等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式;它的n 阶微商是一个常数;它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ,)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明,判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决,这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止,我们始终是纯形式地讨论多项式,也就是把多项式看作形式表达式.在这一节,将从另一个观点,即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式,α是P 中的数,在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样,多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以不难看出,如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ,所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ,那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系,可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根,如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时,α称为单根;当1>k 时,α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个,重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到,每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢?这就是问,是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称为恒等,上面结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说,数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理,也可以作为函数来处理.但是应该指出,考虑到今后的应用与推广,多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和,就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -,把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数,而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式,而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式,那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ,则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y (即x )的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意:将)(x f 表成α-x 的方幂和,把α写在综合除法的左边,将α-x 的方幂和展开成x 的多项式,那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和,要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系,代数基本定理可以等价地叙述为:每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知,在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式.于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成:复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此,复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数,s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式,以下事实是基本的:如果α是实系数多项式)(x f 的复根,那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此,实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数,s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数,并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的,也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根,但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面,方程求根是一个重要的问题,这个问题是相当复杂的,它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------(其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形,有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式,要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题,即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题,这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实:第一,有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二,在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子,就可以提出来,得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式,且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明,任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积,即)()(x rg x f =.可以证明,这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式,那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍,所以)(x f 的因式分解问题,可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ,)(x g 是整系数多项式,且)(x g 是本原多项式,如果)()()(x h x g x f =,其中)(x h 是有理系数多项式,那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ,那么)(x f 的有理根都是整根,而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明:令1+=y x ,则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ,于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法,)(y g 在有理数域上不可约,)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2.基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除,. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。
高等代数选讲 第一讲 数域P上的一元多项式环
10
例 求一个次数最低的实系数多项式, 使其被x2 1除余式为x+1, 被x3+x2 1除余式为x2 1。
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六、整除概念及性质
定义 设 f (x), g(x)∈P[x], 如果存在h(x)∈P[x],使 f (x) = g(x)h(x)
则称g(x)整除 f (x), 记为g(x)| f (x), 并称g(x)是 f (x)的 因式, f (x)是g(x)的倍式.
设a b 2 0,则a b 2 0,
事实上,若a b 2 0,则当b 0时,有a 0,于是
a b 2 0,与假 结束
当b 0时,有 2 a Q, 与 2是无理数的事实矛盾. b
而 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ri2 ( x) qi ( x)ri1 ( x) ri ( x), (ri ( x)) (ri1 ( x))
rs3 ( x) qs1 ( x)rs2 ( x) rs1 ( x), (rs1 ( x)) (rs2 ( x))
rs2 ( x) qs ( x)rs1 ( x) rs ( x), (rs ( x)) (rs1 ( x))
四、次数公式
定理 设 f (x), g(x)是数域P上的两个非零多项式, 则 (i) 当f ( x) g( x) 0时,
( f ( x) g( x)) max(( f ( x)), ( g( x)))
(ii) ( f ( x)g( x)) ( f ( x)) (g( x))
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1. 设f ( x), g( x)和h( x)是实数域上多项式,证明 : 若 f 2 ( x) xg2 ( x) xh2 ( x)
x2 3x 1 3x3 4x2 5x 6
高等代数课件(北大版)第一章_多项式§1.1
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2),
x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0.
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
2020/2/9
数学科学学院
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 2020/2/9 数域
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域.
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 2020/2/9 数域
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例2.设P是至少含两个数的数集,证明:若P中任 意两个数的差与商(除数≠0)仍属于P,则P为一
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作业
1.若 P1, P2为数域,证明:P1 I P2也为数域.
§1.1 2020/2/9 数域
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合,其中包括
0与1,如果P中任意两个数的和、差、积、商(除 数不为0)仍是P中的数,则称P为一个数域.
常见数域: 复数域C;实数域R;有理数域Q;
(注意:自然数集N及整数集Z都不是数域.)
§1.1 2020/2/9 数域
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§1 数域(number field )
教学目的:掌握数域的概念及其性质,了解数环的概念.
教学重点:数域概念及其证明.
教学难点:数域概念.
数的发展过程
复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−
1.数域的概念
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设P 是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P 中的数,那么P 就称为一个数域.
如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中,就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P 就称为一个数域.
显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域,整数集关于加减乘运算是封闭的,但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.
例1 所有具有形式
2b a +
的数(其中b a ,是任意的有理数),构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即
},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.
证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.
)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±, d b ±Q ∈,Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有
)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,
)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.
设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而
,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad b
a bd ac
b a b a b a d
c b a
d c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q b
a bc ad Q
b a bd a
c ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.
把本例中2换成其他的质数p ,)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.
例2 所有可以表成形式
m m n n b b b a a a π
πππ++++++ 1010 的数组成一数域,其中m n ,为任意非负整数,),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.
例3 所有奇数(odd number)组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.
例4 设P 是至少含两个数的数集,证明:若P 中任意两个数的差与商(除数≠0)仍属于P ,则P 为一数域.
证明 ,,P b a ∈∀有P b
a P
b a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P b
a a
b b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时,当,时,当.
所以P 为一数域.
2.数域的性质
性质1:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.
证明: 设P 是任意一个数域,则有P ∈1,0。
由加法的封闭性,
,111n
n Z n P +∀∈=+++∈
由减法的封闭性,
,0n Z n n P +∀∈-=-∈.
而任意一个有理数可以表示成两个整数的商,由除法的封闭性有P Q ⊆. 性质2. 若21,P P 是数域,则21P P 也是数域.
3.数环
设P 是一个非空的数集,若P 关于数的加减乘运算是封闭的,则称P 是一个数环.
例如整数集是一个数环,偶数集也是数环.但奇数集不是数环.
作业:
1.证明},,{)(为虚数单位i Q b a bi a i Q ∈+=是一个数域.
2.若21,P P 是数域,则21P P 也是数域.。