高三数学第一轮复习导数小结教案

合集下载

高三数学一轮复习精品教案4：3.1 导数的概念及运算教学设计

3.1 导数的概念及运算考纲解读1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.考点梳理1.导数的概念(1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx. (3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝；②求平均变化率Δy Δx＝； ③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx. 2.导数的意义(1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)，(x α) ′＝ (α∈Q *)；(2)(sin x ) ′＝______________，(cos x ) ′＝；(3)(ln x ) ′＝，(log a x ) ′＝；(4)(e x ) ′＝，(a x ) ′＝ .4.导数运算法则(1)『f (x )±g (x )』 ′＝ .(2)『f (x )g (x )』 ′＝；当g (x )＝c (c 为常数)时，即『cf (x )』 ′＝ .(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.基础自测函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( )A ．3a 2＋10ax 2B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2xC ．10a 2xD ．以上都不对曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .典例解析类型一导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 . 类型二导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P (2，4)的切线方程.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程.类型三求导运算求下列函数的导数：(1)y ＝5x 2－4x ＋1；(2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)；(2)y ＝x e x －1(x ≠0)； (3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).名师点金1.弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的值； (2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.答案考点梳理1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)(2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x基础自测『解析』常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.『解析』f ′(x )＝10a 2x .故选C.『解析』y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A .『解析』y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.『解析』v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3，故填3.『解析』f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B.『评析』本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．『解析』f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0.∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.『解析』(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上， ∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.『评析』曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )；②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.『解析』(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13x －32.(3)解法一：设切点为(x 0，y 0)，∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)， ∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 0＝－2，∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .『解析』(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝4x ·(3x ＋1)＋(2x 2－1)·3＝18x 2＋4x －3；(3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ) ′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋2 ′＝－1（x ＋2）2. 『评析』求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．『解析』(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2； (3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ；(4)y ′＝『ln(x ＋3)－ln(x ＋1)』 ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.。

高三数学第一轮复习导数(1)教案文教案

导数（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页） 1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()xxe e '= ； ()ln x xa a a '= 7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、题型探究：【探究一】．导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。

高中数学高三一轮复习教案：导数的应用

在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．
1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
答案：C
2．函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是________．
答案：(0，＋∞)
3．当x＞0时，ln x，x，e x的大小关系是________．
答案：ln x＜x＜e x
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是()
A．先增后减B．先减后增
C．单调递增D．单调递减
解析：f′(x)＝－sin x－1＜0.故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝(x－2)e x，由f′(x)＞0，得x＞2，故选D.
答案：D
3．(易错题)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]。

苏教版高三数学一轮复习教案导数

苏教版高三数学一轮复习教案（导数）第十二章、导数及其应用教学目标：1、通过实例分析，深刻理解导数的一些实际背景，掌握函数的导数的概念，体会导数的思想及其内涵，掌握利用导数的概念求一些简单函数的导数的方法和流程；掌握导数的实际意义，能通过函数的图像直观的理解导数的几何意义及导数的物理意义。

2、掌握并熟记几种常见的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则。

教学重点：几种基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。

教学难点：导数的几何意义及物理意义。

1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f'（x）或y'|。

即f（x）==。

说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。

如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f'(x)=。

2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f'（x）。

相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．常见函数的导出公式．（１）（C为常数）（２）（３）（４）4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：'=（v0）。

高中数学导数复习课教案

高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。

时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。

2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。

二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。

同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。

在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。

高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算精品教学案(学生版)新人教版

【考纲解读】1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算（1）能根据导数定义，求函数x y xyx y x y x y c y ======,1,,,,32的导数．（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：()0C '=（C 为常数）， 1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且·法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±·法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u1.导数的概念(1)f(x)在x=x 0处的导数就是f(x)在x=x 0处的瞬时变化率，记作:0/|x x y =或f /(x 0),即f /(x 0)=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时, f /(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即''()y f x ==0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k= f /(x 0),切线方程为'000()()y y f x x x -=-.3.基本初等函数的导数公式1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且4.两个函数的四则运算法则若u(x),v(x)的导数都存在,则法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u .【例题精析】考点一导数的概念及几何意义例 1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【变式训练】1.（2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（） A.1 B.2 C.e D.1e考点二导数的运算例2. (2010年高考全国2卷理数10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【变式训练】2. (2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（）A ．1-B ．2-C ．2D ．0 【易错专区】问题：忽视导数存在的条件例.已知曲线3y x =上的一点P （0，0），求过点P （0，0）的切线方程.【课时作业】1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ) A ．2B ． 2-C ． 12-D.122. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( ) （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+3．（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 4. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ) （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2 5．（2010年高考辽宁卷文科12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是 ___ __.【考题回放】1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 ( )A ．31y x =-B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =2. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 3． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) (A)13 (B)12 (C)23(D)1 4．（2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（） A ．12-B ．12C ．22-D ．225. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 .6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数ln ()(e x x kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.求k 的值.。

苏教版高三数学一轮复习教案(导数)

苏教版高三数学一轮复习教案（导数）
第十二章、导数及其应用
教学目标：
1、通过实例分析，深刻理解导数的一些实际背景，掌握函数的导数的概念，体会导数的思想及其内涵，掌握利用导数的概念求一些简单函数的导数的方法和流程；掌握导数的实际意义，能通过函数的图像直观的理解导数的几何意义及导数的物理意义。

2、掌握并熟记几种常见的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则。

教学重点：几种基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则。

教学难点：导数的几何意义及物理意义。

1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那幺函数y 相应地有增量=f
（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x 到x+之间的平均变化率，即=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x 处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：（1）函数f（x）在点x 处可导，是指时，有极限。

如果不存在极限，就说函数在点x 处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x 在x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；。

数学高中导数整理教案

数学高中导数整理教案教学内容：
1. 导数的定义与基本性质
2. 导数的四则运算法则
3. 高阶导数与隐函数求导
4. 极值与拐点的判定
教学目标：
1. 了解导数的概念及其基本性质
2. 掌握导数的四则运算法则
3. 能够计算高阶导数及对隐函数进行求导
4. 能够判断函数的极值和拐点
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料及案例
2. 学生准备纸笔，计算器等学习工具
教学步骤：
1.导入：导数的概念介绍及意义解释
2.讲解：导数的定义及基本性质
3.练习：导数的四则运算法则应用练习
4.教学：高阶导数及隐函数求导方法
5.练习：高阶导数及隐函数求导实例练习
6.讲解：极值与拐点的判定方法
7.练习：极值与拐点实例分析练习
8.总结：导数整理知识点总结及复习
教学反馈：
1. 每节课结束进行一次小测验
2. 收集学生问题，及时解答
教学延伸：
1. 后续可引入微分学的更复杂内容
2. 引导学生自主探究导数在实际问题中的应用
教学评估：
1. 学生课堂表现及作业完成情况
2. 学生课后解答问题准确率
教学反思：
对本节课的教学内容进行总结及反思，为下节课调整教学方法做准备。

(完整版)高考数学第一轮复习教案——导数

高考复习—-导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数.4．了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微)；（2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3)应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 5．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义,我们应注意以下三点：（1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)．（2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f （x ）在点0x 处可导或可微，才能得到f （x)在点0x 处的导数．（3)如果函数y=f （x)在点0x 处可导，那么函数y=f （x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x ｜在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行：（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆; （2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00；（3)取极限，得导数x y x f x ∆∆=→∆00lim )('。

高三数学函数与导数高考一轮复习专题讲义教案

导数复习专题一、知识要点与考点（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式)('C ＝；)('n x ＝；(n∈Q) )(sin 'x ＝， )(cos 'x ＝； )('x e ＝，)('x a ＝；)(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝ (5) 导数的四则运算 )('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝，)('vu＝ )0(≠v (6) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导，且x u x u y y '⋅'='.二、考点分析与方法介绍考点一导数的几何意义思路点拨：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例1已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.试一试1：求过原点与函数y=lnx 相切的直线方程。

试一试2：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 思考与交流1：若曲线12y x-=在点12,a a-⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】例1（1）：4x-y-4=0.（2）4x-y-4=0或x-y+2=0. 试一试1：exy =；试一试2： 2或41-思考与交流1： A A 考点二单调性中的应用题型与方法：（1）单调区间：一般分为含参数和不含参数问题，含参数的求导后又分导函数能分解与不能分解两类，能分解讨论两根大小；不能分解，讨论判别式。

数学高考复习名师精品教案：第103课时：第十三章导数-导数小结

数学高考复习名师精品教案第103课时：第十三章导数——导数小结课题：导数小结一．课前预习：1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆x x f x x f x ，则0()f x '=（C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 212．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ D ）()A ()B ()C ()D3．若曲线3yx px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足（ A ）()A 22(()032p q += ()B 23()(023p q +=()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,42x ∈时，1()8f x ≥，则a =1．（1）5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．四．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ．例3．设函数321()532ab f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a=>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+．（3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+，解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >，综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞ ．小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．五．课后作业：1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） ()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内,)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于（） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '=（）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k 1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为．6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。

高三数学一轮复习导数教案高三全册数学教案

芯衣州星海市涌泉学校导数数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，应选A ；〔2〕21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，那么切线的斜率为201x +，且20001y x x =++，于是切线方程为20001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点〔－1，0〕在切线上，可解得0x ＝0或者者－4，代入可验正D 正确，选D 。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

考点四：借助导数处理单调性、极值和最值例5．〔1〕对于R 上可导的任意函数f 〔x 〕，假设满足〔x －1〕f x '（）0，那么必有〔〕 A ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕B.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕C ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕D.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〔3〕函数()11ax x f x e x-+=-。

〔Ⅰ〕设0a >，讨论()y f x =的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

解析：〔1〕依题意，当x 1时，f 〔x 〕0，函数f 〔x 〕在〔1，＋〕上是增函数；当x1时，f 〔x 〕0，f 〔x 〕在〔－，1〕上是减函数，故f 〔x 〕当x ＝1时获得最小值，即有f 〔0〕f 〔1〕，f 〔2〕f 〔1〕，应选C ；〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

高考数学一轮复习教案第19课导数的基本运算

一、教学目标1、能根据导数定义，会求简单函数（如：x y xy x y c y ====,1,,2 等）的导数。

2、熟记基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数。

二、知识梳理()()()()''——————————————3,;,x x f x a f x f x e f x ====、若则若则。

()()()()—————————''———————4log ,;ln ,a f x x f x f x x f x ====、若则若则。

()()()()()()'''—————————————————5f x f x g x f x g x g x ⎡⎤±===⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦、；；。

【教学建议】本组题目旨在复习基本初等函数的求导公式和函数的和、差、积、商的求导法则。

需要学生熟练掌握，教学时可以当堂让学生进行默写。

三、诊断练习1、教学处理：课堂上让4名学生上来板演4条诊断练习，从中发现问题，及时点评。

2、诊断练习点评：题1、函数f (x )＝(sin x )′＋cos x 的值域是________．答案： [－2，2]【分析与点评】本题考查的是基本函数的导数，求导的法则，简单三角函数的值域，属于小综合题。

但难度不大。

【变式1】已知函数()()'ln ,=f x x x fe =则。

【变式2】已知函数()()'00ln ,=2,f x x x fx x ==则。

题2、已知1()cos ,f x x x =则()()2f f ππ'+= ．题3、若函数()()'2sin ,x f x f x x==则。

【分析与点评】求两个函数的商的导数的运算法则是什么？2．若 ()sin cos f x x x =+——————()f x '=。

高三数学一轮复习《导数的概念及运算》教案人教大纲版

高三一轮复习课堂讲义导数的概念及运算★ 知识梳理 ★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x y ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =xe ；'()x a =ln xa a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的速度.1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 题型1:求导运算[例4] 求下列函数的导数：（1） cos xy e x = （2）2tan y x x =+导数在研究函数中的应用★ 知识梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 题型1.讨论函数的单调性例5．求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y题型2.由单调性求参数的值或取值范围例6: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系例7．求证下列不等式（1）当0x >，求证1xe x >+（2）πxx 2sin > )2,0(π∈x题型4导数与函数的极值和最大(小)值.例8．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是例9．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间强化训练一、选择题：1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．3．下列求导运算正确的是( )A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x)'=3xlog 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x 4．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数323922yx x x x 有（）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 9．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 10．函数x x y ln =的最大值为（）A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）二、填空题：13．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 14．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．15．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。

高三数学一轮复习精品教案9：3.1 导数的概念及运算教学设计

3.1 导数的概念及运算●教学目标1、了解导数概念的某些实际背景；2、掌握函数在一点处的导数的定义和几何意义；3、掌握简单函数的求导以及复合函数的求导法则。

●知识回顾1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于（）A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 22.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为（） A.f （x ）=x 4－2 B.f （x ）=x 4+2 C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 43.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（） A.6B.18C.54D.814.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.5.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b'+)(c f c'=________.●典例剖析『例1』（1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为（） A.［0，a 1］ B.［0，a21］C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］（2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为（） A.y =3x －4 B.y =－3x +2C.y =－4x +3D.y =4x －5（3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?『例2』曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?『例3』已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标.『例4』证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1<x2）上两点A（x1，0）、B （x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等.●闯关训练夯实基础1.函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是（）A.x2－x+1B.（x+1）（2x－1）C.3x2D.3x2+12.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则（）A.f'（x0）>0B.f'（x0）<0C.f'（x0）=0D.f'（x0）不存在3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若f'（－1）=4，则a的值等于________.4.曲线y=2x2+1在P（－1，3）处的切线方程是________________.5.已知曲线y=x2－1与y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.6.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围.培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求：（1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.8.若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切. 探究创新10.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.●教师下载中心教学点睛 1.f '（x 0）=0lim →x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0limx x →00)()(x x x f x f --=0lim →h h x f h x f )()(00-+=0lim→h hh x f x f )()(00--2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例『例题』曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标.答案●点击双基 1.『解析』Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 『答案』C 2.『解析』筛选法. 『答案』A 3.『解析』∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 『答案』C 4.『解析』∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5. 又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5. ∴c =4. 『答案』4 5.『解析』∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ， ∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca .又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0. 『答案』0 ●典例剖析『例1』剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.『解析』（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］，∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］， ∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ， ∴切线斜率为3×12－6×1=－3. ∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0.『答案』（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y +4=0 评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等. 『例2』剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.『解析』曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54.评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用. 『例3』剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.『解析』∵直线过原点，则k =x y （x 0≠1）. 由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0，∴x y =x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2. 整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）.这时，y 0=－83，k =－41.因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识. 『例4』剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 『解析』y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练夯实基础 1.『解析』∵f （x ）=x 3+1， ∴f '（x ）=3x 2. 『答案』C 2.『解析』由题知f '（x 0）=－3. 『答案』B3.『解析』 f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 『答案』 310 4.『解析』点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 『答案』4x +y +1=0 5.『解析』在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02. ∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.『答案』 3616.『解析』∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）；当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力 7.『解析』（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.『解析』设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是 y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）. 又P （1，4）也在y =x 3－a 上， ∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）. 又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上， ∴－2=（－1）3－a .∴a =1. 综上可知，实数a 的值为－3或1. 9.『解析』y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2， ∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ，代入y =2x ，得c =4. 探究创新 10.『解析』y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3， ∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0. 拓展题例『例题』『解析』设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式 Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0. 解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。

高三数学第一轮复习导学教案6

导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,mx (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第一课时导数概念与运算【学习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【考纲要求】导数为B 级要求【自主学习】1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的，即)(x f '＝＝．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 . 4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝； )('n x ＝；(n ∈Q))(sin 'x ＝，)(cos 'x ＝ )('x e ＝， )('x a ＝)(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝])(['x Cf ＝)('uv ＝，)('u ＝ )0(≠v【基础自测】1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy∆∆为 . 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x f '= . 3.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .4.曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 .5.设曲线y ax e =在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . [典型例析] 例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25xxx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.例 4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.[当堂检测]1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ 2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy∆∆为 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 4.设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是________________5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数有个。