1.7节事件的相互独立性

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概率论

P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
全概率公式
设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
n

A1 A2 A3
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P(B | A3 )
P( B)
贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0)
B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有
3 某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3 号机床需要照看的概率分别为0.3, 0.2, 0.1。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。
练习2
发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ．” 和“ － ”，• 由于通信系统受到干扰，当发出信号“ ．”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到信号 “ ．”和“ － ”，同样，当发报台发出信号“ － ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ － ”和“ ．”．求 (1) 收报台收到信号“ ．”的概率． (2）当收报台收到信号“ ．”时，发报台确系发出信号“ ．”的概率．
x1 , x2 ,
即
, xn ,
，而取值 xk 的概率为
pk
PX xk pk

北师大版高中数学必修第一册第七章 4-《事件的独立性》课件PPT

3
2
3
5
甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P( · · )=P()·P()·P()=(1− 4)×(1− 3)×(1− 8)= 96.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对
5
91
立事件,所以,所求事件概率为() =1− 96 = 96.
反思感悟
与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发
生”“不都发生”等词语的意义.
四、方程思想在概率中的应用
例4
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工
1
1
的零件不是一等品的概率为4,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为12,
不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为 = (A)+(B)= (A)P()+()()
=0.8×(1−0.8)+(1−0.8)×0.8=0.32.
3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( D )
A.
1
回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
解 (1)记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件, , ,
设乙答对这道题的概率() = ,
由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此, , 是相互独立事件.
由题意,并根据相互独立事件同时发生的概率公式,
1
9
, , .由题设得 () = 12 ,即 ()(1−()) = 12 ,②由①③,得() =1− 8 (),

事件的相互独立性人教版高一年级数学课堂PPT学习

2
4
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）
于是, P(AB)= P(A)P(B).
即
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
三、新知学习
1.定义
从上述两个试验的共性中得出这种事件关系的一般定义
对任意两个事件A与B，如果
（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）
（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）
（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）
（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）
在试验2中，样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
而A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
问题1 下面的随机试验中，事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝
上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
互不影响
二、问题探究
问题1 下面的随机试验中，事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
试验1
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
问题3 请分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝
上”，则样本空间为 = {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样
本点.
而A={(1,1),(1,0)}，B= {(1,0),(0,0)}，所以AB ={(1,0)}.

第一章概率论的基本概念(第3讲)

第1.7节事件的独立性
三、n个事件相互独立定义
n个事件 A1 , A2 , A3 ,..., An 相互独立的定义为：
P( Ai Aj ) = P( Ai )P( Aj ), i < j, i, j = 1,2,..., n P( Ai Aj Ak ) = P( Ai )P( Aj )P( Ak ), i < j < k, i, j, k = 1,2,..., n ... P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )P( A2 )...P( An )
解: (1)设A=甲中, B=乙中, C=目标被击中, 所求
P(A|C)=P(AC)/P(C) =P(A)/[P(A)+P(B)-P(A)P(B)]
(C=A∪B)
=0.6/0.8=3/4
第1.7节事件的独立性
二、三个事件相互独立定义
对于三个事件 A, B, C 的相互独立定义为： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) P ( AC ) = P ( A ) P (C ) P ( BC ) = P ( B ) P (C ) P ( ABC ) = P ( A ) P ( B ) P (C )
C
k n
pk q n−k
(k
=
0,1,L, n)
P( A1 A2 ...Ak Ak+1 Ak+2 ...An ) = pkqn−k (前k次成功)
第1.8节独立试验序列
二、考察概率
(2) 第 k 次试验首次“成功”的概率为
qk−1 p(k = 0,1,2,L)
第1.8节独立试验序列
三、例题：Leabharlann 第1.9节几何概率和概率的数学定义

概率

二、乘法公式
设A、B，P（A）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). (1.6.2)
式(1.6.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。式(1.6.2)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： (1.6.3)
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
2 P( A1 ) 5
3 P( A2 | A1 ) 6
例1.6：在盒子中有十个相同的球，分别标为
号码1、2、…、10，从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。
三、古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1 种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
Y=x+15 60 15 15 60
m( A) 60 2 45 2 7 P( A) 2 m( S ) 16 60
Y=x-15
三、几何概率的基本性质
（1）0 P(A) 1；（2）P( S)＝1；P( )=0；（3）若，A1,A2,…An…两两互不相容，则
P（ An） P( An ) （可列可加性）。
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重。

事件的独立性和伯努利试验

n
n
n
P C P( Ak Bk )
P(
Ak
)P(Bk
)
(
6 25
)n
Cnk
Cnk n
(
6 25
)n
Cn2n
.
k 0
k 0
k 0
谢谢聆听
定义 1.7 设 A, B,C 是三个事件,如果有 P(AB) P(A)P(B) , P(AC) P(A)P(C) , P(BC) P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 两两独立,若同时还有 P(ABC) P(A)P(B)P(C) ,
则称事件 A, B,C 相互独立.
注：相互独立的事件一定是两两独立的,反之不成立.
定理 1.5 在 n 重伯努利试验中,设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p (0 p 1) , 则在 n 次试验中,事件 A 恰好发生 k 次的
概率为
Pn (k) Cnk pk (1 p)nk , k 0, 1, , n ．
证明记 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生} , i 1, 2, , n .在 n
1 2
，
1 P( A1A2 ) P( A1A3) P( A2 A3) 4 .
由于
P( A1A2
)
1 4
P( A1)P(
A2
)
,
P( A1A3)
1 4
P(
A1)P( A3)
,
P( A2
A3 )
1 4
P( A2
)P(
A3 )
,
因而 A1, A2 , A3 三个事件两两独立.
又知
P( A1A2
A3 )
一般地, 任意 n 个事件 A1, A2 , , An ,若对任意的 k (1 k n ) 个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n ,都有

概率论教学课件第一章1.7事件的独立性与伯努利概型

1 P( A)
P( AB) P( A)P(B) A与B相互独立 8
P( A) 0 A与任何事件B都相互独立； 2º
P( A) 1 A与任何事件B都相互独立.
和都与任何事件相互独立．证关于第一个蕴涵式．由 P( A) 0 及概率的单调性知 P( AB) 0 , 从而
P(AB) P(A)P B .
1
一、事件的独立性
两个事件相互独立是指: 其中一个事件的发现正面”，B=“第二次出现反面”.
显然，A的发生不影响B的发生，反之亦然. 因此，A与B相互独立．
2
上述意思翻译成概率语言即为
P B A P(B) 且 P A B P(A).
证假设 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P( A)P B ，从而 P(AB) P(A) P AB P(A) P A P B P(A)[1 P B] P A P(B)
这证明了 A 与 B 相互独立. 由已证明结论可证: A 与 B ， A 与 B 也分别相互独立．
12
例1.28 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与概率
有关，后者的定义没有借助概率．
10
事件相互独立与互不相容的关系
P(A) 0, P(B) 0
若事件A与B互不相容，则事件A与B一定不相互独立. 换句话说，若事件A与B相互独立，则事件A与B一定不是互不相容.
11
4º 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 亦相互独立.
7
(0 P(A) 1,0 P(B) 1)
A与B相互独立 P B A P B A

高中数学排列组合相临问题常用方法归类

一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.四、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A．42 B．30 C．20 D．例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）五、混合问题——先选后排法对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）种。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（C ）A．24种B．18种C．12种D．6种七．相同元素分配——档板分隔法例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。

数学问题之概率原理解析

概率原理1．重视概念的甄别，即弄清某些容易混淆的概念之间的区别。

在概率论中存在许多容易混淆的概念，如果不能认真区分，仔细加以甄别，就不能正确理解这些重要概念，在应用时就会产生各种各样的错误。

➢ 互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念“互不相容”是指两个事件不能同时发生。

而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

➢ 随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念对两个随机变量而言，相互独立⇒不相关。

➢ 条件概率P(A|B)与乘积概率P(AB) 也是容易混淆的一对概念一般来说，当事件B A ,同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系中，用)(A B P 。

如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：(1)第二次才取到白球的概率；(2)第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。

问题(1)是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题(2)则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。

2．善于识别一些重要的概率模型并能正确进行计算是提高分析和解决概率实际问题能力的关键。

在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型（简称“概型”），学生必须了解其背景、特点和适用范围，要熟记计算公式，以便能正确应用。

例如：（1）古典概型：一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。

（2）完备事件组模型：若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的一类概率模型。

它主要用于某些复杂事件的计算——全概率公式，以及某些条件概率的计算——贝叶斯公式。

（3）伯努利概型与二项分布模型：伯努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的概率模型，其特点是各个重复试验是独立进行的，且每次试验中仅有两个对立的结果：事件A 发生或不发生，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生v 次的概率为v n v v n n p p C v P --=)1()(，其中)(A P p =。

事件的相互独立性课件

【解】 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则 P(A)＝CC1223＝23， P(B)＝CC2435＝35. 因为事件 A 与 B 相互独立，所以观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A B )＝P(A)·P( B )＝P(A)·[1－P(B)] ＝23×25＝145.
探究点 1 相互独立事件的判断判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独
立事件？ (1)掷一枚骰子一次，事件 M：“出现的点数为奇数”，事件 N： “出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件 A：“出现偶数点”；事件 B：“出现 3 点或 6 点”； (3)袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 M：“第一次摸到白球”，事件 N：“第二次摸到白球”．
P(X＝2)＝P(A B C)＋P(－A BC)＋P(A－B C)
＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3735，
P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1785，
所以 X 的分布列为
X012 3
P
4 20 33 75 75 75
18 75
判断两个事件是否独立的两种方法 (1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件； (2)定义法：通过式子 P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件 A，B 相互独立，这是定量判断.
探究点 2 相互独立事件同时发生的概率甲、乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译出密码
(3)“至多 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都译出密码”，所以至多 1 个人译出密码的概率为： 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13×14＝1112.

事件的独立性与伯努利概型

利公式，得
4
P4(k)1P40P41
k2
1434C4114433
67 0.2617 . 256
23
例1.31 某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问的意见，并按多数的意见作出决策，求作出正确决策的概率．
解考察一位顾问的意见，相当于作一次
解在任一时刻，考察一名售货员是否使用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视
为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的概率为15/60 =1／4．
现同时考察4名售货员使用台秤的情况，
因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．
22
所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ) , 于是
P(A B )P(A )PB.
☎ 3º 相互独立与互不相容没有必然联系．
8
◎从定义来看，A与B独立 P (A B )P (A )P B ,
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与概率有关，后者的定义没有借助概率．
H H H , H H T , H T H T H H , H T T , T H T , T T H , T T T .
设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}；Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}； C=“ 前两次出现反面 ” ={TTH ，
T◎TTA}B．={HHT} P A B 111P A P B
P A B 1 P A B 1 P A B 1 P A P B 1 0 .2 0 .3 0 .9 4 . 12

事件的独立性-高一数学上学期课件(北师大版2019必修第一册)

2
6
3
6
即 = ，因此，事件A与B相互独立．
当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
答案：B.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
思考探究：独立事件的判断
方法归纳
判断两个事件是否相互独立的方法，
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，
列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立
事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
导入课题新知探究典例剖析课堂小结
一，互相独立事件
1，互相独立事件
思考探究：互斥事件、对立事件、独立事件的综合
思考4：甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率都是0.6，且两人
的投中结果相互独立．求：
(1)两人都投中的概率；
(2)恰有1人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
解：(1)设事件A表示“两人都投中”，则 = 0.6 × 0.6 = 0.36；
有放回摸球”呢？
解：依题意得，
2
1
进行不放回摸球，若事件1 发生，则 2 = = ，
4
2
3
，
4
若事件1 不发生，则 2 =
故事件1 与事件2 不互相独立；
3
进行有放回摸球，不管事件1 是否发生，都有 2 = ，
5
故此时事件1 与事件2 互相独立.
导入课题新知探究典例剖析课堂小结

1.7伯努利概型

P( Bk ) P( ) Cnk p k q nk
Bk
事件A在n次试验中发生k次的概率为
Pn (k ) Cnk p k q nk
0 k n
这个概率常称为二项概率，记为 bk ; n, p
k k nk pq 即： b(k；n, p) Cn
k=0，1，2，…，n
解：50千瓦电力可用时供给5台机床开动，因而10台机床中同时开动的台数为不超过5台时都可以正常工作，而每台机床只有“开动”与“不开动”的两种情况，且开动的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床 k 1 k 4 10 k 中正在开动着的机床台数为，则 P ( k ) C10 ( ) ( ) 0 k 10
1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士；1701年被柏林科学协会（后为柏林科学院）接纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相联系。例如悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线” （1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题” （1700年）等。雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究方面。他从1685 年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成巨著《推测术》，这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章概率论的基本概念

（3）分配律：A ∩ （B∪C）= （A∩B）∪（ A ∩ C ）
（4）
A∪（B ∩ C）=（A∪B）∩（A∪C）
（5）
概率论与数理统计
02
第2节概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率定义1.1
在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值称为事件A在n次实验中发生的频率，记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104

0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
（一个古老的问题）一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质：
（1）对于任一事件A，有（2）
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰（Buffon）和皮尔逊
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB

A B
AB

AB
A B

AB
A B

AB
A B

概率论与数理统计
A
AB
B

A
A

概率论与数理统计

概率论课程教学大纲

概率论》课程教学大纲( Probability Theory )适用专业：数学与应用数学、统计学、应用统计学、经济统计学课程学时：68 学时课程学分：4 学分一、课程的性质、目的与任务概率论是研究随机现象统计规律的一门数学学科，应用性很强，为数学与应用数学专业的专业必修基础课之一，且为数理统计课程的理论基础。

学习该课程需先修数学分析和高等代数的相关知识。

通过本课程的学习，使学生掌握概率论的基本概念、理论知识及其在实际生活中的一些应用，为学习后继课程作必要的准备，同时培养学生能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题的能力。

二、课程的内容与基本要求本课程内容主要包括随机事件及其概率；一维随机变量；多维随机变量；随机变量的数字特征；特征函数；大数定律与中心极限定理。

第一章事件与概率本章内容是概率论的基础知识，有大量的基本概念和计算公式，因此在教学中要讲清概念，突出重点，突破难点，要逐步使学生学会运用概率语言描述概率问题。

重点内容：事件间的关系与运算，概率的性质，概率的加法公式，乘法公式，全概率公式和逆概公式，事件的独立性，古典概型，几何概型，贝努利概型。

难点内容：古典概型和几何概型的计算，概率的性质。

§ 1.1 随机事件和样本空间了解随机试验、样本空间和随机事件、基本事件等概念；掌握事件间的关系和运算。

§ 1.2 概率和频率理解概率的定义和性质及频率的稳定性。

§ 1.3 古典概率掌握古典概型、几何概型的计算公式并能解决一些相关问题。

§ 1.4 概率的公理化定义及概率的性质理解概率的公理化定义及其性质，掌握概率性质中的几个重要公式，会用概率性质解决相应的概率问题。

§ 1.5 条件概率，全概率公式和贝叶斯公式理解条件概率的定义，掌握条件概率的计算及乘法公式的使用；掌握全概率公式与贝叶斯公式，并会利用这些公式解决实际问题。

§ 1.6 随机事件的独立性理解事件的独立性的概念；掌握相互独立事件的性质及其有关计算。

第一章续7-8节随机事件的独立性

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定理1 定理乘积：乘积：
二独立事件的交的概率等于这二事件的概率的
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
定理2 有限个独立事件的交的概率等于这些事件的概定理率的乘积：率的乘积：
P( A1 A2 L An ) = P( A1 ) P( A2 )L P( An )
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例1 一批产品共有N个，其中有M个是次品.从这批产品一批产品共有N 其中有M个是次品. 中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去，中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去，如此连续抽查n 这种抽样方式叫做放回抽样重复抽样）放回抽样或抽查n次（这种抽样方式叫做放回抽样或重复抽样）.求n次都取得合格品的概率. 都取得合格品的概率. 设事件Ai表示第次抽样时取得合格品(i=1,2,…,n)，表示第i次抽样时取得合格品解设事件表示第次抽样时取得合格品，则事件A1,A2,…,An是独立的，并且则事件是独立的， N −M P ( Ai ) = (i = 1, 2, L , n ) N 所求的概率
P( A) = ∑P( Bi ) P( A Bi )
i =1
n
L P ( An A1 A2 L An −1 )
P(A) = P(B )P(A B ) + P(B2)P(A B2) + P(B3)P(A B3) 1 1 P(B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A)
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1.7节续第1.7节全概率公式
若
P ( A B ) = P ( A) (事件A与B独立) 事件A 独立)
由
P ( A) = P ( B ) P ( A B ) + P ( B ) P ( A B ) P ( A) = P ( B ) P ( A) + P ( B ) P ( A B )

人教版高一数学课件-事件的相互独立性

對3個成語的概率．
i i
用0表示“猜錯”，1表示“猜對”，則甲猜兩輪成語包含的基本事件為
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1)
乙猜兩輪成語包含的基本事件為
(0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1)
甲猜對1個並且乙猜對2個．兩輪活動猜對3個成語
甲猜對2個並且乙猜對1個．
甲猜對1個並且乙猜對2個
P( AB) P( AB) P( AB)
A
P( AB) P( AB AB)
A
0.72 0.26=0.98 ，
即至少有一人中靶的概率為0.98．
B AB B AB B AB B AB
另解：“至少有一人中靶”的對立事件是
“兩人都脫靶”，根據對立事件的性質，
得事件“至少有一人中靶”的概率為 B AB
B ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} ， n(B) 8 ，
AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，n( AB) 4 ．
所以
因為所以
P( A)=
n( A)
n( )
1 2
，P(B)=
n(B)
n( )
1 2
，
P(
一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異.採用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球．設 A=“第一次摸到球的標號小於3”，B=“第二次摸到球的標號小於3”．
事件 A 發生與否會影響事件 B 發生的概率嗎？ A B
一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異.採用有放回方式從袋中依次任意摸出
B={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)}，n(B) 4 ，

北师大版高中数学必修第一册7.4事件的独立性(课件)

1－13
＋
1－12
×1＝1. 32
答案：C
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝1，P(B)＝1，则 P(AB)
2
4
＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝1，P(B)＝1
2
4
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝1×1＝1. 248
答案：1 8
题型一相互独立事件的判断
所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13，即 P(AB)＝ P(A)P(B)，因此，事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时，事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件．
答案：B
3．从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”， B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
3．性质若事件 A 与 B 相互独立，则－A 与 B，A 与－B ，－A 与－B 也相互独立． 4．推广两个事件的相互独立性可以推广到 n(n＞2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则这 n 个事件同时发生的概率 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
方法归纳判断两个事件是否相互独立的方法
(1)定量法：利用 P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
题型二相互独立事件同时发生的概率例 1 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A：“甲击中