1.7节 事件的相互独立性
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则称 A, B 相互独立。 例、 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记
A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
解：由于 P(A)=4/52=1/13,
P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 这说明事件A、B独立. B, A 相互独立。 【注 1】显然, A, B 相互独立 【注 2】当 P( A)>0，P( B)>0 时，若 A，B 互不相容，则 A,B 一定不是相互独立的。或若 A,B 相互独立，则 A,B
例 2、设 P( B | A) P( B | A) ,则 A, B 独立.
证明：显然 P( A) 0 , P ( A ) 0 ,那么
P ( B ) P ( A) P ( B | A ) P ( A ) P ( B | A ) [ P ( A) P ( A )] P ( B | A) P ( B | A) ,
发生没有影响，它说明了独立性的内在意义。
(3)下列各组事件的独立性是等价的：
A, B . ① A, B ；② A, B ；③ A , B ；④
证明：① ②、设 A, B 独立
Hale Waihona Puke Baidu
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B )
P ( A)[1 P ( B )] P ( A) P ( B ) ，则 A, B 独立。
例 1 设 A, B 独立,且 P( A) 0 , P( A ) 0 ,则
P( B) P( B | A) P( B | A ) . 证明：因 A, B 独立，则 A , B 也独立，又 P( A) 0 , P( A ) 0 ,
则
P( B) P( B | A) P( B | A ) .
P( AB) P( A) P( B) A, B 独立 P ( AB ) P( B) P( B) P( B | A) P ( A)
同理: 因 P( B) 0 ，
P( AB) P( A) P( B) A, B 独立 P ( AB ) P ( A) P( A) P( A | B) P( B) 【注 3】 P ( A) P ( A | B ) 说明：事件 B 发生与否对 A 的
例1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
例2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
③ ④设 A, B 独立
P( AB ) P( A) P( AB) P( A) P( A) P( B) P( A)[1 P( B)] P( A) P( B ) , 则 A, B 独立。
④ ①设 A, B 独立
P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B ) 1 [ P( A) P( B ) P( AB )] 1 [ P( A) P( B ) P( A) P( B )] [1 P( A)][1 P( B )] P( A) P( B )
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
2、性质
与任意事件 A 相互独立. (1) 必然事件 、不可能事件 证明： P(A) P( A) 1 P( A) P() P( A)
P(A) P() 0 0 P( A) P() P( A)
(2) 设A、B是两个随机事件,则: P( B) P( B | A) . （P( A) 0 ） A, B 独立 P( A) P( A | B) . （P( B) 0 ） A, B 独立 证明：因为 P( A) 0 ，
② ③、设 A, B 独立
P ( AB ) 1 P ( AB ) 1 P ( A B ) 1 [ P ( A) P ( B ) P ( AB )]
1 [ P( A) P( B) P( A) P( B)] [1 P( A)][1 P( B)] P( A) P( B) ，则 A, B 独立
“甲命中”并不影响“乙命中” ，故认为A、B独立 . 又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件 是合格品} (i=1,2). 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立 ( 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响 ) .
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立 ( 因为第二次 抽取的结果受到 第一次抽取的影响 ).
第1-7节 事件的相互独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， A={第二次掷出6点}， 设 B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A) P( A) P( A | B) 说明：事件B发生与否对A的发生没 有影响，这时称事件A、B独立。 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有:
P(AB)=P(B)P(A|B)
不可能互不相容。 这是因为 A,B 互不相容，则 AB ，故 0 P( AB) P( A) P( B) （ P( A)>0，P( B)>0 ） 所以 A，B 不相互独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事 件是否独立. 例如:甲、乙两人向同一目标 射击，记 A={甲命中}, B={乙命 中}，A与B是否独立？
P(AB)=P(A) P(B)
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用：
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B) > 0或P(A) > 0的制约.
一、两个事件的相互独立性
1、设 A, B 是两个随机事件，若
P( AB) = P( A) P( B) ，
A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？
解：由于 P(A)=4/52=1/13,
P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 这说明事件A、B独立. B, A 相互独立。 【注 1】显然, A, B 相互独立 【注 2】当 P( A)>0，P( B)>0 时，若 A，B 互不相容，则 A,B 一定不是相互独立的。或若 A,B 相互独立，则 A,B
例 2、设 P( B | A) P( B | A) ,则 A, B 独立.
证明：显然 P( A) 0 , P ( A ) 0 ,那么
P ( B ) P ( A) P ( B | A ) P ( A ) P ( B | A ) [ P ( A) P ( A )] P ( B | A) P ( B | A) ,
发生没有影响，它说明了独立性的内在意义。
(3)下列各组事件的独立性是等价的：
A, B . ① A, B ；② A, B ；③ A , B ；④
证明：① ②、设 A, B 独立
Hale Waihona Puke Baidu
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B )
P ( A)[1 P ( B )] P ( A) P ( B ) ，则 A, B 独立。
例 1 设 A, B 独立,且 P( A) 0 , P( A ) 0 ,则
P( B) P( B | A) P( B | A ) . 证明：因 A, B 独立，则 A , B 也独立，又 P( A) 0 , P( A ) 0 ,
则
P( B) P( B | A) P( B | A ) .
P( AB) P( A) P( B) A, B 独立 P ( AB ) P( B) P( B) P( B | A) P ( A)
同理: 因 P( B) 0 ，
P( AB) P( A) P( B) A, B 独立 P ( AB ) P ( A) P( A) P( A | B) P( B) 【注 3】 P ( A) P ( A | B ) 说明：事件 B 发生与否对 A 的
例1、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
例2、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
③ ④设 A, B 独立
P( AB ) P( A) P( AB) P( A) P( A) P( B) P( A)[1 P( B)] P( A) P( B ) , 则 A, B 独立。
④ ①设 A, B 独立
P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B ) 1 [ P( A) P( B ) P( AB )] 1 [ P( A) P( B ) P( A) P( B )] [1 P( A)][1 P( B )] P( A) P( B )
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
2、性质
与任意事件 A 相互独立. (1) 必然事件 、不可能事件 证明： P(A) P( A) 1 P( A) P() P( A)
P(A) P() 0 0 P( A) P() P( A)
(2) 设A、B是两个随机事件,则: P( B) P( B | A) . （P( A) 0 ） A, B 独立 P( A) P( A | B) . （P( B) 0 ） A, B 独立 证明：因为 P( A) 0 ，
② ③、设 A, B 独立
P ( AB ) 1 P ( AB ) 1 P ( A B ) 1 [ P ( A) P ( B ) P ( AB )]
1 [ P( A) P( B) P( A) P( B)] [1 P( A)][1 P( B)] P( A) P( B) ，则 A, B 独立
“甲命中”并不影响“乙命中” ，故认为A、B独立 . 又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件 是合格品} (i=1,2). 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立 ( 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响 ) .
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立 ( 因为第二次 抽取的结果受到 第一次抽取的影响 ).
第1-7节 事件的相互独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， A={第二次掷出6点}， 设 B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A) P( A) P( A | B) 说明：事件B发生与否对A的发生没 有影响，这时称事件A、B独立。 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有:
P(AB)=P(B)P(A|B)
不可能互不相容。 这是因为 A,B 互不相容，则 AB ，故 0 P( AB) P( A) P( B) （ P( A)>0，P( B)>0 ） 所以 A，B 不相互独立。
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事 件是否独立. 例如:甲、乙两人向同一目标 射击，记 A={甲命中}, B={乙命 中}，A与B是否独立？
P(AB)=P(A) P(B)
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用：
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B) > 0或P(A) > 0的制约.
一、两个事件的相互独立性
1、设 A, B 是两个随机事件，若
P( AB) = P( A) P( B) ，