流体流动的基本方程

2g
p2
g
Hf
即：Δ z Δ u 2 2g
Δp
g
He
Hf
单位为:m（J/N） 表示单位重量流 体具有的能量
z m J 单位重量流体所具有的位能, 称为位压头
N
u2 2g
单位重量流体所具有的动能,
称为动压头
p
g
静压头
单位为:Pa (J/m3) 表示单位体积流 体具有的能量
gz1
对于理想流体 (hf=0)，且无外功 (he=0)，加入，则有
gz1
u12 2
p1
gz 2
u
2 2
2
p2
——柏努利方程
讨 论：
（1） 伯努利方程适用于不可压缩的理想流体、稳定流动。
gz1
u12 2
p1
gz2
u22 2
p2
（2） 输送设备所作功
Pe qm .he qV he
Pe
kg s
J kg
mgz2
m.
u
2 2
2
p2V2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
上式除以m, 并令V/m=v（比容），则有
U1
gz1
u12 2
p1v1
qe
he
U2
gz2
u22 2
p2v2
U＋gz
u 2 2
pv
qe
he
式中各项单位为： J/kg
1.2.6 机械能衡算—柏努利方程
假设： 〈1〉流体是不可压缩的 即
1
2
1
〈2〉无热交换，即qe=0
应用Bernoulli方程式解题的步骤
1、 画出研究体系的流程示意简图，在图中选出上下游截面以确
定机械能衡算范围；确定基准水平面并标注流体流动方向。 2、 将已知的及求解的物理量转化为直接表示流体性质的物理量。
如：A、qm、qv → u； A → d； 表压 →绝对压力， 有效功率Pe → qm、he或qv、ρ、he
2、表达式及单位
（1）体积流量： qv =V/ （2）质量流量： qm=m/ = ρV / =qVρ.
（3）流 速： u= qv /A （4）质量流速： G= qm /A= qv /A=u
(m3/s) (kg/s) (m/s) (kg/㎡s)
在管内同 一横截面 上流体的 流速是不
同的
3. 管路直径的初步确定
解：取池内水面为截面1，作为基准面；输水管出口为截 面2，则有z1=0, z2=20m, p1=0, p2=500×103Pa，u1=0
P2=500 kN/m2 （表压）
u2
15 3600
( 4)(0.053)2
1.89m / s
hf 40J / kg, 0.6
20m
z1g u12
2 p1
u
qv A
qv 4d2
qv 0.785d 2
d qV 0.785u
流量取决于生产需要，合理的流速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s， 气体流速为10~30m/s
1.2.1、黏性和黏度
流体内部存在内摩擦力或粘滞力
气体内摩擦力产生的原因还 可以从动量传递角度加以理解:
液体的内摩擦力则是由分子间的 吸引力所产生。
v大
分子
v小
单位面积上的的内摩擦力，N/m2
牛顿粘性定律发 表在 1687年
dυx ----------------牛顿粘性定律
dy
动力黏度 简称黏度
黏度：
物理意义：衡量流体黏性大小的一个物理量
单位：
dv
dy
N m2 ms
N s m2
Pa s
获取方法：属物性之一，
m
由实验测定、查有关手册或资料、用经验公式计算。
〈3〉流体温度不变，则 U1=U2
〈4〉流体克服流动阻力而消耗的机械能为 hf
U1
gz1
u12 2
p1v1
qe
he
U2
gz2
u22 2
p2v2
hf
将总能量衡算式简化为机械能衡算式：
gz1
u12 2
p1
he
gz 2
u
2 2
2
p2
hf
Δ(u 2 ) Δ p
gΔ z 2 he h f
稳定流动：
同一位置处与流体流动有关的物理量，如速度、压力、 密度 等不随时 间而变化。
不稳定流动：
同一位置处与流体流动有关的物理量随时间而变化。
1.2.4 物料衡算—连续性方程
对于稳定过程： 输入=输出 或 输入速率=输出速率
1 2
1
2
qm1 qm2
u1 A1 1 u2 A2 2 uA 常数
2. 两截面之 间的流体必须是连续不间断的，截面应与流动方 向垂直。
3. 基准水平面可以任意选取，一般取基准水平面通过两截面 中的某一截面。若所选截面与基准水平面不呈平行，则 Z 值可取为该截面中心点至基准水平面的垂直 距离。
4. 注意使用一致的单位（特别是两截面上要统一压力和高度 的单位，要统一使用表压或绝对压力等）
1.2 流体流动的基本方程
主要研究流体在管路中的流动，
质量守恒
讲
遵循着三大守恒定律 动量守恒
不讲
能量守恒
讲
1.2.1、流量与流速
1、定义 体积流量qv： 单位时间流过管路任一截面的流体体积。 质量流量qm： 单位时间流过管路任一截面的流体质量。 流 速u： 体积流量除以管截面积所得之商。（平均流速） 质量流速G： 质量流量除以管截面积所得之商。
u
2 A
2g 9.63mH2O
pA 9.63 g 9.44 104 pa pB g h zB uB2 2g 9.13mH2O
pB 9.13 g 8.95104 pa
pC g h zC uC2 2g 9.63mH2O
pC 9.44 104 pa
例2、已知如图示输水系统，输水量为15m3/h，管径53mm， 总机械能损失为40J/kg，泵的效率0.6，求泵的轴功率。
2g p1
g
z2
u
2 2
2g p2
g
u1=0, p1=p2=1.013105Pa, z1=0.7m, z2=0
将已知数据代入上式得：u2=3.71m/s 总压头h z1 u12 2g p1 g 11.03 mH 2O
〈2〉求各截面上的压力
0.5m
.A
.C
1
1
0.7m
2 -2
pA
g
h
zA
gz 2
u
2 2
2
p2
hf
位动 能能
静 压
外 功
能 量 损
能
失
u12 2
p1
e
u22 2
p2
hf
实际液体------上游截面处的机械 能大于下游截面处的机械能
机械能衡算式的使用原则及注意问题
1. 确定上、下游截面1-1面与2-2面。流体的截面应选择在含 有较多已知量处，并能反映出所需求解的物理量；截面应 选择在流速分布均匀处，不能选择在喷头处（喷头处流体 是分散的、不连续的）。
若流体不可压缩， =常数，则有 u1A1 u2 A2 qV 常数
以上称为一维稳定流动的连续性方程
对于圆形管路，有：
u1( 4
d12
)
u2
(
4
d
2 2
)
( ) u1
流体在管内的流速与管径的平方成反比 u2
d2 2 d1
1.2.5 总能量衡算
(以质量为m千克的流体为基准)
〈1〉内能mU [mU]=kg J/kg=J
A
〈5〉热mqe [mqe]=kgJ/kg=J
规定流体吸热为正，放热为负。
〈6〉功mhe [mhe]=kgJ/kg=J
规定流体接受外功为正，向外界作功为负。
总能量衡算
从1-1截面输入的能量+流体所获得的能量 = 从2-2截面输出的能量
mU1
mgz1
m. u12 2
p1V1
mqe
mhe
mU 2
u12 2
p1
he
gz 2
u
2 2
2
p2
h f
（5） 对可压缩流体，即：
p1 p2 20% p1
柏努利方程仍适用，但应采用平均密度
gz1
u12 2
p1
he
gz 2
u
2 2
2
p2
hf
密度ρ取平 均值
（6） 对非定态、非稳态流动体系的任一瞬间， 柏 努利方程仍成立
gz1
u12 2
p1
he
he
z2g
u
2 2
2 p2
hf
P1=0(表压)
代入数值，得he=738 J/kg 质量流量: qm=(15/3600)(1000) =4.17 kg/s 有效功率:Pe= qmhe=4.17×738
单位质量流 体的柏努力
=3080J/s=3.08 kw 泵的轴功率: P Pe 3.08 0.6 5.13kW
3、 列出上下游截面处各已知、未知物理量的数值，对两截面之 间的各参数进行确定。
4、 列出Bernoulli方程式。 5、 求解未知量。
例1：如图示水的虹吸，忽略阻力损失，求水的流速及A，B，C各
处压力。 解：〈1〉求管内水的流速
单位重量流体 的柏努力方程
B
.
∵he=0, hf=0
z1 u12
〈2〉位能mgz [mgz]=kg(m/s2)m=J
〈3〉动能mu2/2 [mu2/2 ]=kg(m/s)2= J
〈4〉压力能pV J
推力为：F p A
N m2 m2 N
流体走过距离为：l
V A
m A
[
(
kg
/
kg m3
)m2
]
[
m]
所以做功为：F l pA m mp pV N m [J ]
影响因素： 主要有体系、温度、浓度
T , L , G
牛顿型流体：符合牛顿粘性定律的流体
非牛顿型流体： 不符合牛顿粘性定律的流体，如绝大多数高分子量的
如人身上的血液、淋巴液、囊液等多种体液以及像细 胞质那样的“半流体”都属于非牛顿流体。如聚乙烯， 聚丙烯酰氨，聚氯乙烯，尼龙6，PVS，涤纶，橡胶溶 液，各种工程塑料，化纤的熔体等。
J s
W
（3） 对于无外功加入的静止流体，he=0,u=0,hf=0, 则有
p
p
z 1 z 2
1 g 2 g
流体静力学的基本方程
（4）伯努利方程的其它形式
gz1
u12 2
p1
he
gz2
u22 2
p2
hf
单位为:J/kg 表示单位质量流 体具有的能量
z1
u12 2g
p1
g
He
z2
u
2 2
----受到外力作用时并不立即流动而要待外力增大, 到 某一程度时才开始流动
宾汉塑性流体
涨塑性流体
---体系粘度随剪切速率的增加而增大。
牛顿流体
假塑性流体 ----体系粘度随剪切速率的增加而降低。 流动形式表现为剪切稀化现象.
dυ/dy
图 1-6 剪应力与速度梯度关系
1.2.3 稳定流动与不稳定流动