线性代数公式必记清华
线代公式总结
线代公式总结
线性代数中有很多重要的公式，以下是其中一些主要的公式：
1. 逆矩阵公式：对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），那么矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
2. 行列式公式：对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，定义为所有
取自不同行不同列的元素的乘积的代数和，即det(A)=a11a22...ann。
3. 特征值公式：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx成立，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的对应于特
征值λ的特征向量。
4. 转置矩阵公式：对于一个矩阵A，其转置矩阵记作A^T，定义为将矩阵
A的行列互换得到的矩阵。
5. 行列式性质公式：对于一个n阶方阵A，有det(A^T)=det(A)，
det(kA)=k^ndet(A)，det(AB)=det(A)det(B)。
6. 向量点乘公式：对于两个向量a和b，其点乘记作a·b，定义为
a1b1+a2b2+...+anbn。
7. 向量叉乘公式：对于两个向量a和b，其叉乘记作a×b，定义为一个新
的向量c，其中c的每个分量c_i是a和b各个分量乘积的和，即
c=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
这些公式是线性代数中最重要的部分，可以帮助我们解决很多问题。
线性代数重要公式、定理大全
1、行列式n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；(1)22(1)n n D D -=-将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；证明0A =的方法： ①、A A =-；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E ==无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =； Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE OF O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤； ②、()()T r A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()na b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-mn n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mmm m r nr r n nn nnnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有AX B ⇔=解；（矩阵方程）矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)()()T r A A r A =；(101P 例15)n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；线性相关与无关的两套定理： 若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论） 1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E =()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
《线性代数》公式大全
《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。
线性代数全部必背公式
线性代数全公式基本运算①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。
()A A TT=()T T TB A B A ±=±()()T TA c cA =。
()T T TA B AB =()()()212112-==-n n C n n n τ n n A a A a A a D 2222222121+++=转置值不变A A T = 逆值变AA11=- A c cA n =γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A332211,,βαβαβα+++=+B A B A BA B A =*=*0()()1,=c j i E有关乘法的基本运算nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()T T TA B AB =B A AB =l k l k A A A += ()kl lkA A =()k k kB A AB =不一定成立！A AE =，A EA =()kA kE A =，()kA A kE =E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处()k k kB A AB =不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +-=--3322 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律）特别的 设A 可逆，则A 有消去律。
线性代数重要公式
线性代数重要公式在线性代数中，有许多重要的公式和定理，它们在解决线性方程组、矩阵运算、向量空间等问题中起到了关键作用。
接下来我们将介绍一些线性代数中的重要公式。
1.矩阵乘法的结合律：对于任意矩阵A、B和C，满足大小相容时，有(A·B)·C=A·(B·C)。
2.矩阵乘法的分配律：对于任意矩阵A、B和C，满足大小相容时，有A·(B+C)=A·B+A·C。
3.矩阵的转置：对于任意矩阵A，有(A^T)^T=A，其中A^T表示A的转置矩阵。
4.矩阵的转置与乘法：若A和B是满足乘法规则的矩阵，那么有(A·B)^T=B^T·A^T。
5.矩阵的逆：对于n阶方阵A，若存在逆矩阵A^-1，使得A·A^-1=A^-1·A=I，那么称A是可逆矩阵。
6.矩阵的伴随矩阵：对于n阶方阵A，将其每个元素的代数余子式组成的矩阵A*称为A的伴随矩阵。
7.克拉默法则：对于n个线性方程和n个未知数的线性方程组，如果行列式的值不为0，则该方程组存在唯一解，可以通过克拉默法则求解。
8.行列式的性质：-互换行列式的两行（列），行列式的值变号；-将行列式的行（列）乘以一个非零常数k，行列式的值变为原来的k 倍；-将行列式的行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
9.矩阵的行列式和转置：对于矩阵A，有，A^T，=，A。
10.矩阵的秩：对于任意矩阵A，定义A的秩为矩阵A的行或列向量组的最大线性无关组中所含向量的个数。
11.矩阵的特征值和特征向量：对于n阶矩阵A，如果存在非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是常数，那么称λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
12.特征多项式和特征方程：对于n阶矩阵A，定义特征多项式为f(λ)=，λI-A，其中I为n阶单位矩阵。
将特征多项式f(λ)=0得到的方程称为特征方程。
13.矩阵的相似：对于n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称A 和B是相似的。
清华学霸 三十个公式
清华学霸三十个公式1. 幂函数求导公式：(x^n)' = nx^(n-1)2. 指数函数求导公式：(e^x)' = e^x3. 对数函数求导公式：(ln(x))' = 1/x4. 三角函数求导公式：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)5. 反三角函数求导公式：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2), (arccos(x))' = -1/√(1-x^2), (arctan(x))' = 1/(1+x^2)6. 和差法则：(f±g)' = f'±g'7. 积法则：(f·g)' = f'·g + f·g'8. 商法则：(f/g)' = (f'g - fg') / g^29. 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)10. 二次函数的标准公式：f(x) = ax^2 + bx + c11. 一元二次方程求根公式：x = (-b±√(b^2-4ac)) / (2a)12. 直线的一般方程：Ax + By + C = 013. 平面的一般方程：Ax + By + Cz + D = 014. 球的一般方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^215. 点到平面的距离公式：d = Ax + By + C / √(A^2 + B^2)16. 点到直线的距离公式：d = Ax + By + C / √(A^2 + B^2)17. 等比数列求和公式：Sn = a(1 - r^n) / (1 - r)18. 定积分的基本性质：∫(f(x) ±g(x))dx = ∫f(x)dx ±∫g(x)dx19. 定积分的换元积分法：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du20. 定积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C, (n≠-1)21. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等22. 泰勒展开公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ⋯23. 欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 024. 高斯-约当消元法解线性方程组25. 向量求模公式：v = √(x^2 + y^2 + z^2)26. 向量的点乘公式：v·u = v u cosθ27. 向量的叉乘公式：v×u = v u sinθn28. 梯度的定义：grad(f) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k29. 微分方程中的线性齐次方程：y'' + py' + qy = 030. 统计学中的正态分布公式：f(x) = (1/√(2π)σ)e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))。
线性代数总复习-做题技巧公式大全
nn ji A ×=)(*A 一、伴随矩阵1*)(det −=AA A (A 可逆时) EA AA A A )(det **==(一般情形) ⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1rank ,01rank ,1rank ,rank *n n n n A A A A 定式二、A =βαT ，α和β是n 维列向量且αT β=d ≠0A A 1T 1T T )()(−−===k k k k d αβαββα1rank =A ))()((T T ββαβββαβd ===A )1rank rank 1(≤≤≤βA A 的非零特征值为d ，对应的特征向量为β；0为A 的n -1重特征值。
Ax = 0的基础解系含n -1个线性无关的特征向量；或直接计算得1))(()det(−−−=−n λλd λE A A 相似于对角矩阵)0,,0,diag(L d 1)2)3)4)5)设A 为m ×n 矩阵，m ≤A rank ；n ≤A rank 1)2)若A ≠O ，则rank A > 0;3)；A A rank rank T =4)=)rank(A λ⎩⎨⎧0rank ≠λ，A 00=λ，三、矩阵的秩的有关结果6)，A AB rank )rank(≤；B AB rank )rank(≤5)；B A B A rank rank )rank(+≤+7)若A 可逆，则rank(AB )=rank B ;rank(CA )=rank C ;设A 为m ×n 矩阵，且AB = O ，则n≤+B A rank rank 9)B 为n ×s 矩阵，10)设A 为n 阶方阵，则⎪⎩⎪⎨⎧−<−===1rank ,01rank ,1rank ,rank *n n n n A A A A 11)A rank =A 的行向量组的秩=A 的列向量组的秩8)；A AA A A rank )rank()rank(TT ==四、向量组的有关性质1)向量组与它的任一个极大无关组等价。
线性代数和概率论重要公式
线性代数和概率论重要公式一、线性代数公式1.行列式展开式公式：对于n阶方阵A，行列式展开式公式可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + … + an1C1n其中，aij表示A矩阵第i行第j列的元素，Cij表示该元素的代数余子式。
这个公式允许我们通过行列式展开式计算任意阶的行列式。
2.特征值和特征向量公式：对于n阶方阵A，若存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
3.正交向量组的正交分解公式：对于一个n维向量空间中的一组正交向量{v1, v2, …, vn}，任意一个向量x都可以通过这组向量的线性组合表示：x = (x · v1)v1 + (x · v2)v2 + … + (x · vn)vn其中，x·v表示向量x和向量v的内积。
4.奇异值分解公式：对于任意的m×n矩阵A，存在一个m×m正交矩阵U，一个n×n正交矩阵V和一个m×n的对角矩阵Σ，使得：A=UΣV^T其中，Σ的对角线上的元素称为矩阵A的奇异值，U的列向量称为A 的左奇异向量，V的列向量称为A的右奇异向量。
二、概率论公式1.概率公式：对于一个随机试验E，设S为其样本空间，A为S的一个事件，P(A)表示事件A发生的概率，概率公式如下：(1)P(Ω)=1，其中Ω为S的全体事件（即一定会发生的事件）(2)P(∅)=0，其中∅为不可能事件（即一定不会发生的事件）(3)0≤P(A)≤1，对于任意事件A(4)对于互不相容的事件A1,A2,…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…2.条件概率公式：对于两个事件A和B，其中P(B)≠0，条件概率P(A，B)表示在事件B 已经发生的条件下，事件A发生的概率，条件概率公式如下：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)3.贝叶斯公式：贝叶斯公式是一种用于计算条件概率的公式，如下：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A)和P(B)为事件A和事件B的概率，P(B，A)为在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率。
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。
在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。
在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。
下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。
一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。
2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。
（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。
（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。
（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。
（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。
（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。
3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。
4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。
（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。
（3）行列式的转置等于行列式的值不变。
二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。
超全线性代数公式必记(经典免费)
1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
线性代数公式总结
线性代数公式总结线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、向量空间、矩阵、线性方程组等概念和性质。
线性代数公式总结如下：1.向量加法和标量乘法：- 向量加法：如果u和v是n维向量，则它们的和为u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn)- 标量乘法：如果k是一个实数，则k乘以向量v的结果为kv = (k*v1, k*v2, ..., k*vn)2.线性方程组：-n个未知数的线性方程组可以用矩阵和向量表示：Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
- 如果Ax = b有唯一解，则A的行列式不为零。
行列式表示为det(A)。
-矩阵的逆：如果矩阵A的行列式不为零，则存在矩阵A的逆矩阵A^-1，使得AA^-1=A^-1A=I，其中I是单位矩阵。
3.向量空间和线性无关性：- 向量空间是指由向量的线性组合构成的集合，满足以下性质：对于任意的向量u和v以及任意的标量k和l，ku + lv仍然在向量空间内。
- 向量v1, v2, ..., vn是线性无关的，如果方程k1v1 + k2v2+ ... + knvn = 0只有零解。
- 如果一组向量v1, v2, ..., vn张成一个向量空间V，则称这组向量是V的基。
4.矩阵的运算：- 矩阵的加法：如果A和B是相同大小的矩阵，则它们的和为A + B = (aij + bij)，其中aij和bij分别是矩阵A和B对应位置的元素。
- 矩阵的乘法：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，它们的乘积为C = AB，其中C是m×p的矩阵，其中C的元素cij可以表示为cij= Σ(k=1 to n) aikbk，其中aik是矩阵A的元素，bk是矩阵B的元素。
5.特征值和特征向量：-如果矩阵A乘以向量v得到一个与v方向相同的向量，那么v是A的特征向量，对应的乘积结果是特征值λ，即Av=λv。
线性代数重要公式
②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax ba a a xb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x xaa a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）；④、1122n n a x a xa x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,mαααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)mA =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T mβββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m nA ⨯与l nB ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,sαααL 线性相关，则121,,,,ss αααα+L 必线性相关；若12,,,sαααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P L ，使12lA P P P =L ； ①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l nB ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m ss nm nA B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s sA a a a ⨯L 线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r sb b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵m nA ⨯，存在n mQ ⨯，mAQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，nPA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,sαααL 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k L ，使得11220s sk k k ααα+++=L 成立；（定义）。
线性代数背诵要点(全)
第一章 行列式一、行列式的概念、展开公式及其性质 （一）行列式的概念nnn n n n a a a a a a a a a A .. (2)12222111211=（二）行列式按行（列）展开公式公式为关于副对角线，其计算角线上元素的乘积三角行列式等于其主对下上的代数余子式为的余子式，而阶行列式，称之为列元素后的行及第中去掉第是其中.2......)(.1)1(1)1( (221122)11221122112211nnnn nn ij ij j i ij ij ijj i ij nj nj j j j j in in i i i i a a a a a a a a a a M a n j i A M M A A a A a A a A a A a A a A ⋅⋅⋅=******=******---=+++=+++=++11212)1(11211121)1(......n n n n n n n nn n na a a a a a a a a ⋅⋅⋅-=******=******---- B A OB A BA OB A B OA B O A n B m A mn ⋅-=*=*⋅=*=*)1(.3阶矩阵，则是阶矩阵，是开式，设两种特殊的拉普拉斯展（三）行列式的性质1．经转置的行列式的值不变，即T A A =2.行列式中某一行各元素如有公因数k ，则k 可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零3.如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和mlb b a a 2121++=mlb a 11+mlb a 224对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k 倍加至另一行，行列式的值不变（四）关于代数余子式的求和...0...)()(.2,.122112211=+++=+++nk nj k j k j jn in j i j i ij ij ij ij A a A a A a A a A a A a a A A a 乘积之和必为零对应元素的代数余子式列元素与另一行列行列式一行的取值无关与式值并不影响其代数余子所在行或列中的元素的只改变二、有关行列式的几个重要公式A k kA n A n =阶矩阵，则是若.1B A B A n B A •=阶矩阵，则是，若.211-1.3--*==AA n A AA n A n 阶可逆矩阵，则是若阶矩阵，则是若∏≤≤----==ni j j i n nn n n nx x A x x x x x x x x x A n A 1112112222121)( (1)...11.4，则阶范德蒙矩阵是若 ∏==ni i i A A n A 1.5λλ的特征值，则是阶矩阵，是若B A B A =，则若~.6三、关于克莱姆法则的系数换成常数项中的是把其中则方程组有唯一解方程组，如果系行列式个未知数的非齐次线性个方程对于j j n n x D D DDx D D x D D x A D n n ,,...,,,02211===≠=则方程组只有零解程组，系数行列式个未知数的齐次线性方个方程对于,0≠=A D n n 0==A D n n 数行列式程组，有非零解，则系个未知数的齐次线性方个方程对于逆序数的计算，从左至右,看每个数后面比它小的数的个数 经初等变换矩阵的秩不变第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵 （一）矩阵及相关概念 1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A 3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n nn≠≠=得不到由,.............. (2)12222111211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵， 记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设 7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nnnnn n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算 1.矩阵的加法C B A B A b a c C n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A kkA 111))(3(---=A B AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T AB AB =))(3( T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n AA n )2())(3(2≥=-**n A AA n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T TT T TD B C A D C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O B C O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A E BA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵 （一）矩阵的初等变换及相关概念 1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换 （1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去 （4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换） （5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P)()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E kE k E EE ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A EA B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~rE PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B AE E A A EE A A AA E BA E AB B 111-1-1-1-111)()();()(1，分块矩阵法初等变换法伴随矩阵法或使定义法，找出为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A AB r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===的主对角线元素之和是矩阵T T αββα 若11,--==P PB A PBP A n n 则1-)(,P P A P A n n n Λ=Λ，令与先求特征值与特征向量求 行列变换与单位矩阵、初等矩阵运算的关系第三章 n 维向量一、n 维向量的概念与运算 （一）n 维向量的概念个分量称为向量的第的矩阵，数或维列向量，也就是维行向量或分别称为或维向量，记作构成的有序数组称为个数i a n n n n a a a a a a n a a a n i T n n n 11,),...,,(),...,,(,...,,212121⨯⨯（二）n 维向量的运算0),(......),(,0),(.4...),(.3),...,,(.2),...,,(.1),...,,(,),...,,(222212222122112122112121=⇔==+++=+++=====+++==+++=+==ααααααααααβαβααββαβααβαβαT n nT TT n n Tn T n n T n T n a a a a a a b a b a b a ka ka ka k b a b a b a b b b a a a 正交，，则若内积数乘加法如果二、线性组合与线性表出 1.线性组合若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组称为组合系数的一个线性组合，其中称为向量组所构成的向量个常数及维向量个由s s s s s s k k k k k k k k k s n s ,...,,,...,,...,...,,,...,,212122112121ααααααααα+++ 2.线性表出的线性组合是线性表出，或说可由则称的线性组合能表示成向量维向量如αααβαααββααααααβ,...,,,...,,...,...,,2121221121s s s s k k k n =+++3.向量组等价，则称两个向量等价量组可以互相线性表出线性表出；如果两个向可由向量组线性表出，则称向量组量组的每个向量都可以由向如过向量组)2()1(,...,,)2(,...,,)1(2121t s βββααα等价、则线性表出，可由向量组如果向量组不一定等价秩，但秩相同的向量组等价的向量具有相同的相同向量组所含向量的个数两个等价的线性无关的无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价任一向量组和它的极大样，线性相关也可以不一但向量个数可以不一样、对称性、及反身性，等价向量组具有传递性)2()1(),2()1()2()1(.6.5.4.3.21r r =三、向量组的线性相关与线性无关 （一）线性相关与线性无关的概念 1.线性相关线性相关则称此向量组使得的数，如存在一组不全为维向量对于s s s s s k k k k k k n ααααααααα,...,,0...,...,,0,...,,2122112121=+++2.线性无关线性无关称此向量组，，必有不全为或者说如存在一组数线性无关则称此向量组，必有，如果维向量对于s s s s s s s s s k k k k k k k k k k k k n ααααααααααααααα,...,,0...0,...,,,...,,,0...0...,...,,212211212121221121≠+++=====+++（二）线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件位向量一定线性相关个维向量线性相关个个向量线性表出可由其他存在某向量的个数有非零解齐次方程组线性相关，向量组n n n n s s r x x x s i s s s s 10,...,,1)(),...,,(0...),...,,(,...,,2121212121+=⇔-⇔⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔ααααααααααααα2.线性无关的充分必要条件个向量线性表出都不能用其他存在某向量的个数只有零解齐次方程组线性无关，向量组1)(),...,,(0...),...,,(,...,,21212121-⇔=⇔=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇔s s r x x x i s s s s αααααααααα3.几个重要结论组必然线性无关两两正交、非零的向量必然线性无关，，，延伸组线性无关，则它的任一若向量组必然线性无关个部分分组线性无关，则它的任一若向量组无关阶梯形向量组一定线性)4(...,...,,)3(,...,,,...,,)2()1(2211212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡s s s i i i s t βαβαβαααααααααα四、线性相关性与线性表出的关系ts t s s s t s s t s i i i s s s s s t ≤-线性无关，则线性表出，且可由向量组若向量组线性相关则线性表出，且可由向量组若向量组必然线性无关则它的任一个部分分组一线性表出，且表示法唯可由线性相关，则，线性无关，而向量组若向量组个向量线性表出可以用其余是线性相关，的充要条件向量组αααβββααααααβββαααααααααββαααααααααα,...,,,...,,,...,,)4(,...,,,,...,,,...,,)3(,...,,,...,,,...,,,...,,)2(1,...,,)1(2121212121212121212121五、向量组的秩与矩阵的秩（一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组是由原向量唯一确定的即个数都是关组中所含向量的个数个极大线性无关组是等价的，从而每的。
线性代数重要公式定理大全
线性代数重要公式定理大全在线性代数中，有许多重要的公式和定理。
以下是其中的一些：1.矩阵乘法的结合律：对于矩阵A，B和C，满足维度要求，有：(AB)C=A(BC)。
2.矩阵乘法的分配律：对于矩阵A，B和C，满足维度要求，有：A(B+C)=AB+AC。
3.矩阵乘法的转置：对于矩阵A和B，满足维度要求，有：(AB)ᵀ=BᵀAᵀ。
4.矩阵乘法的逆元：对于可逆矩阵A和B，有：(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
5.矩阵的转置的转置：对于矩阵A，有：(Aᵀ)ᵀ=A。
6.矩阵的逆的逆：对于可逆矩阵A，有：(A⁻¹)⁻¹=A。
7.矩阵的逆与转置的乘积：对于可逆矩阵A，有：(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ。
8.矩阵的行列式乘积：对于矩阵A和B，满足维度要求，有：det(AB) = det(A)det(B)。
9.矩阵的行列式的转置：对于矩阵A，有：det(Aᵀ) = det(A)。
10.全排列的行列式和：对于n阶方阵A，有：det(A) = Σ(±1)ᵖ(对每个全排列的正负之和乘上元素的乘积)。
11.矩阵的伴随矩阵乘积：对于n阶方阵A，有：A·Adj(A) = det(A)·I (I为单位矩阵)。
12.矩阵的迹与特征值之和：对于n阶方阵A，有：tr(A) = Σλi (每个特征值的和)。
13.矩阵的迹与特征值之乘：对于n阶方阵A，有：det(A) = Πλi (每个特征值的乘积)。
14.矩阵的对角化：对于n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P和对角阵D，满足A=PDP⁻¹，则A可对角化。
15.若两个n阶矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，满足P⁻¹AP=B，则A和B有相同的特征值。
16.若矩阵A的特征值唯一，则A是对角矩阵。
17.若矩阵A的特征向量唯一，则A是数量矩阵。
18.若矩阵A的特征值都为正，则A是正定矩阵。
19.若矩阵A的特征值都为非负，则A是半正定矩阵。
吐血推荐代数公式必记清华
abcabc1、行列式abcabc n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；abcabc 代数余子式的性质：abcabc ①、ij A 和ij a 的大小无关；abcabc ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；abcabc ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；abcabc 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-abcabc 设n 行列式D ：abcabc 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；abcabc 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；abcabc 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；abcabc 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；abcabc 行列式的重要公式：abcabc ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；abcabc ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；abcabc ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积；abcabc④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；abcabc ⑤、拉普拉斯展开式：A O A CA B C B O B==、(1)m n C A O AA B B O B C==- abcabc ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；abcabc ⑦、特征值；abcabc 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；abcabc 证明0A =的方法：abcabc ①、A A =-；abcabc ②、反证法；abcabc ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；abcabc ④、利用秩，证明()r A n <；abcabc ⑤、证明0是其特征值；abcabc2、矩阵abcabc A 是n 阶可逆矩阵：abcabc ⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；abcabc ⇔()r A n =（是满秩矩阵）abcabc ⇔A 的行（列）向量组线性无关；abcabc ⇔齐次方程组0Ax =有非零解；abcabc ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；abcabc ⇔A 与E 等价；abcabc ⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；abcabc ⇔A 的特征值全不为0；abcabc ⇔T A A 是正定矩阵；abcabc ⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；abcabc ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；abcabc 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；abcabc1**111**()()()()()()TT TT A A A A A A ----===abcabc***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===abcabc 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；abcabc 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：abcabc 若12s A A A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，则：abcabc Ⅰ、12sA A A A = ；abcabc Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ；abcabc ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）abcabc ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）abcabc ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）abcabc ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）abcabc3、矩阵的初等变换与线性方程组abcabc 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m nE OF O O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；abcabc 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；abcabc 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；abcabc 行最简形矩阵：abcabc ①、只能通过初等行变换获得；abcabc ②、每行首个非0元素必须为1；abcabc ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；abcabc 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）abcabc 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；abcabc ②、对矩阵(,)AB 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；abcabc ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；abcabc 初等矩阵和对角矩阵的概念：abcabc ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；abcabc ②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，iλ乘A 的各行元素；右乘，i λ乘A 的各列元素； abcabc ③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；abcabc ④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；abcabc ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；abcabc 矩阵秩的基本性质：abcabc ①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；abcabc ②、()()T r A r A =；abcabc ③、若A B ，则()()r A r B =；abcabc ④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）abcabc ⑤、m a x ((),())(,)()r Ar B r A B r A r B ≤≤+；（※）abcabc ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）abcabc ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）abcabc ⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）abcabcⅠ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；abcabc Ⅱ、()()r A r B n +≤abcabc ⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；abcabc 三种特殊矩阵的方幂：abcabc ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；abcabc ②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；abcabc二项展开式：01111110()n n n n m n m m n n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b -----=+=++++++=∑ ；abcabc注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；abcabc Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====- m nn n nn n n m n C C C m m n m abcabc Ⅲ、组合的性质：11112---+-===+==∑nm n m mm m r nr r nnn n nnn n r C CCC CCrC nC ；abcabc ③、利用特征值和相似对角化：abcabc 伴随矩阵：abcabc ①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；abcabc ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；abcabc ③、*1A A A -=、1*n A A-=abcabc 关于A 矩阵秩的描述：abcabc ①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）abcabc ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0；abcabc ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；abcabc 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：abcabc ①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；abcabc ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；abcabc 线性方程组Ax b =的求解：abcabc ①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；abcabc ②、齐次解为对应齐次方程组的解；abcabc ③、特解：自由变量赋初值后求得；abcabc 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：abcabc ①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ；abcabc ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）abcabc ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；abcabc ④、1122n n a x a x a x β+++= （线性表出）abcabc ⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）abcabc4、向量组的线性相关性abcabc m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A = ααα；abcabc m 个n维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tmβββ 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；abcabc 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；abcabc ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）abcabc ②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组）abcabc ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）abcabc 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)abcabc ()()T r A A r A =；(101P 例15)abcabc n 维向量线性相关的几何意义：abcabc ①、α线性相关 ⇔0α=；abcabc ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；abcabc ③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；abcabc 线性相关与无关的两套定理：abcabc 若12,,,s ααα 线性相关，则121,,,,s s αααα+ 必线性相关；abcabc 若12,,,s ααα 线性无关，则121,,,s ααα- 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）abcabc 若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：abcabc 若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）abcabc 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；abcabc 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；abcabc 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）abcabc 向量组A 能由向量组B 线性表示abcabc AX B ⇔=有解；abcabc()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）abcabc 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）abcabc 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P = ；abcabc ①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解abcabc ②、矩阵列等价：~cA B AQ B⇔=（右乘，Q 可逆）；abcabc ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；abcabc 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：abcabc ①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；abcabc ②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；abcabc ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；abcabc ④、矩阵A 的行秩等于列秩；abcabc 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：abcabc ①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；abcabc ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）abcabc 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；abcabc ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；abcabc ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；abcabc 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯ 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯ 线性表示为：（110P 题19结论）abcabc 1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K = （B AK =）abcabc 其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）abcabc （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴= ；充分性：反证法）abcabc 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；abcabc ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）abcabc ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；abcabc 12,,,s ααα 线性相关abcabc ⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义）abcabc ⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；abcabc ⇔12(,,,)s r s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；abcabc 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；abcabc 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ- 为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ- 线性无关；（111P 题33结论）abcabc5、相似矩阵和二次型abcabc 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：abcabc ①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i ja a i j n i j=⎧==⎨≠⎩ ；abcabc ②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；abcabc ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；abcabc 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；abcabc 施密特正交化：12(,,,)r a a a abcabc 11b a =；abcabc 1222111[,][,]b a b a b b b =-abcabc abcabc 121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=---- ;abcabc 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；abcabc 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；abcabc①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；abcabc ⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆；abcabc ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；abcabc ②、A 与B 合同 ⇔=TC AC B ，其中可逆；abcabc⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数；abcabc ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；abcabc 相似一定合同、合同未必相似；abcabc 若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；abcabc A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；abcabc n 元二次型T x Ax 为正定：abcabc A ⇔的正惯性指数为n ；abcabc A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =；abcabc A ⇔的所有特征值均为正数；abcabc A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；abcabc 0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)abcabcabc。
2022年考研数学线性代数：必背公式大全
考研数学线性代数是考研数学中的重要部分，掌握好线性代数可以是考研数学成绩大大提升。
1、行列式的性质
2、行列式常用公式
3、伴随矩阵的性质公式
4、逆矩阵的性质公式及解法
5、矩阵的秩定理
定理2
初等变换不改变A的秩。
行阶梯形矩阵的秩等于其非零行数。
注：若零行(若有的话)位于最低行，且每行左起第一个非零元素所在的列下方元素都是0的话，称这种句子为行阶梯矩阵。
任何矩阵都可以通过初等行变换化为行阶梯矩阵。
6、矩阵的秩性质
7、判定具体向量组相关与无关的定理与推论
8、抽象向量组证明无关的解法
9、特征值与特征向量的性质
10、相似矩阵的性质
11、矩阵相似对角化
12、正定定理
13、等价、相似与合同。
线性代数公式必背_完整归纳清晰版
线性代数必背公式(完全整理版)2010.41、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CA B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。
精选线性代数公式必背完整归纳清晰版(完整版)
线性代数必背公式( 完全整理版 )2010.41 、 行 列 式2n行列式；1.n 行列式共有 n 个元素，展开后有 n ! 项 ，可分解为 2 代数余子式的性质：2.①、 和 a ij 的大小无关；A ij ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为0；；A i ( 1)jA i j代数余子式和余子式的关系： 3. 4.M A ( 1) M ij ijijij设 n 行列式 ：D n (n 1)将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D 2D 1 ，则 D 1 D ； ( 1) n (n 1)将 D 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 90 D 2 ，则 D 2 2D ；( 1)将 将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D D 3 ，则 D 3D ；D 主副角线翻转后，所得行列式为 D 4 ，则 D ；D 4行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；5.n ( n 1)2②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；( 1)③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；◥◣ n (n 1)④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 2；( 1)A CO BA O C BCB AO OB AC⑤、拉普拉斯展开式：m n、A B ( 1)A B⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； nnk n k，其中 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A( 1) S kS k 为 k 阶主子式；6. k 1证明 ①、 0 的方法： 7.A A；A ②、反证法；③、构造齐次方程组 ④、利用秩，证明 0 ，证明其有非零解； n ； Ax r ( A ) ⑤、证明 0 是其特征值；2 、 矩 阵A 是 n 阶可逆矩阵：1.A0 （是非奇异矩阵）；r ( A ) n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 有非零解； nR ， b 总有唯一解；b AxA 与 E 等价；A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 A A 是正定矩阵；0；T n A 的行（列）向量组是 的一组基；R nA 是 R 中某两组基的过渡矩阵；**对于 n 阶矩阵 A ： A E 无条件恒 成立； ( A )( AB ) 2. 3.AAA A ( A ) ( AB )1 * * 1 1 T T1* TT *( A ) ( AB )( A )( A ) ( A )TTT*** 111B A B AB A矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 4.5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 1A 、B 可逆：A 2若 ，则：AA sⅠ、 ；AA 1 A 2 A s 1A 11A 2Ⅱ、 1；A 1As11A O OB AOO B ②、；（主对角分块）111O B A O O ABO ③、；（副对角分块）111A 1CB 1A O CB AO④、；（拉普拉斯）1B11A CO BAO B⑤、；（拉普拉斯）B 1CA113 、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组E r OO ；一个 n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：1.m FOm n等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A 、 B ，若 B ；r ( A ) r (B ) A 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； 2.②、每行首个非 ③、每行首个非 0 元素必须为 1；0 元素所在列的其他元素必须为 0；初等行变换的应用： （初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） r3.①、若 , X ) ，则 A 可逆，且 1 ；(A , E )( E XA c1B ，即： r( A , b ) (E , x ) ，则 1( E , A B ) ；②、对矩阵 ( A , B ) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A ( A , B ) ③、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 b ，如果 1b ；A 可逆，且 Ax xA 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；4.12②、，左乘矩阵 A ， i 乘 的各行元素；右乘，i乘 的各列元素；A A n111 1③、对调两行或两列，符号E (i , j ) ，且 ；j ) ，例如： E (i , j )E (i , 1111111 E ( i ( 1)) ，例如：k1 ④、倍乘某行或某列，符号E (i (k )) ，且 10) ；E (i (k ))k(k k1111k 1 k 1⑤、倍加某行或某列，符号,且 ；E (ij ( k )) E ( i j ( k )) ，如：11(k0) E ( i j (k ))11 矩阵秩的基本性质：5.①、 0 r (A m n ) min( m ,n ) ； T②、 r ( ③、若 ) r ( A ) ；A AB ，则 r ( B ) ；r (A ) ④、若 P 、 Q 可逆，则 r (PAQ ) ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩 ） r (A ) r (PA ) r ( A ) r (AQ ) ⑤、 r (B ) ；（ ※ ） max(r ( A ), r (B )) r ( A , B ) ⑥、 ⑦、 ；（ ※ ） r ( A B ) r ( A ) r ( B ) r ( AB ) min( r ( A ), r (B )) ；（ ※）⑧、如果 Ⅰ、 Ⅱ、 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 0 ，则：（ ※）AB B 的 列 向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）；r (A ) r (B ) n⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r ( AB ) r (B ) n ；r ( A ) 三种特殊矩阵的方幂：6.①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为 列矩阵（向量）行矩阵（向量） 的形式，再采用结合律；1 0 0 a 1 0 cb 1②、型如 的矩阵：利用二项展开式；nn(a b )0 n 1 n 1 1bm n m mb n 1 1 n a b1 n n m m n m；二项展开式： C aC a C aC C bC a bnn nnnnm 0n注：Ⅰ、 展开后有 1 项；n ( a b ) n(n 1)1 2 3(n m 1) n! m!( n m0 n Ⅱ、 C nCnCn1m m)! nⅢ、组合的性质： mn mnm mnm n1 r n2rnr 11 ；C CCCCCrC nC nn 1nn r 0③、利用特征值和相似对角化： 伴随矩阵：7.n1 0r ( A ) r ( A ) r ( A ) n n n *①、伴随矩阵的秩： 1 ； 1r ( A )AA*X , A1*A X②、伴随矩阵的特征值：(AX A AX ) ；n 1*A 1 *、 ③、 AAA A 关于 ①、 A 矩阵秩的描述：8.n ， n ， n ， A 中有 A 中有 A 中有 n 阶子式不为 0， n 1 阶子式全部为 0；（两句话） r ( A ) ②、 ③、 n 阶子式全部为 0； r ( A ) r ( A ) n 阶子式不为 0；n 矩阵，则：线性方程组： b ，其中 A 为 m 9.Ax ①、 m 与方程的个数相同，即方程组 b 有 m 个方程； Ax ②、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组b 为 n 元方程；Ax 线性方程组 Ax b 的求解：B 进行初等行变换（ 10. ①、对增广矩阵 只能使用初等行变换 ）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程：11. a 11 x 1 a 12 x 2 a 22 x 2 a 1 n x n a 2 n x n b 1a 21 x 1b 2 ①、；a m 1 x 1 a 11a m 2 x 2 a 12 a 22a nm x nx 1 x 2 b n b 1 a 1n a 2n a 21b 2 ②、b （向量方程， A 为 n 矩阵， m 个方程， n 个未知数） m Ax a m 1 a m 2a mnx 1x mb mb 1 x 2 b 2 ③、 （全部按列分块，其中）；a 1 a 2a nx na n x nb n④、 （线性表出）a 1 x 1 a 2 x 2⑤、有解的充要条件： ) n （ n 为未知数的个数或维数）r ( A ) r (A , 4 、 向 量 组 的 线 性 相 关 性m 个 n 维列向量所组成的向量组A ： 构成 矩阵 m) ；1.1 ,2 , ,n m A ( 1 , 2 , T1 T ,mT 1T2 T2；m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：m构成 m n 矩阵 ,,, BT m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ①、向量组的线性相关、无关 ②、向量的线性表出 ③、向量组的相互线性表示 Ax Ax AX 0 有、无非零解； （齐次线性方程组） b 是否有解；（线性方程组） B 是否有解；（矩阵方程） 2.与 n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 n 0 和 0 同解； ( P 101 例 矩阵 Ax Bx 3. 4. 5.A mB l 14)TP 101 例 A )r ( A ) ； ( 15)r ( A n 维向量线性相关的几何意义：①、 ②、 线性相关 线性相关 0 ；坐标成比例或共线（平行）； , , , , ③、 , 线性相关 共面；, 线性相关与无关的两套定理： 6.若 必线性相关；, , , 线性相关，则, , , ,1 2 s 12 s s 1若 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）, s 线性无关，则1 ,2 , 1, 2 , ,s 1若 若 维向量组 A 的每个向量上添上 个分量，构成 n 维向量组 ：r n r B A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； r s (二版 P 74 定理 7)；向量组 向量组 向量组 A （个数为 ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 7.r A 能由向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r (B ) ；（ P 86 定理 3） r ( A ) 线性表示B AXB 有解；r (A ) r ( A , B ) （ P 85 定理 2）r (A , B ) （ P 85 定理 , P l ，使 A P 1 P 2向量组 A 能由向量组 等价 2 推论） P l ；B r ( A ) r ( B ) P 1, P 2 , 方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵 r8.①、矩阵行等价： ②、矩阵列等价： ③、矩阵等价： A ~ BcA ~B A ~ B PA B （左乘， P 可逆）Ax 0 与 Bx 0 同解B （右乘， Q 可逆）；AQ PAQ B （ 、 Q 可逆）； P 与 n：对于矩阵 A m 9.B l n ①、若 A 与 ②、若 A 与 B 行等价，则 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；0 与 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； Ax Bx ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 若 A m C m ，则：10. s B s nn ①、 ②、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 的行向量组线性表示， 为系数矩阵；B T的行向量组能由 C A 为系数矩阵； （转置）齐次方程组 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明 0 只有零解； ；11. ①、 ②、 0 只有零解 有非零解 ABx Bx 0 Bx 0 一定存在非零解； ABx 可由向量组 ,a s 线性表示为： （ P 110 题 设向量组 B n 19 结论 ） 12. : b 1,b 2 , , b r A n : a 1, a 2 , r s ( b 1,b 2 , ,b r ) (a 1 , a 2 , ,a s ) K （ B AK ）其中 为 r ，且 A 线性无关，则 组线性无关 r (K ) r ；（ 与 的列向量组具有相同线性相关性 ）K s B B K （必要性： r ；充分性：反证法）r r ( B ) r ( AK ) r ( K ), r ( K ) r , r ( K ) 注：当 s时， 为方阵，可当作定理使用；rK ，存在 n ， m m 、 Q 的列向量线性无关； （ P 87 ） ①、对矩阵 ②、对矩阵 A m A m Q n P n AQ PA E m E n r (A ) r (A ) 13. ，存在 ， n 、 的行向量线性无关；P n m 14.,s线性相关1, 2 , 存在一组不全为 0 的数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 0 成立；（定义）k 1k 2k s12sx 1x 2 0 有非零解，即 0 有非零解；Ax ( 1 , 2 , , s )x ss ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；r ( 1, 2 , , s ) 设 若 m n 的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 的秩为： r ( S ) n r ； 15. 16. * 为 为 0 的一个基础解系，则 *, 线性无关；（ Ax b 的一个解，Ax P 题 33 结, , , , , ,111 12 n r 1 2 n r论）5 、 相 似 矩 阵 和 二 次 型（定义），性质：TA 1TA 正交矩阵E 或 A1.A 1 0 1 i ij (i , jT①、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即 n ) ；a a j 1,2,ij1T②、若 A 为正交矩阵，则 A 也为正交阵，且 ；AA③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记 施密特正交化 和单位化 ； 施密特正交化： (a 1 ,a 2 , , a r ) 2.a 1 ；b 1 [ b 1 ,a 2 ] [b 1 ,b 1 ]b a b 221[ b 1 ,a r ] [b 1 , b 1] [ b 2, a r ][b 2 ,b 2 ] [ b r 1,a r ][ b r 1 ,b r 1 ]b a b b b ;rr12 r 1 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于 实对称阵 ，不同特征值对应的特征向量正交； 3. ①、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B ；4.B ， 、 Q 可逆； PAQ r ( A ) P r (B ) ， A 、 B 同型；TC ②、 A 与 B 合同 B ，其中可逆；AC T Tx Ax 与 x Bx 有相同的正、负惯性指数；1 P AP ③、 A 与 B 相似 B ；相似一定合同、合同未必相似；5. 若 C 为正交矩阵，则 TC AC B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格） ；B A 6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵；T7.n 元二次型 x Ax 为正定：A 的正惯性指数为 n ；TC A 与 合同，即存在可逆矩阵 ，使 E ；E C AC A 的所有特征值均为正数；A 的各阶顺序主子式均大于 0；0 ；(必要条件 ) a ii0, A。
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Aij (1)i j Mij
6.
7. 设 n 行列式 D ：
8.
n ( n 1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D1 ，则 D1 (1) 2 D ；
n ( n 1)
将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为 D2 ，则 D2 (1) 2 D ；
将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D3 D ；
b Rn ， Ax b 总有唯一解；
A 与 E 等价；
A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A 的特征值全不为 0；
AT A是正定矩阵；
A 的行（列）向量组是 Rn 的一组基；
A 是 Rn 中某两组基的过渡矩阵；
3. 对于 n 阶矩阵 A ： AA* A* A A E 无条件恒成立；
将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D4 ，则 D4 D ；
9. 行列式的重要公式：
10. ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n ( n 1)
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 (1) 2 ；
③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积；
n ( n 1)
④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 (1) 2 ；
对于同型矩阵 A 、 B ，若 r(A) r(B)A B ；
3. 行最简形矩阵：
4. ①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非 0 元素必须为 1；
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；
5. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
6.
r
①、若 (A,E) (E,X ) ，则 A 可逆，且 X A1 ；
；（拉普拉斯）
⑤、
A C
O 1 A1
B
B 1CA1
O B 1
；（拉普拉斯）
3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组
1.
一个
mn
矩阵
A
，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
F
Er O
O O
mn
；
2.
等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 r(A) r(B) n
⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r(AB) r(A) r(B) n ；
11. 三种特殊矩阵的方幂：
1、行列式1. n 行列式源自有 n2 个元素，展开后有 n!项，可分解为 2n 行列式； 2. 3. 代数余子式的性质： 4.
①、 Aij 和 aij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
5. 代数余子式和余子式的关系： Mij (1)i j Aij
10.
A1
若
A
A2
，则： As
Ⅰ、 A A1 A2 As ；
A11
Ⅱ、
A1
A21
； As1
②、
A O
O 1 A1
B
O
O B 1
；（主对角分块）
③、
O B
A 1 O
O
A1
B
1
；（副对角分块）
O
④、
A O
C
1
A1
B
O
A1CB B 1
1
14. ①、 A A ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 Ax 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r(A) n ；
⑤、证明 0 是其特征值；
2、矩阵
1. A 是 n 阶可逆矩阵：
2. A 0 （是非奇异矩阵）；
r(A) n （是满秩矩阵）
A 的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 Ax 0 有非零解；
②、
②、对矩阵
( A,
B)
做初等行变化，当
A
变为
E
时，
B
就变成
A1B
，即：
( A,
c
B)(E,
A1B)
；
r
③、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b ，如果 (A, b) (E, x) ，则 A 可逆，且 x A1b ；
7. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
8. ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
4. 5. ( A1)* ( A* )1
( A1)T ( AT )1
( A* )T ( AT )*
6. ( AB)T BT AT
( AB)* B* A*
( AB)1 B1 A1
7. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
8.
9. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、 B 可逆：
④、若 P 、 Q 可逆，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、 max(r(A), r(B)) r(A, B) r(A) r(B) ；（※）
⑥、 r(A B) r(A) r(B) ；（※）
⑦、 r(AB) min(r(A), r(B)) ；（※）
1
②、
2
，左乘矩阵
A
，
i
乘
A
的各行元素；右乘，
i
乘
A
的各列元素；
n
1
1
1
③、对调两行或两列，符号
E(i,
j)
，且
E(i,
j)1
E(i,
j) ，例如：
1
1
；
1
1
1
④、倍乘某行或某列，符号
E(i(k))
，且
E(i(k))1
E(i( 1 k
))
，例如：
k
1 1
1
1 k
(k 0) ；
⑤、拉普拉斯展开式： A
OA
C A B 、C
AO
A (1)m n A B
CB OB
BO BC
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
n
11. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： E A n (1)k Sknk ，其中 Sk 为 k 阶主子式； k 1
12. 13. 证明 A 0 的方法：
12. ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
1 a c
②、型如
0
1
b
1
1
k 1 1
k
⑤、倍加某行或某列，符号
E(ij(k))
,且
E(ij(k))1
E(ij(k))
，如：
1
1
(k
0)
；
1
1
9. 矩阵秩的基本性质： 10.
①、 0 r(Amn ) min(m, n) ；
②、 r(AT ) r(A) ；
③、若 A B ，则 r(A) r(B) ；