第八讲机器人动力学牛顿-欧拉方程.
教学课件：第八讲-机器人动力学-牛顿-欧拉方程
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
牛顿-欧拉方程向量法推导
牛顿-欧拉方程向量法推导
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，该定律为：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-& 其中b Ω为体坐标系下的角速度，b I 为体坐标系下的转动惯量，b M 为体坐标系下的外力矩。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)，此处只推导欧拉方程。
在不考虑外力矩时，约束条件为惯性坐标系的角动量守恒（非体坐标系的角动量守恒），即有：
0/)(=Ωdt RI d b b
其中R 为旋转矩阵。
拆解有：
0=Ω+Ωb
b b b RI I R && 0)(=Ω+Ω⨯Ωb
b b b b I I & 最后可得：
b
b b b b I I /)(Ω⨯Ω-=Ω& 加入外力矩后可得完整的欧拉方程：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-&。
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
第八讲机器人动力学牛顿-欧拉方程.
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程 我们知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动 其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我 们先复习一下转动惯量的计算。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。 解：由例1知：
0 3 3 2 2 0 1 2
及
l1s 2 1 3 l ( ) v3 l1c 2 1 2 1 2 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。
c12 s12 0 s12 c12 0 0 0 1 2 R R R R 3 1 2 3 0 1 0
则：
0
3 33
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
牛顿—欧拉方程
牛顿-欧拉方程欧拉方程(Eulｅｒｅquatｉｏnｓ),是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于１75０年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律:该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:其中,分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩,分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Eｕlｅr eqｕations)：这里对牛顿的平移运动方程不赘述,只对欧拉方程进行讨论。
1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理:对两边叉乘质点位置矢量：观察：因为:故有：定义角动量，可以看出为外力矩故有单质点的角动量定理：2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：其中：下标Ｇ表示该向量为大地坐标系下的，的下标i 表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。
刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系,本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。
(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致,这也是无力矩进动的原因,即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。
)由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵,故有刚体的角动量定理:其中:为外力矩把上式展开有：其中：称为惯性矩阵刚体旋转时,是变化的,但刚体在刚体坐标系下的惯性矩阵不会变，且容易分析得到：其中：为刚体坐标系下到大地坐标系的旋转矩阵。
3.欧拉方程的证明在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系下的向量:外力矩:；惯性矩阵:；角速度：引入刚体坐标系的向量：旋转运动时：旋转矩阵,刚体角速度都为变量，只有为不变量。
机器人动力学牛顿欧拉方程课件
PART 04
机器人动力学实例
两连杆机器人的动力学分析
01
02
03
连杆的惯性
需要考虑连杆的惯性，包 括质量、质心位置和惯性 张量。
关节约束
需要考虑关节的约束，包 括关节类型、关节角度范 围和关节刚度。
3
牛顿-欧拉方程推导
通过将牛顿第二定律和欧拉第一定律结合，可以 得到牛顿-欧拉方程，它描述了刚体在运动过程 中的动力学行为。
PART 03
牛顿-欧拉方程的应用
两刚体系统的动力学分析
两刚体系统的定义
两刚体系统是指由两个刚体组成的系统，每个刚体具有自己的质 量、位置和速度。
牛顿-欧拉方程的建立
根据牛顿第二定律和欧拉方程，可以建立两刚体系统的动力学方程。
03
多刚体系统的动力学特性包括角动量守恒、动量守恒、能量守
恒等，同时还存在各个刚体之间的相互作用力。
机器人运动学与动力学的关系
运动学与动力学的区别
运动学主要研究机器人的位置、姿态和速度等几何特征，而动力学则研究机器人的力、力矩和加速度等物理特征。
运动学与动力学的联系
机器人的运动学和动力学是相互联系的，运动学可以提供机器人的运动状态信息，而动力学则可以提供机器人的运动 控制信息。
描述刚体在空间中的位置需要使用矢量，矢量中包含了物体的位置、方向和大 小等信息。
运动描述
描述刚体的运动需要使用速度和加速度等运动学量。
牛顿-欧拉方程的建立过程
1 2
牛顿第二定律 对于一个物体，其受到的力等于其质量与加速度 的乘积，即F=ma。
欧拉第一定律 对于一个刚体，其受到的力矩等于其角动量与角 加速度的乘积，即τ=Iα。
优选第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
机器人杆件的速度包括线速度和角速 度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算 i+1杆件的线速度和角速度。
如图所示，设已知i杆件的速度为ωi和 vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 i 1 。
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
我们知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动
其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我
们先复习一下转动惯量的计算。
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、 惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
l2c12
3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0J
1 (
)
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 l1s1 l2c12
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由
雅克比逆矩阵可得：0v (1,0)T
12
0J
1 (
)vvxy
1 l1l2 s 2
l2c12 l1c1 l2c12
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz
I
yz
式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
机器人动力学牛顿欧拉方程教学课件
基于牛顿第二定律和欧拉方程，可以推导出 机器人动力学中的牛顿欧拉方程。
推导过程：首先根据机器人的连杆结构，将 机器人的运动分解为各个连杆的质心运动和 绕质心的转动；然后对每个连杆应用牛顿第 二定律和欧拉方程，得到每个连杆的力和力 矩平衡方程；最后将各个连杆的力和力矩平 衡方程联立起来，消去中间变量，得到机器 人整体的牛顿欧拉方程。
逆向动力学计算流程
介绍逆向动力学计算的基本步骤，包括期望轨迹规划、逆向求解关 节力、考虑约束条件等。
逆向动力学实例分析
以具体机器人为例，展示逆向动力学计算过程，包括数值计算和仿 真验证。
动力学仿真与验证
1 2
动力学仿真软件介绍
介绍常用的机器人动力学仿真软件，如 MATLAB/Simulink、ADAMS等。
实验结果分析
数据处理
将采集到的关节位置、速度和加速度数据进 行处理和分析，得到机器人的实际运动轨迹
。
轨迹对比
根据实验结果，评估机器人在运动过程中的 稳定性、精确性和动态性能。
性能评估
将实际运动轨迹与预设轨迹进行对比，分析 两者之间的差异及其原因。
教学反馈
将实验结果反馈给学生，帮助他们深入理解 机器人动力学的原理和实际应用。
机器人连杆质心与转动惯量计算
01
02
03
质心位置计算
通过积分方法或几何方法 计算连杆的质心位置。
转动惯量计算
根据连杆的质量分布和形 状，计算连杆相对于其质 心的转动惯量。
产品惯性矩阵计算
将所有连杆的转动惯量和 产品惯性矩阵组合起来， 得到整个机器人的产品惯 性矩阵。
机器人关节力与力矩计算
牛顿-欧拉方程
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THANKS
机器人动力学牛顿欧拉方程课件
05 总结与展望
本课程总结
内容回顾
详细总结了牛顿欧拉方程的基本原理、推导过程以及 在机器人动力学中的应用。
关键点解析
对课程中的关键知识点进行了深入剖析，帮助学生加 深理解。
实践操作指导
总结了如何利用牛顿欧拉方程进行机器人动力学建模 的实践操作步骤。
未来研究方向
01
02
03
理论深化
探讨如何进一步优化牛顿 欧拉方程，提高其计算效 率和准确性。
机器人动力学牛顿欧拉 方程课件
目录
Contents
• 引言 • 机器人动力学基础 • 机器人动力学应用 • 机器人动力学实例分析 • 总结与展望
01 引言
课程目标
01
掌握机器人动力学的基本原理
02 学习如何使用牛顿欧拉方程描述机器人运 动
03
理解机器人的动态特性对控制系统设计的 影响
04
培养解决实际机器人问题的能力
人的运动性能和稳定性。
机器人的实验验证
要点一
总结词
通过实际操作和实验数据验证机器人动力学的正确性和有 效性。
要点二
详细描述
机器人实验验证是检验机器人动力学理论和模型的重要手 段。通过搭建实验平台，对机器人进行实际操作和数据采 集，将实验数据与理论预测进行比较和分析，可以验证机 器人动力学模型的正确性和有效性。同时，实验验证还可 以发现理论模型中可能存在的缺陷和不足，进一步优化和 完善机器人动力学理论。
应用拓展
研究如何将牛顿欧拉方程 应用于更广泛的机器人领 域，如医疗机器人、服务 机器人等。
多机器人协同
探索多机器人系统中的动 力学问题，以及如何利用 牛顿欧拉方程进行协同控 制。
课程反馈与改进
牛顿欧拉动力学方程
牛顿欧拉动力学方程
牛顿欧拉动力学方程是研究牛顿力学系统的一种重要方法，它是由英国数学家和物理学家Isaac Newton和欧拉提出的。
牛顿欧拉动力学方程表示为:
F=m*a
其中 F 是物体受力的矢量,m 是物体的质量,a 是物体的加
速度矢量。
牛顿欧拉动力学方程可以用来描述物体在外力作用下的运
动轨迹，可以用来解决牛顿力学中的各种问题。
它是牛顿力学的基础方程之一，在物理学、力学、天体物理学、分子动力学、流体动力学、统计物理学等学科中有广泛的应用。
例题1:
一个物体质量为10kg,受到30N的推力,物体的加速度为多少?
解:
根据牛顿欧拉动力学方程F=m*a
可得 a = F/m = 30N/10kg = 3m/s^2
所以物体的加速度为3m/s^2
例题2:
一个小球质量为2kg,在水平面上运动,受到水平方向上40N 的摩擦力,小球的速度是多少?
解:
F = -40N (摩擦力为抵消力)
m=2kg
a=F/m = -40N/2kg = -20m/s^2
根据牛顿欧拉动力学方程F=m*a,我们可以知道小球的加速度为-20m/s^2.由于这个加速度是负值，所以小球的速度会不断减小。
如果我们想要知道小球的速度，可以使用速度的一阶积分公式v = at + v0 (v0为初始速度)。
(完整版)牛顿—欧拉方程
牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ω⃗b=I b−1[M⃗⃗ b−Ω⃗b×( I b Ω⃗b)]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩M与角加速度Ω′的关系式，大多时候可简写成:Ωx′=[M x+(I yy−I zz)ΩyΩx]/I xxΩy′=[M y+(I zz−I xx)ΩxΩz]/I yyΩx′=[M z+(I zz−I yy)ΩxΩy]/I zz其中，M x,M y,M z分别为刚体坐标系S b下三个轴的所受的外力矩，I xx,I yy,I zz分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F(t)=ma(t)M⃗⃗ b=Ω⃗b×( I b Ω⃗b)+ I b Ω⃗b这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：F=d(mv ) dt对两边叉乘质点位置矢量r：r×F=r×d(mv ) dt观察：d(r×mv )dt =r×d(mv )dt+drdt×mv因为：drdt×mv=v×mv=0故有：d(r×mv )dt =r×d(mv )dtr×F=d(r×mv )定义角动量L⃗=r×mv，可以看出r×F为外力矩M⃗⃗ 故有单质点的角动量定理：M⃗⃗ =dL⃗dt2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：L⃗G=∫L⃗i dm其中：L⃗G下标G表示该向量为大地坐标系S G下的，L⃗i的下标i表示该向量为大地坐标S G下各个质量元的向量。
牛顿欧拉方程
牛顿欧拉方程牛顿欧拉方程，那可真是数学和物理世界里的超级明星组合啊！就像是蝙蝠侠和罗宾，总是在关键时刻拯救世界，不过这个世界是科学的世界。
先说说牛顿第二定律，F = ma，这方程简单得就像一个直爽的大汉，力（F）就像是那个推东西的大手，质量（m）呢，就是那个懒洋洋、不太愿意动的大胖子，加速度（a）就是这个大胖子被大手推了之后，不情不愿挪动的速度。
你想啊，质量越大的东西，就像个超级大的石头，要让它加速动起来，得使多大的劲儿啊，这个方程就这么明明白白地把这关系给说清楚了，一点都不藏着掖着。
再看欧拉方程，e^(iπ) + 1 = 0，这方程简直就是数学界的魔法咒语。
e 就像是一个神秘的精灵，在虚数的世界里穿梭，i呢，那就是打开虚数大门的神奇钥匙，π这个老大哥，圆周率啊，到处都有它的身影，就像个无处不在的大侠。
这几个家伙凑在一起，居然能得出这么一个简洁又神奇的结果，就好像几个超级英雄合体变成了一个无敌的存在，让整个数学世界都为之惊叹。
牛顿欧拉方程有时候又像一场精心编排的舞蹈。
力、质量、加速度，还有那些虚数、指数函数等等元素，就像是舞蹈演员。
他们在方程这个大舞台上，按照精确的舞步跳动着。
如果哪个元素错了节拍，就像舞者踩错了步点，整个舞蹈就乱套了，而科学的这个大舞台就会变得一团糟。
你要是把牛顿欧拉方程当成菜谱来看也挺有趣的。
各种物理量和数学符号就是食材，方程就是烹饪的方法。
按照这个方法把食材组合起来，就能做出一道美味的科学大餐。
不过这大餐可不像普通的菜，它是用来喂养人类智慧的，吃了这大餐，我们的科学素养就能像气球一样膨胀起来。
牛顿欧拉方程在解决实际问题的时候，就像一群超级侦探。
比如说要分析一个复杂的机械运动，牛顿方程就像那个能找到蛛丝马迹的福尔摩斯，从力和加速度的关系里把隐藏的信息挖掘出来。
而欧拉方程呢，就像是那个有着独特洞察力的侦探助手，在涉及到一些复杂的数学关系，特别是和旋转、波动相关的问题时，它总能发挥关键作用。
牛顿欧拉法求机器人动力学方程
牛顿欧拉法求机器人动力学方程机器人动力学方程是描述机器人运动的重要数学工具，它可以帮助我们理解和控制机器人的运动。
牛顿-欧拉法是一种常用的方法，用于推导机器人的动力学方程。
在机器人动力学研究中，我们关注的是机器人的运动以及它受到的力和力矩。
动力学方程描述了机器人运动的加速度与力之间的关系。
牛顿-欧拉法的基本思想是将机器人的连杆和关节看作是一个多体系统，利用牛顿定律和欧拉公式来推导机器人的动力学方程。
具体推导的步骤如下：首先，我们需要为机器人建立坐标系，并定义关节角度和末端执行器的位置、速度和加速度。
通过定义这些量，我们可以准确描述机器人的状态。
接下来，我们根据牛顿定律，对每个连杆和关节分别应用动力学方程。
动力学方程可以写为力矩等于惯性力加上外力的代数和，即：力矩 = 惯性力 + 外力在计算惯性力时，我们需要考虑机器人的质量、惯量以及它们与坐标系之间的几何关系。
这一步可以通过应用欧拉公式来计算。
计算外力主要是考虑机器人与环境之间的交互，包括重力、摩擦力、接触力等。
对于接触力，我们需要考虑机器人与其他物体之间的约束。
最后，我们将所有的动力学方程组合在一起，得到机器人的动力学方程。
这些方程可以帮助我们理解机器人在不同状态下受到的力和力矩以及其加速度。
机器人动力学方程的求解对于机器人的轨迹规划、运动控制以及力矩控制等具有重要的指导意义。
通过求解动力学方程，我们可以预测机器人在不同控制输入下的运动行为，从而优化机器人的性能。
总之，牛顿-欧拉法是一种求解机器人动力学方程的有效方法，它为我们研究和控制机器人的运动提供了重要的数学工具。
在实际应用中，我们可以根据具体的机器人模型和任务需求，灵活应用动力学方程求解的方法，从而实现机器人的精确控制和运动规划。
机器人动力学--牛顿-欧拉方程
0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。
解：由例1知：
33 22
0 0
及
3 v3
l1c
l1s 21 21 l2 (1
2 )
1 2
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、 惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz
I
yz
式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
0
Iy
0
0 0 Iz
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
平行轴定理（Parallel-axis theorem）:
已知相对于某一原点位于物体质心坐标 系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系 {C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：
P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
Ix mi ( yi2 zi2 ) ( y2 z2 )dm
Ixy I yx mi xi yi xi yi dm
Iy mi (zi2 xi2 ) (z2 x2 )dm Iz mi (xi2 yi2 ) (x2 y2 )dm
牛顿—欧拉方程
牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:其中，分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩，分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：对两边叉乘质点位置矢量：观察：因为：故有：定义角动量，可以看出为外力矩故有单质点的角动量定理：2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：其中：下标G表示该向量为大地坐标系下的，的下标i 表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。
刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系，本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。
(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。
)由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理：其中：为外力矩把上式展开有：其中：称为惯性矩阵刚体旋转时，是变化的，但刚体在刚体坐标系下的惯性矩阵不会变，且容易分析得到：其中：为刚体坐标系下到大地坐标系的旋转矩阵。
3.欧拉方程的证明在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系下的向量：外力矩：；惯性矩阵：；角速度：引入刚体坐标系的向量：旋转运动时：旋转矩阵，刚体角速度都为变量，只有为不变量。
机器人动力学牛顿欧拉迭代
机器人动力学牛顿欧拉迭代
机器人动力学分为正运动学和逆运动学两部分，其中逆运动学是机器人动力学研究中的核心问题之一。
牛顿欧拉迭代是逆运动学求解中最常见的一种方法之一。
牛顿欧拉迭代法是先根据机器人连杆的运动学模型计算出机器人的身体速度、身体加速度、角加速度等信息，并结合牛顿第二定律和欧拉公式，建立机器人动力学方程，再通过迭代法求解机器人的关节加速度，从而完成机器人的运动控制。
在牛顿欧拉迭代法中，计算机器人的关节加速度需要先求出机器人各连杆的惯性矩阵、科氏力以及重力等力矩，并根据机器人的运动状态联立动力学方程组。
由于机器人通常具有多个自由度，因此需要采用数值方法求解动力学方程组，其中最常用的方法就是牛顿欧拉迭代法。
总之，牛顿欧拉迭代法是机器人动力学方程求解的一种有效方法，可以帮助机器人实现高精度的运动控制。
机器人动力学--牛顿-欧拉方程剖析
0 3 3 2 2 0 1 2
l1s 21 0 l1s 21 3 v3 R23 l1c21 l2 (1 2 ) l1c21 l2 (1 2 ) 0 0 0
3Байду номын сангаас
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自 由度，列数等于机器人的关节数。 同理，我们可以求相对基座坐标系的 雅克比矩阵。
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的 角速度为： 在{i+1}中表示的i+1杆的角速度
i 1
i 1Z ˆ i 1 ii 1 Rii i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系 原点的线速度为：
0
所以：
l1s1 l2 s12 l2 s12 J ( ) l c 1 l c 12 l c 12 2 2 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由 0 T v (1,0) 雅克比逆矩阵可得：
3.6小节
机器人的杆件的速度
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机器人 牛顿欧拉法 计算复杂度
机器人牛顿欧拉法计算复杂度1. 介绍机器人牛顿欧拉法机器人牛顿欧拉法是用于动态模拟机器人运动学和动力学的一种常用方法。
该方法是由牛顿-欧拉公式和拉格朗日方程演变而来，能够准确地描述机器人的运动状态和受力情况。
它是机器人学中重要的数学工具，被广泛应用于机器人的运动规划、路径优化和控制算法的设计等方面。
2. 牛顿欧拉法的计算复杂度分析牛顿欧拉法的计算复杂度主要取决于机器人的自由度数量和运动状态的维度。
一般来说，牛顿欧拉法的计算复杂度可以用O(n)表示，其中n为机器人的自由度数量。
具体而言，牛顿欧拉法的计算复杂度主要包括以下几个方面：（1）递归求解欧拉-拉格朗日方程：在牛顿欧拉法中，需要通过递归的方式求解欧拉-拉格朗日方程，从而得到机器人的动力学方程。
这一过程的计算复杂度与机器人的自由度数量成正比，因此可以用O(n)来表示。
（2）求解牛顿-欧拉公式：在得到机器人的动力学方程之后，需要通过数值计算的方法求解牛顿-欧拉公式，从而得到机器人的加速度和受力情况。
这一过程的计算复杂度与机器人的运动状态的维度成正比，因此可以用O(m)来表示，其中m为机器人的运动状态的维度。
3. 牛顿欧拉法的优化和改进虽然牛顿欧拉法在动态模拟机器人运动学和动力学方面具有很高的精度和稳定性，但其计算复杂度较高，特别是在处理高自由度机器人和高维度运动状态时，容易造成计算负担过重的问题。
为了解决这一问题，研究者们提出了许多优化和改进的方法，主要包括以下几个方面：（1）基于并行计算的加速方法：通过利用并行计算的技术，可以将牛顿欧拉法的计算过程分解成多个子任务，并行地进行计算，从而减少计算时间，降低计算复杂度。
（2）基于数值优化的改进方法：通过引入数值优化的方法，可以对牛顿欧拉法的计算过程进行改进，提高计算效率和精度。
可以采用高效的数值积分算法和数值求解方法，减少计算时间和内存占用。
（3）基于深度学习的模型简化方法：近年来，深度学习技术在机器人学领域得到了广泛应用，可以通过构建深度学习模型，对牛顿欧拉法的复杂计算过程进行简化和优化，提高计算效率和速度。
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则：
l1s 2 1 v3 3 v 3 l1c 21 l2 (1 2 ) 3 1 2 0 l1 s 2 l1c 2 l2 l2 1 3J θ 2 1 1
l2c12 l2 s12 1 v x 1 0 1 1 J ( ) v l c1 l c12 l s1 l c12 0 l l s 2 2 1 2 y 1 2 1 2
l2 s12 1 l2c12 J ( ) l c 1 l c 12 l s 1 l c 12 l1l2 s 2 2 1 2 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。 解：由例1知：
0 3 3 2 2 0 1 2
及
l1s 2 1 3 l ( ) v3 l1c 2 1 2 1 2 0
0 3 3 2 2 0 1 2
l1s 21 0 l1s 21 3 v3 R23 l1c21 l2 (1 2 ) l1c21 l2 (1 2 ) 0 0 0
i 1
vi 1 i i1R(i vi ii i pi 1 )
其中 pi 1是在{i} 中表示的指向{i+1} 原点的距离。
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i
3.4.3、机器人的杆件的速度
例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关 节速度为函数的手尖处的速度。
0 1 v1 0 0
c2 2 v2 s 2 0
1杆在{1}中表示的速度
0 2 2 0 1 2
s2 c2 0
0 0 l1s 2 1 0 l1 l1c 21 1 0 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
解：1、建立坐标系，如图： 2、求位姿矩阵：
c1 s1 s1 c1 M 01 0 0 0 0
c 2 s 2 s2 c2 M 12 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0
所以：
l1s1 l2 s12 l2 s12 J ( ) l c 1 l c 12 l c 12 2 2 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由 0 T v (1,0) 雅克比逆矩阵可得：
3
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自 由度，列数等于机器人的关节数。 同理，我们可以求相对基座坐标系的 雅克比矩阵。
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。
c12 s12 0 s12 c12 0 0 0 1 2 R R R R 3 1 2 3 0 1 0
则：
0
3 33
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
0 0 0 1
l1 0 0 1
M 23
1 0 0 0
0 1 0 0
0 l2 0 0 1 0 0 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
得：
0 1 1 0 1
3.6小节
机器人的杆件的速度
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3.6 机器人的杆件的速度
基本思路：
已知基座速度和各关节的相对速度， 从基座速度开始，一步一步递推出末 端执行器的速度。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
机器人杆件的速度包括线速度和角速 度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算 i+1杆件的线速度和角速度。 如图所示，设已知i杆件的速度为ω i和 。 vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 i 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的 角速度为： 在{i+1}中表示的i+1杆的角速度
i 1
i 1Z ˆ i 1 ii 1 Rii i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系 原点的线速度为：