高中数学竞赛解题策略几何分册勃罗卡定理

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高中数学竞赛解题策略

几何分册勃罗卡定理 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

第32章勃罗卡定理

勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ,延长AB 、DC 交于点E .延长BC 、AD 交于点F .AC 与BD 交于点G .联结EF ,则OG EF ⊥.

证法1如图321-,在射线EG 上取一点N ,使得N ,D ,C ,G 四点共圆(即取完全四边形ECDGAB 的密克尔点N ),从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆. 分别注意到点E 、G 对O 的幂,O 的半径为R ,则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-. 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-.

以上两式相减得()22222EG OE R R OG =---,

即22222OE EG R OG -=-.

同理,22222OF FG R OG -=-.

又由上述两式,有2222OE EG OF FG -=-.

于是,由定差幂线定理,知OG EF ⊥.

证法2如图321-,注意到完全四边形的性质.在完全四边形ECDGAB 中,其密克尔点N 在直线EG 上,且ON EG ⊥,由此知N 为过点G 的O 的弦的中点,亦即知O ,N ,F 三点共线,从而EN OF ⊥.

同理,在完全四边形FDAGBC 中,其密克尔点L 在直线FG 上,且OL FG ⊥,亦有FL OE ⊥.

于是,知G 为OEF △的垂心,故OG EF ⊥.

证法3如图321-.注意到完全四边形的性质,在完全四边形ABECFD 中,其密克尔点M 在直线EF 上,且OM EF ⊥.联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD .

此时,由密克尔点的性质,知E 、M 、C 、B 四点共圆,M 、F 、D 、C 四点共圆, 即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠,

从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=︒-∠=︒-∠

11180909022BOD BOD BOD ⎛⎫=︒-∠-︒=︒-∠=∠ ⎪⎝⎭

, 即知点M 在OBD △的外接圆上.

同理,知点M 也在OAC △的外接圆上,亦即知OM 为OBD 与OAC 的公共弦. 由于三圆O ,OBD ,OAC 两两相交,由根心定理,知其三条公共弦BD ,AC ,OM 共点于G .即知O ,G ,M 共线,故OG EF ⊥.

该定理有如下推论

推论1凸四边形ABCD 内接于O ,延长AB 、DC 交于点E ,延长BC 、AD 交于点F ,AC 与BD 交于点G ,直线OG 与直线EF 交于点M ,则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点.

事实上,若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点,则M '在EF 上,且OM EF '⊥. 由勃罗卡定理,知OG EF ⊥,即OM EF ⊥.而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直,从而OM 与OM '重合,即M 与M '重合.

推论2凸四边形ABCD 内接于圆,延长AB 、DC 交于点E ,延长BC 、AD 交于点F ,AC 与BD 交于点G ,M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M . 推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ,延长AB 、DC 交于点E ,延长BC 、AD 交于点F ,AC 与BD 交于点G ,则G 为OEF △的垂心.

事实上,由定理的证法2即得,或者由极点公式:22222EG OE OG R =+-,

22222FG OF OG R =+-,22222EF OE OF R =+-两两相减,再由定差幂线定理即证. 下面给出定理及推论的应用实例.

例1(2001年北方数学邀请赛题)设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ,Q ,两对角线交于点R ,则圆心O 恰为PQR △的垂心.

事实上,由推论3知R 为OPQ △的垂心,再由垂心组的性质即知O 为PQR △的垂心.

例2如图322-,凸四边形ABCD 内接于O ,延长AB ,DC 交于点E ,延长BC ,AD 交于点F ,AC 与BD 交于点P ,直线OP 交EF 于点G .求证:AGB CGD ∠=∠. 证明由勃罗卡定理知,OP EF ⊥于点G .

延长AC 交EF 于点Q ,则在完全四边形ABECFD 中,点P ,Q 调和分割AC ,从而GA ,GC ,GP ,GQ 为调和线束,而GP GQ ⊥,于是GP 平分AGC ∠,即AGP CGP ∠=∠. 延长DB 交直线EF 于点L (或无穷远点L ),则知L ,P 调和分割BD ,同样可得BGP DGP ∠=∠.

故AGB CGD ∠=∠.

例3(2011年全国高中联赛题)如图323-,锐角三角形ABC 的外心为O ,K 是边BC 上一点(不是边BC 的中点),D 是线段AK 延长线上一点,直线BD 与AC 交于N ,直线CD 与AB 交于点M .

求证:若OK MN ⊥,则A ,B ,D ,C 四点共圆.

证明用反证法.若A ,B ,D ,C 四点不共圆,则可设ABC △的外接圆O 与直线AD 交于点E ,直线CE 交直线AB 于P .直线BE 交直线AC 于Q .联结PQ ,则由勃罗卡定理,知OK PQ ⊥.

由题设,OK MN ⊥,从而知PQ MN ∥. 即有AQ AP QN PM

=.① 对NDA △及截线BEQ ,对MDA △及截线CEP 分别应用梅涅劳斯定理 有

1NB DE AQ BD EA QN ⋅⋅= 及1MC DE AP CD EA PM

⋅⋅=. 由①,②得NB MC BD CD

=. 再应用分比定理,有

ND MD BD DC =, 从而DMN DCB △∽△.

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