弯曲杆件正应力计算公式
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学常用公式
工程力学常用公式3、伸长率：* 1。
％断面收缩率： 字100%5、扭转切应力表达式：^，最大切应力：maxTP RW p ， d 44I P ”（1），W P d'(1 4)，强度校核： 16max TmaxW P[]6、单位扭转角：d—，刚度校核：maxTmax[]， 长度为1dx Gl pGI P的一段轴两截面之间的相对扭转角證，扭转外力偶的计算公式: Me 9549P（KWLn（r/m in ）8平面应力状态下斜截面应力的一般公式:最大切应力max -'' - ( x y )22，最大正应力方位2 Y 21、轴向拉压杆件截面正应力 牛，强度校核max2、轴向拉压杆件变形IFi Ni l i 4、胡克定律： E ，泊松比:，剪切胡克定律：G7、薄壁圆管的扭转切应力:T 2 R 29、 x yx ycos22 2 xsin 2-sin 2 x cos2平面应力状态三个主应力:II「（ x 2y）2X， ''' 01、100%tan2 0 2xx y10、第三和第四强度理论: r3 X 24 2， r4211、平面弯曲杆件正应力:M ，截面上下对称时，MW Z矩形的惯性矩表达式：I Z兽圆形的惯性矩表达式:I ZV(1 644)矩形的抗扭截面系数：W Z £圆形的抗扭截面系数:W Z 4)13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:F s S max* zmaxbi z14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力tmax [t ]， cmaxc]（2）弯曲切应力max []（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 16、（ 1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： ()FN M maxmax (min 丿15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 严 [f]， max []（2）偏心拉伸（偏心压缩）:max ( min)A（3）弯扭变形杆件的强度计算:工程力学常用公式伸长率: F N ； A ；FA ；泊松比E 2(1 )，l bI 0l 0100%，断面收缩率:A o A b A 02、扭转: { M }N gm9549 {P}kW ,{ n} r/ min,W p max TW p，3、4、ddxTGIP，TloGI P弯曲:MdxEl应力状态:MET Z，MyIT，maxMy maxIlMW zd 2wdx2MEIM , xdx)dx CxEIx sin2i2cos 2；x y )22tg2 o拉压强度条件：max(F N)[\ 八/max L扭转强度条件：max(T)[]W p扭转刚度条件：(T)max []GI P梁的弯曲强度条件M maxmaxW.梁弯曲的刚度条件:V V max[]-欧拉公式：F c r -2EIl2，2Ecr 2柔度：-惯性半径:max(min][],maxi x y2max,max . [](丿max [],I zi'■ A。
杆件正应力怎么求计算公式
杆件正应力怎么求计算公式杆件正应力的计算公式。
在工程力学中，杆件正应力是指在杆件内部由外部加载引起的正向拉伸或压缩应力。
正应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，它可以帮助工程师确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
杆件正应力的计算公式可以通过简单的力学原理推导得出。
在这篇文章中，我们将介绍杆件正应力的计算公式，并且讨论一些实际应用中的例子。
杆件正应力的计算公式可以表示为：σ = P / A。
其中，σ表示杆件的正应力，P 表示施加在杆件上的外部力，A 表示杆件的横截面积。
这个公式的推导可以通过简单的力学原理来进行。
当一个外部力 P 作用在杆件上时，杆件内部会产生一个与外部力方向相反的内部应力。
根据牛顿第三定律，这个内部应力的大小与外部力的大小相等，方向相反。
而杆件的横截面积 A 则可以用来表示内部应力的分布情况。
因此，杆件的正应力可以表示为外部力 P 与横截面积 A 的比值。
在实际应用中，杆件正应力的计算可以通过这个简单的公式来进行。
例如，当一个钢杆承受一个拉力时，我们可以通过测量钢杆的横截面积和外部拉力来计算钢杆的正应力。
这个计算可以帮助工程师确定钢杆是否能够承受这个拉力，并且可以帮助工程师选择合适的钢材来设计结构。
除了上面提到的简单拉力的情况，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他复杂的情况中。
例如，在梁的设计中，梁的横截面积不是均匀的，因此我们可以通过积分的方法来计算梁的正应力分布。
这个计算可以帮助工程师确定梁在不同位置的正应力大小，并且可以帮助工程师选择合适的梁的尺寸和材料来设计结构。
除了简单的拉力和梁的设计，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他工程结构的设计中。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过计算桥梁的正应力来确定桥梁的承载能力，并且可以帮助工程师选择合适的桥梁的尺寸和材料来设计结构。
总之，杆件正应力的计算公式是工程设计中非常重要的一部分。
通过这个简单的公式，工程师可以确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
弯曲杆件应力计算公式
M y Iz M 2 ymax max Iz
max
yymax
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。
200 (y2)
22kN A 2m B 1m C 12kN
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26KN
RB 34KN
M max 136KN m
M max 136106 Wz 400cm3 2 2 170
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ S
* z max
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
正应力与集中应力的公式
正应力与集中应力的公式
正应力是指物体上其中一点处的内力的作用效果，通常用σ表示，
单位为帕斯卡（Pa）。
正应力表示的是单位面积上受到的力，即单位面积
上的力的大小。
集中应力是指物体上其中一点处的应力超过了其它点的应力，形成了
应力的集中，通常用σmax表示。
下面将介绍常见的正应力和集中应力的公式：
1.正应力的公式：
正应力是由一个力分布在一个面上引起的，将这个力沿面分布的情况
考虑进去，可以使用以下公式来计算正应力：
σ=F/A
其中，σ表示正应力，F表示力的大小，A表示力作用的面积。
2.集中应力的公式：
集中应力是指物体上其中一点处的应力超过了其它点的应力，形成了
应力的集中。
常见的集中应力的公式有以下几种：
2.1.对于均匀拉伸或压缩载荷的情况，集中应力可以通过以下公式计算：
σmax = F / A
其中，σmax表示集中应力，F表示力的大小，A表示力作用的面积。
2.2.对于圆形截面的轴向拉伸或压缩载荷的情况，集中应力可以通过以下公式计算：
σmax = F / (π * r^2)
其中，σmax表示集中应力，F表示力的大小，r表示截面的半径。
2.3.对于圆柱形杆件的弯曲载荷的情况，集中应力可以通过以下公式计算：
σmax = M / (Z * y)
其中，σmax表示集中应力，M表示弯矩，Z表示截面模量，y表示离截面中心的距离。
以上是常见的正应力和集中应力的公式，这些公式在力学中的应用非常广泛，可以用于计算不同情况下物体内部的应力分布。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
(正应力强度条件)
2010-9-18
3
9 - 1 、概
1. 杆件基本变形下的强度条件 （拉压） 拉压）
述
σmax
FN,max = ≤[σ ] A
Mmax 弯曲） （弯曲） σmax = ≤ [σ ] W
（正应力强度条件） 正应力强度条件）
σmax ≤ [σ ]
Fs S 弯曲） （弯曲） τmax = ≤ [τ ] bIz T 扭转） （扭转）τmax = ≤ [τ ] Wp
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* z
（切应力强度条件） 切应力强度条件）
τmax ≤ [τ ]
1Hale Waihona Puke 9 - 1 、概述
σmax
σmax ≤ [σ ] 满足 τ τ max ≤ [ ]
是否强度就没有问题了？ 是否强度就没有问题了？
τmax
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2
9-2、经典强度理论 、
强度理论：人们根据大量的破坏现象， 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 概括，提出了种种关于破坏原因的假说， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件， 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
横力弯曲时的正应力计算公式
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
y
（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
弯曲应力(剪应力6月9日)(1)
[1 12
16
283
16
28
(14
13)2 ]
[1 12
8 103
18 10
(19
13)2 ]
26200cm4
Wz
Iz ym a x
26200 (28 13)
1748cm3
（3）正应力校核
max
M Wz
1.2 105 1748 106
1.0 1.04 1.12 1.57 2.30
（四）切应力强度条件
max
(
FQ Sz,max
I z
)max
[
]
对于等宽度截面， m ax发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，
m ax不一定发生在中性轴上。
在进行梁的强度计算时，需注意以下问题： （1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应
S
* z
：y以外面积对中性轴的静矩
I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
c
yc
y
z h
b
对于矩形：
S* z
A*
yc
b(h 2
y) [ y
h 2
2
y
]
b (h2 24
y2)
弯曲应力/弯曲时的剪应力
而
Iz
1 bh3 12
6FQ bh3
( h2 4
y2)
力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。
纯弯曲正应力分布规律实验数据
纯弯曲正应力分布规律实验数据一、实验介绍本次实验旨在研究纯弯曲情况下的正应力分布规律，通过测量和分析实验数据，探究不同材料和不同截面形状的试件在纯弯曲条件下的应力分布情况，为工程设计提供参考。
二、实验原理1. 纯弯曲概念纯弯曲是指杆件在外力作用下只发生弯曲变形而不发生拉伸或压缩变形的情况。
在纯弯曲状态下，杆件内部产生的应力是沿截面法线方向分布的。
2. 弹性模量弹性模量是材料抵抗变形能力的一个物理量，表示单位应力作用下单位长度物体产生的相对变形。
它是描述材料刚度大小的重要参数。
3. 截面惯性矩截面惯性矩是描述截面形状对于扭转刚度影响大小的一个物理量。
它越大，则说明该截面形状对于扭转刚度影响越小。
4. 应力公式在纯弯曲情况下，试件内部产生的正应力可以通过以下公式计算：σ = M*y/I其中，σ为正应力，M为弯矩，y为距离中心轴线的距离，I为截面惯性矩。
三、实验步骤1. 制备试件：根据实验要求制备不同材料和不同截面形状的试件。
2. 安装测力传感器：将测力传感器安装在试件上，用以测量试件受到的弯曲力和弯矩。
3. 进行弯曲试验：在实验机上进行弯曲试验，并记录下每个角度下试件受到的弯矩和变形量数据。
4. 计算应力分布：根据公式计算出每个角度下试件内部产生的正应力，并绘制出应力分布图。
5. 数据分析：对实验数据进行分析，探究不同材料和不同截面形状对于应力分布规律的影响。
四、实验数据与结果以下是本次实验得到的部分数据和结果：1. 材料为钢板，截面形状为圆形：弹性模量E = 2.1×10^11 Pa截面惯性矩I = πr^4/4其中r为半径。
通过计算得到该试件在不同角度下产生的正应力分布图如下：（插入图片）从图中可以看出，在圆形截面试件的弯曲过程中，试件内部产生的正应力沿截面法线方向分布，且最大值出现在距离中心轴线最远的位置。
此外，正应力随着距离中心轴线的距离增加而逐渐减小。
2. 材料为铝合金，截面形状为矩形：弹性模量E = 7.0×10^10 Pa截面惯性矩I = bh^3/12其中b为宽度，h为高度。
弯曲杆件正应力计算公式课件
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
存在不均匀分布的载荷。
公式应用
需要使用更复杂的公式来计算正应 力，例如能量法、有限元法等。
实际应用
例如，汽车、飞机等交通工具中的 车架、机翼等部件在受到多个方向 的力时，会发生复杂弯曲变形。
考虑材料非线性的弯曲杆件实例分析
材料非线性
材料的力学性质并非是线性的， 而是随着应力的增加而逐渐改变。
公式应用
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
考虑非线性效应和损 伤破坏
未来的研究可以考虑弯曲杆件在 强载和冲击条件下的非线性效应 以及损伤破坏问题。对于这些复 杂问题，需要采用更为精细的分 析方法和数值模拟技术来预测结 构的性能和行为。
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弯曲杆件正应力计算公式课 件
• 杆件弯曲基本理论 • 弯曲杆件正应力计算公式推导 • 弯曲杆件正应力计算公式应用 • 弯曲杆件正应力计算公式的扩展与改进 • 弯曲杆件正应力计算实例分析 • 总结与展望
01
杆件弯曲基本理论
弯曲的概念与基本假 设
弯曲的概念：当杆件承受垂直于其轴线 的力或力矩时，杆件将发生弯曲变形。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
几个常用计算
几个常用计算锅炉王世宏参考《材料力学》《汽水管道设计手册》一、吊盘受力核算1、核算吊盘受力：根据拉应力公式：【σ】≥F/（200-80）×20 得出最大拉力F；根据剪应力公式：【τ】≥F/（100-40）×20×2 得出最大拉力F；2、核算吊盘焊缝处受力：根据直角焊缝受拉受压或受剪强度计算公式【τ】t≥F/0.7×20 ×（200-10）×2因考虑焊缝两端未融合得出L =（200-10）得出最大拉力F；3、核算穿过吊盘轴销的挤压应力：（轴销、吊盘孔要经过机加工；且轴销与吊盘孔尽量最大紧密配合）根据挤压应力公式：【σjy】≥F/（π75/2）×20 得出最大拉力F；根据以上公式选取最小F值如果核算其中一项最大拉力小于吊物重量，侧选取较厚钢板或采用直径较大的轴销，更改后再次核算各项拉力。
【σ】、【τ】、【τ】t、【σjy】（金属应力表中可查其值）二、小直径管道支吊架间距计算由于小直径管道只提供系统图，在施工中自由布置走向与装配支吊架时可参考以下公式。
根据管道的力学性能容许挠度和容许抗弯计算出小直径管道两相邻支吊架的最大间距可参考以下公式：(只适应于水平管道)1、核算管道刚度，根据汽水手册要求图示管道最大挠度允许值为2.62mm根据简支梁均布载荷刚度计算公式：【f】=5qL4/384EI （只适应于简支梁均布载荷）允许挠度【f】=2.62mm ；单位长度钢管的重量q ，单位为K g /mm；允许最大挠度为2.62q可根据密度计算公式得出也可根据经验公式计算出q=（D-δ）δ/40。
D——管道外径单位mm；δ——管道壁厚单位mm；得出值q单位为K g /m，可换算成K g /mm。
E——管道在设计温度下的弹性模数K g /mm2；管道截面惯性矩I=π（D4-d4）/64;D——管道外径单位mm；d——管道内径单位mm；得出I值单位为mm 4。
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
工程力学常用公式
工程力学常用公式1、轴向拉压杆件截面正应力NF Aσ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni iiF l l EA ∆=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-=⨯断面收缩率：1100%A A Aψ-=⨯ 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，最大切应力：max P PT TR I W τ==，44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，强度校核：maxmax []PT W ττ=≤ 6、单位扭转角：P d Tdx GI ϕθ==，刚度校核：max max []PT GI θθ=≤，长度为l的一段轴两截面之间的相对扭转角PTlGI ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/min)9549KW r p Me n =7、薄壁圆管的扭转切应力：202TR τπδ=8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式：cos 2sin 222x yx yx ασσσσσατα+-=+-，sin 2cos 22x yx ασστατα-=+9、平面应力状态三个主应力：'2x yσσσ+=+''2x yσσσ+='''0σ= 最大切应力max '''2σστ-=±=，最大正应力方位02tan 2xx yτασσ=-- 10、第三和第四强度理论：3r σ=4r σ=11、平面弯曲杆件正应力：ZMy I σ=，截面上下对称时，Z MW σ=矩形的惯性矩表达式：312Z bh I =圆形的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=- 矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，圆形的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=- 13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力：max max *S z S Z F S FK bI Aτ== 14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤ （2）弯曲切应力max []ττ≤（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法max []w wl l≤，max []θθ≤ 16、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： maxmax min ()N ZF M A W σσ=± （2）偏心拉伸(偏心压缩)：max min ()N ZF F A W δσσ=± （3）弯扭变形杆件的强度计算：工程力学常用公式1、?=N F A ；N F ll EA ∆=；泊松比/y x νεε=-，2(1)E G μ=+，伸长率：%10000⨯-=l l l b δ，断面收缩率：%10000⨯-=A A A bψ2、扭转：/min {}{}9549{}kW Nmr P M n =，P I T ρτρ=，p p I W R=，max p T W τ=；P d T dx GI φ=，PTlGI φ=。
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M y Iz M 2 ymax max Iz
max
yymax
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。
200 (y2)
22kN A 2m B 1m C 12kN
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
解：画M图。
z
（a）
·m 8KN M图
M B 12KN m, M A 8KN m
A截面最大拉应力
12kN m ·
a
c
6 M y 8 10 200 A 2 max 16MPa 8 Iz 110
B截面最大拉应力
b
A截面
d
B截面
6 M y 12 10 100 B 1 max 12MPa 8 Iz 110
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ S
* z max
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26KN
RB 34KN
M max 136KN m
M max 136106 Wz 400cm3 2 2 170
M max max Wz
max
FQ S
* z max
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
Wz M max
Iz d 4 64 d 3 Wz ymax d 2 32 3 2 Iz bh 12 bh Wz ymax h2 6
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
M a b y z
τmin
1 2 2 2
2
τmax τmin
3 2 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
（2106 3.88MPa 1 Wz 140 2102 6
正应力强度满足。
3FQ max 2A
（3） 校核切应力强度
max
3 4 103 0.20MPa 2 140 210
切应力强度满足。
100 (y1)
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险 截面上产生最大应力的点称为危险点。 M max ymax M max max IZ Wz 对于脆性材料 M y max max Iz M y max max Iz 式中各量计算均用绝对值。
将此式改写为 令
Iz Wz ymax
M max max I z ymax
max
M Wz
则
max就愈小，梁便不容易破坏。可见 Wz 愈大， 下，
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。
式中 Wz ——抗弯截面系数。在M相同的情况
（2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生 在同一截面，所以，最大正应力公式表示为
M max Wz
3. 确定许用荷载
=4m
4kN FQ图 4kN
h
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 q=2kN/m 解 z
b
M图 4kN m ·
作 FQ 和 M 图
FQ max 4KN
M max 4KN m