一次方程及方程组--知识讲解

合集下载

一次函数解方程知识点总结

一次函数解方程知识点总结

一次函数解方程知识点总结一次函数是指函数的形式为y=ax+b的函数,其中a和b为常数且a不等于0。

一次函数解方程是指求解形式为ax+b=0的一次方程,其中a和b为已知的常数,x为未知数。

一次函数解方程的基本思想是通过移项、合并同类项、对等式两边进行相反运算等方法,使得方程的未知数x的系数化为1,从而求解出x的值。

下面将详细介绍一次函数解方程的基本步骤、方法和常见题型。

一、基本步骤1. 移项:将方程中所有含有未知数x的项移到等式的一边,将常数项移到等式的另一边。

注意,移项时要保持等式两边的平衡,不改变等式的值。

2. 合并同类项:将移项后的同类项进行合并,化简方程。

3. 求解未知数:通过对等式两边进行相反运算,使得未知数x的系数化为1,从而求解出x的值。

二、方法1. 加减法法:通过加减法将方程中的多项式进行合并,化简方程,最终求解出x的值。

2. 乘除法法:通过乘除法将方程中的系数进行变形,从而化简方程,最终求解出x的值。

3. 通解法:当一次函数解方程有多组解时,可使用通解法求出所有解的形式表示。

4. 检验法:在得到x的值后,将x代入原方程进行检验,以确认所得的x是否为方程的解。

5. 方程有两个未知数时,需用两个方程一起求解。

比如连个方程是a * x +b * y = cd * x +e * y = f6. 方程组方法:将两个一次方程联立起来成为一个方程组,通过消元法解方程组以求出未知数的值。

三、常见题型1. 类型一:一次方程的基本形式,如ax+b=0。

例题:求解方程2x-5=0的解。

解答:移项得2x=5,再除以2得x=5/2,所以方程的解为x=5/2。

2. 类型二:一次方程的变形形式,如ax+b=c例题:求解方程3x+7=10的解。

解答:移项得3x=10-7,再化简得3x=3,再除以3得x=1,所以方程的解为x=1。

3. 类型三:带有括号的一次方程,如ax+(b+c)x=d例题:求解方程2(x+3)=5的解。

完整版)二元一次方程组知识点及典型例题

完整版)二元一次方程组知识点及典型例题

完整版)二元一次方程组知识点及典型例题二元一次方程组小结与复一、知识梳理一)二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2.二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一对未知数的值,叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3.方程组和方程组的解1) 方程组:由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

2) 方程组的解:方程组中各个方程的公共解,叫作这个方程组的解。

4.二元一次方程组和二元一次方程组的解1) 二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。

2) 二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。

二)二元一次方程组的解法:1.代入消元法2.加减消元法二、典例剖析题型一1.二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式:任何一个二元一次方程经过整理、化简后,都可以化成ax+by+c=(a,b,c为已知数,且a≠0,b≠0)的形式,这种形式叫二元一次方程的一般形式。

练1:下列方程,哪些是二元一次方程,哪些不是?A) 6x-2=5z+6xB) m/11+yx=7C) x-yD) xy+2x+y=1练2:若方程(m-1)x+3y5n-9=4是关于x、y的二元一次方程,求mn的值。

练3:若方程(2m-6)x|n|-1+(n+2)ym-8=1是二元一次方程,则m=_______,n=__________.专题二:二元一次方程组的解法:解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

一)代入消元法:1.直接代入例1:解方程组y=2x-3。

4x-3y=1.2.变形代入例2:解方程组x+y=90y=3x-75x+2y=8x=15-2y5x-y=9。

3x+4y=10.3.跟踪训练:1) {2x-y=-4。

4x-5y=-23.2) {3x+5y=13。

3x-2y=5.3) {3x+5y=20。

一元一次方程组知识要点

一元一次方程组知识要点

一元一次方程知识要点一、知识框架二、知识梳理知识点一:一元一次方程及解的概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程;2、一元一次方程:在方程中,只含有一个未知数x 元,并且未知数的次数是1次,这样的方程叫一元一次方程;一元一次方程的标准形式:0=+b ax 其中x 是未知数,b a ,是已知数,且0≠a 要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件:1只含有一个未知数;2未知数的次数是1次;3整式方程;3、解方程与方程的解:求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解;判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等; 知识点二:一元一次方程的解法1、等式的基本性质等式的性质1:等式两边加或减同一个数或式子,结果仍相等;即:如果b a =,那么c b c a ±=±;c 为一个数或一个式子 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以一个不为0的数,结果仍相等; 即:如果b a =,那么bc ac =;如果b a =0≠c ,那么c b c a =; 要点诠释:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变; 即:)其中0(≠÷÷==m mb m a bm am b a 特别注意:分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数特别是分母中的小数化为整数,如方程:6.12.045.03=+--x x ,将其化为:6.12401053010=+=-x x ;方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开;2、解一元一次方程的一般步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1;⑴去分母时:①不含有分母的项也要乘以最小公分母;②区别于利用分数的性质将方程简化,此时不含分母的项不用扩大和缩小;③分数线相当于括号,去掉分母要将分子用括号括起来;⑵去括号时:与整式中去括号法则相同,注意括号外面的符号;⑶移项时:①区别于去括号,不论正负移项都要变号;②没有移项时不要误以为有移项,如x =-5得到5=x ,是错误的;⑷合并同类项时:把方程化成()0≠=a b ax 的形式;⑸系数化为1:在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解ab x =; 要点诠释:理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况,并进行简单应用:①0≠a 时,方程有唯一解a b x =; ②0,0==b a 时,方程有无数个解;③0,0≠=b a 时,方程无解;知识点三:列一元一次方程解应用题1、列方程解应用题的步骤:1审题:认真审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系; 2找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系;3设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程;4解方程:解所列的方程,求出未知数的值;5检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解是否符合实际,检验后写出答案;2、解应用题的书写格式:设→根据题意→解这个方程→检验→答;3、常见的一些等量关系1和、差、倍、分问题:①较大量=较小量+多余量②总量=倍数×倍量2等积变形问题:Sh V Sh V a V abh V 31,,,3====椎体柱体正方体长方体 3行程问题: 时间速度路程追及问题相遇问题⨯=4工程问题: 工作总量=工作效率×工作时间5利润率问题:()利润率进价售价商品进价商品利润商品利润率商品进价商品售价商品利润+⨯=⨯==1%100- 6数字问题:设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别是a,b,则这个两个数可表示为10a+b;7储蓄问题: 利息=本金×利率×期数本金和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×1-利息税率8按比例分配问题:甲:乙:丙=a:b:c9日历中问题: 日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1;日历中每一列上相邻的数,下边的数比上边的数大7;注意:日历中的数a 的取值范围是,且都是正整数知识点四:方程与整式、等式的区别1从概念来看:整式:单项式和多项式统称为整式;等式:用符号来表示相等关系的式子叫做等式;如m n n m +===+,653121等都叫做等式,而像n m b a 2117,31-+ 不含等号,所以他们不是等式,而是代数式; 方程:含有未知数的等式叫做方程;如4543,1135=--=+a x 等都是方程;理解方程的概念必须明确两点:是等式;含有未知数;两者缺一不可;2从是否含有符号来看:方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号;3从是否含有未知量来看:等式必含有“=”,但不一定含有未知量;方程既含有“=”,又必须含有未知数;但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式;一元一次方程的应用解应用题的步骤1.审:分析好问题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系,从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.要注意题中的相等关系有些是明显的,有些是不明显的,需要结合生活实际来发现;2.设:设未知数,一般求什么,就设什么为x,若有几个未知数,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来.有时直接设不容易设得话,可采用间接设;3.找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系;4.列:根据这个相等关系列出方程;5.解:解所列出的方程,求出未知数的值;6.验:检验所求得的解是否符合题意;7.答:检验所求解是否符合题意,写出答案包括单位名称.。

一次方程与方程组知识点总结归纳

一次方程与方程组知识点总结归纳

一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

- 一般形式:ax + b=0(a≠0),其中a是未知数x的系数,b是常数项。

例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。

2. 方程的解。

- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。

3. 等式的性质。

- 性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。

如果a=b,那么a±c = b±c。

- 性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

如果a = b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么(a)/(c)=(b)/(c)。

- 利用等式的性质可以求解一元一次方程,例如解方程2x+3 = 0,首先根据等式性质1,两边同时减3得2x=-3,再根据性质2,两边同时除以2得x = - (3)/(2)。

4. 一元一次方程的解法步骤。

- 去分母(若方程中存在分母时):根据等式性质2,在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数,将分母去掉。

例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1,分母2和3的最小公倍数是6,方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。

- 去括号:根据乘法分配律将括号去掉。

如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。

- 移项:把含未知数的项移到方程一边,常数项移到另一边,移项要变号。

例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。

- 合并同类项:将方程中同类项合并。

如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。

- 系数化为1:根据等式性质2,方程两边同时除以未知数的系数。

如5x = 5两边同时除以5得x = 1。

二、二元一次方程(组)1. 二元一次方程。

专题2.1 一次方程及方程组(知识讲解)

专题2.1 一次方程及方程组(知识讲解)

专题2.1 一次方程及方程组(知识讲解)【基本考点要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念,会解一元一次方程2.了解二元一次方程组的定义,会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组3.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组),体会方程思想和转化思【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式。

(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为零),结果仍是等式。

2.方程的概念(1)含有未知数的等式叫做方程。

(2)使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解(一元方程的解也叫做根)。

(3)求方程的解的过程,叫做解方程。

3.一元一次方程(1)只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程。

(2)一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠。

(3)解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1;⑥检验(检验步骤可以不写出来)。

特别说明:解一元一次方程的一般步骤(1)上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤,但并不是说,解每一个方程都必须经过六个步骤;(2)解方程时,一定要先认真观察方程的形式,再选择步骤和方法; (3)对于形式较复杂的方程,可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式,再依照一般方法解考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程,叫做二元一次方程组 特别说明:判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看,若一个方程组内含有两个未知数,并且未知数的次数都是1次,这样的方程组都叫做二元一次方程组 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 特别说明:a 1、a 2不同时为0,b 1、b 2不同时为0,a 1、b 1不同时为0,a 2、b 2不同时为0 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法 (2) 加减消元法 特别说明:(1)二元一次方程组的解有三种情况,即有唯一解、无解、无限多解。

方程与方程组知识点

方程与方程组知识点

第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子,叫做等式. 等式的性质:(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式,所得的结果仍是等式. 即若a=b,贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数),所得结果仍是等式•即a b若a = b,贝U am = bm,或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同,那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理:①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中,只含一个未知数,且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程.标准形式:ax • b = 0(a = 0) 最简形式:ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0,则方程有唯一解x = b;a(2)若a=0,且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解;(3)若a=0,且0,方程变为0・x=b,则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1),得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题:明确己知是什么,未知是什么及相互关系,并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程:求出未知数的值.(5)检验、作答,检验应是:检验所求的解既能使方程成立,又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ,期数为n 则① 单利:本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数),即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价,原价,售价,利润率的关系:利润原价汉0.1x —进价打x 折:实际售价=原价X 0.1x .此时,禾U 润率=——=——-----进价进价练习:原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折,折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题,追及问题、逆(顺)流问题,上坡、下坡问题等,在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系:路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题:s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题:s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离),V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利:本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系:工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系:甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系:现产量=原产量X (1+增长率)• 百分比浓度问题基本量之间的关系:溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系:V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆,v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数,并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式:ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组(1)代入消元法(代入法):①用含有x(或y )代数式表示y (或x),即变成y=ax,b(或x=ay,b)的形式;②将y =ax - b(或x =ay ■ b)代入另一个方程中,消去y (或x),得到一个关于x(或y)的一元一次方程;③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;④把x(或y)的值代入y=ax,b(或x=ay,b)中,求出y (或x)的值,从而得到方程组的解.(2)加减消兀法(加减法):①方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使一个未知数的系数互为相反数或相等;②把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程;④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成,并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤:[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值;. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个一i元一次方程;: ④解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值,从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求:能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中,如何应用函数知识解决实际问题,关键是建立函数模型,即列出符合题意的函数解析式,再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式,这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式:ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时,x • a二.b , x二-a -、b,当b <0时,方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤:①二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数;②移项:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0),当b2 -4ac _ 0时,它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0,则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ,求出X i, X2;若b -4ac:::0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时,将另一边分解成两个一次因式的乘积,这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①将方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;一④解这两个二元一次方程,它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理;:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式,通常用“丄”; 来表示,即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系:厶>0=方程有两个不相等的实数根;二=0:=方程有两个相等的实数根;匚<0:=方程没有实数根; / _0:=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2,那么两根之和,等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数[I 所得的商,即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .;a a:韦达定理的两个重要推论::I I推论1:如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -(为 x 2)x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用:(1) 验根,不解方程,利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根,求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程,可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值,X 1,X 2互换,代数式不变,那么,我们就称这类代数;式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根,求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积,求这两个数.; (6)已知方程两个根满足某种关系,确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题,如讨论根的范围,判定三角形的形状等. :根的符号的讨论:I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明:如果把含x 1, x 2的代数式中;利用韦达定理,还可进一步讨论根的符号,设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2,则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0:=两根同正;II! 二0,且x1x2 0, x.) x2:::0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II;ac c0,且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大;II: ac c0,且%+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.;补二元二次方程组i ;含有两个未知数,并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关;I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为:ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项,a,b,c叫做二次项系数;dx , ey叫做一次项,d,e : 叫做一次项系数;f叫做常数项. [ ;由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法:: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法:: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示;: : ②把这个代数式代入二元二次方程,得到一个一元方程;1 ; ③解这个一元方程,求得一个未知数的值;[ ;④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值,否则,如1果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现增解的问题;; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起,就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X :卜y 二ai 对型如y 的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x, y看做一:: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根,一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值,就是一x, y .的值.所_:% = z 2;i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法:;一般步骤:! ①先把方程组中的一个方程分解降次,化为两个一次方程;: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立, 方程和一个二元二次方程组成的方程组;一③解这两个新的方程组,所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求:会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是:① 去分母,方程两边都乘以最简公分母; ② 解所得的整式方程;③ 验根:将所得的根代入最简公分母,若等于 0就是增根,应该舍去;若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法; 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种 [特别形式,一般的去分母不易解决时,可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤:;(1)设辅助的未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; ;(3)把辅助未知数的值代入原式中,求出原未知数的值; :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。

人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理

人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一:不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念(1)不等式:用不等号(>,≥,<,≤或≠)表示不等关系的式子.(2)不等式的解:使不等式成立的未知数的值.(3)不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范围.例:“a与b的差不大于1”用不等式表示为a-b≤1.2.不等式的基本性质性质1:若a>b,则a±c>b±c;性质2:若a>b,c>0,则ac>bc,ac>bc;性质3:若a>b,c<0,则ac<bc,ac<bc.牢记不等式性质3,注意变号.如:在不等式-2x>4中,若将不等式两边同时除以-2,可得x<2.知识点二:一元一次不等式3.定义用不等号连接,含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1的,左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例:若230mmx++>是关于x的一元一次不等式,则m的值为-1.4.解法(1)步骤:去分母;去括号;移项;合并同类项;系数化为1.失分点警示系数化为1时,注意系数的正负性,若系数是负数,则不等式改变方向.(2)解集在数轴上表示:x≥a x>a x≤a x<a知识点三:一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.(1)在表示解集时“≥”,“≤”表示含有,要用实心圆点表示;“<”,“>”表示不包含要用空心圆点表示.(2)已知不等式(组)的解集情况,求字母系数时,一般先视字母系数为常数,再逆用不等式(组)解集的定义,反推出含字母的方程,最后求出字母的值.如:已知不等式(a-1)x<1-a 的解集是x>-1,则a的取值范围是a<1.6.解法先分别求出各个不等式的解集,再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a<b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小,小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大,小小取不了知识点四:列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题(1)一般步骤:审题;设未知数;找出不等式关系;列不等式;解不等式;验检是否有意义.(2)应用不等式解决问题的情况:a.关键词:含有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“不高于(≤)”、“不大(小)于”、“超过(>)”、“不足(<)”等;注意:列不等式解决实际问题中,设未知数时,不应带“至少”、“最多”等字眼,与方程中设未知数一致.。

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组

中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程(1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)(2)一玩一次方程的最简形式:ax=b(其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0)(3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程(1)一元二次方程的一般形式:(其中x是未知数,a、b、c 是已知数,a≠0)(2)一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法(3)一元二次方程解法的选择顺序是:先特殊后一般,如果没有要求,一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判别式:当Δ>0时方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时方程有两个相等的实数根;当Δ<0时方程没有实数根,无解;当Δ≥0时方程有两个实数根(5)一元二次方程根与系数的关系:若是一元二次方程的两个根,那么:,(6)以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:三、分式方程(1)定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法:一般解法:去分母法,方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法:换元法。

(3)检验方法:一般把求得的未知数的值代入最简公分母,使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根,增根必须舍去,也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

四、方程组1、方程组的解:方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

2、解方程组:求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组:(1)二元一次方程组:一般形式:(不全为0)解法:代入消远法和加减消元法解的个数:有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数的解。

一元一次方程、二元一次方程(组)及应用

一元一次方程、二元一次方程(组)及应用

一元一次方程、二元一次方程(组)及应用知识点1:一元一次方程及应用1,系数不等于0的整式方程,叫做一元一次方程.一元一次方程的标准式是:ax +b=0(其中x 是未知数,a 、b 是已知数,并且a≠0). 一元一次方程的最简式是:ax=b(a≠0).【例1】下列方程是一元一次方程的是( )A.x2+1=5 B. 3(m -1)-1=2 ; C. x-y=6 D.都不是 【例2】选项中是方程的是( ) B. a-1>2 C. a 2+b 2-5 D. a 2+2a-3=5;解一元一次方程的一般步骤:1.去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;2.去括号:先去小括号,再去中括号,最后去大括号;3.移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;4.合并同类项:把方程化成ax=b(a ≠0)的形式;5.系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解。

【例3】解方程:(1)47815=-x ; (2) 21216231--=+--x x x ;解方程的问题。

【例4】甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t ,乙池又注入8t 后,甲池的水比乙池的水少3t ,问原来甲、乙两个水池各有多少吨水?【例5】一份试卷共25道题,每道题都给出四个答案,其中只有一个是正确的,要求学生把正确答案选出来,每题选对得4分,不选或选错扣1分,如果一个学生得90分,那么他选对几题?现有500名学生参加考试,有得83分的同学吗?为什么?知识点2:二元一次方程(组)及应用1,这样的方程,叫做二元一次方程.二元一次方程组:含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组,叫做二元一次方程组.解:使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方1、 代入消元法解二元一次方程组基本思路:未知数由多变少。

消元法的基本方法:将二元一次方程组转化为一元一次方程。

2、 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解

一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解

一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程教学目的1. 回顾已学过的关于方程(组)与方程的解的概念掌握方程的一些特点以及常规考点,特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方,巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。

重难点1. 二元一次方程组,一元二次方程的应用在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系,并运用存在的关系建立方程 教学过程一.一次方程与一次方程组1.方程(组)与方程的解的概念(1)方程:含有未知数的等式叫做方程(2)方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

(3)一元一次方程:只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。

(4)二元一次方程:含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程,它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。

(5)二元一次方程组:几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。

(6)二元一次方程组的解:方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解2.解方程的依据等式的性质:(1) 等式的两边都加上或者减去同一个整式,得到的结果仍是等式(2) 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式,所得结果仍是等式2. 方程或方程组的解法与步骤(1) 解一元一次方程的一般步骤:①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一(2) 解二元一次方程组的基本思路:通过消元使其转化为一元一次方程来解,通常的消元法有代入法和加减法。

3. 列方程(组)解应用题的一般步骤(1) 审题,特别注意关键的字和词的意义,弄清相关数量关系,已知什么,求什么;(2) 设未知数(注意单位的同意);(3) 根据相灯关系列出方程(组);(4) 解方程(组),并检验;(5) 写出答案(包括单位名称)。

注意:列方程(组)解应用题的关键是:确定等量关系。

沪教版六年级:二元一次方程及方程组

沪教版六年级:二元一次方程及方程组

沪教版六年级:二元一次方程及方程组一、基础导航知识要点1:二元一次方程及方程组1.含有两个未知数,且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。

3.二元一次方程的解集:二元一次方程的解有无数个,二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集。

4.两个二元一次方程合在一起,就组成了二元一次方程组。

5.使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。

例1:1、在⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==448118y x y x y x 这三组数中, 是方程2023=+y x 的解, 是方程2032=+y x 的解.2、当m = ,n = 时,方程()03122=++--n y x x m 是一个二元一次方程。

3、下列方程组中,二元一次方程组一共有( )个(1)⎩⎨⎧=+-=x y y x 51(2)⎩⎨⎧=+=-032y x y x (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-=-1231y x y x (4)⎩⎨⎧-==-532x y y x A .1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个小试牛刀11、在二元一次方程652=+y x 的解中,如果x 和y 互为相反数,那么这个方程的解是 .2、二元一次方程32=+x y 的正整数解是 。

3、下列判断中,正确的是 ( )A .方程y x =不是二元一次方程B .任何一个二元一次方程都有一组解C .方程52=-y x 有无数个解,任何一对x 、y 的值都是该方程的解D .⎩⎨⎧-==12y x 既是方程42=-y x 的解,又是方程132=+y x 的解4、已知11x y =⎧⎨=⎩是方程组23ax by x by +=⎧⎨-=⎩的解,求a 、b 的值知识要点2:用代入消元法解二元一次方程组运用代入消元法解方程组的一般步骤:(1)从方程组中选出一个系数较为简单的方程,将这个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。

一元一次方程知识点总结和例题讲解

一元一次方程知识点总结和例题讲解

第六章 一元一次方程知识点汇总(一)、方程的有关概念1. 方程:含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程:只含有一个未知数(元)x ,未知数x 的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程. 例如: 1700+50x=1800, 2(x+1.5x )=5等都是一元一次方程. (例1)3.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. (例2)注:⑴ 方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵ 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.(二)、等式的性质等式的性质(1):等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质(1)用式子形式表示为:如果a=b ,那么a ±c=b ±c等式的性质(2):等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质(2)用式子形式表示为:如果a=b ,那么ac=bc;如果a=b(c ≠0),那么a c =bc(三)、移项法则:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.(例3) (四)、去括号法则1. 括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号相同.2. 括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号相应各项的符号改变. (五)、解方程的一般步骤(例4)1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a ≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解x=ba ).一.列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意.(2)找出等量关系:找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数,列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,•然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知数的值.(5)检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,•是否符合实际,检验后写出答案.第七章 二元一次方程组 一、知识点总结 1、二元一次方程:含有两个未知数(x 和y ),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程,它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.2、二元一次方程的解:一般地,能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组:含有两个未知数(x 和y ),并且含有未知数的项的次数都是1,将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.4、二元一次方程组的解:二元一次方程组中的几个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况:①无解,例如:16x y x y +=⎧⎨+=⎩,1226x y x y +=⎧⎨+=⎩;②有且只有一组解,例如:122x y x y +=⎧⎨+=⎩;③有无数组解,例如:1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】5、二元一次方程组的解法:代入消元法和加减消元法。

中考数学方程和方程式基础知识

中考数学方程和方程式基础知识

中考数学方程和方程式基础知识基础知识点:一、方程有关概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程(1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 是未知数,a 、b 是已知数,a ≠0)(2)一玩一次方程的最简形式:ax=b (其中x 是未知数,a 、b 是已知数,a ≠0)(3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

(4)一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程(1)一元二次方程的一般形式:02=++c bx ax (其中x 是未知数,a 、b 、c 是已知数,a ≠0)(2)一元二次方程的解法: 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法(3)一元二次方程解法的选择顺序是:先特殊后一般,如果没有要求,一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判别式:ac b 42-=∆ 当Δ>0时⇔方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根;当Δ< 0时⇔方程没有实数根,无解;当Δ≥0时⇔方程有两个实数根(5)一元二次方程根与系数的关系:若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根,那么:a bx x -=+21,a cx x =⋅21(6)以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程(1)定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法:一般解法:去分母法,方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法:换元法。

(3)检验方法:一般把求得的未知数的值代入最简公分母,使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根,增根必须舍去,也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

中考总复习一次方程及方程组--知识讲解

中考总复习一次方程及方程组--知识讲解

中考总复习一次方程及方程组--知识讲解一、一次方程1.1一次方程的定义一次方程是指未知数的最高次数为1的方程,可以用下面的形式表示:ax + b = 0其中,a和b为已知数,a≠0,x为未知数。

1.2方程的解求解一次方程的过程,就是要确定使等式成立的未知数的值。

将未知数的值代入等式,若等式成立,则该值为方程的解。

1.3解一次方程的方法1.3.1移项法对于一次方程ax+b=0,可以通过移项来求解,具体步骤如下:- 将一次方程两边的常数项b移到方程的右边,得到ax = -b-再将一次方程两边的系数项a移到方程的右边(即除以a),得到x=-b/a1.3.2代入法代入法是指将一次方程的已知数代入方程,然后求解未知数的值。

具体步骤如下:-将方程的已知数代入未知数的位置,得到一个带有未知数的一次方程-再求解带有未知数的一次方程,得到未知数的值1.4解一次方程的注意事项当解一次方程时,需要注意以下几点:-方程的两边同时加上(或减去)相同的数,等号的两边仍然相等。

即可以将方程中的数移到等号的另一边。

-方程的两边同时乘以(或除以一个不为0的数),等号的两边仍然相等。

即可以将方程中的系数移到等号的另一边。

二、一次方程组2.1一次方程组的定义一次方程组是指多个一次方程组成的方程组,可以用下面的形式表示:a₁x+b₁y+c₁=0a₂x+b₂y+c₂=0其中,a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知数,a₁、b₁、a₂、b₂≠0,x和y为未知数。

2.2方程组的解求解一次方程组的过程,就是要确定使所有方程都成立的未知数的值。

将未知数的值代入所有方程,若所有方程都成立,则该值为方程组的解。

2.3解一次方程组的方法2.3.1代入法代入法是指将一个方程的解代入其他方程中,然后求解代入后的方程,得到未知数的值。

具体步骤如下:-解一个方程,得到其中一个未知数的解-将这个未知数的解代入另一个方程中,得到一个只有一个未知数的一次方程-求解这个一次方程,得到另一个未知数的解2.3.2消元法消元法是指通过对一次方程组中的方程进行加、减、乘、除等运算,将方程组中的未知数逐渐消去,从而得到只含一个未知数的方程。

一次方程(组)复习教案

一次方程(组)复习教案

一次方程(组)复习教案第一章:一次方程的定义与解法1.1 方程的定义:解释方程的概念,方程是一个含有未知数的等式。

强调方程中的等号表示两边的值相等。

1.2 一次方程的定义:介绍一次方程的概念,一次方程是最高次数为1的方程。

举例说明一次方程的一般形式:ax + b = 0。

1.3 解一次方程的步骤:讲解解一次方程的步骤,包括:1. 将方程写成标准形式ax + b = 0。

2. 移项,将未知数移到方程的一边,常数移到另一边。

3. 化简方程,消去系数。

4. 求解未知数的值。

1.4 解一次方程的练习:提供一些练习题,让学生根据解一次方程的步骤求解。

引导学生运用加减法、乘除法等运算来化简方程。

第二章:二元一次方程的定义与解法2.1 二元一次方程的定义:介绍二元一次方程的概念,二元一次方程是含有两个未知数的一次方程。

举例说明二元一次方程的一般形式:ax + = c。

2.2 解二元一次方程的步骤:讲解解二元一次方程的步骤,包括:1. 将方程组写成标准形式,即两个方程分别写成ax + = c 的形式。

2. 利用代入法或消元法求解未知数的值。

3. 检验解的可行性,确保解满足原方程组的所有方程。

2.3 解二元一次方程组的练习:提供一些练习题,让学生根据解二元一次方程的步骤求解。

引导学生运用代入法、消元法等方法来求解方程组。

第三章:一次方程与一次不等式的关系3.1 一次方程与一次不等式的定义:介绍一次方程与一次不等式的概念,一次方程是等式,而一次不等式是不等号连接的两个表达式。

举例说明一次不等式的一般形式:ax + b > c 或ax + b ≤c。

3.2 一次方程与一次不等式的关系:解释一次方程的解集是一次不等式的解集的特殊情况。

讲解如何从一次方程的解集中找出满足一次不等式的解。

3.3 解一次不等式的步骤:讲解解一次不等式的步骤,包括:1. 将不等式写成标准形式,即ax + b ≤c 或ax + b > c。

小学解方程全部知识点总结

小学解方程全部知识点总结

小学解方程全部知识点总结一、什么是方程在数学中,方程是含有未知数的等式,它表示了一种数学关系。

方程的解就是能满足这个等式的未知数的值。

二、解方程的基本原则1. 相等原则:等号两边的数相等2. 加减原则:等式两边加减同一个数,等式仍成立3. 乘除原则:等式两边同时乘除同一个数,等式仍成立4. 变形原则:在等式两边同时作相同变形时,等式仍成立三、解一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数,并且该未知数的次数是1的方程。

一般写成形如ax + b = c的形式。

2. 解一元一次方程的步骤(1)将方程术语中的字母项移到一个方向,常数项移到另一个方向,使方程变为ax=b (a≠0)的形式。

(2)把b除以a,得到x的值。

3. 例题例1:3x + 5 = 17步骤1:将常数项5移到另一边,得到3x = 17 - 5步骤2:计算得到x = 4例2:2y - 7 = 11步骤1:将常数项-7移到另一边,得到2y = 11 + 7步骤2:计算得到y = 9四、解一元一次方程组1. 一元一次方程组的定义一元一次方程组是由若干个一元一次方程联立组成的方程组。

其一般形式为:a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1,b1,c1,a2,b2,c2均为已知数,而x和y是未知数。

2. 解一元一次方程组的步骤(1)利用其中一个方程解其中一个未知数;(2)将求得的未知数代入另一个方程,得到另一个未知数的值;(3)将求得的未知数值代入另一个方程,检验结果。

3. 例题例1:求解方程组{2x - y = 13x + 2y = 10步骤1:用第一个方程解出x,得到x = 1 + y步骤2:将x代入第二个方程,得到3(1+y) + 2y = 10(3+y)+ 2y = 103y + 3 = 103y = 7y = 7/3步骤3:将y = 7/3代入x = 1 + y,得到x = 1 + 7/3 = 10/3五、解含有括号的一元一次方程1. 解法步骤()去括号(2)去分母(3)合并同类项(4)移项2. 例题例1:3(x + 4) = 5步骤1:去括号,得到3x + 12 = 5步骤2:移项,得到3x = 5 - 12步骤3:计算得到x = -7/3例2:2(3y - 5) = 14 - 4y步骤1:去括号,得到6y - 10 = 14 - 4y步骤2:合并同类项,得到6y + 4y = 14 + 10 步骤3:移项,得到10y = 24步骤4:计算得到y = 24/10 = 12/5六、解含有分数的一元一次方程1. 解法步骤(1)通分(2)去分母(3)移项2. 例题例1:2/3x + 1/6 = 1/2步骤1:通分,得到4/6x + 1/6 = 3/6步骤2:去分母,得到4x + 1 = 3步骤3:移项,得到4x = 3 - 1步骤4:计算得到x = 2/4 = 1/2例2:5/6y - 2/3 = 1步骤1:通分,得到5/6y - 4/6 = 6/6步骤2:去分母,得到5y - 4 = 6步骤3:移项,得到5y = 6 + 4步骤4:计算得到y = 10/5 = 2七、总结解一元一次方程是小学数学学习中的一个重要环节。

最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编

最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编

中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式,根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程,叫做一元一次方程。

(2)含有2个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次,这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数,并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程,其一般形式为)0(02a cbx ax。

(6)解一元二次方程的方法有:①直接开平方法;②配方法;③公式法;④因式分解法例:(1)042x(2)0342x x(3)4722x x (4)0232x x(7)一元二次方程的根的判别式:ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。

对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△>0时,有两个不相等的实数根;当△=0时,有两个相等的实数根;当△<0时,没有实数根;反之也成立。

(8)一元二次方程的根与系数的关系:如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21,ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式:)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母,化分式方程为整式方程;◆2、解这个整式方程;◆3、验根。

注意:(1)解分式方程的基本思想是“转化”,即把分式方程化为我们熟悉的整式方程,转化的途径是“去分母”,即方程两边都乘以最简公分母.(2)因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程必须检验,检验是解分式方程必要的步骤.二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不为 0 的不等式,叫做一元一次不等式。

数学解方程知识点大全总结

数学解方程知识点大全总结

数学解方程知识点大全总结一、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为一的方程。

一般形式为:ax+b=0,其中a≠0,a为系数,b为常数。

2. 一元一次方程的解法(1) 直接相减法对于方程ax+b=0,可以通过将b移到等号的另一侧,再将a约分来求得未知数的值。

(2) 换元法当遇到系数a较大或不便化简的情况时,可以通过引入新的未知数来简化方程的解法。

(3) 代入法可以通过将一个已知的值代入方程中来求解未知数的值。

(4) 图形法通过画出方程对应的直线图形,在图上找到方程的解。

(5) 相等系数法当两个或多个未知数满足同一个方程时,可以将其系数都等式化,然后联立求解。

3. 一元一次方程的实际应用一元一次方程可以应用在日常生活中的各种问题当中,例如物品的购买、运输时间的计算、工程建设的规划等等,都可以通过建立一元一次方程来进行求解。

4. 一元一次方程的解的判定一元一次方程存在唯一解的条件是系数a不为零。

当a=0时,如果b=0,方程有无穷多解;如果b≠0,方程无解。

二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为二的方程。

一般形式为:ax^2+bx+c=0,其中a≠0,a、b、c分别为系数。

2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法可以通过将一元二次方程进行因式分解,得到两个一元一次方程,再分别求解,得到方程的解。

(2) 完全平方公式当一元二次方程为完全平方公式的形式时,可以直接应用完全平方公式进行求解。

(3) 公式法通过一元二次方程的求根公式(即二次方程的根公式)进行求解。

(4) 完全平方差公式当一元二次方程为完全平方差公式的形式时,可以直接应用完全平方差公式进行求解。

3. 一元二次方程的实际应用一元二次方程可以应用在各种实际问题当中,例如抛物线运动的轨迹、图形的面积计算、物质的变化规律等,都可以通过建立一元二次方程来进行求解。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

中考总复习:一次方程及方程组--知识讲解
【考纲要求】
1.了解等式、方程、一元一次方程的概念,会解一元一次方程;
2.了解二元一次方程组的定义,会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组;
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组),体会方程思想和转化思想.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元一次方程 1.等式性质
(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式. (2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为零),结果仍是等式. 2.方程的概念
(1)含有未知数的等式叫做方程.
(2)使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). (3)求方程的解的过程,叫做解方程. 3.一元一次方程
(1)只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.
(2)一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠.
(3)解一元一次方程的一般步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1;⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释:
解一元一次方程的一般..步骤 步

名 称 方 法
依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数(即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数)
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数;
2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.
2 去括号 去括号法则(可先分配再去括号)
乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到方程的一边(左边),常数项移到另一边
等式性质1
移项一定要改变符号
(右边)
4 合并
同类

分别将未知项的系数相加、
常数项相加 1、整式的加减; 2、有理数的加法法则 单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1” 在方程两边同时除以未知数的系数(或方程两边同时乘以未知数系数的倒数)
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数(未知数的系数作除数——分母)
*6
检根 x=a 方法:把x=a 分别代入原方程的两边,分别计算出结果.
① 若 左边=右边,则x=a 是方程的解; ② 若 左边≠右边,则x=a 不是方程的解.
注:当题目要求时,此步骤必须表达出来.
说明:
(1)上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤,但并不是说,解每一个方程都必须经过六个步骤;
(2)解方程时,一定要先认真观察方程的形式,再选择步骤和方法;
(3)对于形式较复杂的方程,可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式,再依照一般方法解.
考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程,叫做二元一次方程组. 要点诠释:
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看,若一个方程组内含有两个未知数,并且未知数的次数都是1次,这样的方程组都叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程组的一般形式
111
222
a x
b y
c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩ 要点诠释:
a 1、a 2不同时为0,
b 1、b 2不同时为0,a 1、b 1不同时为0,a 2、b 2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法
(1) 代入消元法; (2) 加减消元法. 要点诠释:
(1)二元一次方程组的解有三种情况,即有唯一解、无解、无限多解.教材中主要是研究有唯一解的情况,对于其他情况,可根据学生的接受能力给予渗透.
(2)一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系:
当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时,可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围,由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式,所以解二元一次方程可以转化为:当y =0时,求x 的值.从图象上看,这相当于已知纵坐标,确定横坐标的值.
考点三、一次方程(组)的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤:
1.审:分析题意,找出已知、未知之间的数量关系和相等关系;
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元),注意单位的统一和语言完整;
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程(组);
4.解:解所列的方程(组);
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解;②是否使代数式有意义;③是否满足实际意义);
6.答:注意单位和语言完整.
要点诠释:
列方程应注意:(1)方程两边表示同类量;(2)方程两边单位一定要统一;(3)方程两边的数值相等.
【典型例题】
类型一、一元一次方程及其应用
1.如果方程2n 731
x 157
--=是关于x 的一元一次方程,则n 的值为( ).
A.2
B.4
C.3
D.1
【思路点拨】未知数x 的指数是1即可. 【答案】B ;
【解析】由题意可知2n-7=1,∴n=4.
【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三:
【变式1】已知关于x 的方程4x-3m=2的解是x=5,则m 的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m =2,∴m=6.
【高清课程名称:一次方程及方程组 高清ID 号:404191 关联的位置名称(播放点名称):例4】
【变式2】若a ,b 为定值,关于x 的一元一次方程26
32=--+bx
x x ka 无论k 为何值时,它的解总是1,
求a ,b 的值.
【答案】a=0,b=11.
2.(优质试题•顺德区校级三模)一收割机收割一块麦田,上午收割了麦田的25%,下午收割了剩下麦田的20%,结果还剩下6公顷麦田未收割.这块麦田一共有多少公顷?
【思路点拨】设这块麦田一共有x 公顷,根据上午收割了麦田的25%,则剩余x (1﹣25%)公顷,再利用下午收割了剩下麦田的20%,则剩余x (1﹣25%)(1﹣20%)公顷,进而求出即可. 【答案与解析】解:设这块麦田一共有x 公顷, 根据题意得出:x (1﹣25%)(1﹣20%)=6, 解得:x=10,
答:这块麦田一共有10公顷.
【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用,正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键.
举一反三:
【变式】“五一”期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为2080
元.设该电器的成本价为x 元,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A .()130%80%2080x +⨯= B . 30%80%2080x ⋅⋅= C . 208030%80%x ⨯⨯= D . 30%208080%x ⋅=⨯
【答案】成本价提高30%后标价为()130%x +,打8折后的售价为()130%80%x +⨯.
根据题意,列方程得()130%80%2080x +⨯=,故选A .
类型二、二元一次方程组及其应用
3.(优质试题春•宁波期中)解下列方程组. (1)
(2).
【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解:(1)

将②代入①得:2(﹣2y+3)+3y=7, 去括号得:﹣4y+6+3y=7, 解得:y=﹣1,
将y=﹣1代入②得:x=2+3=5, 则方程组的解

(2),
①×4+②×3得:17m=34, 解得:m=2,
将m=2代入①得:4+3n=13, 解得:n=3, 则方程组的解为

【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点,灵活选用适当的方法,提高解题速度.
举一反三:
① ②。

相关文档
最新文档