三角函数模型的简单应用教案
〖2021年整理〗《三角函数模型的简单应用》优秀教案
三角形函数模型的简单应用一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解并掌握三角函数模型应用基本步骤，会利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型 （二）学习目标1．了解并掌握三角函数模型应用基本步骤．2．利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法．3．感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题． （三）学习重点1．运用三角函数模型，解决一些具有周期性变化规律的实际问题2．从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型． （四）学习难点分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）三角函数可以作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型 （2）=|in |是以 π 为周期的波浪形曲线 2．预习自测 （1）函数=in （2-3π）的最小正周期为 π (二)（2）已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数=10in （8π-45π）2021∈4，16]，则该地区这一段时间内的最大温差为 2021课堂设计 1知识回顾（1）参数A （A ﹥0），ω（ω﹥0），φ对函数图象的影响（2）函数=A in （ωφ）的图象（3）=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义 2问题探究例1 如图,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=in ωφb1求这一天6—14时的最大温差;2写出这段曲线的函数解析式 【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合的数学思想 【解题过程】解:1由图可知,这段时间的最大温差是20212从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=A in ωφb 的半个周期的图象,∴A =2130-10=10,b =213010=202121·ωπ2=14-6,∴ω=8π将=6,=10代入上式,解得φ=43π综上,所求解析式为=10in8π43π2021∈6,14]【思路点拨】本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题，引导学生观察给出的模型函数并思考要解决的问题，让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用提醒学生注意本题中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,此段恰好为半个周期本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围同类训练 如下图表示的是电流I 与时间t 的函数关系()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωt A I 在一个周期内的图象1根据图象写出()ϕω+=t A I sin 的解析式; 2为了使()ϕω+=t A I sin 中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】解:1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴πϕωϕω=+⋅=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅1501,03001解得3,100πϕπω==,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3100sin 300ππt I 2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴πω200≥故629min =ω 【思路点拨】观察图像带入零点和最值点是求解解析式的常用办法例2 如图,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值由地理知识可知,南、北回归线之间的地带可被太阳直射到,由画图易知太阳高度角θ、楼高h 0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系:h 0=h tanθ由地理知识可知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况解:如图,A 、B 、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC 根据太阳高度角的定义,有∠C ＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′, 所以MC ＝tanC h 0=34'26tan h 0≈ 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距【思路点拨】引导学生思考楼高与楼在地面上投影长之间的关系,带领学生分析问题，提示学生从复杂的背景中抽取基本的数学关系，调动相关学科知识来帮助解决问题，最终将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型,再根据所得的函数模型解决问题同类训练 某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？【知识点】正切函数 【数学思想】数形结合【解题过程】解:北楼被南楼遮挡的高度为 h =15tan ［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈, 由于每层楼高为3米,根据以上数据, 所以他应选3层以上【思路点拨】结合图像恰当的选择三角函数解决实际问题例 3 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻 0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深/米1选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值精确到2一条货船的吃水深度船底与水面的距离为4米,安全条例规定至少要有米的安全间隙船底与洋底的距离,该船何时能进入港口在港口能呆多久3若某船的吃水深度为4米,安全间隙为米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域活动1：引导学生观察上述问题表格中的数据，发现规律并进一步引导学生作出散点图引导学生根据散点的位置排列,思考并建立相应的函数模型刻画其中的规律活动2：根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解根据题意,一天中有两个时间段可以进港问题1：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？问题2：第3问中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？ 问题3：根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？【知识点】正弦函数的图像与性质 【数学思想】数形结合 【解题过程】解:1以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图根据图象,可以考虑用函数=Ainωφh 刻画水深与时间之间的对应关系从数据和图象可以得出: A ＝,h ＝5,T ＝12,φ＝0, 由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π所以这个港口的水深与时间的关系可用＝6π5近似描述 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 时刻 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20210 21:00 22:00 23:00 水深2货船需要的安全水深为4＝米,所以当≥时就可以进港 令6π5=,in6π=MODE MODE由计算器可得 2SHIFT in -1=357 92≈ 4如图,在区间[0,12]内,函数＝6π5的图象与直线＝有两个交点A 、B ,因此6π≈ 4,或π－6π≈ 4 解得A x ≈ 8,B x ≈ 2由函数的周期性易得:C x ≈12 8＝ 8,D x ≈12 2＝ 2因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港每次可以在港口停留5小时左右(3)设在时刻货船的安全水深为,那么=在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点通过计算也可以得到这个结果在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为米;时的水深约为米,此时货船的安全水深约为米;7时的水深约为米,而货船的安全水深约为4米因此为了安全,货船最好在时之前停止卸货,将船驶向较深的水域【思路点拨】引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意题目需留意的定量与变量，如：货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨同类训练 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t 时的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深的关系t 0 3 6 9 12 15 18 21 2412经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ）A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈【知识点】三角函数的图像与性质 【数学思想】数形结合【解题过程】由表可得，最大值为15，相邻两个最大值之间间隔12，故周期T =12，故6122ππ=，故6πω=，答案选A【思路点拨】观察表格，求出相邻两个波峰之间的横向距离，即周期 【答案】A3. 课堂总结 知识梳理三角函数模型应用的基本方法及一般步骤：①审题：观察收集到的数据，寻找规律，发现数据间的数量关系；②建模：根据已知数据绘制散点图，建立三角函数式、三角不等式或三角方程等； ③求解：根据题意求出某点的三角函数值；④检验：检验所求解是否符合实际意义，通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据； ⑤还原：将所得结论转译回实际问题 重难点归纳建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式． （三）课后作业基础型 自主突破,B ,C 是△ABC 的三个内角,且in A >in B >in C ,则 >B >C2πC >2π【知识点】根据三角函数判断三角形各角大小 【数学思想】三角函数图象的应用【解题过程】∵in A >in B >in C ,又 三角形内角和为180°,∴由函数＝in ,），（π0∈图象可得A >B >C 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，所以讨论函数为＝in ,），（π0∈ 【答案】A2．2021年8月，在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形、与中间的小正方形拼成的大正方形．若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为251，则in θco θ= ．【知识点】在实际问题中建立三角函数模型．【数学思想】主要考查求解三角函数，关键是理解题意并正确利用勾股定理【解题过程】解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为51设θ所对的直角边为，则由勾股定理得：15122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x∴=53，∴in θ=53,co θ=54∴in θco θ=57【思路点拨】根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值． 【答案】57能力型 师生共研的函数关系，I =A in ωφω>0,|φ|<2π在一个周期内的图象1根据图象写出I =A in ωφ的解析式； 2为了使I =A in ωφ中的t 在任意一段1001的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建【解题过程】1由图知A =300,第一个零点为－3001,0,第二个零点为1501,0, ∴ω·－3001φ=0,ω·1501φ=π解得ω=100π,φ=3π∴I =300in100πt 3π2依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥=629 【思路点拨】根据图象可求得相应三角函数，根据题意利用所得三角函数求出电流I 及ω 【答案】1I =300in100πt 3π；2629 探究型 多维突破（米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：t （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米）根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数=A in ωtb 的图象． （1）试根据数据表和曲线，求出=A in ωtb 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【知识点】在实际问题中建立三角函数模型． 【数学思想】三角函数模型的构建，解三角不等式 【解题过程】解：（1）根据数据可得，Ah =13，-Ah =7， ∴A =3，h =10， T =15﹣3=12，∴ω=T π2=6π， ∴=3in （6πφ）10将点（3，13）代入可得π=0 ∴函数的表达式为=3in6πt 10（0≤t ≤24） （2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24）， ∴3in 6πt ≥，∴6πt ∈[2π6π，2π65π]，=0，1， ∴t ∈[1，5]或t ∈[13，17]；所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．【思路点拨】（1）根据数据，Ah =13，-Ah =7，可得A =3，h =10，由T =15﹣3=12，可求ω=6π，将点（3，13）代入可得φ=0，从而可求函数的表达式；（2）由题意，水深≥7，即3in6πt 10≥（0≤t ≤24），从而可求t ∈[1，5]或t ∈[13，17] 【答案】（1）=3in 6πt 10（0≤t ≤24）；（2）1：00至5：00或13：00至17：00；在港内停留的时间最多不能超过16小时自助餐1甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, 表示甲、乙两人的直线距离，则=f θ的图象大致是【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求选择恰当的三角函数模型【解题过程】根据题意可知θ=π时，两人相遇，排除B ，D ；两人的直线距离不可为负，排除A ．【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】C安培随时间t 秒变化的函数I =Ain ωt φ的图象如图所示，则当t =1207秒时的电流强度【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】函数=A in （ωφ），∈[0，∞+）（A ﹥0，ω﹥0）中各量的物理意义【解题过程】根据题意可知A =10，1001300130042=-=T ，可知501=T ，从而得π100=ω；当3001=t 时，10=I ，从而可得φ=6π；于是可得I =10in （10π6π）故当t =1207时，I =0 【思路点拨】由题意知θ=π时，两人相遇，两人的直线距离不可为负【答案】A3一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h 米与时间t 分钟之间的函数关系式【知识点】三角函数模型的应用【数学思想】根据题目要求建立恰当的三角函数模型【解题过程】以最低点的切线为轴，最低点为原点，t , t 则ht = t 2,又设P 的初始位置在最低点，即0=0，在Rt △O 1PQ 中，∠OO 1P =θ,co θ=8()8y t -,∴t = -8co θ8, 而212π=t θ，∴θ=6t π，∴t = -8co 6t π8, ∴h t = -8co 6t π10【思路点拨】根据题意建立合适的直角坐标系，利用给定的几何关系和三角函数构建角度和长度的关系，列出函数表达式，化简即可得出结果【答案】h t =-8co 6t π10。
《三角函数模型的简单应用(第2课时)》教学教案2
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1．能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系．重点难点学习重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．学习难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题．学习过程导入新课思路1．通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等．思路2．(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．提出问题①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的．教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业．教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中．应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐．在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米5．0 7．5 5．0 2．5 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0深的近似数值(精确到0．001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1．5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0．3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6．教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画．其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深．图6根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型．求货船停止卸货,将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6)．根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出:A ＝2．5,h ＝5,T ＝12,φ＝0,由T ＝ωπ2＝12,得ω＝6π． 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2．5sin6πx+5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:令2.5sin 6πx+5=5.5,sin 6πx=0.2． 由计算器可得2 SHIFT sin -10．2=0.201 357 92≈0．201 4．如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin6πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,图7因此6πx≈0.201 4,或π－6πx≈0.201 4． 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2．由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2．因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．图8(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8)． 通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米．因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域．点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答,教师引导学生利用计算器进行计算求解．同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释．变式训练发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I A=Is inωt,I B=Isin(ωt+120°),I C=Isin(ωt+240°),则I A+I B+I C=________．答案:0例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长．活动:引导学生观察图象并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数上例．点拨学生考虑最高点、最低点和平衡点．通过学生讨论、思考确定选用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间之间的对应关系．图9解:结合函数模型和图象:(1)单摆振幅是1 cm；(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；(4)单摆在0.4 s 时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；(5)由单摆振动的周期公式T=2πgL ,可得L=224πgT =0.16 m ． 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理．同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义．变式训练1．已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx+f(x)＝32,求sinxcosx 的值． 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ)．∴φ＝2π． ∴f(x)＝sin(ωx+2π)＝cosωx ． 相邻两点P(0x ,1),Q(0x +ωπ,－1)． 由题意,|PQ|＝4)(2+ωπ=π2+4．解得ω＝1． ∴f(x)＝cosx ．(2)由sinx+f(x)＝32,得sinx+cosx ＝32． 两边平方,得sinxcosx ＝185-． 2．小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解:小明原作的曲线为y=sinx,x ∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表21个单位长度了．由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y ＝21sinx,x ∈R ．同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位,则横坐标被压缩到原来的21,原曲线周期就由2π变为π．故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x,x ∈R ．3．求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解:由方程式模型构建图象模型． 在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象,如图10．可知原方程的解的个数为3．图10点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法．课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题．。
三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1.6三角函数模型的简单应用示范教案
1.6三角函数模型的简单应用教学目的：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
教学重点、难点重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。
难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教学过程：一、复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识二、讲授新课：例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14（2）写出这段曲线的函数解析式． 解：（1（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象，∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=ϕπx y将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。
例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=ο90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬ο40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式．答案：解：象，所以 (12A = 12b =θφφ-δδ太阳光∵121462ω=-g π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 四、课堂练习：课本第73页练习第1、2、3题五、课堂小结六、作业：课本第73页习题A 组第1、2、3、4题。
1616三角函数模型的简单应用2
1.6 三角函数模型的简单应用教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本教案为第2课时，主要通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程并体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.教学目标重点:精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质．难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．知识点：通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法．能力点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.教育点：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.考试点：将实际问题抽象为三角函数模型问题.拓展点：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课（情景展示，多媒体显示）1．情景展示，新课导入经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型.这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用.在山海关孟姜女庙有一副对联：“海水朝，朝朝朝，朝朝朝落；浮云长，长长长，长长长消.”其中描绘了海潮涨落，浮云长消的自然景象，显示了自然界变幻多姿的景色，这其中对海潮的描述也是感性的.今天我们将从数学的视角理性地研究有关潮水涨落的一些实际问题.2．问题提出，探究解决情景设置：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于该港口的一些什么情况？问题探究1：阅读课本P62：例4给出某港口在某年某个季节每天的时间与水深的关系表，思考并回答：①你能够从表格中的数据中得到一些什么信息？②水的深度变化有什么特点吗？③为了更直观明了地观察出水的深度变化规律，我们可以怎么做？具体操作是：④若用平滑的曲线将所描各点连起来，所得图象形状跟我们前面所学过哪个函数类型非常相似？并尝试求出该函数模型.⑤有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了.如何计算在4时的水深？在任一时刻的水深怎么计算？问题探究2：针对课本P62：例4（2）问，思考：①货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？②怎样用数学语言描述这一条件呢？③在[0，24]的范围内，该怎么求解？④你能说清楚解的实际意义吗？问题探究3：货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢？针对课本P62：例4（3）问，思考：①“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候？②反过来，“货船安全”需要满足的条件是用数学式子表示为③对于上式，如何求解呢？④尝试说说解的实际意义.二、典例剖析研究典型例题，总结解题规律例4根据相关数据进行三角函数拟合【背景材料】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：思考1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？思考2：设想水深y 是时间x 的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？思考3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？思考4：用函数sin()y A x h ωϕ=++ 来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？思考5：这个港口的水深与时间的关系可用函数________________________________________近似描述，你能根据这个函数模型，求出各整点时水深的近似值吗？（精确到0.001）思考6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？思考7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？思考8：右图中，设点00(,)p x y 有人认为，由于P 点是两个图象的交点，说明在0x 时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为对吗 [设计意图]使学生体将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．练习1：如图所示，是一个缆车示意图，缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB,设B 点与地面距离是h. (1) 求h 与θ间的函数关系；(2) 设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ， 求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次 到达最高点时用的最少的时间是多少?2.已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式.[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,巩固所学知识．例2、：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置 的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π.（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？[设计意图] 让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.三、课堂小结（1）三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意，设角建立三角函数，分析三角函数性质解决实际问题. 其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.（2）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.（3）根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.（4）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题.四、布置作业1．阅读教材2.书面作业必做题：已知某帆船中心比赛场馆内的海面上每天海浪高y （米）可看作是时间t(024t ≤≤,单位：时)的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似的看成是cos y A x B ω=+曲线，下表示某日各时的浪高数据：求能近似的表示表中数据间对应关系的函数解析式. 选做题： 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 02. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2πB.0C.πD.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?[设计意图]设计作业1、2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯，书面作业的布置，是为了让学生能够巩固课堂上所学的知识和方法，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是例题及变式训练的编排，既注重了与本堂课内容的联系，又在不知不觉中提高了难度， 提 高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在根据实际问题的背景材料，建立三 角函数关系，解决实际问题上下功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计本节课的板书主要采取了提纲式、对称型，以讲写结合、主辅相随、语言准确、内容完整为原则，将复习内容及新课引入、概念写在黑板左侧，整齐、准确，将例题、习题及解答过程写在黑板右侧，随意中不失规范.。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。
过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
情感、态度、价值观：理性描述生活中的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教法：创设情景法、引导发现法。
学法：自主探索、尝试总结。
教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。
特点一：问题生活化一、创设情景，呈现问题二、描画图像，寻找规律三、分析数据，塑造模型据课前调查，我校地理老师均表示已清晰地向学生介绍了正午太阳高度角的定义和公式，学生也较好地理解和掌握了该定义和公式。
1、整个教学过程，以问题为教学的出发点，充分发挥学生的主体作用。
设计情景激发学生的学习兴趣；深入探究问题，提高学生解决同类题型的能力；突出三角函数模型的实际应用，注重与实际生活相结合；分层布置作业，重视巩固基础知识，训练发散思维。
整个教学设计中，既体现了问题生活化、探究深入化、分析渐进化三大特点，又渗透了数形结合、化归的数学思想。
2、学生参与了知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，教师努力做到使学生“听”有所思、“学”有所获。
师生之间、同学之间形成良好的互动关系。
但学生对正午太阳高度角的概念早已模糊。
如能借助多媒体课件，直接明了地复习正午太阳高度角的定义（例如几何画板制作的反映正午太阳高度角变化的课件），这将为本课教学取得更佳的效果。
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案说明一、教学内容的本质分析“数学来源于生活，数学教学的最终目的是让学生在生活中用数学。
1..6三角函数模型的简单应用(教、教案)
1. 6三角函数模型的简单应用一、教材分析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力LwtUpWh8vG二、教学目标1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解读式的方法；2、根据解读式作出图象并研究性质；3、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．4.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
LwtUpWh8vG三、教学重点难点重点：精确模型的应用——由图象求解读式，由解读式研究图象及性质难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．由图象求解读式时的确定。
四、学法分析本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
LwtUpWh8vG在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
LwtUpWh8vG五、教法分析数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。
三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。
2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。
步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。
2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。
步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。
2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。
步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。
2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。
六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。
七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。
三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。
【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。
【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。
请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。
二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。
例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。
高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计
高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计湖南省常德市第六中学颜春湖南常德415000一.教学分析（教材分析与学情分析）1.教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.二.教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.三.教学重点、难点教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.四.教学过程设计教学环节师生活动设计意图（一）呈现实际情境海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。
《三角函数模型的简单应用》的教学设计
《三角函数模型的简单应用》的教学设计教学设计：三角函数模型的简单应用一、教学目标：1.了解三角函数的概念和基本性质；2.掌握三角函数的图像和性质；3.掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
二、教学重点：1.三角函数的概念、基本性质及图像；2.如何应用三角函数模型解决实际问题。
三、教学内容：1.三角函数的概念和性质：正弦、余弦和正切函数的定义及性质；2.三角函数的图像和性质：了解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质；3.三角函数模型的简单应用：掌握如何利用三角函数模型解决实际问题。
四、教学过程：1.导入（5分钟）教师通过引入一个简单的实际问题，如一个船在河中流动的问题，引导学生发现问题中涉及到角度和距离的关系，从而引出三角函数模型的应用。
2.讲解三角函数的概念和性质（15分钟）教师讲解三角函数的定义及性质，引导学生了解正弦、余弦和正切函数的定义和特点。
3.讲解三角函数的图像和性质（20分钟）教师讲解正弦、余弦和正切函数的图像、特点和性质，帮助学生了解三角函数的变化规律。
4.解决实际问题（30分钟）教师通过几个实际问题的讲解，引导学生掌握如何利用三角函数模型解决实际问题，如计算建筑物的高度、船在河中的速度等。
5.练习与讨论（20分钟）让学生进行相关练习，并进行讨论和解答。
通过互动讨论，加深对三角函数模型的理解。
6.总结与拓展（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并展示一些拓展的问题，激发学生对三角函数的兴趣和好奇心。
五、教学手段：1.多媒体课件：用于展示三角函数的图像和性质；2.实物模型：如玩具船、建筑物模型等，用于辅助学生理解实际问题；3.白板和彩色笔：用于讲解和解题。
六、教学反馈：通过课堂练习和讨论，以及课后作业的批改和讲解，及时检查学生对三角函数模型的掌握情况。
同时鼓励学生多进行实际问题的应用练习，加深对知识的理解和运用能力。
七、教学评价：通过对学生的课堂表现、课后作业和考试成绩等多方面进行评价，全面了解学生对三角函数模型的掌握情况，并根据评价结果进行针对性的改进和提升。
三角函数模型的简单应用---潮汐问题
教学目标：巩固已知三角函数，求给定自变量对应的函数值;已知三角函数值，求相应自变量的值;利用图象解三角不等式;利用二分法求相应方程的近似解;培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力;教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题。
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。
教学媒体：几何画板教学流程：教学过程：1.情景展示，新课导入【师】经过前面的学习，大家知道，在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。
这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。
(教师板书课题：1.6 三角函数模型的简单应用)【师】请看这样一副画面：这是我们所熟悉的温州市区著名景点---江心屿(图1)，江心屿上面有座峙庙---江心峙(图2)，旁边这位人物是(稍微停顿)我们温州南宋时期著名状元诗人---王十朋(图3)。
(学生不是很熟悉，已经淡忘了)他在江心峙中题了一副非常知名对联。
(学生又想起来了)(呈现对联)上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散;下联是：朝长长长长长长长长消。
(师生齐朗诵，课堂气氛活跃)。
【师】在这里，诗人王十朋巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面，当然他对瓯江潮水的描述也是感性的。
今天我们将从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题。
2.问题提出，探究解决【师】老师想问大家一个问题：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况?【生】水深情况。
【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。
那么这张表格是如何产生的呢?请同学们看下面这个问题。
问题探究1：如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时间0.001.00 3.00 6.008.009.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深5.06.257.5 5.0 2.84 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0【师】请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息?【生】(思考中)发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。
三角函数模型的简单应用优秀教学设计
【例 2】（1）已知 cot x 5 ，且 x ， ，求 x ． 2 2
（2）已知 cot x 5 ，且 x 0，2 ，求 x 的取值集合．
解：（1）因为 cot x 5 ，所以 tan x 5 ．由正切函数在开区间 ， 上
三角函数模型的简单应用
（第二课时）
一．教学目标
1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．
2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．
二．教学具准备
投影仪
三．教学过程
1．设置情境
师：请同学们看投影，回答问题
（1）若 cos x 1 ， x 0，2 ，则 x ______ ．
2
（2）若 sin x 1 ， x 0，2 则 x ______ ．
3
生：（1） x
5
7
或
．
66
（2） x arcsin 1 或 x arcsin 1 ．
3
3
师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角
的一般步骤：
生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：
第一步，决定角 x 可能是第几象限角．
第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 x1 ；如果函数值为负数，则先求了
2 2
arctan
1 ， 3
arctan
1
3
．
arctan x 表示的意义： arctan x 表示一个角，角的特点是①角的正切值为 x，因此角
的大小受
x
的限制；②并不是所有满足
tan
x 的角都可以，只能是
三角函数模型的简单应用
1．6.1 三角函数模型的简单应用【学习目标】1.通过实例明白应用三角函数模型所解决的实际问题的基本特征——周期性；2.通过教材几个实例的分析概括三角函数模型应用基本步骤，并能迁移运用；3.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，提高学生数据收集和处理能力；4.通过三角函数模型的应用分析，理解数学解决实际问题的基本思想——数学建模，领会数学的作用． 【学习重点】运用三角函数相关知识解决实际问题，掌握三角函数模型应用基本步骤及迁移运用.【难点提示】灵活运用三角函数相关知识解决实际问题，知识与方法的迁移能力. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材6071P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一．学习准备前面我们学习了三角函数等相关知识，请同学们感悟下面的知识网络，你还有更好的构 建方法吗？同时，将不很熟悉的各知识内容填写在横线上或空白处：在生活中有哪些三角函数模型的问题，如何运用三角函数相关知识来解决这些问题呢？这就是本节课我们要研究的问题！二、典例赏析例1.（教材60页例1，请同学们先做在看教材的解答） 解：正余弦型函数图象变换正切函数图象、性质正弦函数图象、性质余弦函数图象、性质正余弦函数图象的“五点法”周期函数 概念三角函数线六组诱导公式口诀三角函数的基本关系式三角函数值所在象限的符号角α的三角函数定义任意角三角函数解后反思 该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 如图表示电流 I 与时间t 的函数关系式：sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在同一周期内的图象． （1）根据图象写出I =Asin(t )ω+ϕ的解析式； （2）为了使I =Asin(t )ω+ϕ中t 在任意－段1100秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：例2（教材P61页例3，请同学们先做在看教材的解答）思路启迪 仔细审题，弄清题意，哪些是已知，需要求什么量？用实物摆放或作图分 析，建立怎样三角函数模型求解！（链接1） 解：解后反思 该题的题型怎样？求解的关键点在哪里？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解该题用到了哪些知识？（链接2）变式练习 一半径为3m 的水轮如右图所示,水轮圆心O 距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P 点从水中浮现时(图中P 0)（1）求P 点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)（2）P 点第一次达到最高点约要多长时间? 解：例3（教材62页例4，请同学们先做在看教材的解答） 思路启迪 要仔细审题，如何处理这些数据，并从中发现 规律，找准入手点，理清求解问题的步骤：（1）数据的初步处理：作出统计图象(散点图)（2）散点图的观察分析：；（3）选定拟合函数模型： ；（4）函数模型求解：实际问题分析1：给出整点时的水深的近似数值(精确到0．001)．时刻0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:0 11:0 水深时刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0水深实际问题分析2：一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？实际问题分析3：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？解：●解后反思该题的题型怎样？你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？求解的步骤是怎样的？应注意什么问题？（链接3）变式练习（教材P65页练习第3题，可做在书上）解：三、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：本节课有哪些题型？运用了哪些数学思想方法求解的？求解应用问题的基本步骤怎样？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？四、学习评价1.（09年莱阳一中学段检测）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的A[0，5] B[5，10] C[10，15] D[15，20]2 设()y f t =是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象． 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A.123sin,[0,24]6ty t π=+∈ ； B.123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C.123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ ；D.123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈ 2．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半 径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个 半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡 尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，若10,4r mm h mm ==时，则R 的值为（ ）A.25mm ；B.50mm ；C.60mm ；D.15mm.3.从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ ）．A.2hm ； ； ； D. .4.一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度L 应当是多少？ 解：5.已知定义域为实数集R 的奇函数f （x ）在R 上是减函数，且2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<，（1）求证：f （0）=0； （2）当m=12时，求cos θ的取值范围；（3）是否存在这样的实数m 使2(sin 2)(42cos )(0)f f m m f θθ--+-<对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数m ，若不存在，说明理由.解：6.在生活中有很多现象具有周期性，大家学过的三角函数就是描述周期现象的一种重要的数学模型，假设游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距离地面30．5m ，半径30m ．若从最低点P 处登上摩天轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离h 将随时间t 变化，并且经过6min 到达最高点，请完成下列问题：（1）填写表格：()min t 0 3 6 9 12()h m（2）求h 与t 之间的函数关系式()h h t =；（3）当你在摩天轮上转第一圈，并且距离地面15．5m 时，所用时间是多少？当你在摩天轮上转第()*n n N ∈圈，并且距离地面15．5m ，所用时间是多少？解：7.已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）说明)(x f 的图象依次经过哪些变换而得到函数)42sin(21)(π-+=x x g 的图象． （3）在给出的直角坐标系中，画出函数)(x g y =在区间]2,2[ππ-上的图象．解：8.教材P66习题1.6A 组第3题（作在书上）； 解：（选做题）如果前面的楼房距你家要买的楼房15m ，两幢楼的高都是21m ，每层楼高3m ，为了使正午的太阳全年不被遮挡，你应该挑选哪几层的房子？（你自己拟定一个纬度数和太阳的直射纬度求解）解：【学习链接】链接1.例1补充图，帮助同学们分析问 题；链接2.该题的题型是跨学科三角函数实际 运用题；求解的关键点弄清题意，该题本质上是求高楼在地面的射影；用到三角函数与地理相关知识，运用了数形结合的思想.；链接3.该题是一道开放性问题，该题是一种重要的函数应用模型的题型，求解该题的基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；求解的关键点是：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行大胆猜想函数拟合，从而得到函数模型（有时拟合的函数模型不止一种，但应选择最适合的、最佳的那个）；同时，我们在实际问题解决中，还要注意考虑实际意义.如：关于课本第64页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨．【补充典例】1.sincos tan 256575πππ，，从小到大的顺序是___________. 解：2.已知函数f x x x a ()sin sin =-++2，当f x ()=0有实数解时，求a 的取值范围. 解：3.已知：cos sin sin x x x=+--112，求tan x 的值.解：4.已知π<α<3π2，求1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α的值.解：5.（2006年安徽卷）如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形；D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形. 解：6.（2005辽宁）ω是正实数，设{|()cos(())S f x x ωθωθ==+是奇函数}，若对每一个实数,(,1)a S a a ω+的元素不超过2个，且有a 使(,1)S a a ω+含有2个元素，则ω的取值范围是 ；解：7.（2006四川文、理）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）sin(2)6y x π=-解：8.把函数y=cos(x+34π)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 轴对称，则φ的最小正值为 ；解：9.关于函数f(x)=4sin(2x+π3) (x ∈R)，有下列命题：（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 );（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；（3）y=f(x ) 的图象关于点(-π6 ,0)对称;（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-π6 对称; 其中正确的命题序号是___________．解：10.已知函数f(x)=1-2a-2acosx –2sin 2x 的最小值为g(a),a R ∈，（1）求g(a )； （2）若g(a)=21,求此时f(x)的最大值. 解：11.已知)sin()(ϕω+=x x f ⎪⎭⎫⎝⎛<∈2||,πϕωR ，满足)2()(π+-=x f x f ，21)0(=f ，则)cos(2)(ϕω+=x xg 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为 . 解：12.函数())(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，若23ABC π∠=，则 ω等于（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ． 12π 解：13.设函数()()sin cos sin cos 2x x x xf x x R +--=∈，若在区间[]0,m 上方程()2f x =-恰有4个解，则实数m 的取值范围是 . 解：。
三角函数模型的简单应用教案(详细的)
三角函数模型的简单应用一、教学目标1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质三、教学难点：a、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．b、由图象求解析式时 的确定。
五、教学设计分析《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一,在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间,促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。
通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题。
在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器,同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。
增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。
【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。
【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。
例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。
正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。
（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。
（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。
三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。
（1）分析题意，选用何种三角函数模型。
设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。
高中数学《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。
过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
情感、态度、价值观：理性描述生活中的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教法：创设情景法、引导发现法。
学法：自主探索、尝试总结。
教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。
特点一：问题生活化一、创设情景，呈现问题提出问题问题一：冲浪池中橡皮圈移动的路径像哪类函数？问题二：某一橡皮圈的路径如图所示，并近似满足满足函数b x A y ++=)sin(ϕω，请找出其解析式。
提出问题，板书课题，引导学生发现最值与A 、b 之间的关系和提醒学生注意自变量范围。
观察图象，找出20b 0810====、、、ϕπωA 解决问题。
角函数模型周期，激发学生的学习兴趣，使学生获得成功喜悦，增强学习自信心，营造轻松的课堂气氛。
变式训练 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数bx A y ++=)sin(ϕω。
（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.提出问题，提问学生。
观察图象，求出解析式（运用待定系数法）。
学生体会题目多样性的同时，渗透了数学的化归思想。
特点二：探究深入化 教学环节 教学内容教师活动 学生活动 设计意图动画演示给出函数y=x 与y=|x|关于x 轴的翻折效果。
(见附件一)课件演示翻折效果。
观察动画，思考图象关系。
利用函数图像的直观性，通过观察图像而获得对函数性质的认识。
三角函数模型的简单应用(教学设计)
1.6三角函数模型的简单应用（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.二、过程与方法：通过几例具体的三角函数问题的分析探究，使学生掌握在给出具体待定模型的情况下，解决一些实际应用问题，并能够建立简单的精确三角函数模型；三、情感、态度与价值观：通过丰富多彩的“周期世界”，诱导激发学生的兴趣和情感投入，通过问题的探究、合作学习努力使学生学会学习与思考；[教学重点]精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.[教学难点]分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.[教学方法]创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．[教学过程]一、问题的呈现1、给出待定的三角函数模型，解决实际问题例1（课本P60例1）如图， 某地一天变化曲线近似满足：b x A y ++=)sin(φω(1)求这一天从6时到14时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式.解析：（1）由图可知：这段时间的最大温差是C 20；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(φω的 半个周期的图象， ∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=φπx y 将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+φπ，∴Z k k ∈+=+,23243ππφπ， ∴Z k k ∈+=,432ππφ，取43πφ=，∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。
思考1：①?0?0<>A A ②得到20)8sin(10++=φπx y 后，代入点)20,10(结果会怎样？代入点)30,14(结果又会怎样？ 思考2：如何根据b x A y ++=)sin(φω图象求解析式中的待定参数?;;,φωb A2、借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数.例2（课本P61例2）画出函数x y sin =的图象并观察其周期.解析：法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；法2：图象变换——对称变换，可类比x y =的作法．观察得：周期π=T思考：①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：)(sin sin )sin()(x f x x x x f ==-=+=+ππ∴x x f sin )(=的周期是π．（体现数形结合思想！）②变式思考：x x x f sin sin )(+=的周期是 ． )3sin()(π+=x x f 的周期是 ．yx x f sin 2)(+=的周期是 ．问题的反思：根据图象写出x y sin =的单调增减区间.例3（课本P62例4）：如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：【师】请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？【生】（思考中）发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。
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三角函数模型的简单应用一、教学目标
1 、基础知识目标： a 通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法； b 根据解析式作出图象并研究性质； c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程； d 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．
3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
二、教学重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质
三、教学难点： a 、分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
b 、由图象求解析式时的确定。
四、教学过程及设计意图
教学过程
设计意图
（一）课题引入
情景展示，引入课题（多媒体显示）
同学们看过海宁潮吗？……•今天我就带大家去看一看天下奇观一一海宁潮. 在潮起潮落中
也蕴含着数学知识．
又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。
通过上面的例子引发学生的兴趣，贴近生活，可以告诉学生生活离不开数学，身边充满了数学；同时可以让学生知道数学的重要性，不仅仅是课本上的内容，还有生活都可以用到数学，所以学生更应该努力学习，才能更懂得生活。
这样的例子还有很多，比如：
二．由图象探求三角函数模型的解析式
例1 •如图，某地一天从6〜14时的温度变化曲线近似满足函数.
(1 )求这一天6〜14时的最大温差；
(2 )写出这段曲线的函数解析式.
解：( 1 )由图可知：这段时间的最大温差是；
(2)从图可以看出：从6〜14 是的
半个周期的图象，
又… -
•••
将点代入得：
••,取，•・。
问题的反思】
①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；
②与学生一起探索的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）（用最大小值点代入不容易出现错误）
③如何根据图像求解析式中的待定参数
④探究其他解法：或等
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。
三．由解析式作出图象并研究性质
例 2 ．画出函数的图象并观察其周期．
分析与简解：如何画图？
法 1 ：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；
法 2 ：图象变换——对称变换，可类比的作法．
从图中可以看出，函数是以为周期的波浪形曲线．
反思与质疑：
①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：
•••的周期是.（体现数形结合思想！）
②变式思考：的周期是
的周期是．
的周期是．
四．应用数学知识解决实际问题
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区（纬度数约为北纬）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太
阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
分析与简解：（用几何画板展示变化过程）
与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．
设计意图：通过录象让学生在熟悉的问题情景中进入课题，能充分激发学生的学习热情和兴
趣。
设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。
同时以设问和探索的方式导入
新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。
设计意图：提出问题，由学生动脑分析，自主探究。
通过代多个点出现问题从而体会点 (10 ，20 )在增区间上点区别于减取间上的平衡点，培养数形结合的数学思考习惯。
通过总结归纳总结这种方法解题的思路方法，培养概括的能力。
设计意图：养成学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维。
一题多解激发活跃思路，培养学生学习的兴趣。
升华为思想方法
通过画函数的图象来研究性质。
由已知函数模型来研究函数，培养学生应用已知函数解决问题方法。