第九章 线性回归与方差分析

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第九章 方差分析与回归分析

第九章 方差分析与回归分析

由于yi =α + βxi +εi,
εi相互独立且εi~N(0,σ ),
2
故yi~N(α + βxi,σ 2 ),i =1 ⋯ n, ,, .
由正态分布的性质和a,b的表达式,可得
E(b) = β,D(b) = σ 2 / Sxx; 1 x 2 而, E(a) =α,D(a) = ( + )σ 。从 n Sxx 1 x2 2 ( b~N(β, ),a~N(α, + )σ )。 Sxx n Sxx
x1
x2
设 µ(x)=E(Y|x) =α+βx ,称其为总体回归方程, 称 β为回归系数。
由于α、β是未知的,设想通过样本观察值得出α、 β的估计值a、b。于是
y = a + bx ≈ E(Y|x) = µ(x).
称其为经验回归方程或样本回归方程。 问题:如何估计a、b的值? 三、参数估计 设抽样得到一组样本观察值(x1,y1),….,(xn,yn), 则样本回归方程的值为
∑r = n,特别,当r = r
i=1 i 1
a
2
= ⋯= ra = r,有ar = n。
前提假设:所有试验单元的试验条件一致(无系统 误差)。 方差分析的作用: 1. 通过对试验数据的统计分析,推断造成试验数据 间的差异的原因是试验水平差异还是随机误差的影 响。
2. 推断哪些因素的影响是显著的。 3. 分析出“最佳”的试验水平(固定模型);或估 计总体变量的参数(随机模型)。 方差分析与假设检验的区别: 方差分析能同时检验多个总体的某个参数(如均 值)是否相等,而假设检验每次只能检验两个总体 的某个参数是否相等。 方差分析与回归分析的区别: 1. 回归分析主要是为了得到自变量与因变量之间的定 量关系 回归方程。回归系数显著性讨论的目的, 是把影响不显著的自变量从回归方程中剔除,以提高 回归方程的稳健性,使预测, i =α + βxi +εi, y i =1 ⋯ n, i相 独 且εi~ (0,σ ). ,, ε 互 立 N

第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件

第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件

x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量,而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化,但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ,当X取得任一个可能的值x时, Y都相应地服从一定的概率分布。
10
设进行 n 次独立试验,测得试验数据如下表:
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是,如何根据这组观察值,用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系?
比较合理的想法就是,取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
11
设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定,即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x,xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 , 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
7
如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具,是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式,即经验公式, 而且还利用概率统计知识进行分析讨论,判断出 所建立的经验公式的有效性,从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
14
温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40

第9章-方差分析与线性回归

第9章-方差分析与线性回归
2
Xij X E
s nj
ST s
n
E
j
j 1
i 1
X ij X
j1 i1
s nj
X ij2 nX
j1 i1
X ij 2
2
2
s nj
X
EE(X
)j
s11ninj1jEs1Xinj1ijjE21(Xiinj1)X
1 n
s
nj ( j )
j 1
s nj
E( Xij2 ) nE( X 2 )
X12 X 22
As : N s , 2
X1s X 2s
X n11
X n2 2
X nss
每个总体相互独立. 因此, 可写成如 下的 数学模型:
ij
~
X ij j ij N (0, 2 ), 各ij独立
i 1, 2, , nj,j 1, 2, , s
方差分析的目的就是要比较因素A 的r 个水平下试验指标理论均值的 差异, 问题可归结为比较这r个总体 的均值差异.
i
ij (0, 2 ),各ij独立
1, 2, , nj,j 1, 2, , s
n11 n22 ... nss 0
假设等价于 H0 :1 2 s 0
H1 :1,2,
,
不全为零。
s
为给出上面的检验,主要采用的方法是平方和 分解。即
假设数据总的差异用总离差平方和 ST 分解为
第九章 回归分析和方差分析
关键词: 单因素试验 一元线性回归
方差分析(Analysis of variance, 简 称:ANOVA),是由英国统计学家费歇尔 (Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推 断两个或两个以上总体均值是否有差异 的显著性检验.

第九章 线性回归与方差分析 ppt课件

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62
190
3844
36100
90
320
8100
102400
100
406
10000
164836
120
380
14400
144400
511
2028
42365
605238
xy 186 580 2604 8800 18538 11780 28800 40600 45600
157488
24
S xx
42365
1 9
记 y i y x x i a b x i ,则 称 y i y i 为 x i处 的 残 差
平 方 和
n
2n
2
Q e yiyi yiabxi 称 为 残 差 平 方 和
i1
i1
19
为了计算Qe, 将Qe作如下分解:
n
n
Q e ( y i yˆ i ) 2 [ y i y bˆ ( x i x )]2
26
补充例题 为研究某一化学反应过程中, 温度x(°C)对产品得率 Y(%)的影响, 测得数据如下.求y关于x的一元线性回归方程.
温度 x(°C)
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
100 80 60 40 100 120 140 160 180 200
bˆ 0.323
aˆ4.37
故经验回归直线为:
Y=4.37+0.323x
ˆ2 4.064
23
例2(续例1) 求Y关于x的线性回归方程. 解 现在n=9, 所需计算列表如下表

方差分析与回归

方差分析与回归

方差分析的应用场景
总结词
方差分析适用于处理多组数据,当需要比较不同组之间的均值差异时,可以使用方差分析。
详细描述
方差分析广泛应用于各种领域,如社会科学、医学、经济学等。例如,在心理学中,研究者可以使用方差分析比 较不同年龄段的人在智力测试中的得分差异;在医学研究中,方差分析可以用于比较不同药物治疗对患者的疗效。
数据降维
通过回归分析找出影响因变量的关键因素, 从而降低数据的维度。
回归分析的优缺点
优点
能够找出自变量和因变量之间的关系,并建立数学模型进行预测;能够处理多个自变量和因变量之间 的关系;能够量化自变量对因变量的影响程度。
缺点
假设数据符合线性关系,对于非线性关系的数据拟合效果可能不佳;对于异常值和离群点敏感,容易 影响模型的稳定性;对于共线性问题处理不够理想,可能导致模型失真。
它通过选择合适的数学模型和参数, 使因变量的预测值与实际值之间的误 差最小化,从而得到最佳的预测结果 。
回归分析的应用场景
预测模型
利用已知的自变量数据来预测因变量的未来 值,如销售预测、股票价格预测等。
因素分析
研究自变量对因变量的影响程度,如研究广 告投入对销售额的影响程度。
分类问题
将因变量进行分类,如根据多个特征将客户 进行分类。
3
指导实践
分析结果可以为实际工作提供指导,例如在市场 营销中预测销售量、在医学中预测疾病发病率等。
方差分析与回归的未来发展
算法改进
多变量分析
随着计算能力的提升,未来会有更高效的 算法出现,提高分析的准确性和速度。
目前许多方差与回归分析集中在二元或三 元关系上,未来会有更多研究关注多变量 之间的关系。
回归分析实例

回归分析与协方差分析

回归分析与协方差分析
Y0的观测值y0的点预测是无偏的。
⑵ 当x=x0时,用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测,而(G,H)称 为Y0的1-α预测区间。 若Y0与样本中的各Yi相互独立,则根据 Z=Y0-(a+bx0)服从正态分布,E(Z)=0, 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立,
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放 弃原假设H0,式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此,r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比,又称为x 与Y的观测值的决定系数。
2 i
i
yi ;
(2)计算l xx , l xy , l yy ;
(3)计算b和a,写出一元线性回归方程。
与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE, 称为剩余平方和。
ˆ和 Y ˆ 看作是统计量, 将a、b和SSE以及 Y i 它们的表达式分别为 n
a Y bx , b
( x
i 1
i
2 ˆ ˆ i 之间的偏差 ( y i y i ) 是y i 与y i 1
n
通过回归已经达到了最小值,称为剩余平 方和,记作SSE。
n i 1
2 ˆ 而 ( y i y ) 表示n个ˆ y i 与y之间的差异,
ˆ i 所造成的, 是将x i 代入回归方程得到 y 称为回归平方和,记作SSR。

应用统计学(第九章 协方差分析)

应用统计学(第九章 协方差分析)
➢ 均积与均方具有相似的形式,也有相似的性质: 一个变量的总平方和与自由度可按变异来源进行剖分,
从而求得相应的均方; 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积; 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中,根据均方MS和期望均方的关 系,可以得到不同变异来源的方差组分的估计值;
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验,这时误差项目回
归自由度dfeU=1,回归平方和:
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和:
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度:
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769, LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较, 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异,配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验:
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明,误差项回归关系极显著,表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系

第九章----方差分析

第九章----方差分析

若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组 间变异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起 作用。根据计算出的检验统计量F值, 查界值表 得到相应的P值, 按所取检验水准α作出统计推断 结论。
检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体;
2、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性
五、方差分析的用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较; 2、分析两因素或多因素间的交互作用; 3、用于回归方程的线性假设检验。
六、方差分析的优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数; 2、可同时分析多个因素的作用; 3、可分析因素间的交互作用.
一、多个样本均数间的比较能否用 t 检 验或 u 检验?为什么?
原因:
五个样本均数进行比较, 每次两个均数作一次 t 检验, 共需作10(C52=10)次 t 检验。若每次比 较的检验水准α=0.05, 则每次比较不犯Ⅰ型错误 的概率为(1-α)=0.95。当这些检验独立进行 时, 则10次比较均不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510= 0.5987, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的检验水准 α变为1-0.5987=0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型错 误的概率增大, 可能将原本无差别的两个总体推 断为有差别, 误判为有统计意义。因此多重比较 不宜用的 t 检验或 u检验作两两比较。
已知各组均数、标准差和样本含量时F值 的简便计算方法。
当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和 样本含量时, 可进行如下计算, 分两种情况: 1、各组样本含量ni相等; 2、各组样本含量ni不等。

第9章方差分析与回归分析ppt课件

第9章方差分析与回归分析ppt课件
时根据例921中已求出回归方程可得求出相应的注意为了实现控制必须使区间的长度00580根据例93计算的结果有7149410531245917给定查表得从而可得002510223pppp故供给量的95的预测区间为5251665076在实际问题我们经常会遇到一些变量之间的关系不是线性的而是非线性的
第9章 方差分析与回归分析
r ni
Se
(yij yi )2,
称为误差平方和或组内平方和.
i1 j1
则有以下平方和分解式:
ST SASe
(9.1.4)
事实上
r n i
r n i
S T (yijy)2 (yijyiyiy)2
i 1j 1
i 1j 1
r n i
r n i
r n i
(y i y ) 2 (y ij y i) 2 2 (y ij y i) (y i y )
为研究方便,引入如下记号:
n
r
ni
i1
为试验总次数;
1 n
r i 1
ni i 为总均值;
ii,i1,2,L,r称
i为因素 A
r
的水平 A i 的效应,且有
n i i
0.
i1
ij y iji,j 1 ,2 ,L ,n i,i 1 ,2 ,L ,r称为随机误差.
安庆师范大学
.
因此单因素方差分析数学模型为:
的统计量.令
1 ni
yi
ni
yij,i 1,2,L ,r,
j1
y 1 r
n i 1
ni
yij ,
j 1
表示第组样本的平均值. 表示全体样本的总平均.
r
ST
ni

方差分析及回归分析

方差分析及回归分析

第九章 回归分析教学要求 1.一元线性回归及线性相关显著性的检验法,利用线性回归方程进行预测。

2.可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。

⏹本章重点:理解线性模型,回归模型的概念,掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。

⏹教学手段:讲练结合 ⏹课时分配:6课时§9.1 一元线性回归回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。

例如,人的血压y 与年龄x 有关,这里x 是一个普通变量,y 是随机变量。

Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定,故可设有:ε+=)(x f y (9.1) 式中f(x)称作回归函数,ε为随机误差或随机干扰,它是一个分布与x 无关的随机变量,我们常假定它是均值为0的正态变量。

为估计未知的回归函数f(x),我们通过n 次独立观测,得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ,对f(x)作估计。

实际中常遇到的是多个自变量的情形。

例如 在考察某化学反应时,发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。

这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量,y 是随机变量,y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响,使之不能完全确定,故可假设有:ε+=),,,(21k x x x f y (9.2) 这里ε是不可观察的随机误差,它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量,一般设其均值为0,这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数,为了估计未知的回归函数,同样可作n 次独立观察,基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。

以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量,y 为响应变量,不难想象,如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设,问题过于一般,将难以处理,所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形,即假定f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。

回归分析方差分析

回归分析方差分析
( yi b0 b1x1i b2 x2i bn xni )2 min
分别对b0,b1,…,bn求导,并令其一阶导数为0,可 求出各个系数
二、回归方程得数学模型
估计标准误差 就是估计y与对应观测值之间得离差平方和
SST Lyy ( yi yi )2
^
^
( yi yi )2 ( yi y)2
• ⑦“Influence Statistics” 统计量得影响。 “DfBeta(s)”删除一个特定得观测值所引起得回归系数得 变化。 “Standardized DfBeta(s)”标准化得DfBeta值 。 “DiFit” 删除一个特定得观测值所引起得预测值得变 化。“Standardized DiFit”标准化得DiFit值。 “Covariance ratio”删除一个观测值后得协方差矩阵得行 列式和带有全部观测值得协方差矩阵得行列式得比率。
Leverage values: 杠杆值。 • ③“Prediction Intervals”预测区间选项:
Mean: 区间得中心位置。 Individual: 观测量上限和下限得预测区间。
• ④“Save to New File”保存为新文件: 选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定得 文件中。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据 文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名得变 量,存放根据回归模型拟合得预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整 后预测值。S、E、 of mean predictions 预测 值得标准误。
• ②“Distances”距离栏选项: • Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。

方差分析线性回归

方差分析线性回归

1线性回归要研究最大积雪深度X与灌溉面积y之间的关系,测试得到近10年的数据如下表:使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。

线性回归方程式:对应的估计方程式为线性回归完成的任务是,依据观测数据集仗l,yl),仗2,y2),...,仗n,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。

a,b都为估计结果,原方程中的真实值一般用a 和P表示。

为什么要做这种拟合呢?答案是:为了预测。

比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势C、勺然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了)。

线性回归的拟合过程使用最小二乘法,最小二乘法的原理是:选择a,b的值,使得残差的平方和最小。

为什么是平方和最小,不是绝对值的和?答案是,绝对值也可以,但是,绝对值进行代数运算没有平方那样的方便,4次方乂显得太复杂,数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美!残差平方和Q ,求最小,方法有很多。

代数方法是求导,还有一些运筹学优化的方法(梯度下降、牛顿法),这里只需要使用求导就0K 了,为表示方便,引入一些符号,最终估计参数a与b的结果是:自此,针对前•面的例子,只要将观测数据带入上面表达式即可汁算得到拟合之后的d和b。

不妨试一试?从线性函数的角度,b表示的拟合直线的斜率,不考虑数学的严谨性,从应用的角度,结果的b可以看成是离散点的斜率,表示变化趋势,b的绝对值越大,表示数据的变化越快。

线性回归的估计方法存在误差,误差的大小通过Q衡量。

1 -2误差分析考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素,将这些因素全部考虑到e~N(0QA2)中,回归方程重写为y = a + bx + e由此汁算估计量a与b的方差结果为,a与b的方差不仅与6和x的波动大小有关,而且还与观察数据的个数有关。

在设计观测实验时,x的取值越分散,佔汁ab的误差就越小,数据量越大,佔计量b的效果越好。

这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。

1.3拟合优度检验及统计量拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度,其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标,称为统汁量,统讣量是样本的函数。

第九章方差分析及回归分析-PPT精品文档

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Xij i ij ,
ij ~ N(0, ),各ij独立,
2
(1.1)
i 1,2,
, r, j 1,2,
, ni .
2 其 中 , 与 均 为 未 知 参 数 。 则 上 式 称 为 i
单 因 素 试 验 方 差 分 析 的 数 学 模 型 。
2019/3/7
8
第九章 方差分析及回归分析
§1 单因素试验的方差分析
(一)单因素试验
在科学试验和生产实践中,影响一事物的因素很多。 方差分析是根据试验的结果进行分析,鉴别
各个有关因素对试验结果影响的有效方法。
在试验中,我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验 指标的条件称为因素。因素可分为两类,一类是人们可以 控制的(可控因素);一类是人们不可控制的。以下我们 所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态,称为该因 素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在改变时称为 单因素试验。如果多于一个因素在改变称为多因素试验。
H ; 0: 1 2 r H , , 1: 1 2
中 不 全 相 等 。 r
(1.2)
2019/3/7
9
1 记 n 其 中 n n , 称 为 总 平 均 。 i i, i n i 1 i 1
r
r
平 均 值 与 总 平 均 的 差 异 , 习 惯 上 将 称 为 水 平 A 的 效 应 。
1 2… j … ni
样本 样本均 值 和
T T T T
1 2
因 素 水 平
1 2 i r
X 11 X 21 X i1 X r1
X 12 X 22 X i X2j X ij X rj

线性回归分析与方差分析.89页PPT

线性回归分析与方差分析.89页PPT
43、重复别人所说的话,只需要教育; 而要挑战别人所说的话,则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是:在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
线性回归分析与方差分析.
56、极端的法规,就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要,人们 就不再 配享受 自由了 的 利益, 而是为 了公共 的利益 ;一部 分靠有 害的强 制,一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ,那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
41、学问是异常珍贵的东西,从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间,才能认识自 己。——德国

线性回归与方差分析

线性回归与方差分析

线性回归与方差分析线性回归和方差分析是统计学中常用的两种数据分析方法。

虽然它们在数据处理和分析的角度有所不同,但都有助于我们理解变量之间的关系,从而做出科学的推断和预测。

本文将就线性回归和方差分析进行深入探讨。

一、线性回归线性回归是一种用于建立两个或多个变量之间关系的统计模型的方法。

它通过拟合最佳拟合直线,以便预测一个变量(因变量)与一个或多个其他变量(自变量)之间的关系。

对于简单线性回归,我们考虑一个自变量和一个因变量的情况。

我们使用最小二乘法来找到最佳拟合直线,以使预测值与实际观测值的误差平方和最小化。

最佳拟合直线可以通过回归方程来表示,其中自变量和系数之间存在线性关系。

例如,假设我们想研究身高与体重之间的关系。

我们可以收集一组数据,其中身高是自变量,体重是因变量。

通过拟合最佳拟合直线,我们可以预测给定身高的人的体重。

二、方差分析方差分析是一种用于比较三个或更多组之间差异的统计方法。

它将观测值的总变异分解为组内变异和组间变异,以确定组间的差异是否显著。

在方差分析中,我们将一组观测值分成几个组,并计算每个组的观测值的平均值。

然后,我们计算总平均值,以检查组间和组内的差异。

如果组间差异显著大于组内差异,我们可以得出结论认为不同组之间存在显著差异。

例如,假设我们想研究不同施肥处理对植物生长的影响。

我们将植物分成几个组,分别施用不同类型的肥料。

通过测量植物生长的指标(如高度或质量),我们可以使用方差分析来比较各组之间的差异。

三、线性回归与方差分析的联系尽管线性回归和方差分析是两种不同的统计方法,但它们在某些方面也存在联系。

首先,线性回归可以被视为方差分析的特例。

当我们只有一个自变量时,线性回归与方差分析的目标是相同的,即确定因变量与自变量之间的关系。

因此,我们可以将简单线性回归模型看作是方差分析的一种形式。

其次,线性回归和方差分析都涉及到模型建立和参数估计。

线性回归通过拟合回归方程来建立模型,并估计回归系数。

方差分析与回归分析

方差分析与回归分析

不同行业被投诉次数的散点图
行业
1. 随机误差
▪ 因素的同一水平(总体)下,样本各观察值之间的差异 ▪ 比如,同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 ▪ 这种差异可以看成是随机因素的影响,
2. 系统误差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下,各观察值之间的差异 ▪ 比如,不同行业之间的被投诉次数之间的差异
▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的,也可
a.画散点图
较强的线性正相关关系
b. 求r
• 样本容量n=14,查教材附录540页《相关系数 检验表》,当显著性水平为1%时,r0.01=0.661。 显然,样本相关系数r> r0.01 ,因此线性回归效果 显著,认为抗拉强度y与含碳量x之间存在高度显 著的正相关关系。
c.求抗拉强度y关于含碳量x 的线性回归方程
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
非线性回归
• 在许多实际问题中,变量之间并不一定是 变量的关系,而是某种非线性相关关系, 称为一元非线性回归。许多有价值的非线 性回归方程,可以利用适当的变换,转换 为线性回归方程,例如,倒数变换、半对 数变换、双对数变换、多项式变换等;然 后再利用线性回归分析的最小二乘法进行 估计和检验。
k
ni
k
k
xij x 2 ni xi x 2
ni
xij x 2
i1 j1
i1
i1 j1
SST = SSA + SSE
▪ 前例的计算结果:
4164.608696=1456.608696+2708
关系强度的测量
1. 拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有

第9章方差分析与一元回归分析

第9章方差分析与一元回归分析

第九章 方差分析与一元线性回归分析
[系统(条件)误差]:
概率统计
在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的 试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.
[随机(试验)误差]:
在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控 制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试 验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.
r ni
ST
( Xij X )2
i1 j1
r ni
SE
( Xij Xi )2
i1 j1
r ni
r
SA
( Xi X )2 ni (Xi X )2
i1 j1
i1
ST反映了样本的总变动幅度. SE反映了为从r个总体中选取一个容量为ni的样本所进行的 重复试验而产生的误差. S A反映了从各不同水平总体中取出的各个样本之间的差异.
r i1
1 ni
(
ni j 1
X ij
)2
1 n
(
r i1
ni
Xij )2
j 1
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
概率统计
(3) 若令Y aX b (a 0),有Y aX b SY2 a2SX2
Y
1 n
n i 1
Yi
1 n
n i 1
(aX i
b)
1 n
n
aX i
i 1
第九章 方差分析与一元线性回归分析
教学要求
1.掌握单因素试验的方差分析 2.掌握一元线性回归分析 学时 4- 6
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
第一节、方差分析
一、方差分析的基本原理 二、单因素方差分析的方法 三、单因素方差分析的步骤 四、双因素方差分析的方法

线性回归分析与方差分析.共89页

线性回归分析与方差分析.共89页
线性回归分析与方差分析.
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一, 也是成 功的利 器之一 。没有 它,天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ,徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿.丘吉 尔。 30、我奋斗,所以我快乐。--格林斯 潘。

28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子

29、勇猛、大胆和坚定的决心能壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
89

26、要使整个人生都过得舒适、愉快,这是不可能的,因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

27、只有把抱怨环境的心情,化为上进的力量,才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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例2(续例1) 求Y关于x的线性回归方程. 解 现在n=9, 所需计算列表如下表
x 6 10 21 40 62 62 90 100 120 511 y 31 58 124 220 299 190 320 406 380 2028 x2 36 100 441 1600 3844 3844 8100 10000 14400 42365 y2 961 3364 15376 48400 89401 36100 102400 164836 144400 605238 xy 186 580 2604 8800 18538 11780 28800 40600 45600 157488
, 则称 yi − yi为x i 处的残差
(
)
2
$ $ = ∑ yi − a − bxi 称为残差平方和
i =1
n
(
)
2
为了计算Qe, 将Qe作如下分解:
ˆ ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[( yi − y ) −b(xi − x)]2 e
2 i=1 i=1 n n
ˆ = ∑( yi − y) − 2b∑(xi − x)( yi − y)
一、 一元线性回归模型
假定我们要考虑自变量x与因变量Y之间的相关关系 假设x为可以控制或可以精确观察的变量,即x为普 通的变量。由于自变量x给定后,因变量Y并不能确 定,从而Y是一个与x有关的随机变量 我们对于可控制变量x取定一组不完全相同的值 x1,…,xn,作n次独立试验,得到n对观测结果: … x n n
y
500 400 300 200 100
* * *
20 40 60 80 100
*
L
* *
*
这就是所谓的 一元线性回归模型
120
** o
x
图9-1
一般地,假设x与Y之间的相关关系可表示为 (1) Y = a +bx +ε 其中:a, b为未知常数 ε为随机误差且 ε ~ N(0,σ 2 ) σ 2 未知, x与Y的这种关系称为一元线性回归模型 y=a+bx称为回归直线 此时 b称为回归系数
这样a,b的估计值可写成
ˆ Sxy b = Sxx n n a = 1 y − 1 x b ˆ ˆ ∑ i n∑ i n i=1 i=1
下面再用矩法求σ 2的估计 由于
1 n 2 由矩估计法,可用 ∑εi 估计 n i=1
σ = D(ε ) = E(ε
二、 参数a、b、σ 的估计
2
现在我们用最小二乘法来估计模型(1)中的 未知参数a,b. 记 Q = Q(a, b) = ∑εi2 = ∑( yi − a − bxi )2
i=1 i=1 n n
称Q(a, b)为偏差平方和 最小二乘法就是选择a,b的估计 a, b ,使得 ˆ ˆ Q(a, b)为最小(图9-2)
画出散点图如图9-1所示.从图中可以看出,随 着广告投入费x的增加,销售额Y基本上也呈上升 趋势,图中的点大致分布在一条向右上方延伸的 直线附近.但各点不完全在一条直线上,这是由于Y 还受到其他一些随机因素的影响. 这样,Y可以看成是由两部分叠加而成,一部 分是x的线性函数a+bx,另一部分是随机因素引起的 误差 ε ,即 Y=a+bx+ ε
ˆ y = 45.258+ 3.1714x. ˆ 或 y = 225.33+ 3.1714( x − 56.78).
Q 1 e ˆ ˆ σ = = [Syy −bSxy ] n −2 n−2
2
1 Syy = ∑y − ∑yi n i=1 i =1
n n 2 i
2
1 = 605238 − ×20282 = 148262 9 ˆ 得 又 知 xy = 42342.67, b = 3.1714, 即 已 S ˆ Qe = Syy − bSxy = 13976.46 ˆ σ 2 = Qe (n− 2) = 13976.46/ 7 = 1996.64
(x1,y1) ,(x2,y2),…,(xn, yn)
其中yi是x=xi时随机变量Y的观测结果.将n对观测结 果(xi,yi)(i=1,…,n)在直角坐标系中进行描点, 散点图.散点图可以帮助我们精略 这种描点图称为散点图 散点图 地看出Y与x之间的某种关系.
例1 对某广告公司为了研究某一类产品的广告费用x 与其销售额Y之间的关系,对多个厂家进行调查, 获得如下数据
可以证明, 作为统计量的残差平方 和Qe服从分布
σ2
Q e ~ χ2 (n − 2), Q 于 是 E 2 = n − 2, σ • 即知E(Qe/(n−2))=σ2. 这样就得到了σ2的无偏估 计量: Q 1 2 e ˆ ˆ σ = = [Syy −bSxy ]. n −2 n −2
∑(x
i= 1 n
n
i
− x)( yi − y)
(xi − x)2 ∑
i= 1
ˆ ˆ a = y − bx
其中
1 n 1 n x = ∑xi , y = ∑yi n i=1 n i=1
用最小二乘法求出的估计 a 、ˆ 分别称为a、b的最 ˆ b 小二乘估计 ˆ ˆ ˆ y = a +bx 此时,拟合直线为
σ 2 ~ χ 2 (n − 2) (3) 2 ˆ σ
n
(4) σ 2分别与 a、b 独立。 ˆ ˆ ˆ
例2 就例1试求出y关于x的一元线性回归方程及 σ 2 的估计
在例1中可分别求出a、b、σ 2 的估计值为:
ˆ b = 0.323
ˆ a = 4.37
ˆ 2 = 4.064 σ
故经验回归直线为: Y=4.37+0.323x
1 Sxx = 42365 − ×5112 = 13351.56 9 1 Sxy = 157488 − ×511×2028 = 42342.67 9 ˆ b = S S = 3.1714 故 得
xy xx
1 1 ˆ a = ×2028 − ×511×3.1714 = 45.258 9 9
于是得到回归直线方程
厂 家 1 6 31 2 10 58 3 21 124 4 40 220 5 62 299 6 62 190 7 90 320 8 100 406 9 120 380
广告费 销售额
广告费与销售额之间不可能存在一个明确的 函数关系,事实上,即使不同的厂家投入了相同 的广告费,其销售额也不会是完全相同的。影响 销售额的因素是多种多样的,除了广告投入的影 响,还与厂家产品的特色、定价、销售渠道、售 后服务以及其他一些偶然因素有关。
图9-2
为了求Q(a, b)的最小值,分别求Q关于a, b的偏导数,并令它们等于零:
n ∂ ∂a Q(a, b) = ∑( yi − a − bxi )(−2) = 0 i= 1 n ∂ Q(a, b) = ( y − a − bx )(−2x ) = 0 ∑ i i i ∂b i= 1
例如,农作物的单位面积产量与施肥量之间有 密切的关系,但是不能由施肥量精确知道单位面积 产量,这是因为单位面积产量还受到许多其他因素 及 一 些 无 法 控 制 的 随 机 因 素 的 影 响 。 又如,人的身高与体重之间存在一种关系,一般来 说 , 人 身 高 越 高 , 体 重 越 大 , 但同样高度的人,体重却往往不同。这种变量之间 的 不 确 定 性 关 系 称 之 为 相 关 关 系 。 对于具有相关关系的变量,虽然不能找到他们之间 的确定表达式,但是通过大量的观测数据,可以发 现他们之间存在一定的统计规律, 数理统计中研究变量之间相关关系的一种有效方法 就是回归分析。
120
140
160
180
200
解 现在n=10, 所需计算列表如下表
x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 ∑ 1450 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 673 x2 10000 12100 14400 16900 19600 22500 25600 28900 32400 36100 218500 y2 2025 2601 2916 3721 4356 4900 5476 6084 7225 7921 47225 xy 4500 5610 6480 7930 9240 10500 11840 13260 15300 16910 101570
对于估计量 a bσ 2 的分布,有: 、 ˆ、 ˆ ˆ 定理1 定理 (1)
n 2 2 σ ∑x1 ˆ a ~ Na, n i=1 2 n∑(xi − x) i= 1
(2)
2 σ ˆ b ~ Nb, n 2 ∑(xi − x) i=1
2 i=1 i=1
n
n
ˆ + (b)
2
ˆ ˆ (xi − x)2 = Syy − 2bSxy + (b)2 Sxx ∑
i=1
n
ˆ +b Sxy S = S − 2bS +bS ˆ ˆ = Syy − 2bSxy ˆ xx yy xy xy Sxx ˆ 最 得 Q = S −bS . 后
e yy xy
第九章 线性回归第四节
一元线性回归分析 可线性化的非线性回归 多元线性回归简介 方差分析
第一节 一元线性回归分析
在许多实际问题中,我们常常需要研究多 个变量之间的相互关系。 一般来说,变量之间的关系可分为两类: 一类是确定性关系,确定性关系是指变量之间的关 系可以用函数关系来表达,例如电流I电压V电 阻R之间有关系式V=IR。 另一类是非确定性关系,有些变量之间的关系是非 确定性的关系,这种关系无法用一个精确的函数 式来表示。
Y ~ N(a +bx,σ 2 )
, yi = a +bxi +εi i =1⋅⋅⋅, n εi ~ N(0,σ 2 ) ε1,⋅⋅⋅,εn相 独 互 立
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