相量法分析RLC串联电路

*4.4.6相量法分析RLC 串联电路正弦交流电用相量式表示后，正弦交流电路的分析和计算都可以用复数来进行，这时直流电路中应用的分析方法和基本定律就可以全部应用到正弦交流电路之中,使解题更简便、更快捷。

1．基尔霍夫定律阐明了电路中各电流、电压的约束关系，对任何电路都适用。

在正弦交流电路中，所有的电流、电压都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的有效值相量关系都遵从基尔霍夫定律。

基尔霍夫节点电流定律（KCL ）指出：在任一时刻，电路中任一节点上电流的代数和为零，即∑=0i它对应的相量形式为（4-52） ∑=•0I上式即为KCL 的相量形式。

它表明在正弦交流电路中，任一节点上各电流的相量的代数和等于零。

同理可得，KVL 应用于正弦交流电路在任何瞬时都成立，即 ∑=0u 其对应的相量形式为(4-53) 0=∑•U上式即为KVL 的相量形式。

它表明：在正弦交流电路中，沿任一回路的各部分电压相量的代数和等于零。

2．用相量法分析RLC 串联电路上节我们已学习了RLC 串联电路的分析和计算方法，本节，我们在建立电路相量模型的基础上，介绍用相量法分析和计算RLC 串联电路。

RLC 串联电路和它的相量模型及等效电路如图4-62所示。

图4-62RLC 串联电路及其相量模型设正弦交流电压u = U Sin(ωt +φi )，其对应的电压相量为 / φu电路中正弦电流为i= ISin(ωt+φi )，其对应的电流相量为/φi 由三种基本元件的欧姆定律相量形式可知，电流在电阻R 上产生一个与电流同相位的正弦电压：U U =•22I I =•••=I R U R在电感L 上产生一个超前电流的电压：在电容C 上产生一个滞后于电流的电压：( 4-55） 抗的实部是电阻R ，虚部为电抗Z 上不加是二端网络端口的等效复阻抗，与直流电路中串联电阻的效电相似。

复阻抗也可以用极坐标形式来表示：•••==IjX I L j U L L ω•••−=−=1I jX I c j U C Cω 由KVL 的相量形式可得CL R U U U U ++=••••• (4-54)式（4-54）称为欧姆定律的相量形式。

Z 称为复阻抗，即•−+=−+=•••I X X j R I jX I jX I R C L )]([C L =I Z 可见，复阻抗是以复数jX R X X j R Z 形式出现的，单位是Ω。

复阻C 串联电路中，Z C L +=−+=)(X=X L -X C 。

复阻抗Z 虽然是复数，但它不代表正弦量，所以它不是相量，符号“·”。

在RL 等阻的情况 （4-56） ；φ=φu -φi 是复阻抗的辐角，称为阻抗角，大小等于电压与电流的相位差。

在RLC 串联电路中，流过各元件的电流相等，一般以电流相量为参考相量作图。

电阻压 、电抗电压和总电压 构成电压三角形；电阻R 、电抗X 和阻抗|Z|构成阻抗角形，如图4-63（a）、（b）所示，它们是相似三角形。

上式中 称为复阻抗的模，简称阻抗，其大小等于电压有效值与电流有效值之比 电三图表-63RLC 串联电路相量图 阻抗三角形和功率三角形电流相量 的共轭复数为 我们把二端网络的电压相量与 电流相量的共轭复数 乘积 ，称为复功率，用 表示，单位是VA 。

则 有 即 （4-57） φφφφ∠=−∠=∠==Z U U U Z i u u •φ∠•I I I i I U Z =RX U •X U ••U i φ∠I −=∠I −=∗∗•I I =i I φ∠u U U φ=•∗•iI φ∠I U S ~jQP j S S UI I U I U S i u u +=+=∠=−∠=−∠⋅∠==∗•)sin (cos ~φφφφφφφφ∠==∗S Q P I U +=•j S ~由此可见，复功率的实部为二端网络中所有电阻元件所消耗的有功功率的总和，虚部Q 为二端网络中所有贮能元件的无功功率的总和。

复功的模S 为视在功率，其大小 的辐角φ，称为功率因素，大小等于阻抗角、即电压路的有功功源电压 ，电阻R=30Ω，电感（1）元件端电压U R 、U L 、U C ；（3）电路的有功功φ；（4）作出相量图。

率S ~为；复功率 22Q P UI S +== 与电流的相位差。

由P 、Q 和 S 组成的功率三角形与电压三角形和阻抗三角形都相似。

复功率的引入，可把功率的计算变复数的代数运算，可十分方便地求出电P 、无功功率S 和功率因素。

φcos tV U 314sin 2220= [例4-22]在RLC 串联电路中，电L=445mH ，电容C=32μF 。

试求：电路的复阻抗Z ；（2）电路中的电流，各P 、无功功率Q ，视在功率S 和功率因素cos 率解：由 可知： =220/00 V ω=314rad/stV U 314sin 2220=•（1） X L =ωL=314×0.445≈140ΩU Z=R+0Ω≈××==−100103231411X 6c C ωj(X L －X C )=30+j(140－100)=30+j40=50/53.13Ω（2） 由 ,A U I 0013.534.4220−∠===•• Z 013.5350∠0∠得由 , A t i )13.53314sin(24.40−=VI R U R 13.5313213.534.430−∠=−∠×==•00•得 由 , Vt u R )13.53314sin(2132−=••0VI jX U L L 00087.3661613.534.490140∠=−∠×∠==得由 ,3） 由 V t u )87.36314sin(26160+=V I jX U C C 13.14344013.534.490100−∠=−∠×−∠=−=L 000••得（ ,得 4） 相量图如图4-64所示。

V )13.1430−4.7748.58013.5396813.534.40220~000j I U S ==∠=∠×∠==∗•t u C 314sin(2440= 6.013.53cos cos ,968var,4.774,8.5800=====φVA S Q W P （图4-64（例4-22）相量图阅读材料一 交流电路的实际器件法对电路进行定量的分析和计算，研究电路的规律。

建立电路模型，是响，特别在频率较高时，这种影响将会很大。

下面我们分别加以讨论。

越靠近中心处，电流密度越小；越靠近表面，电流密度越大，这种现象电的电阻也不同，而对交流电的电阻称为有效电阻。

有效电阻随频率件，如图4-65（a）所示。

在直流电路中,由于纯电感对直流电相当于短路,因此把它等效为一个电阻元件,如图为4-65(b)在高频交流电路中，线圈的电阻和感抗都有很变化：电阻除因趋肤效应要增大外，还会因线圈相近线圈间同方向电流所产生的磁场影，产生邻近效应而使导线中的电流分布更加不均匀，使有效电阻增大更为显著。

此外，高频条件下，线圈的线匝之间存在的分布电容也不可忽略，其等效电路如图4-65（c）示。

而产生热损耗。

这种热损在前面的讨论中，我们对电路的三种基本元件电阻R、电感L 和电容C 都是采用模型化的理想元件处理的。

用理想的电路模型，近似地反映实际电路元件，只考虑它们本身具有的单一特性，忽略其次要因素，我们就能给每一种理想电路元件的性能赋予精确的数学定义，运用数学方电路理论分析的常用方法。

必须指出，理想元件只是实际电路部件在一定条件下的近似替代，并非实际器件身。

实际器件的性能往往很复杂，常受到多种因素的影响。

在交流电路中，实际器件的性能会受到频率的影1． 导体的电阻我们知道，导体对直流电和交流电都具有电阻。

当直流电通过导体时，导体横截面上各处的电流分布是均匀的，即电流密度处处相等。

但交流电通过导体的时，其横截面上电流分布则不均匀：称为趋肤效应。

由于趋肤效应，电流大部分集中在导体表面，而中心处的电流很小，这就相当于减小了导体的有效横截面积，也就增大了电阻。

由于趋肤效应随着频率的增大而显著，因此同一导体对不同频率的交流的增大而增大。

对于低频交流电，趋肤效应并不显著，可近似认为有效电阻与欧姆电阻相等。

但在高频电路中，电流几乎都集中在导线表面一层通过，导线中心部分电流近似等于零。

此时导线的有效电阻比欧姆电阻大许多倍。

为了有效地利用导电材料，在一些高频电路中常采用空心导线或表面镀银。

2． 电感线圈一个电阻不可忽略的实际电感线圈，在低频交流电路中，常把它等效为电阻与纯电感串联的元可大响在所图4-65实际电感线圈在不同频率下的等效电路3． 电容器理想电容器两极间的电介质是完全绝缘的，两极间没有电流通过。

实际的电容器两极间的电介质不可能做到完全绝缘，在电压作用下，总有些漏电流通过，从而产生功率损耗。

此外，在交变电压作用下，电容器两极板间的电介质出会交变极化耗将随频率的增高而随之增大。

因此，一个实际电容器可用一个电阻R 与电容的并联电路等效代替，如图4-66所示。

漏电流可认为从电阻R 上通过。

综上所述，我们所学的理想元件只是在一定条件下近似地替代实际器件。

在实际应用中，我们还须综合考虑各种因素的影响，通过实践，对由电路模型推导出来的规律加以修正，不断完善，使其更好地材料二、常用电光源致发光源。

电光源，例如白炽灯和在它基础上发展起来的卤钨加热到白炽状态（2211~3000℃）而发出可见光的。

、玻璃壳体等构成，如图4-66所示。

、白色半透明和彩色三种。

为了抑制钨丝的形状由最初的直丝改形，后来又改为发光效率更高的双螺旋形。

白炽灯的形状也由一般的梨形，以满足不同的照明要求。

炽灯由于结构简单、价格低廉和使用方便，目前仍在广泛使用。

但不久的将来，它将逐渐被节能、高效的新型光源所代替，从而完成它的历史使命。

⑵卤钨灯卤钨灯是在白炽灯的基础上充入微量卤素（碘、溴等）或卤化物后，利用卤钨循环原理来提高发光效率和使用寿命的，其结构如图4-67所示。

来 与实践吻合，更好地反映客观规律。

阅读 常用电光源按其发光原理可分为三大类，即热辐射光源、气体光源和场1． 热辐射光源热辐射光源是人类最早发明的灯，都是利用电流通过灯丝，使灯丝（1） 白炽灯的构造和工作原理普通白炽灯主要由灯丝、灯头灯丝是灯泡的发光体，由熔点高达3410，且蒸发率很低的金属钨丝绕制而成。

钨丝要安放在铜丝做成的挂钩上，挂钩固定在玻璃芯柱的柱头上，并与镍制成的电极相连，然后通过与玻璃芯柱膨胀系数相近的铜铁镍合金丝，再由两根铜丝分别与灯头的两个接触点连接。

图4-66白炽灯灯头是白炽灯的电连接和机械连接部分，通过灯头，灯泡才能跟灯座连接并接通电源。

灯头有卡口灯头和螺旋灯头两种。