七年级数学下册 3.3 探索三角形全等的条件(二)课件 (新版)北师大版
《探索三角形全等的条件》三角形PPT教学课件(第1课时)
所以△ABC≌△AED（SSS）.
=× × =
课堂检测
基础巩固题
4.已知: 如图,点B，E，C，F在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
试说明: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
解: （1）因为BE = CF，
巩固练习
变式训练
如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF.试说明:△ABC ≌ △DCF.
解：因为C是BF中点，
所以BC=CF.
在△ABC 和△DCF中， AB = DC， (已知) AC = DF， (已知) BC = CF， (已证) 所以 △ABC ≌ △DCF
(SSS).
探究新知 素养考点 2 利用三角形全等说明线段或角相等
D是BC的中点
探究新知
指明范 围
摆齐根 据
解：因为D 是BC中点， 所以BD =DC． 在△ABD 与△ACD 中，
准备条件
AB =AC (已知）
BD =CD （已证）
B
AD =AD （公共边）
所以 △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
A C
D 写出结论
探究新知
书写步骤： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论：写出全等结论.
例 工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常如图中所示，钉上两条斜拉的 木条，这样做的原理是根据三角形的______性. 解稳析定：门框钉上斜拉的木条构成三角形，三角形具有稳定性.
巩固练习
变式训练
探索三角形全等的条件课件北师大版七年级数学下册
∴∠DAB=∠EAC
在ΔABD与ΔACE中
∠DAB=∠EAC
AB=AC
B
C
∠ABD=∠ACE
∴ΔABD≌ΔACE
∴BD=CE
三 角
01 三角形全等判定——SSS
形
全 02 三角形全等判定——SAS
等
的 判
03 三角形全等判定——AAS
定
条 件
04 三角形全等判定——SAS
判定两个三角形全等的思路：
针对练习：如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD， 试说明：ΔAOB≌ΔCOD
D C
解：ΔAOB≌ΔCOD,理由如下：
∴∠AOC=∠BOD
∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD
∴∠COD=∠AOB
在ΔAOB与ΔCOD中
OA=OC
∠COD=∠AOB
OB=OD
O
∴ΔAOB≌ΔCOD
A B
A
全等判定——ASA
F
E
D
B
C
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS
针对练习：如图，AC=DC，AB=DE,CB=CE.
试说明：∠1=∠2
A
全等判定——ASA
解：∠1=∠2,理由如下： E 在ΔABC与ΔDEC中
AC=DC
AB=DE
CB=CE
B
∴ΔABC≌ΔDEC
E C
D
A
B
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS 全等判定——ASA
判定方法四： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 （ 简写成“边角边”或“ASA”）
《探索三角形全等的条件(二)》课件 2022年北师大版数学课件
x 1 5.
x 1 5,
x1 6,x2 4 . ( 4 ) ( 2 x 1 ) 2 25 ,
4
2 x 1 25 5 . 42
2x 1 5. 2
x1
7 4
, x2
3. 4
想一想
(1) 52等 于 多 少?( (5)2等 于 多 少?
(2)
49
2
等 于 多 少?
∴ AB=CD BC=AD
〔全等三角形对应边相等〕
议一议
B A
利用“角边角〞可知, 带B块去，可以配到一 个与原来全等的三角形 玻璃。
完成以下推理过程：
在△ABC和△DCB中，A
∠ABC=∠DCB 3
∵ BC=CB〔公共边〕
∠2=∠1
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB〔 ASA〕
想一想：
如图，O是AB的中点，
E 800 5cm
700 300
B
A
700 300
D
F
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
E
w1
z
D
A y1
1x
C 1
O1 B
x2= 2 ， y2= 3 ， z2= 4 ， w2= 5 ．
x2=2，幂和指 数，求底数x， 你能求出来吗？
注意!
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方 根，记为“ ”，读作“根号 a ”． 特别地，我们规定0的算术平方根是0，即
F
A
BD
E
3、如图，在△ABC 中 ,∠B=∠C，AD是∠BAC的
角平分线，那么AB=AC吗？为什么？
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
数学(七下)3.3探索三角形全等的条件(二)
1、角.边.角;
2、角.角.边
每种情况下得到的三角形都全等吗?
做一做
1.角.边.角;
若三角形的两个内角分别是60°和80° 它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗?
2cm
60°
80°
做一做
2.角.角.边
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45° 所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
2
C
∴△ABC≌△DCB（ AAS ）
巩固练习：
如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC 与△BOD全等吗？为什么？ 我的思考过程如下： 两角与夹边对应相 等 A
C O B D
∴△AOC≌△BOD
补充练习
1﹑请在下列空格中填上适当的条件， 使△ABC≌△DEF。 在△ABC和△DEF中 A D
课堂小结
通过这堂课的学习你有 什么收获?知道了哪些 新知识？学会了做什么？
布置作业
P83 知识技能2.3； 问题解决。
第三章
三角形
3 探索三角形全等的条件（第2课时）
情境导入
我们已学过识别两个三角形全等的方法 是什么?识别三角形全等是不是还有其 它方法呢？
情境导入
有一块三角形纸片撕去了一个角, 要去剪一块新的,如果你手头没 有测量的仪器,你能保证新 剪的纸片形状、大小和原来的一 样吗?
实践探究
我们知道:如果给出一个三角形三条边的长度, 那么因此得到的三角形都是全等.如果已知一个 三角形的两角及一边,那么有几边对应相等的两个三 角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
练一练
1.如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E， 则△ABC ≌△DEF的理由是：角边角（ASA） 2.如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS）
北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
课堂小结
内容
角边角 角角边
应用
有两角及夹边对应相等的两个三角 形全等（简写成“ASA”)； 两角分别相等且其中一组等角的对 边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”）
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”“角边角” 中两角与边的区分
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
学习目标
情境引入
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法 “ASA”和“AAS”;
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS” 证明两个三角形全等．（重点）
情境导入
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不谨慎打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的 办法是带哪块去？ 学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流． 教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的， 而仅仅带③则可以，为什么呢？ 本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证）， ∠ABD=∠A'B'D'（已证），
2023年北师大版七年级下册数学第四章三角形第7课时探索三角形全等的条件(2)
相等
·数学 的两个三角
∠A＝∠A′， ቐ∠B＝∠B′，
BC＝B′C′，
所以△ABC≌ △A'B'C' ( AAS ).
·数学
3.如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要利用“AAS”判 定△ABC≌△EDC，应添加的条件是 ∠B＝∠D .
知识点四：AAS的应用 例：如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明 △ABC≌△DEF.
BC＝EF 所以△ABC≌△DEF(AAS).所以AC＝DF.
·数学
8.【例4】如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD＝ BD，问△BHD≌△ACD吗?为什么? 解：△BHD≌△ACD. 理由如下：因为AD⊥BC，BE⊥AC， 所以∠ADC＝∠BEC＝90°. 所以∠DAC＝∠EBC，即∠DAC＝∠DBH.
几何直观 推理能力 角形全等的条件(ASA) 两角及其 夹边 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边 角”或“ASA”). 几何语言：在△ABC与△A'B'C'中，
∠A＝∠A′， ቐ AB＝A′B′， 所以△ABC≌ △A'B'C' ( ASA ).
∠B＝∠B′，
AD＝AB 所以△ADE≌△ABC(AAS).
·数学 7.【例3】(北师7下P111、人教8上P44)如图，点B，F，C， E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，∠ACB＝∠DFE.试 说明：AC＝DF.
解：因为BF＝CE，所以BC＝EF. 又因为AB∥DE，所以∠B＝∠E.
∠B＝∠E 在△ABC和△DEF中，ቐ BC＝EF ，
·数学
2.如图，点E在AB上，点C在AD上，AB＝AD，∠B＝∠D. 试说明：△ABC≌△ADE.
北师大版七年级数学下册：第2课时利用“角边角”“角角边”判定三角形全等课件
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
A
它们能判定
两个三角形
全等吗？
B
图一
C
“两角及夹边”
B
图二 C
“两角和其中一角的对边”
做一做 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三
角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm,你能 画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
改变角度和边长，你能得到同样的结论吗?
用直尺和量角 器或者尺规作 图可以来验证
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ，使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应 相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
7. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”． 如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB， AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB， OF⊥CB，垂足分别是E，F. 试说明：OE＝OF.
证明：因为在△ABD和△CBD中，
AB＝CB， AD＝CD，
所以△ABD≌△CBD(SSS)．
应边上的中线是否相
等，你有办法吗？
B
FE D C
B ′ F' E' D ′ C ′
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD和A′ D′ ，AE和 A'E'分别是△ABC 和△A′B′C′的高和角平分线.试说明 AD＝ A′D′ ，AE＝ A′E′ ，并用一句话说出你的发现.
随堂演练
1. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图 中标有1，2，3，4的四块)，你认为将其中的哪块带去，就能配一块与本来一样大小的三角形玻璃？应该带( B ) A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
探索三角形全等的条件 第二课时-七年级数学下册课件(北师大版)
1 如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个 三角形中一定和△ABC 全等的是( C )
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．乙
2 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图 中标有1，2，3，4的四块)，你认为将其中的哪块带去，就 能配一块与原来一样大小的三角形玻璃？应该带( B ) A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
因为∠BAE＝∠1＋∠2＝90°，
所以∠1＝∠D.
1＝D，
在△ABC 和△DEC 中，3＝5，
所以△ABC ≌△DEC. BC＝EC，
知识点
例5 我们把两组邻边相等的四边形叫做
“筝形”．如图，四边形ABCD 是 一个筝形，其中AB＝CB，AD＝ CD.对角线AC，BD 相交于点O， OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是 E，F. 试说明：OE＝OF.
解：(1)因为AE 和BD 相交于点O， 所以∠AOD＝∠BOE. 又因为在△AOD 和△BOE 中，∠A＝∠B， 所以∠BEO＝∠2. 又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BEO. 所以∠AEC＝∠BED. A＝ B， 在△AEC 和△BED 中， AE＝BE，
AEC＝ BED，
所以△AEC ≌△BED (ASA)．
导引：要说明BC＝ED，需说明
它们所在的三角形全等，
由于∠B＝∠E，AB＝AE， 因此需说明∠BAC＝∠EAD， 即需说明∠BAD＋∠1＝∠BAD＋∠2，易知成立．
解：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即∠BAC＝∠EAD.
B＝E，
在△BAC
和△EAD
中，因为
AB＝AE，
所以△BAC ≌△EAD (ASA)． BAC＝EAD，
专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。
北师大版七年级数学下册教学课件4.3 探索三角形全等的条件——边角边
∴∵A∠DA＝是∠△7EA.,B如C的图角，平分已线，知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，试说明：
∴△ABC≌△EFD,
已知：如D图M，A=BD=ANC,.BD=CD，E为AD上一点，
∴ 【归纳】两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”. 解: 连接CD，如图所示； AM=BN (重庆中考)如图,△ABC和△DEF分别在线段AE的两侧,点D、C在线段AE上,AC＝DE, AB∥EF, AB＝EF.
∠A＝∠D ∴∠A=∠BB.
∴DM=DN.
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
活动5 课堂小结
内 容
边角边 应 用 注 意
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)
为证明线段和角相等提供了新的证法
1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
∴∠BAD五＝∠、EA作C. 业布置与教学反思
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
D
F C
练习
6.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
试说明：BD=CD. 解： ∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中，
AB=AC(已知）， ∠BAD=∠CAD(已证）， AD=AD (已证）， ∴△ABD≌△ACD （S∴ASB）D=. CD.
证明：∵AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义） ∵AB＝AC（已知） ∠BAD＝∠CAD（已证）
AD＝AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴BD＝CD（全等三角形对应边相等）
A
BDC
【七年级数学下册】第三章 图形的全等课件 北师大版
∠D=∠C
∠DOA=∠COB
A
O
B
如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,
3 64° 则BC=_____cm,∠B=_____.
你还能求出哪些边的长度,
A
F
哪些角的度数?
B
C
E
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个 全等图形（至少找出两种方法）
如果上图1是4×4的方格子有哪些分割方法？
课堂小结
通过这节课的学习，你对全等图形有哪些认识？
作 业
你能把下面的这个平行四边形 1．分成两个全等的图形吗？ ２．分成四个全等的图形吗？ ３．分成三个全等的图形吗？
图片欣赏：
D
B
C
E
F
你能找到图中的对应边和对应角吗？
表示方法: △ABC≌△DEF
A D
B
C
E
F
注意：要把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上
用纸板、剪刀等工具制作全等三角形
改变它们的摆放位置,找出对应边,对应角.
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
练习：
找出下列图形中的全等图形
想一想：如图是由几种全等图形拼凑而成的
如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼 成一个与大“L”全等的图案。
与图1所示图形全等的图形是图1ABC
D
将图2绕A点顺时针转90°所得到的图形是
B
A 图2
C
A
B
C
D
本 课 概 要
两个能够重合
的图形称为全等图形；
如果两个图形全等，那么它们的
形状和大小一定都相同；
全等三角形的概念 ；
3.3《探索三角形全等的条件》 课件(北师大版) (1)
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块， 他要到商店去配一块与原来一样的三角形模 具，该怎么办？
知识重现
问题一 图中的两个三角形全等吗？为什么？
3cm 3cm 2cm
2cm 4cm
4cm
问题二 如果已知一个三角形的两角及一边， 那 么有几种可能的情况呢？每种情况下得
到的三角形全等吗？
做一做
两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等，简写成“角角边”或 “AAS”
想一想
如图，O是AB的中点， A= △BOD全等吗？为什么？ B， △AOC与
C O A D B
巩固练习
如图所示，AB=AC, CDA= BEA,你 能说出CD与BE相等的理由吗？
A
D
E
B
C
实践探索
如图，小明不 慎将一块三角形模 具打碎为两块，他 是否可以只带其中 一块碎片到商店去， 就能配一块与原来 一样的三角形模具 呢？如果可以，带 哪块去合适？为什 么？
1.如果“两角及一边”条件中的边是两角所 夹的边，比如三角形的两个内角分别是60 和80， 它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你 画的三角形与同伴画的一定全等吗？
2cm
60
80
做一做
2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的 对边，比如三角形的两个内角分别是60 和45，一 条边长为3cm，情况会怎样呢？
60
45
3cm
（1）如果60°角所对的边为3cm，你能画出这个 三角形吗？这里的条件与1中的条件有什么相同点 与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？你画的 三角形与同伴画的一定全等吗？ （2）如果45°角所对的边为3cm，那么按这个条 件画出的三角形都全等吗？
4-3-2 探索三角形全等的条件(第2课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课堂(北师大版)
转化的思想：
角角边
角边角
由三角形内角和定 理可知，两角相等， 则必然三角都相等！
探究新知
归纳总结 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简写成“角角边”或“AAS”。 符号语言：∵在△ABC和△DEF中
∠B=∠E （已知） ∠C= ∠F （已知） AC = DF （已知） ∴ △ABC ≌△DEF （AAS）
∴△ADC≌△BDF(AAS)． AC＝BF,
随堂练习
7.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是 △ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说 出你的发现.
A
A′
B
D C B′
D′ C′
随堂练习
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），
A E
F
B
D
C
随堂练习
解：∵AD⊥BC， BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°． ∵∠AFE＝∠BFD， ∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°， B ∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°
A E
F
C D
∴∠DAC＝∠DBF． 在△ADC和△BDF中，∵
∠DAC＝∠DBF, ∠ADC＝∠BDF,
4.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过 点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D， E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝ 5 ．
随堂练习
5．解决课前导入的问题：一张教学用的三角 形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能制作一张 与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的 原貌吗？
探索三角形全等的条件(第2课时)教学课件北师大版中学数学七年级(下)
A．一定不全等
B．一定全等
C．不一定全等
D．以上都不对
随堂训练
3.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一
个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
AB=DE可以吗？×
B
A
AB∥DE
∠B=∠E （ASA）
C
F
或∠A=∠D （AAS）
D
E
随堂训练
4. 已知△ABC中，BE AD于E，CF AD于F ,
形全等. （简写成“角角边”或“AAS”）
C
几何语言：
在△和△中，
∠ = ∠，
ቐ∠ = ∠ ，
= ,
∴ △ ≌△ （AAS）.
A
B
F
D
E
知识讲授
例4 已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.
A
求证：AB=AD.
12
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
D
被撕坏了，如图，你能制作一张与本来
同样大小的新教具吗？
能
你能说明其中的理由吗?
C
E
B
新课导入
想一想：
探究三角形全等的条件：有三个条件对应相等时
三个角对应相等； 不能
三条边对应相等； SSS
两个角和一条边对应相等
?
知识讲授
探究：
两个角和一条边对应相等时，两三角形是否全等？
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么这两个角与这条边的位
∴ AB=CD , BC=AD,（全等三角形对应边相等）
2
4
3
∴ ∠1＝∠2 ,
C
1
A
B
北师大版数学七年级下册4.用“边边边”判定三角形全等课件
E
解：在△ABF和△ECD中， 解： ∵BD=CF，∴BD+DF=CF+DF.
AB=CE， AF=ED，
在△ABF和△ECD中，
AB=CE，
BDF C
BF=CD，
AF=ED，
∴△ABF≌△ECD（SSS）.
BF=CD，
∴△ABF≌△ECD（SSS）.
课堂小结
三 角 形 全 等 的 判 定
分类探讨 SSS
当堂小练
如图，△ABC中，AB = AC，EB = EC，则由SSS可以判定（ B ） A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE C.△BDE≌△CDE D.以上答案都不对
拓展与延伸
已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与
OA平行的直线.
D
解：作图如图所示：
作法：（1）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，
通过画图，你能得出什么样的结论？
新课讲授
知识点1 全等形的判定1
判定1：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边 边边”或者“SSS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'， AC=A'C'， BC=B'C'， ∴△ABC≌△A'B'C'.（SSS）
新课讲授
典例分析
分别交OA，OB于点 D，E；
（2）以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交OB 于点 F；
（3）以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，
与第2步中所画的弧相交于点 P ；
（4）过C，P 两点作直线，直线 CP 即为要求作的直线.
布置作业
北师大版七年级下3.3.2探索三角形全等的条件(第2课时)课件ppt(金榜学案配套)
【解析】选C.根据题意AD∥BC得∠ADO=∠CBO，∠DOA=∠BOC，
又OD=OB，所以△DOA≌△BOC同理可证△DOC≌△BOA，
△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有4对.
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′， AB=B′A′，则下列结论中正确的是( (A)AC=A′C′ (C)AC=B′C′ )
对边 相等的两个三 3.由2得：两角分别相等且其中一组等角的_____
角角边 AAS 角形全等，简写成：“_______”或“____”. 【归纳】在两个三角形中，有两角一边对应相等，则这两个三
角形全等.
【预习思考】
对于两个直角三角形，有一边和锐角对应相等，它们全等吗？
提示：全等，其中隐含条件是直角对应相等，故可由“ASA”或 “AAS”得两个三角形全等.
_________.
【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD， ∠ABC=∠BAD=90°.
因为BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
所以∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，所以∠FBA=∠EAD.
所 以 在 Rt△AFB 和 Rt△AED 中 ， 因 为 ∠ AFB=∠DEA=90° ，
(B)BC=B′C′ (D)∠A=∠A′
【解析】选C.如图所示，因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′， AB=B′A′，∴Rt△ABC≌Rt△B′A′C′，所以AC=B′C′(A不
正确，C正确)，BC=A′C′(B不正确)，∠A=∠B′(已知已给出，
D不正确).
2. 如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成
故得AB=ED.
(3)由BC∥DF，得∠CBD=∠FDB，进而得∠ABC=∠EDF.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证） AB＝AD（已知）
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC
即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADC 中
∴ △ABC≌△ADE
（AAS）
3﹑如图：已知AAEB＝＝AADC，，∠∠BB＝＝∠∠CC，，
△ABD与△ACE全等吗？为什么？
A
解：全等。
在 ABD 和 ACE 中
D
4
O 2C
巩固练习：
如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC 与△BOD全等吗？为什么？
我的思考过程如下： C≌△BOD D
A 2
1
E 2﹑如图，已知，∠C＝∠E， ∠1＝∠2，AB＝AD，△ABC和
BD
C △ADE全等吗？为什么？
解： △ABC和△ADE全等。 ∵∠1＝∠2（已知）
1、角.边.角; 2、角.角.边
每种情况下得到的三角形都全等吗?
做一做
1、角.边.角;
若三角形的两个内角分别是60°和80° 它们所夹的边为4cm,你能画出这个三角形吗?
2cm
60°
80°
60°
80°
你画的三角形与同伴画的一定全等吗?
2、角.角.边
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45° 所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
B ＝ ∠CB（＝已∠C知）
AB
＝
A∠CA（＝已∠知A ）
A
＝
AAD（＝公AE共角）
E
D
B
C
∴△ABD≌△ACE（ASAAA）S
实践探索
如图，小明不慎将一块 三角形模具打碎为两块， 他是否可以只带其中一 块碎片到商店去，就能 配一块与原来一样的三 角形模具呢？如果可以， 带哪块去合适？为什么？
第三章 三角形
3 探索三角形全等的条件（第2课时）
情境导入
我们已学过识别两个三角形全等的简便 方法是什么?识别三角形全等是不是还 有其它方法呢？
情境导入
有一块三角形纸片撕去了一个角, 要去剪一块新的,如果你手头没 有测量的仪器,你能保证新 剪的纸片形状、大小和原来的一 样吗?
实践探究
我们知道:如果给出一个三角形三条边的 长度,那么因此得到的三角形都是全等. 如果已知一个三角形的两角及一边,那么 有几种可能的情况呢?
60°
45°
分析：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同 点？你能将它转化为1中的条件吗？
60°
75°
两角和它们的夹边对应相等的两个三 角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
练一练
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS）
C
F
A
BD
E
巩固提高
1、完成下列推理过程：
在△ABC和△DCB中，
A
∠A3＝BC∠=4∠DCB
∵ ∠B2C＝=C∠B1 （公共边 ）
∠C2B=＝∠B1 C
B
3 1
∴△ABC≌△DCB（ AAASSA）
课堂小结
通过这堂课的学习你有什 么收获?知道了哪些新知 识？学会了做什么？
布置作业
P85 知识技能2.3； 问题解决。
生活链接
课间，小明和小聪在操场上突然争论起 来。他们都说自己比对方长得高，这时 数学老师走过来，笑着对他们说：“你 们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地 上，你俩的影子一样长！”，你知道数 学老师为什么能从他们的影长相等就断 定它们的身高相同？你能运用全等三角 形的有关知识说明一下其中的道理吗？ （假定太阳光线是平行的）