理想流体流动(1)

d ( v) 0 dt
第一节 微分形式的连续方程
vx v y vz 散度： div( v) v x y z
div ( v) 0 t d div (v) 0 dt
微分形式的连续方程适用于所有流体（粘性、理 想），所有流态（层、紊、亚音速、超音速等）。
流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转 轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。
第二节 流体微团运动的分解
流体微团沿z轴的旋转角速度分量
流体微团旋转角 速度的三个分量
第二节 流体微团运动的分解
把以上结果代入F点的速度公式
由此证明，在一般情况下流体微团的运动可分解 为三部分：①随流体微团中某一点一起前进的平移运 动；②绕这一点的旋转运动；③变形运动（包括线变 形和角变形）。
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
对于非粘性的不可压缩流体和可 压缩的正压流体，在有势的质量力作 用下作定常无旋流动时，流场中任一 点的单位质量流体质量力的位势能、 压强势能、和动能的总和保持不变， 而这三种机械能可以互相转换。
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
二、伯努利积分：
对有旋流动，沿某条流线求积分
pamb p
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
关于理想流体欧拉运动微分方程的积 分，目前仅对几种特殊的流动可以进 行，最常见的有定常无旋流动的欧拉 积分和定常流动的伯努利积分。
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
积分的前提条件：
1. 流动是定常的
vx v y v z 0 t t t t
第二节 流体微团运动的分解
vFX vx dx vx dy vx dz vx x 2 y 2 z 2 1 v y dy 1 vz dz 2 x 2 2 x 2
vx dx 1 vx v y dy 1 vx vz dz vx [ ( ) ( ) ] x 2 2 y x 2 2 z x 2
第二节 流体微团运动的分解
刚体任意参考点的平移速度 绕参考点的旋转速度
刚体的运动速度
流体任一质点速度
质点上任意参考点的平移速 度 绕通过该点的瞬时轴旋转速度 变形速度
第二节 流体微团运动的分解
流体微团的运动
移动
流体微团的运动
转动 变形运动
第二节 流体微团运动的分解
C B G
vy
D
vx dx vx dy vx dz F vx x 2 y 2 z 2
移动 线变形运动 角变形运动
1 vx v y dy 1 vx vz dz [ ( ) ( ) ] 2 y x 2 2 z x 2
旋转运动
第二节 流体微团运动的分解
移动
第二节 流体微团运动的分解
移动
移动速度： v x v y
vz
第二节 流体微团运动的分解
线变形
( vx ) dxdydz x
第一节 微分形式的连续方程
同理：单位时间内y方向净质量流量
( v y ) y dxdydz
z方向：
( vz ) dxdydz z
单位时间内控制体内密度变化引起的 质量变化量为：
dxdydz t
第一节 微分形式的连续方程
由质量守恒：
第一节 微分形式的连续方程
C G F B
vx dydz
dy
vy
y
D
z
A
x
vz dx vx
dz
E
H
单位时间内ABCD面流入
vx dydz
第一节 微分形式的连续方程
C
G F
vx dydz
B
( vx ) [ vx dx]dydz x
H
dy
vy
y
D
z
A
x
vz dx vx
dz
E
单位时间内EFGH面流出
2. 作用在流体上的质量力是有势的
3. 流体不可压缩或为正压流体
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
正压流体
如果流体的密度仅与压强有关，即ρ=ρ(p) ，则 这种流场称为正压性的，流体称为正压流体。这时 存在着一个压强函数pF(x,y,z,t)
dp pF ( p)
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
vx ( vx ) ( dx)(vx dx)dydz [ vx dx]dydz x x x
第一节 微分形式的连续方程
C
G F
vx dydz
B
( vx ) [ vx dx]dydz x
H
dy
vy
y
D
z
A
x
vz dx vx
dz
E
单位时间内x方向净质量流量
第二节 有旋运动与无旋运动
流体微团的旋转角速度不等于零的流 动称为有旋流动；
0
流体微团的旋转角速度等于零的流动 称为无旋流动。
0
即:
第二节 有旋运动与无旋运动
注意:
有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身 是否发生旋转来决定，而与流体微团本 身的运动轨迹无关。
第三节 理想流体的运动微分方程
角变形
通过形心互相垂直的两条中心线直角夹角的减小 量（即变化量）为 d d ，于是得流体微团在垂直 于z轴的平面上的角变形速度分量
d d z 2 dt dt
1 d d 1 v y vx z ( ) ( ) 2 dt dt 2 x y
x
流体微团角变形速 度之半的三个分量

p 0
第三节 理想流体的运动微分方程
理想流体的运动微分方程的另一种形式
此方程组称为兰姆（H．Lamb）运动微分方程。
理想流体基本方程组的定解条件及其积分 理想流体基本方程组的定解 条件 欧拉积分式和伯努利积分式 伯努利方程
第五节 理想流体流动的定解条件
方程组的封闭问题
连续方程 运动方程பைடு நூலகம்未知量 1个 3个 4个
连续方程：
( v) 0 t
第一节 微分形式的连续方程
用欧拉法分析流体运动时:
d vx vy vz dt t x y z
当地导数 迁移导数
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 展开并整理，得： t x y z vx v y vz d ( )0 dt x y z
v x , v y , v z , p, 5个
还需要增添一个方程，使方程组封闭，才能求解。
对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体
( p)
第五节 理想流体流动的定解条件
方程组的定解条件
初始条件 定解条件 边界条件
第五节 理想流体流动的定解条件
一、初始条件
理想流体的欧拉 运动微分方程组
矢量形式：
dv 1 f p dt
第三节 理想流体的运动微分方程
方程式左边展开：
第三节 理想流体的运动微分方程
欧拉方程对于不可压缩流体和可压缩 流体都是适用的。 当 vx v y vz 0 时欧拉运动微分方程成 为欧拉平衡微分方程。
f 1
第一节 微分形式的连续方程
对定常流动：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z
div ( v) 0
( v) 0
对不可压缩流体定常流动：
vx v y vz 0 x y z
div (v) 0
v 0
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中 每一点的流动参数。 也就是说，求得的解在t＝0时所应分别满足的 预先给定的坐标函数。
定常流动不需要给定初始条件。
第五节 理想流体流动的定解条件
二、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占 空间的边界上必须满足的条件。 运动学条件：边界上速度 边界条件 动力学条件：边界上的力（压强）
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
由于是定常流动，流场中的流线和迹线重 合，因此dx、dy、dz就是在dt时间内流体微团 的位移ds＝vdt在三个轴向的分量。
dx vx dt
dy v y dt
2
dz vz dt
代入方程组，相加并积分，得：
v pF const 2 对于非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体， 在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线 上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能 的总和保持常数值，而这三种机械能可以互相转换。
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
三、伯努利方程
质量力仅仅是重力 不可压缩流体
gz
const
p
pF
p

v2 gz const 2
理想流体的有旋流动
第六节 涡线 涡管 涡束 涡通量 第七节 速度环量 斯托克斯定理 第八节 汤姆逊定理 亥姆霍兹旋涡定理
第六节 涡线 涡管 涡束 涡通量
第二节 流体微团运动的分解
线变形
每秒内单位长度的伸长（或缩短）量称为线应变速度
vx 线变形速度： x
v y y
vz z
第二节 流体微团运动的分解
角变形
第二节 流体微团运动的分解
角变形
角变形速度的定义为每秒内一个直角的角度变化量。 记为： 2 ( )
第二节 流体微团运动的分解
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续 地充满着绕自身轴线旋转的流体微团，于 是形成了一个用角速度 ( x, y, z, t ) 表示的涡 量场（或称角速度场）。 流线 流管 流束 流量 涡线 涡管 涡束 涡通量
C B F G
p dx p x 2
fy
dy
A D
fz
dx
fx
H
E
p dx p x 2
y
dz
x
z
在x方向：
第三节 理想流体的运动微分方程
在x方向： F ma
dvx 1 p fx dt x dvy 1 p fy dt y dvz 1 p fz dt z
第五节 理想流体流动的定解条件
运动学条件，例如：固体壁面
流体既不能穿透壁面，也不能脱离壁面而形 成空隙，即流体与壁面在法线方向的相对分速度 应等于零。即：
vn vwn
若固壁是静止的
vn 0 v1n v2 n
在两种不同流体交界面上
第五节 理想流体流动的定解条件
动力学条件
流体在不同流体交界面或固体壁面上的动 力学条件为：外界流体或壁面作用在流体上的 压强Pamb与位于交界面或壁面上该处流体质点 的压强P的绝对值必然相等。
H
dy
vz v x
dx
E
y
A
dz
x
z
第二节 流体微团运动的分解
vFX
vFY
vx dx vx dy vx dz vx x 2 y 2 z 2
v y dx v y dy v y dz vy x 2 y 2 z 2
vFZ
vz dx vz dy vz dz vz x 2 y 2 z 2
y
1 v z v y ( ) 2 y z 1 vx vz ( ) 2 z x
1 v y v x z ( ) 2 x y
第二节 流体微团运动的分解
旋转运动
第二节 流体微团运动的分解
旋转运动
d
v y x
dt
v x d dt y
第四章 理想流体的无旋和 有旋流动
第七章 理想流体的无旋流动和有旋流动
理想流体运动基本方程组 理想流体基本方程的定解条件及其积 分 理想流体的有旋流动 有势流动 速度势和流函数 几种简单的不可压缩流体的平面流动 及其叠加 平行流绕过圆柱体和机翼的平面流动
理想流体运动基本方程组
第一节 微分形式的连续方程 第二节 流体微团运动的分解 有 旋流动和无旋流动 第三节 理想流体的运动微分方程
常见的正压流体
1）等温（T＝T1）流动中的可压缩流体;
2）绝热流动中的可压缩流体;
对于不可压缩流体，
pF
p

第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
在以上三个前提条件下,兰姆运动微分 方程可简化为:
第四节 欧拉积分式和伯努利积分式
一、欧拉积分
在无旋流动中 x y z 0
欧拉积分式
即：控制体内流体质量的增长率＋ 通过界面流出控制体的质量流量＝0
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 t x y z
微分形式的连续方程
第一节 微分形式的连续方程
引入哈密顿算子
i j k x y z
vx v y vz v x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) ( v) x y z