高中数学解析几何专题圆锥曲线第3讲抛物线

圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l 的一条直线。

注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。

注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。

以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）px y 22=（0>p ），其焦点为)0,2(p F ，准线为2p x -=； （2）px y22-=（0>p ），其焦点为)0,2(p F -，准线为2px =；（3）py x 22=（0>p ），其焦点为)2,0(p F ，准线为2p y -=； （4）py x 22-=（0>p ），其焦点为)2,0(p F -，准线为2p y =.2. 抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程px y 22=（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ；（4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ；（6）焦点：)0,2(p F ；（7）准线：2px -=；（8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若),(00y x P 为抛物线px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF +=；（11）通径长：p 2.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。

以抛物线px y 22=（0>p ）的焦点)0,2(p F 和准线l ：2p x -=为例，可求得其焦准距为p pp =--)2(2；注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。

设抛物线的方程为pxy 22=（0>p ），过其焦点)0,2(pF 且不垂直于x 轴的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径2)2(11p x p x AF +=--=，2)2(22p x p x BF +=--=，于是该抛物线的焦点弦长为px x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(.注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。

通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。

设抛物线的方程为px y 22=（0>p ），过其焦点)0,2(p F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),2(p pA 、),2(p pB -，于是该抛物线的通径长为p p p AB 2)(=--=.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为px y 22=（0>p ），点)0,2(pF 是其焦点，直线l ：2px -=是其准线，若过该抛物线焦点F的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点（即线段AB 是该抛物线的焦点弦），并且点A 、点B 在其准线上的垂足分别为点C 、点D ，线段CD 的中点为点N ，则可以证明：（1）221p y y -=，4221p x x =；（2）θ221sin 2p p x x AB =++=（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；（3）θsin 22p S AOB=∆（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；（4）以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切；（5） 90=∠ANB ，90=∠CFD ；（6）以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F .证明：由于当直线AB 的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线AB 过点)0,2(p F ，我们可巧设其方程为2cot py x +⋅=θ，这里，θ为直线AB 的倾斜角.（1）联立⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=2cot 22p y x px y θ，得0cot 222=-⋅-p y p y θ 由韦达定理，有 θθcot 21cot 221p p y y =--=+，22211p p y y -=-=故p p p p y y y y p y y p y p y x x 2)(2)cot 2(22)(22222212212221222121--=-+=+=+=+θ)1cot 2(cot 222cot 422222+=+=+=θθθp p p p p p444)(4)(222242222221222121p p p p p p y y p y p y x x ==-==⋅=（2）由抛物线的定义，有)]2([)]2([21p x p x BD AC BF AF AB --+--=+=+=ppy p y p x x p x p x ++⋅++⋅=++=+++=)2(cot )2(cot )2()2(212121θθ θθθθθθ22221sin 2csc 2)1(cot 22cot 2cot 2)(cot pp p p p p y y =⋅=+=+⋅=++= （3）)(4)cot 2(44)(4)(22121222122122121p p p y y y y p y y p y y OF S AOB --=-+=-⋅⋅=-⋅=∆θθθθθθcsc 24csc 24csc 44)1(cot 444cot 442222222p p p p p p p p p p p ⋅===+=+=θθsin 2sin 1222p p =⋅=（4）设AB 的中点为),(00y x M则)1(cot 2)1(cot 22)1cot 2(2222)2(222212100+=+=++=++=++=+=--θθθp p p p p x x p x x p x p x又21221212212212214)(4)()()(y y y y x x x x y y x x AB -++-+=-+-=2222242222224cot 4)1cot 4cot 4()(4)cot 2(44)]1cot 2([p p p p p p p p ++-++=--+⋅-+=θθθθθ )1(cot 2)1(cot 4)1cot 2(cot 44cot 8cot 4222224222242+=+=++=++=θθθθθθp p p p p p)1(cot 22+=θpABp x 21)2(0=--∴这表明，AB 的中点),(00y x M 到准线l ：2px -=的距离等于AB的一半，即以线段AB 为直径的圆的圆心),(00y x M 到准线l ：2p x -=的距离等于圆的半径.故以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切 （5）),(11y x A ，),(22y x B ，)2,2(21y y p N +-22)2(21211211p x y y p x y y y k NA+-=--+-=∴，22)2(22212212px y y p x y y y k NB+--=--+-=1cot cot )1cot 2(2244cot 44)1cot 2(244)(4)cot 2(4)(244)()2)(2(4)(222222222222222222222221212122121*********-=++-=+++-=++⋅+---=+++-+-=++--=+--⋅+-=⋅p p p p p p p p p p p p p p p x x p x x y y y y p x p x y y p x y y p x y y k k NBNA θθθθθθ于是故NB NA ⊥，即90=∠ANB又),2(1y p C -，),2(2y p D -，)0,2(p F),(1y p -=∴，),(2y p -=于是0)(22212=-+=+=⋅p p y y pFD FC故FD FC ⊥，即90=∠CFD （6）θθ2222222122212cot )2cot 2()2()20()]2(2[p p p p y y p y y p p NF +=+=++=+-+--=)cot 1()cot 1(222θθ+=+=p p)(4)cot 2(4)()(222122122121p p y y y y y y y y CD --=-+=-=-=θ)1(cot 2)1(cot 44cot 4222222+=+=+=θθθp p p pCD NF 21=∴这表明，CD 的中点)2,2(21y y p N +-到点)0,2(pF 的距离等于CD的一半，即以线段CD 为直径的圆的圆心)2,2(21y y p N +-到点)0,2(pF 的距离等于圆的半径.故以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F【例题选讲】题型1：抛物线定义的应用 1. 已知F是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为___________.解：在抛物线x y=2中，12=p ，即21=p∴该抛物线的焦点为)0,41(F ，准线方程为41-=x 由此可知，直线AB 不垂直于x 轴，否则12121=+=+BF AF ，与已知3=+BF AF矛盾设),(11y x A ，),(22y x B则线段AB 的中点到y 轴的距离221x x d +=，并且由抛物线的定义，有41)41(11+=--=x x AF ，41)41(22+=--=x x BF于是由3=+BF AF，有253212121=+⇒=++x x x x故线段AB 的中点到y 轴的距离45225221==+=x x d2. 设抛物线x y 82=的焦点为F，准线为l ，点P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PF=___________.解：在抛物线x y 82=中，82=p ，即4=p∴该抛物线的焦点为)0,2(F ，准线方程为2-=x由3-=AF k ，)0,2(F 可知，直线AF 的方程为)2(30--=-x y ，即323+-=x y联立⎩⎨⎧-=+-=2323x x y ，得 ⎩⎨⎧=-=342y x )34,2(-∴A于是由l PA ⊥于点A 知，34==A P y y将其代入方程x y 82=中，得68)34(2==P x故由抛物线的定义，有826)2(=+=--==P x PA PF3. 已知以F为焦点的抛物线xy 42=上的两点A、B 满足3=，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.解：在抛物线x y 42=中，42=p ，即2=p∴该抛物线的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x设),(11y x A ，),(22y x B则弦AB 的中点到准线的距离12)1(22121++=--+=xx x x d ，并且),1(11y x AF --=，),1(21y x FB -=于是由3=，有⎩⎨⎧-=+-=⇒⎩⎨⎧=--=-212121213433)1(31y y x x y y x x ， 又由FB AF 3=可知，直线AB 的斜率存在，不妨设为k 则直线AB 的方程为)1(0-=-x k y ，即k kx y -=联立⎩⎨⎧-==k kx y xy 42，得 0442=--k y ky由韦达定理，有4421-=-=k ky y而22213y y y -=34432222=⇒-=-∴y y ，1234992221=⨯==y y于是34124211===y x ，314344222===y x 故弦AB 的中点到准线的距离38135123131221=+=++=++=x x d题型2：求抛物线的方程4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为2-=x ，则该抛物线的方程是___________.解：由所求抛物线的准线方程为2-=x ，可设其方程为pxy 22=（0>p ） 则有422=⇒-=-p p故所求抛物线的方程为x y 82=5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是___________.解：由题设条件可设所求抛物线的方程为px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）则由焦准距为2，有2=p故所求抛物线的方程为x y 42±=或y x 42±=6. 已知抛物线过点)2,3(-P ，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.解：由所求抛物线过点)2,3(-P ，可设其方程为px y 22-=（0>p ）或py x 22=（0>p ）则有p 64=或p 49= 于是32=p 或49=p故所求抛物线的方程为x y 342-=或yx 292=7. 已知抛物线的焦点F 在直线042=--y x 上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________. 解：在方程042=--y x 中，令0=x ，得2-=y ；令0=y ，得4=x 于是所求抛物线的焦点为)2,0(-F 或)0,4(F（ⅰ）当所求抛物线的焦点为)2,0(-F 时，据此可设所求抛物线的方程为py x 22-=（0>p ）则有422=⇒-=-p p于是此时所求抛物线的方程为y x 82-=，其准线方程为22==py（ⅱ）当所求抛物线的焦点为)0,4(F 时，据此可设所求抛物线的方程为px y 22=（0>p ）则有842=⇒=p p于是此时所求抛物线的方程为xy 162=，其准线方程为42-=-=px故所求抛物线的方程为y x 82-=或x y 162=，它们对应的准线方程分别为2=y ，4-=x .8. 已知动圆与圆A ：9)3(22=+-y x 外切，且与y 轴相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为___________. 解：设),(y x M则由动圆M 与圆A 外切，且与y 轴相切，有3+=x MA （0≠x ）3)0()3(22+=-+-⇒x y x （0≠x ），即)(62x x y +=（0≠x ）（*）当0>x 时，由（*）式，有x y 122=；当0<x 时，由（*）式，有02=y故动圆圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧<=>=0,00,1222x y x x y9. 若抛物线px y 22=（0>p ）的焦点恰好是双曲线222=-y x 的右焦点，则p =___________.解：抛物线px y 22=的焦点为)0,2(p F ，准线方程为2px -= 在双曲线222=-y x ，即12222=-y x 中，222==b a ，422222=+=+=b a c2==∴b a ，2=c于是双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F 又 抛物线px y 22=的焦点)0,2(pF 恰好是点)0,2(22=∴p故4=p10. 若抛物线px y 22=（0>p ）的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，则p =___________.解：抛物线px y 22=的焦点为)0,2(p F ，准线方程为2px -= 在双曲线122=-y x 中，122==b a ，211222=+=+=b a c 1==∴b a ，2=c于是双曲线122=-y x 的左、右焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F 又 抛物线px y 22=的准线2px -=经过点)0,2(-22-=-∴p故22=p11. 已知抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点，则该抛物线的标准方程为___________. 解： 在双曲线14491622=-y x ，即116922=-y x 中，25169,16,922222=+=+===b a c b a5,4,3===∴c b a于是该双曲线的左顶点为)0,3(-因而所求抛物线的焦点为)0,3(-F ，据此可设所求抛物线的方程为px y 22-=（0>p ）则有632=⇒-=-p p故所求抛物线的方程为x y 122-=12. 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3-=y 与该抛物线交于点A ，并且5=AF，则该抛物线的标准方程为___________.解： 由所求抛物线的焦点在x 轴上，可设其方程为px y 22=（0>p ）或px y 22-=（0>p ）（ⅰ）对于抛物线px y 22=（0>p ），设)3,(-m A ，0>m则由5=AF ，有5)2(=--p m ，即52=+p m ①又 点)3,(-m A 在抛物线px y 22=上pm 29=∴ ②联立①、②， 得1=p 或9=p于是此时所求抛物线的方程为x y 22=或x y 182= （ⅱ）对于抛物线px y 22-=（0>p ），设)3,(-n A ，0<n则由5=AF，有52=-n p③又 点)3,(-n A 在抛物线px y 22-=上pn 29-=∴ ④联立③、④， 得1=p 或9=p于是此时所求抛物线的方程为x y 22-=或x y 182-= 故所求抛物线的方程为x y 22±=或x y 182±=题型3：抛物线的性质13. 已知抛物线C ：px y 22=（0>p ）过点)2,1(-A ，与抛物线C 有公共点的直线l 平行于OA （O 为坐标原点），并且直线OA 与l 之间的距离等于55，则直线l 的方程为___________.解：由抛物线C ：px y 22=过点)2,1(-A ，有224=⇒=p p ∴抛物线C 的方程为x y 42=，其焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x由直线OA l 且OA 的方程为x y 2-=，即02=+y x ，可设直线l 的方程为02=++t y x又 平行直线OA ：02=+y x 与l ：02=++t y x 之间的距离等于55155512022±=⇒==+-=∴t t t d联立⎩⎨⎧--==t x y x y 242，得 0222=++t y y则由直线l与抛物线C有公共点，有2108421422≤⇒≥-=⨯⨯-=∆t t t于是1-=t （舍去1=t ） 故直线l 的方程为012=-+y x14. 过抛物线py x 22=（0>p ）的焦点作斜率为1的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点，A 、B 在x 轴上的正射影分别为D 、C . 若梯形ABCD 的面积为212，则p =___________.解：抛物线py x 22=的焦点为)2,0(p F ，准线方程为2py -=由直线l 的斜率为1，且过点)2,0(p F 可知，直线l 的方程为)0(12-⋅=-x p y ，即2px y += 设),(11y x A ，),(22y x B联立⎪⎩⎪⎨⎧+==222p x y py x ， 得222=--p px x 解得： p p x 21+=，p p x 22-=又)(2)2()2()(2)(22212121212112A x x px p x x x y y x x y y CD AD BC S BCD-⋅+++=-⋅+=-⋅+=⋅+=梯形212232222)(222121==⋅+=-⋅++=p p p p x x p x x42=∴p又0>p 故2=p15. 过点)6,0(M 且与抛物线x y 122-=有一个公共点的直线方程为_________.解：显然，点)6,0(M 在抛物线x y 122-=外（1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点)6,0(M 且与抛物线x y 122-=有一个公共点的直线方程为0x =（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为k 则由其过点)6,0(M 可知，所求直线的方程为6(0)y k x -=-，即6y kx =+联立2126y x y kx ⎧=-⎨=+⎩，得22(1212)360k x k x +++=（*）（ⅰ）若0k =，则由（*）式，有123603x x +=⇒=- 而此时所求直线的方程为6y =即此时所求直线与抛物线x y 122-=的唯一公共点为(3,6)-，满足题意于是当0k =时，所求直线的方程为6y =（ⅱ）若0k ≠，则对（*）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有2222(1212)4361442881441442881440k k k k k k ∆=+-⨯⨯=++-=+=12k ⇒=-，满足题意 于是当0k ≠时，所求直线的方程为162y x =-+故所求直线的方程为0x =或6y =或162y x =-+16. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点。