矩阵初等变换

1 2 1 2
例
设A
2 4 1
1 1 1
4 2 1
5 1 1
, 求A1。
2020/6/19
解
21
2
4
1 21
1
0
0
0
1 2 1 2 1 0 0 0
（A
I）
2 14
1 1 1
4 2 1
5 0 1 0 0 0
10 10
0 0
1 0
10
0 0
36
96
3
12
9 2 1 0 0
一般地，对矩阵进行初等变换，由不同
类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如
方阵
三角阵,对角阵
标准形（不可逆）
单位阵（可逆）
非方阵 阶梯形 标准形
2020/6/19
三、初等变换求逆法
性质2 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积.
定理1推论 A可逆，则A 可由初等行变换化
为单位阵。
2020/6/19
求逆方法
初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。
1
（1）对换矩阵
I（i,
j）
0
1
，i行
1
0
j行
1
I（i, j） 1 对换矩阵可逆。
2020/6/19
（2）倍法矩阵
1
I（i (k )）
k
，
i行
1
I（i(k)） k 倍法矩阵可逆。
2020/6/19
（3）消法矩阵
I（i(k)，j） I（i, j(k)）
Rm1
Rm1
R21R11 A R21R11I
I A1
AI
行变换 I A1
n2n
2020/6/19
例
1 1 2
设A
1
2
0
,
求A1。
1 1 3
解
1
（A I） 1
1 21
1
2 00
0 1
0 0
1
1
30
0
1
2020/6/19
1 1 2 1 0 0
0 3 2 1 1 0
6
16
0 3 3 9
2020/6/19
1 0 10 3 24
0 1 5 1 12
0 0
0 0
0 1
7 1
28 3
1 4
5 10
1 0 0 13 54
0 1 0 6 27
0013 00 6
0
1
1
1 1
4 3
2020/6/19
1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
1
1 2 3
且AXB C，求X。
2020/6/19
解 若A1、B1存在，则X A1CB1 用初等行变换求得：
2 A1 1
3 2
2 1 1
3
1 3
2
，B1
2 5
31，
X
61 24 31
36 14 18
2020/6/19
例
设A
0 1
1 1
21，B
2 3
0
1
0
2 0
4 7
43 倍法104
28 28
2182
消法104
0 28
16 12
倍法
1 0
0 1
8 7
3 7
2020/6/19
（3）消法 2
x1 7
4x2 x2 3
4倍 法 14
x1 28x2 28 28x2 12
消法
2184xx21
16 倍 法 12
x1
8 7
x2
3 7
2020/6/19
一、初等变换与初等矩阵
引例 线性方程组的三种等价变换
2xx1123xx2221（1）对换 2xx1123xx2221
（2）倍法 22xx11
4 x2 3x2
4 1
2020/6/19
矩阵的初等变换 对换、倍法、消法变换
2 1
3 2
12
（1）对换
1 2
2 3
2 1
（2）倍法
2 2
4 3
4 1
（3）消法
2020/6/19
例 化A为标准形
（1）A
1 4
5 3
10 ；（2）A
0 1
2 1
21；
5 8 1
1 1 1
解
1
（1）A
4 4
5
5
3
0 1
5 8 1
1 0
0
5 0
17 1
1
17
1
2020/6/19
1 0
0
5 17
0
0
1
5
0
5
1 0 1 17
0
2020/6/19
定理
Amn 左乘初等阵，作行变换。I（*） A Amn 右乘初等阵，作列变换。A I（*）
2020/6/19
二、矩阵的标准形
定义 mn阶矩阵的标准形
1
1
Dmn
1 0
0
0
Ir 0mrr
0 0
0rnr 0mrnr
2020/6/19
定理 任何矩阵A均可经有限次初等 变换化为标准形D。
3
若AX B，求X。
2 1
，
1
2020/6/19
解
法1 先求A的逆，再求 X A1B
法2 初等变换法
Rm1 R21R11I A1 Rm1 R21 R11B A1B
A B 初等行变换 I A1B
2 2
X 3 1
1
1
2020/6/19
例 解线性方程组
x1 2 x2 x4 0
2. A 初等变换 B A ~ B.
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
2020/6/19
五、小结与思考
4.初等变换求逆法（重要）
2020/6/19
思考题： P78 2T
2020/6/19
使：PA=B;
(ⅱ)A列等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵Q,
使：AQ=B;
(ⅲ)A等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,
n阶可逆矩阵Q, 使：PAQ=B;
2020/6/19
定理1 说明了矩阵可经初等变换直接判定是
否可逆。
（1）若A D I，则A可逆；
（2）若A D I，则A不可逆。
0 0 17 0
1 0 0 0 1 0
0 0 0
2020/6/19
（2）A
0 1
2 1
21
1 0
1 2 1 1 2 2 1 0 2 1
1 1 1
1 1 1
0
0
2
1
1 0
1 2
0 0
1 2
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 011
0 0 1
x1 3x2 5x3 12 x2 5x3 6x4 16
x1 2 x2 3 x3 4 x4 9
2020/6/19
解 设方程的矩阵形式为 AX B
1 2 0
则
11 315
AB
0
1
5
1 2 3
1
0
1
0 6 4
12
16
9
0 10 0
20
1
0
1 52 15
1 12
2020/6/19
性质1
设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于左乘对应的m阶初等矩阵， 对A施行一次初等列变换，相当于右乘对应的 N阶初等矩阵。
2020/6/19
性质2
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…PL,使得：
A=P1P2…PL
2020/6/19
定理1 (ⅰ)A行等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P
9 4 3 1
0 0
1 0
10
1 2 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 3
0 9
6
9 4 0 1
0
0 1 2 3 1 0 0 1
2020/6/19
全为零， A不可逆。
四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组
例
设
A
1 0
1
0 3 2
2 2 0
B
3 5
12
3
C 0
注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。
定义 若矩阵A经有限次初等变换化 为矩阵B，则称A与B等价。记为
A B（或A ~ B）
注 任何矩阵A与其标准形D等价。
2020/6/19
矩阵等价关系的性质 （1）反身性： A A （2）对称性： A B B A （3）传递性： A B，B C A C
0 0
0
1 0 0
0 0 1
0 3
1
4
0 1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0 3
0
1
Hale Waihona Puke Baidu1 4
所以
2
X
A1B
3
1 4
2020/6/19
五、小结与思考
1.初等行(列)变换
1ri 2ri
k
rj
ci
ci
k ;
c
j
;
3ri krj ci kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
0
0
2
1 1
2
0
1
1
0
0
1 3 0
03 03 1 1
0 1 0
2
1
2
1
1 3
0
0
1 03 1 01
1
0 1 1
0
1 3 0
2
23 1
1
0
0
0 1 0
02 01 1 1
13 1
3 0
4 3 2
3 1
A1
2
1
1
13 1
3 0
4 3
2
3
1
2020/6/19
1
1
，
i行
k
1
j行
1
I（i(k)，j） I（i, j(k)） 1
消法矩阵可逆。
2020/6/19
注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。
（1）I（i, j）1 I（i, j）
(2) I（i(k )）1
I（i(
1 k
)）
(3)I（i(k)，j）1 I（i, j(k)）1
I（i(k)，j） I（i, j(k)）