矩阵初等变换
矩阵的初等变换
o 等价。 o
13
第一章
例2.3 问矩阵
设
1 1 4 0 1 2 1 0 A 0 1 2 0 , B 1 3 0 2 2 2 0 1 0 1 1 2
A
与矩阵
B
是否等价？
解 先求矩阵 A 与矩阵
1 4 1 2 0 2 4 0 0 11 3 2r3r1 2 2 r1 0 0 0 r 0 00 0 0 0
B 的标准形
11 11 4 4
4 4 2 2 8 8 11 1 14 0 r3r3 44r4 4r 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0
1 1 A 0 A 0 1 2 2 2
3 2
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
第一章
0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 r r2 r1 rr32 0 1 1 2 r3 2 B 1 3 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 4 r2 1 r3 143
5 1 0 59 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 0
r2 14 r3 r1 59 r3
1 0 0 5 D 0 1 0 3 0 0 1 0
1 0 3 D. 0 1 0 0 0 1
例2：写出上题中初等矩阵的逆
§1 矩阵的初等变换
1 2
3
4
÷2
(1)
解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − x − x + x = 2, 1 2 3 4 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, 2 x − 2 x + 2 x = 0, 2 3 4 − 5 x2 + 5 x3 − 3 x4 = −6, 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3,
r2 − r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 −3 0 0 0
x1 = x3 + 4 B 5 对应的方程组为 x2 = x3 + 3 x = −3 4
或令 x 3 = c , 方程组的解可记作
x1 c + 4 1 4 x2 c + 3 1 3 x= = = c 1 + 0 x3 c 0 − 3 x −3 4
1 2Βιβλιοθήκη 34 1 23
( B3 )
3
4
↔4 −23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
解得 x1 = x3 + 4, x2 = x3 + 3, x4 = −3, x3可任意取值 . x1 = c + 4 x = c + 3 令x3 = c , 方程组的解为 2 x3 = c x4 = − 3
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换矩阵是数学中一种重要的数据结构，它可以用来描述和探究物理、金融、社会学和数学科学等各个领域的问题。
矩阵的初等变换是一种常见的矩阵操作，可以将矩阵进行变换，获得新的矩阵。
本文将简要介绍矩阵的初等变换，并通过实例阐述它的定义和相关技巧。
首先，要讨论矩阵的初等变换，需要先理解矩阵的概念。
矩阵是一种数学结构，由行列式组成，用来表示特定系统的数据。
矩阵由数字、向量或符号组成，可以用来描述线性方程和向量空间等，是线性代数的基础。
矩阵的初等变换是指使用一些基本的算术操作将矩阵改变为新的矩阵的过程。
特别地，它可以使用行变换、列变换、行列式变换和折叠操作等技巧。
矩阵的行变换是一种将矩阵的行作为基准，通过添加和减少某一行的某一项，以改变矩阵的值的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有5行，将第2行乘以2和第3行加上第2行可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9B=A+2*R2+R31 2 3 4 54 7 10 13 167 11 15 19 234 5 6 7 85 6 7 8 9行变换可以将矩阵转换为更容易进行操作的形式，如简化矩阵的行列式计算，将矩阵进行分配等。
列变换是一种将矩阵的列作为基准，对矩阵进行添加、减少或替换元素操作，以实现变换的操作。
例如，给定一个矩阵A，其中有7列，通过乘以2，减去第4列和第5列，可以得到新的矩阵B，即： A：1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9B=A+2*C1-C4-C51 2 3 2 1 0 72 3 4 -2 -3 5 83 4 5 -2 -3 6 9列变换可以用于转换特定的矩阵形式，如获得对称矩阵、对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵等。
行列式变换通常指的是改变矩阵的行或列，以改变矩阵的行列式的值。
例如，给定一个矩阵A，其中有相同的元素，将第1行减去第2行，第3行减去第2行，可以得到新的矩阵B，即：A：1 2 3 41 2 3 41 2 3 4B=A-R20 0 0 00 0 0 00 0 0 0行列式变换可以用来计算行列式的值，也可以用于转换矩阵的特定形式，如转置、依赖度等。
线性代数-矩阵的初等变换
线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。
分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。
矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。
⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。
对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。
A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。
显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。
A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。
[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。
矩阵的初等变换
二、消元法解线性方程组
同解方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
32
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
一、矩阵的初等变换
1、定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）； 2以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第i 行上 记作ri krj）.
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B
(
A
b)
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩 阵B，就称矩阵A与B等价，记作A ～ B
r
A～B ,
c
A～B ,
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B, B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价．
（1）交换方程次序； （ i 与 j 相互替换）
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
6.6矩阵的初等变换
矩阵的秩
定义9· 18 在 m n 矩阵中，任取 k 行 k 列 (k min{m, n}) ，位 于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变他们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩 阵 A 的 k 阶子行列式（简称 k 阶子式）．
0 1 6 4 1 3 2 3 6 1 r1 r4 2 0 1 5 3 4 3 2 0 5
6.6.2 矩阵的秩
解： 1 6 r 3r r3 2 r1 0 20 r4 3r1 0 12 0 16 1 6 r3 3r2 0 4 r4 5r2 0 0 0 0
矩阵的初等变换
解：
1 0 1 0 2 1 r r 1 1 1 r1 33r 1 0 0 3 3 1 2 2 3 3 5 r1 2 r2 0 1 0 0 1 0 3 2 2 2 2 2 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2
4 5
22 34
5
矩阵的初等变换
2.用初等变换求逆矩阵 定理 设 A 为 n 阶可逆矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 对 n 2n 阶矩阵 ( A E) 作一系列初等行变换，使它 变为 (E B)，则 B A1 ．
矩阵的初等变换
例23
3 2 1 用初等行变换求矩阵 A 1 2 2 的逆矩阵 . 3 4 3
1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 r2 3 3 1 r3 4 r2 3 3 1 2 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 4 5 1 3 0 0 0 1 1 3 2
第三讲矩阵的初等变换
1、对调两行或两列
对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri r j )，得初等方阵
1 1 0 1 第i 行 1 E (i , j ) 1 1 0 第 j 行 1 1
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
E A 1
以 Em ( i ( k )) 左乘矩阵 A，
a11 E m ( i ( k )) A kai 1 a m1
a12 kai 2 am 2
a1n kain 第 i 行 amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 ( ri k )；
对于任何矩阵 mn , 总可经过有限次初等行 A 变换把他变为行阶梯形 和行最简形 .
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
1 0 B5 0 0 1 c3 c4 0 0 0
0 1 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 4 1 c c c 1 0 1 3 4 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F 0 1 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0
r1 2r3
r2 5r3
1 0 0 1 3 2 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
矩阵的初等变换
论 A m 结 :设 是 ×n矩 , 阵
A 过 干 初 行 变 变 B A 若 经 若 次 等 列 换 成 ,即 → B, 在 阶 等 逆 阵1 2L l n 初 ⇔存 m 初 (可 )矩 P ,P , ,P和 阶 等 逆 阵 1 (可 )矩 Q ,Q2, ,Qt使 L 得 B = PP LPAQQ2LQt 1 2 l 1
所以,对AX = B ⇒ X = A−1B,
行 可构造[ AB] [ EX] , X = A−1B →
−1 −1 −1 k 2 1 : k 行 P−1LP−1P−1 −1 2 1
特别Ax = β ⇒ x = A−1β ,
可构造[ Aβ ] [ Ex] , x = A β →
行 −1
1 1 1 3 (2) 例 已知A = , B = 2 5且AX = B.求解X. 3 −2
应 初 行 换 相 的 等 变 .
a1 a2 a3 1 0 k a1 a2 a3 + ka1 b b b 0 1 0 b b b kb 再 1 2 3 看 = 1 2 3 + 1 c1 c2 c3 0 0 1 c1 c2 c3 + kc1
0 0 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1 0 1 −2 1 0 0 0 1
1 0 −2 1 ∴[(C − B)T ]−1 = 1 −2 0 1 1 0 0 1 ∴A = D[(C − B)T ]−1 = 0 0 0 0
1 性 : P(i(k)) = k ≠ 0, P(i(k)) = P(i( )) 质 k
−1
1 1 O O 1 1 k ri + krj (3)E = O O (c + kc ) = P(i, j(k)) j i uuuuuuuuu r 1 1 O O 1 1
矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,就 定义 称矩阵 与B列等价 矩阵A与 列等价 列等价,记作A~B ; 矩阵
定义:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称 定义 矩阵A与 等价 等价,记作A~B . 矩阵 与B等价
§1 矩阵的初等变换
例
1 2 A= 1 2
2 3 4 5 1 4 6 8 10 r2 −2r1 0 1 3 3 4 5 4 5 8 10 2
2 3 4 0 0 0
5 0 = A3 3 3 4 5 4 5 8 10
§1 矩阵的初等变换
§1
矩阵的初等变换
主要内容： 主要内容： 一、矩阵的初等行变换 二、矩阵的初等变换 三、矩阵之间等价 四、行阶梯形矩阵 五、行最简形矩阵
§1
矩阵的初等变换
定义:下面三种变换称为矩阵的初等行变换 初等行变换: 定义 初等行变换 (1) 对调两行 (对调i , j 两行,记作ri↔rj ); (2)以数k≠0乘某一行中的所有元素 (第i行乘k,记作ri×k) ; (3)把某一行中的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上 去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj) .
r 2 − 2 r1 r3 − r1 r 4 − 2 r1
§1 矩阵的初等变换
r 2 ↔ r3
A1
− 1 × r4
1 0 0 0 2 1 0 0
2 1 0 0 3 0 1 0
3 0 0 1 4 0 0 0
4 0 0 0
5 0 = A2 0 0 5 0 = A3 0 0
第三节 矩阵的初等变换
6 3 9 3
(2) A r113
2 0
1 3 1 1 3 4
2 3 9 6
0 (3)A r13r3 0
6 18 21 1 3 4
定义2 矩阵的初等列变换:
设A是m n矩 阵,
(i) 对调A的两列(对调 i, j 两列, 记作 ci cj );
设A是m n矩阵,
(i) 对调A的两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj );
(ii) 以一个非零数 k 乘以A的某一行中的所有元素 (第 i 行乘以 k , 记作 kri );
(iii) 把A的某一行所有元素的 k倍加到另一行 对应的元素上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上,记作 ri +krj).
定
，
其 中r就 是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非零 行 的 行 数.
(2)所 有与A矩 阵等 价 的 矩阵 组 成 的一 个集 合 ， 称 为一 个 等 价类. 标 准形F 是 这个 等 价 类中 形 状最 简 单 的矩 阵.
(3) 矩阵A可以 只通过初等行变换 化为 行阶梯形、行最简单形. 再通过初等列变换 化 为 标 准 形.
1 6 4 1 4
r2 r4
0 2 3
4 0 2
3 1 0
1 1
5 5
03
1 6 4 1 4
rr43 32rr11
0 0 0
4 12 16
3 9 12
1 7 8
1
1121
1 6 4 1 4
(ii) 以非零数k 乘以A的某一列中的所有元素 (第 i 列乘以 k , 记作 kci );
矩阵的初等变换
经济数学 9.6.1 矩阵的初等变换
解：
且rr34这2rr行些43最非简零100形元矩所110 阵在特的021点列：的111 其非它零043元行 素的(B都第4为一) 个0．非零1素B,元3消；为去为B1B4，是4行下a把阶34方梯a的变3形4 元为
0 0
0
0
0
矩阵.
只为有一一 行行行）阶，后梯rr台面12形rr阶的2矩3 数第阵即一特100是个点非元100：零 素可行 为0画11的 非出100行 零一数 元条， ，34阶3阶 也梯梯 就线(B线 是，5 )的 非线竖 零的线 行下（ 的方与 元B每第4全素a3段一4为，；BB竖个0消55是为；线非去行保每的零其最留个长元上简台度．a方2形阶2
3 4 3 0 0 1
9.6 矩阵的初等变换
经济数学
9.6.1 矩阵的初等变换
解：
rr32 33rr11
1 0
2 4
20 5 1
1 3
0
1
0
r2 r3
0
2 2
20 3 0
1 3
0 1
0 2 3 0 3 1
0 4 5 1 3 0
1 2 2 0 1 0
1 2 2 0 1 0
12r2
0
1
30
解： 3 A 1
2 2
1
1
2
r1r2
3
2 2
2 1
rr32 33rr11
1 0
2 4
2 5
3 4 3
3 4 3
0 2 3
1
r2 r3
0
2 2
2 3
12r2
1 0
2 1
2 3/ 2
线性代数-矩阵的初等变换
求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.
线性代数—矩阵的初等变换
1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )
矩阵 初等变换
矩阵初等变换：从入门到实践
矩阵初等变换是线性代数重要的基础知识，也是机器学习和人工
智能领域必须掌握的技能。
本文将从基本概念到实际应用，全面深入
地介绍矩阵初等变换的相关知识。
什么是矩阵初等变换？矩阵初等变换指的是对矩阵的行、列进行
一些基本的变换操作，比如交换矩阵的某两行（列）、将某一行（列）中的元素乘以一个非零常数、将某一行（列）加上另一行（列）的k
倍等。
通过矩阵初等变换，我们可以改变矩阵的性质，比如行列式、秩，同时也可以解决某些线性方程组的求解问题。
矩阵初等变换有哪些基本形式？根据变换的形式，矩阵初等变换
可以分为三类：交换两行（列）、将某一行（列）中的元素乘以一个数、将某一行（列）加上另一行（列）的k倍。
需要注意的是，矩阵
初等变换对应的变换矩阵是方阵，也就是说，如果我们进行一次矩阵
初等变换，那么原矩阵的行列式和秩都不会改变。
矩阵初等变换的应用有哪些？矩阵初等变换在线性代数和数学计
算中有着广泛的应用。
我们可以通过矩阵初等变换解决线性方程组的
求解问题，可以判断矩阵的线性相关性，可以求取矩阵的逆矩阵，还
可以将高斯-约旦消元法的过程表示成矩阵初等变换的形式，方便进行
计算。
在机器学习中，矩阵初等变换也有着重要的应用。
比如，我们
可以通过初等变换将数据标准化为均值为零、方差为一的正态分布，
也可以进行特征值分解和奇异值分解等，从而进行降维和信息提取。
总结：矩阵初等变换是线性代数中的重要内容，在数学计算和机器学习领域都有着广泛的应用。
我们应该深入了解矩阵初等变换的各种形式和应用，从而更好地掌握线性代数和机器学习的相关知识。
线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念，常用于解线性方程组。
这篇文章将对矩阵的初等变换及其与线性方程组的关系进行详细阐述。
一、矩阵的初等变换的定义和种类矩阵的初等变换是指对矩阵进行的三种基本操作：交换两行，用数乘一个非零常数乘以其中一行，以及把一行的倍数加到另一行上去。
这三种操作都可以表示为可逆矩阵的乘积，因此初等变换不改变矩阵的行秩和行空间。
三种初等变换可以分别表示为：1. 交换两行：用一个单位矩阵的行交换矩阵作用于原矩阵，例如将第i行与第j行交换可以表示为Pij * A，其中Pij为单位矩阵的行交换矩阵。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：用一个对角矩阵作用于原矩阵，例如将第i行乘以非零常数k可以表示为Di(k)*A，其中Di(k)为对角矩阵。
3. 把一行的倍数加到另一行上去：用一个单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和作用于原矩阵，例如将第j行的k倍加到第i行可以表示为Lij(k) * A，其中Lij(k)为单位矩阵与其中一倍数的矩阵的和。
二、矩阵的初等变换和线性方程组的关系解线性方程组的过程中，我们常用到矩阵的初等变换来简化方程组的形式，从而更容易找到方程组的解。
下面以一个简单的线性方程组为例进行说明。
假设有一个线性方程组：a1*x1+a2*x2=b1c1*x1+c2*x2=b2将该线性方程组表示为矩阵形式：A*X=B其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
我们可以通过矩阵的初等变换来简化系数矩阵A，从而简化方程组的求解过程。
1.交换两行：通过交换方程组的两个方程，可以改变线性方程组的次序，从而改变系数矩阵A的排列顺序。
这样做有时可以使系数矩阵更容易进行进一步的变换和求解。
2.用数乘一个非零常数乘以其中一行：通过将一些方程的系数乘以一个常数k，可以改变该方程的形式。
这样做可以使一些系数简化为1，从而更容易求解。
如果系数k为0，则可以直接删除该方程。
3.把一行的倍数加到另一行上去：通过将一些方程的系数与另一个方程相加，可以使两个方程中的一些系数为0，从而进一步简化系数矩阵A。
矩阵的初等变换
将定义1中的“行”换成“列”，即可得到 初等列变换的定义。 初等行变换、初等列变换统称为初等变换。
※ 初等变换都是可逆的。
如果矩阵A经有限次初等变换变成了矩阵B， 就称矩阵A与矩阵B等价。记为：A ~ B
矩阵之间等价关系的性质： （1）反身性： A ~ A
（2）对称性：若A ~ B ，则 B ~ A
例5、求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
例6、求解非齐次线性方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
k k m×n 矩阵A的 k 阶子式共有 Cm Cn 个。
定义3（秩）：设在矩阵A中有一个不为零的 r 阶子式 D，且所有 r 阶以上的子式全为零， 则称数 r 为矩阵A的秩。记为：R(A)
※ 显然有： R(A)＝ R(AT)
例1、求矩阵A、B的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
例3、求矩阵A及B＝（A:b）的秩，其中
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
1 2 例4、已知矩阵 A 1 2
例7、设有线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 0 2 x1 x2 2 x3 2 x4 0 x x 4 x 3x 0 3 4 1 2
问 λ 取何值时，此方程组（1）有唯一解
（2）无解
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1
1
，
i行
k
1
j行
1
I（i(k)，j） I（i, j(k)） 1
消法矩阵可逆。
2020/6/19
注意 初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。
（1）I（i, j）1 I（i, j）
(2) I（i(k )）1
I（i(
1 k
)）
(3)I（i(k)，j）1 I（i, j(k)）1
I（i(k)，j） I（i, j(k)）
6
16
0 3 3 9
2020/6/19
1 0 10 3 24
0 1 5 1 12
0 0
0 0
0 1
7 1
28 3
1 4
5 10
1 0 0 13 54
0 1 0 6 27
0013 00 6
0
1
1
1 1
4 3
2020/6/19
1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
初等矩阵 对单位阵施行初等变换而得。
1
（1）对换矩阵
I（i,
j）
0
1
，i行
1
0
j行
1
I（i, j） 1 对换矩阵可逆。
2020/6/19
（2）倍法矩阵
1
I（i (k )）
k
，
i行
1
I（i(k)） k 倍法矩阵可逆。
2020/6/19
（3）消法矩阵
I（i(k)，j） I（i, j(k)）
2 0
4 7
43 倍法104
28 28
2182
消法104
0 28
16 12
倍法
1 0
0 1
8 7
3 7
2020/6/19
（3）消法 2
x1 7
4x2 x2 3
4倍 法 14
x1 28x2 28 28x2 12
消法
2184xx21
16 倍 法 12
x1
8 7
x2
3 7
2020/6/19
Rm1
Rm1
R21R11 A R21R11I
I A1
AI
行变换 I A1
n2n
2020/6/19
例
1 1 2
设A
1
2
0
,
求A1。
1 1 3
解
1
（A I） 1
1 21
1
2 00
0 1
0 0
1
1
30
0
1
2020/6/19
1 1 2 1 0 0
0 3 2 1 1 0
2020/6/19
性质1
设A是一个m*n矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于左乘对应的m阶初等矩阵， 对A施行一次初等列变换，相当于右乘对应的 N阶初等矩阵。
2020/6/19
性质2
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…PL,使得：
A=P1P2…PL
2020/6/19
定理1 (ⅰ)A行等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P
3
若AX B，求X。
2 1
，
1
2020/6/19
解
法1 先求A的逆，再求 X A1B
法2 初等变换法
Rm1 R21R11I A1 Rm1 R21 R11B A1B
A B 初等行变换 I A1B
2 2
X 3 1
1
1
2020/6/19
例 解线性方程组
x1 2 x2 x4 0
1 2 1 2
例
设A
2 4 1
1 1 1
4 2 1
5 1 1
, 求A1。
2020/6/19
解
21
2
4
1 21
1
0
0
0
1 2 1 2 1 0 0 0
（A
I）
2 14
1 1 1
4 2 1
5 0 1 0 0 0
10 10
0 0
1 0
10
0 0
36
96
3
12
9 2 1 0 0
2. A 初等变换 B A ~ B.
3.矩阵等价具有的性质
1反身性; 2 对称性; 3传递性.
2020/6/19
五、小结与思考
4.初等变换求逆法（重要）
2020/6/19
思考题： P78 2T
2020/6/19
0 0 17 0
1 0 0 0 1 0
0 0 0
2020/6/19
（2）A
0 1
2 1
21
1 0
1 2 1 1 2 2 1 0 2 1
1 1 1
1 1 1
0
0
2
1
1 0
1 2
0 0
1 2
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 1
0 011
0 0 1
使：PA=B;
(ⅱ)A列等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵Q,
使：AQ=B;
(ⅲ)A等价于B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,
n阶可逆矩阵Q, 使：PAQ=B;
2020/6/19
定理1 说明了矩阵可经初等变换直接判定是
否可逆。
（1）若A D I，则A可逆；
（2）若A D I，则A不可逆。
一般地，对矩阵进行初等变换，由不同
类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如
方阵
三角阵,对角阵
标准形（不可逆）
单位阵（可逆）
非方阵 阶梯形 标准形
2020/6/19
三、初等变换求逆法
性质2 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积.
定理1推论 A可逆，则A 可由初等行变换化
为单位阵。
2020/6/19
求逆方法
0
0
2
1Hale Waihona Puke 12011
0
0
1 3 0
03 03 1 1
0 1 0
2
1
2
1
1 3
0
0
1 03 1 01
1
0 1 1
0
1 3 0
2
23 1
1
0
0
0 1 0
02 01 1 1
13 1
3 0
4 3 2
3 1
A1
2
1
1
13 1
3 0
4 3
2
3
1
2020/6/19
1
1 2 3
且AXB C，求X。
2020/6/19
解 若A1、B1存在，则X A1CB1 用初等行变换求得：
2 A1 1
3 2
2 1 1
3
1 3
2
，B1
2 5
31，
X
61 24 31
36 14 18
2020/6/19
例
设A
0 1
1 1
21，B
2 3
0
1
0
0 0
0
1 0 0
0 0 1
0 3
1
4
0 1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0 3
0
1
1 4
所以
2
X
A1B
3
1 4
2020/6/19
五、小结与思考
1.初等行(列)变换
1ri 2ri
k
rj
ci
ci
k ;
c
j
;
3ri krj ci kcj .
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
9 4 3 1
0 0
1 0
10
1 2 1 2 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 3
0 9
6
9 4 0 1
0
0 1 2 3 1 0 0 1
2020/6/19
全为零， A不可逆。
四、利用初等行变换解矩阵方程、 线性方程组
例
设
A
1 0
1
0 3 2
2 2 0
B
3 5
12
3
C 0
注 具有相同标准形的矩阵称为等价矩阵。
定义 若矩阵A经有限次初等变换化 为矩阵B，则称A与B等价。记为
A B（或A ~ B）
注 任何矩阵A与其标准形D等价。
2020/6/19
矩阵等价关系的性质 （1）反身性： A A （2）对称性： A B B A （3）传递性： A B，B C A C
x1 3x2 5x3 12 x2 5x3 6x4 16
x1 2 x2 3 x3 4 x4 9
2020/6/19
解 设方程的矩阵形式为 AX B
1 2 0
则
11 315
AB
0
1
5
1 2 3
1
0
1
0 6 4
12
16
9
0 10 0
20
1
0
1 52 15
1 12
2020/6/19
定理
Amn 左乘初等阵，作行变换。I（*） A Amn 右乘初等阵，作列变换。A I（*）
2020/6/19
二、矩阵的标准形
定义 mn阶矩阵的标准形
1
1
Dmn
1 0
0
0
Ir 0mrr
0 0
0rnr 0mrnr
2020/6/19
定理 任何矩阵A均可经有限次初等 变换化为标准形D。