人教版高中数学-你会正确表示角么

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人教A版高中数学必修第一册同步学案5-1-1 任意角

第五章三角函数5．1 任意角和弧度制5．1.1 任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念,并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图,射线的端点是圆心O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP,形成一个角α,射线OA,OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α＝β.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α,β是任意两个角．我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同的角的理解(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接,如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．1．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°,这种说法是否正确？[答案]不正确．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时,是按顺时针方向旋转的,故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α,β是否相等？[答案]不相等．角α为逆时针方向形成的角,α为正角；角β为顺时针方向形成的角,β为负角3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当角的始边和终边确定后,这个角就确定了．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)钝角是第二象限的角．( )(4)终边相同的角一定相等．( )(5)第一象限的角是锐角．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×题型一任意角的概念【典例1】下列命题正确的是( )A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与－330°,故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确；小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误．[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟,则时针转了______度,分针转了________度．[解析] 由题意可知,时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°,分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°.[答案] 5° 60°题型二终边相同的角的表示【典例2】已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角；(2)求θ,使θ与α终边相同,且－360°≤θ<720°.[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解] (1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°.∴取k ＝5,β＝220°,α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角,∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z),解得－6109180≤k<－31118(k ∈Z)．所以k ＝－6,－5,－4.将k 的值代入k·360°＋2020°中,得角θ的值为－140°,220°,580°.(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k 的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并,使结果简洁．[针对训练]2．如图所示,求终边落在直线y＝3x上的角的集合．[解]终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z},终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z},于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°,n∈Z}.题型三象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[思路导引] 作出图形,根据象限角的定义确定．[解]作出各角,其对应的终边如图所示．(1)由图①可知－75°是第四象限角．(2)由图②可知855°是第二象限角．(3)由图③可知－510°是第三象限角．象限角的判断方法 (1)根据图形判定,在直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角．[针对训练]3．已知α是第二象限的角,则180°－α是第________象限的角．[解析] 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z),即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k ∈Z),所以180°－α是第一象限的角．[答案] 一题型四角αn,nα(n∈N *)所在象限的确定【典例4】若α是第二象限角,则α2是第几象限的角？ [思路导引] 已知角α是第几象限角,判断αn所在象限,主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论,考查角的终边位置．[解] ∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)．解法一：①当k ＝2n(n ∈Z)时,45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z),即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时,225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z),即α2是第三象限角．故α2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角,90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角, ∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． [变式] (1)若本例条件不变,求角2α的终边的位置．(2)若本例中的α改为第一象限角,则2α,α2分别是第几象限角？ [解] (1)∵α是第二象限角,∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．(2)因为α是第一象限角,所以k·360°<α<90°＋k·360°,k ∈Z.所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°,k ∈Z.所以2α是第一或第二象限角,或是终边落在y 轴的正半轴上的角．同理,k·180°<α2<45°＋k·180°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第一象限角, 当k 为奇数时,α2为第三象限角．分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限,确定αn终边所在的象限用分类讨论法,要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2,…,k 被n 除余n －1.然后方可下结论．(2)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．[针对训练]4．已知α是第一象限角,则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限[解析] ∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°＋90°,k ∈Z, ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°,k ∈Z. 当k ＝3m,m ∈Z 时,m·360°<α3<m·360°＋30°, ∴角α3的终边落在第一象限．当k ＝3m ＋1,m ∈Z 时,m·360°＋120°<α3<m·360°＋150°, ∴角α3的终边落在第二象限．当k ＝3m ＋2,m ∈Z 时,m·360°＋240°<α3<m·360°＋270°, ∴角α3的终边落在第三象限,故选①②③. [答案] ①②③课堂归纳小结1．对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可以用除法．3．已知角的终边范围,求角的集合时,先写出边界对应的一个角,再写出0°～360°内符合条件的角的范围,最后都加上k·360°,得到所求.1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角一定是第一、二象限角B ．钝角不一定是第二象限角C ．终边与始边重合的角是零角D ．钟表的时针旋转而成的角是负角[解析] A 错,若一内角为90°,则不属于任何象限；B 错,钝角一定是第二象限角；C 错,若角的终边作了旋转,则不是零角；D 对．[答案] D2．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由于－215°＝－360°＋145°,而145°是第二象限角,故－215°也是第二象限角,选B.[答案] B3．已知α为第三象限角,则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限[解析] 由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°,k ∈Z,得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角；当k 为奇数时,α2为第四象限角． [答案] D4．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°,k ∈Z)的形式是________．[解析] 因为－885°÷360°＝－3…195°,且0°≤α<360°,所以k ＝－3,α＝195°,故－885°＝195°＋(－3)·360°.[答案] 195°＋(－3)·360°5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°,k ∈Z}中,(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°,则集合中的α共有多少个？[解] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°,得－92<k<72. 又∵k ∈Z,∴k ＝－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,∴满足条件的角共有8个．课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1．下列是第三象限角的是( )A ．－110°B ．－210°C ．80°D ．－13°[解析] －110°是第三象限角,－210°是第二象限角,80°是第一象限角,－13°是第四象限角．故选A.[答案] A2．与600°角终边相同的角可表示为( )A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°,n∈Z,k∈Z.[答案] B3．设A＝{小于90°的角},B＝{锐角},C＝{第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角},那么有( )A．B?C?A B．B?A?CC．D?(A∩C) D．C∩D＝B[解析]显然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限,故A,B错；0°不属于任何象限,故C错；锐角为小于90°而大于0°的角,∴C∩D＝B,选D.[答案] D4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋135°,k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°,k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°,k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}[解析]因为直线y＝－x为二、四象限角平分线,所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°,k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°,k∈Z,综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}．[答案] D5．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角,其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°,因为115°为第二象限角,所以475°也为第二象限角,正确；④中－315°＝－360°＋45°,因为45°为第一象限角,所以－315°也为第一象限角,正确．[答案] D二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是________．[解析]顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°,又50°＋(－1080°)＝－1030°,故所得的角为－1030°.[答案]－1030°7．已知角α＝－3000°,则与角α终边相同的最小正角是________．[解析]设与角α终边相同的角为β,则β＝－3000°＋k·360°,k∈Z,又因为β为最小正角,故取k＝9,则β＝－3000°＋360°×9＝240°.[答案]240°8．若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是______________________．[解析]因为α与β的终边在一条直线上,所以α与β相差180°的整数倍．[答案]α＝β＋k·180°,k∈Z三、解答题9．在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.[解](1)∵－120°＝240°－360°,∴在0°～360°范围内,与－120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角．(2)∵660°＝300°＋360°,∴在0°～360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角．(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°,∴在0°～360°范围内,与－950°08′终边相同的角是129°52′,它是第二象限的角．10．如图,分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°,k∈Z}．综合运用11．若角α,β的终边相同,则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴[解析]∵角α,β终边相同,∴α＝k·360°＋β(k∈Z),∴α－β＝k·360°(k∈Z),故α－β的终边在x轴的非负半轴上．[答案] A12．已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( )A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四角限角[解析]由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z),∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时,180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z),∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称,则角α＝____________________.[解析]－690°＝－720°＋30°,则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称,而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°,故α＝k·360°＋150°,k∈Z.[答案]k·360°＋150°,k∈Z14．已知－990°<α<－630°,且α与120°角的终边相同,则α＝________.[解析]∵α与120°角终边相同,故有α＝k·360°＋120°,k∈Z.又∵－990°<α<－630°,∴－990°<k·360°＋120°<－630°,即－1110°<k·360°<－750°.当k＝－3时,α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.[答案]－960°15．已知α,β都是锐角,且α＋β的终边与－280°角的终边相同,α－β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小．[解]由题意可知,α＋β＝－280°＋k·360°,k∈Z,∵α,β都是锐角,∴0°<α＋β<180°.取k＝1,得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴{0°<α<90°－90°<－β<0°, ∴－90°<α－β<90°.取k＝－2,得α－β＝－50°.②由①②,得α＝15°,β＝65°.。

【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

引起混淆的前提下，
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的

人教版高中数学《三角函数》全部教案

第四章三角函数教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒)0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 4．例一（P5 略）五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角” 六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。

新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册

【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.
类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象) 【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式360°≤β<720°的元素β写出来.
四步
理解题意
思路探求
内容
条件：角的终边在直线y=x上. 结论：①求角的集合； ②求适合-360°≤β<720°的角.
2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③ 475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等； ②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确； ③小于90°的角是锐角错误，如负角； ④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角； ⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误. 其中错误的是①③④⑤.
【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z} ∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或 (2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.

人教版高二数学必修四《任意角和弧度制》评课稿

人教版高二数学必修四《任意角和弧度制》评课稿一、引言《任意角和弧度制》是人教版高中数学必修四教材中的一章内容。

本评课稿旨在对该章节进行全面的评价，并提出一些建议与改进之处。

二、教材内容概述《任意角和弧度制》是高中数学中的重要概念之一。

本章主要介绍了任意角的概念，介绍了弧度制以及角度和弧度之间的相互转化等内容。

该章节主要内容包括： 1. 角的概念与表示方式； 2. 角的度量单位：弧度制； 3. 角度与弧度的转换； 4. 弧长与角度的关系； 5. 三角函数中的角度单位转换。

三、教学目标分析1.知识目标：–掌握任意角的概念和表示方式；–理解角的度量单位弧度制；–能够进行角度与弧度的相互转换；–理解弧长与角度的关系；–了解三角函数中的角度单位转换。

2.能力目标：–能够正确使用各种符号表示角度大小；–能够灵活运用弧度制进行角度单位转换；–能够运用所学知识解决实际问题。

3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心；–增强学生解决问题的能力；–培养学生对数学的认真态度和严谨思维。

四、教学重点和难点分析1.教学重点：–任意角的概念和表示方式；–弧度制的概念及其应用。

2.教学难点：–角度与弧度的相互转换；–弧长与角度的关系的理解。

五、教学方法1.演绎法：通过具体例子引导学生从观察实例中归纳出规律。

2.归纳法：通过总结归纳的方式帮助学生理解概念和定理。

3.实践活动法：通过实际问题解决的活动，培养学生的动手能力和创新思维能力。

4.讨论法：通过小组讨论、互动交流的方式激发学生思考和独立思维能力。

六、教学流程1.导入：通过展示一些实际生活中的角度，引起学生的兴趣，激发他们对该内容的探索欲望。

2.概念讲解：介绍任意角的概念和表示方式，引导学生认识角度的度量单位。

3.弧度制讲解：引导学生理解弧度制的定义，并通过具体例子说明弧度与角度的转换方法。

4.练习与讨论：提供多种角度单位转换的练习题，通过小组合作和全班讨论的方式，帮助学生巩固所学知识。

高中数学必修四：1.1.1《任意角》 PPT课件图文

精讲领学
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360~720范围的角写出来.
( 1 ) 6 0 ;( 2 ) 2 1 ;( 3 ) 3 6 3 1 4
解: ( 1 ) S {| k 3 6 0 6 0 , k Z }300,60,420
( 2 ) S {| k 3 6 0 2 1 , k Z }21,339,699
2、下列角中终边与330°相同的角是（） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
反馈固学
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示才比较合适？
逆时针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
注3：(1) 为任意角 (2) k Z这一条件必不可少；
(3) 终边相同的角不一定相等，终边相等的角有无数多个，它们相差3600的整数倍.

人教版高中数学-特殊角(或区域角)的表示

特殊角(或区域角)的表示在角的概念推广的题形中,对于特殊角及区域集合表示问题,学生往往感到很难动笔.下面就这个问题进行分析、归纳、整理，供参与.一、终边相同角的集合的表示1.终边落在以原点为端点的射线OA 上的角的集合可表示为(如图1.1){β|β=k·360︒+α,k ∈Z }；其中，α为射线OA 与x 轴的非负半轴所成的最小正角.2.终边落在过原点的直线l 上的角的集合可表示为(如图1.2)：{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }；其中，α为直线l 与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在直线l 上的角可看成是终边落在直线l 的两条射线上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·360︒+180︒+α,k ∈Z }={β|β=2k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·180︒+α,k ∈Z }={β|β=k·180︒+α,k ∈Z }. 3.如图1.3，终边落在以原点为端点的三条两两所成角相等的射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合可表示为：{β|β=k·120︒+α,k ∈Z }；α为三射线与x 轴的非负半轴所成角的最小正角. 事实上，终边落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角可看成是终边分别落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+240︒+α,k ∈Z }={β|β=3k·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+1)·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+2)·120︒+α,k ∈Z } ={β|β=k·120︒+α,k ∈Z }4.如图1.4，终边落在过原点的两条相互垂直的直线l 1,l 2上的角的集合可表示为：{β|β=k·90︒+α,k ∈Z }；α可规定为直线l 1与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在二直线l 1,l 2上的角可看成是终边分别落在两直线l 1,l 2上的角的集合的并集，即{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·180︒+90︒+α,k ∈Z } ={β|β=2k·90︒α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·90︒+α,k ∈Z }={β|β=k ·90︒+α,k ∈Z }推广：一般地,终边落在以原点为端点的等分圆周角的射线上的角的集合可表示为:{β|β=k·360︒n+α,k ∈Z } 二、特殊区域角的集合表示1.任意两条射线所形成区域角的表示如图2.1,阴影部分的角的集合可看成是射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转到射线OB 所成区域角.设α1是射线OA 上的最小正角,α2是射线OB 的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,360︒)，则射线OA 和射线OB 所成区域的角的集合为{β|k ·360︒+α1<β<k·360︒+α2,k ∈Z }.图1.1 图1.2图1.3图1.4 图2.12.对顶角区域的角的集合的表示如图2.2，阴影部分的角的集合可看成是直线l1绕原点O逆时针方向旋转到直线l2所成区域角,设α1是直线l1上的最小正角,α2是直线l2的角,α2>α1且α2-α1(0︒,180︒)，则终边落在直线l1上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α1,k∈Z},终边落在直线l2上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α2,k∈Z},故阴影部分的角可表示为： {β|k·180︒+α1<β<k·180︒+α2,k∈Z}.3.如图2.3,两组三等分圆周角的三条射线所成区域角的表示因为射线OA1,OA2,OA3和射线OB1,OB2,OB3两两所成角相等,则阴影部分的角可看成是一组三等分圆周角三射线OA1,OA2,OA3同时绕原点O逆时针方向旋转到三射线OB1,OB2,OB3所成区域角,设α1是三射线OA1,OA2,OA3与x轴非负半轴所成角中最小的正角，α2是三射线OB1,OB2,OB3角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,120︒)，则终边落在三射线OA1,OA2,OA3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α1,k∈Z}；终边落在三射线OB1,OB2,OB3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为：{β|k·120︒+α1<β<k·120︒+α2,k∈Z}.4.如图2.4,两组相互垂直的直线所成区域角的表示因为l1和l2相互垂直,直线m1和m2相互垂直,则阴影部分的角可看成是相互垂直的两条直线l1,l2同时绕原点逆时针方向旋转到直线m1，m2所成区域角,设α1是直线l1,l2上角中最小的正角,α2是直线m1,m2上的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,90︒)，则终边落在直线l1,l2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α1,k∈Z}；终边落在直线m1，m2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为: {β|k·90︒+α1<β<k·90︒+α2,k∈Z}.图2.2图2.3图2.4。

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《任意角》(含答案解析)学生版

1.下列说法正确的是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于 90°的角都是锐角
2.与－457°角终边相同的角的集合是(
A.{α|α=k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°＋263°，k∈Z}
命题角度 2 求终边在给定直线上的角的集合例 4：写出终边在直线 y=－ 3x 上的角的集合.
反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分 x≥0 和 x<0 两种情况讨论，最后再进行合并.
3 跟踪训练 4 写出终边在直线 y= x 上的角的集合.
3
类型四区域角的表示例 5：如图所示.
课时作业
一、选择题
1.把－1 485°化成 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A.315°－5×360° B.45°－4×360° C.－315°－4×360° D.－45°－10×180°
2.若α是第四象限角，则 180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.{α|α=k·360°－263°，k∈Z}
3.2 017°是第
象限角.
4.与－1 692°终边相同的最大负角是
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合 S.
) .
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α＋k·360°， k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意：(1)α为任意角； (2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为 k·360°＋(－α)； (3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍； (4)k∈Z 这一条件不能少.

新人教版(B)高中数学必修4三角函数的定义教案

三角函数的定义[考点透视]一、考纲指要1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.二、命题落点1．考查象限角的概念.如例1.2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2.3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3.[典例精析]例1：α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z παπππ+<<+∈, 可知2α在第二象限或第四象限．答案：D ．例2： tan600°的值是〔〕A ．33-B ．33C ．3-D ．3解析:360tan 240tan 600tan 000===．答案：D ．例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ．答案：B ．[常见误区]1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用.2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点.[基础演练]1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔〕A ．0B ．1C ．－1D ． ±12．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔〕 A ．32B ．－32C ．－34D ．－23．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C 〔C≠2π〕，那么以下结论中正确的是〔〕A ．sinA<sinCB ．cotA<cotCC ．tanA<tanCD ．cosA<cosC4．在〔0，2π〕内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值X 围为〔〕A ．〔4π，2π〕∪〔π，45π〕B ．〔4π，π〕C ．〔4π，45π〕D ．〔4π，π〕∪〔45π，23π〕5．点P 〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在第象限.6．在△ABC 中，假设最大角的正弦值是22，那么△ABC 必是三角形.7．比较sin 52π，cos 56π，tan 57π的大小.8．sinθ＋cosθ＝51，θ∈〔0，π〕，求cotθ的值.9．:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值.。

高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章《任意角》教案

《5.1.1 任意角》教学设计教学目标1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．教学重难点教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角．教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系．课前准备PPT课件教学过程（一）整体感知问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的函数是什么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题．预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向．（二）新知探究1．任意角的概念、运算引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．问题2：如图1，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）．预设答案：通过角的变化进行刻画．图1说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．问题3：我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°（如图）．追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？预设答案：两个方面，一是大小；二是方向．设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°～360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra 动画）．假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）．图2（1）图2（2）图3（1）图3（2）设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量．追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向．问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）．设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与-90°的关系吗？预设的师生活动：学生分别作图并说明．图4（1）图4（2）图4（4）图4（3）预设答案：如图5（1）（2）（3）．追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？预设答案：对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α＜β，则α－β＜0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．2．象限角问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？预设的师生活动：学生互相交流后，再回答．预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论图5（3）图5（2）图5（1）得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．练习3：教材第171页第1、2、3题．预设的师生活动：由学生逐题给出答案．预设答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．2．三，三，五．3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．设计意图：检验学生对象限角的理解情况．3．终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角，结论应该是什么？预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．预设答案：还有－392°、328°、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}；设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°的整数倍．例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答．追问：与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点？预设答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0°～360°范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2写出终边在y轴上的角的集合．预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流．追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍．”设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法．上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3写出终边在直线y xβ有哪些？预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示．追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．（三）归纳小结问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．（四）布置作业（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；（2）预习5.1.2弧度制的内容；（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．（五）目标检测设计1．写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β（教科书第171页练习第5题）：（1）1303°18′；（2）－225°．设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．参考答案：1．{β｜β＝k·180°，k∈Z}；{β｜β＝k·90°，k∈Z}；终边在x轴上的角相差180°的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°的整数倍．2．（1）{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′；（2）{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°．。

任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与
整数个周角的和.
合内任意两元素的差是360 °的整数倍
名师点睛
对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点
(1)α是任意角.（一般是在0°~360°之间）
(2)“k∈Z”有三层含义:
①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.
360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以这四个命题都是真命
题.
探究点二坐标系中角的概念及其表示
角度1终边相同的角的求解
【例2】写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与
75°角终边相同的角.
解与75°角终边相同的角的集合为
规律方法
终边落在特定位置上的角的集合
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{β|β=k·360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{β|β=k·360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为{β|β=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{β|β=k·360°+90°,k∈Z};
叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.
问题角能像实数一样进行运算吗？
五、通过类比，获得概念
角的加法：设，是任意两个角．我们规定，把角的终
边旋转角，这时终边所对应的角是 + ．

+

=

角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的
相反数”一样，我们有 − = + (−)．这样，角的减

高中数学第五章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版必修第一册

5.1 任意角和弧度制最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．5.1.1 任意角知识点一角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．知识点三角的分类在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点五终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[教材解难]象限角的集合表示.[基础自测]1．下列说法中正确的是( )A．终边相同的角都相等B．钝角是第二象限的角C．第一象限的角是锐角 D．第四象限的角是负角解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.答案：B2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈ Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2 019°是第________象限角．解析：2 019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2 019°是第三象限角．答案：三题型一任意角的概念及应用[经典例题]例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×223＝－960°. 【答案】 (1)C (2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．分针1个小时转过的角度的绝对值是360 °.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1 在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确． ②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确． ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④题型二终边相同的角[经典例题]例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．【解析】与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z }．当360°≤β<1 080°，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°时，解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．状元随笔根据与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z }，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k 值，求出360 °～1 080 °范围内的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)60°；(2)－210°；(3)364°13′.解析：(1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－300°；当k ＝0时，α＝60°；当k ＝1时，α＝420°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)S ＝{α|α＝－210°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝0时，α＝－210°；当k ＝1时，α＝150°；当k ＝2时，α＝510°.∴S 中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)S ＝{α|α＝364°13′＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－2时，α＝－355°47′；当k ＝－1时，α＝4°13′；当k ＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360 °＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．题型三象限角与区间角的表示[教材P170例1]例3 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.先求出与－950 °12 ′终边相同的角，再判断是第几象限角．教材反思象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练3 (1)若α是第四象限角，则－α一定在( )A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．解析：(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．依题意写出α的范围，再求－α的范围．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.答案：(1)A (2)见解析一、选择题1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45° B．90°C．180° D．270°解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．答案：B2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240° D．－240°解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.答案：D3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.答案：C4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.答案：C二、填空题5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390° －150° 60°6．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.解析：由条件知，2α＝α＋k ·360°，所以α＝k ·360°(k ∈Z )，因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.答案：0°7．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }．答案：{α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }三、解答题8．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．9．已知α与240°角的终边相同，判断α2是第几象限角．解析：由α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，得α2＝120°＋k ·180°，k ∈Z . 若k 为偶数，设k ＝2n ，n ∈Z ，则α2＝120°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与120°角的终边相同，是第二象限角；若k 为奇数，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则α2＝300°＋n ·360°，n ∈Z ，α2与300°角的终边相同，是第四象限角．所以，α2是第二象限角或第四象限角．[尖子生题库]10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)终边落在直线ON上的角的集合为C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．。

2020高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)1.1.1 角的概念的推广教案(含解析)4

1。

1 角的概念的推广学习目标核心素养1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．（一般) 2．理解象限角的概念．（重点）3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．（难点)1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等,培养学生的直观想象核心素养。

1．角的概念(1)角的形成:角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角;②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角，叫做零角．2．角的加减法运算(1）射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB,其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边．（2）引入正角、负角的概念以后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α－β可以化为α＋（－β)．这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝错误!，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边（除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考：终边和始边重合的角一定是零角吗?［提示] 不一定．零角是终边和始边重合的角,但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°,360°，720°等角的终边和始边也重合．1．钟表的分针在一个半小时内转了( ）A．180°B．－180°C．540° D．－540°D［钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°,当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是( ）A．510° B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z｝,当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D。

高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》

【例 1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于 90°的角都是锐角。 ①②④ 。其中错误说法的序号为________Leabharlann 畅言教育人民教育出版社
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【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确。 ②120° 是第二象限角， 390° 是第一象限角，显然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确。
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2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
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2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A

人教版高中数学必修4-1.1《任意角》教学设计

《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到。

2019人教版高中数学必修4全套教案(80页)

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称： ③角的分类：
B 终边
始边
O 顶点
A
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角．例 1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
人教版高中数学必修精品教学资料
1.1．1 任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
情感与态度目标
提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
例 5．写出终边在 y x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β
写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角
③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材 P2-P5； ②教材 P5 练习第 1-5 题；
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x, MP y ,于是有