第05章 主应力法
合集下载
第05讲 应力张量
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122
S22
2 2
S32
2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
1 9 2 3 3 3 3 3
主应力法ppt课件
1
ln
R0
2
R02
R2
r02
Rr0
n
S
A
1 ln
R0
R02
R2
r02
2
Rr0
拉深过程中的直径变化
26
4 拉深力的计算 还需考虑： 1）由压边力 Q 产生摩擦阻力增大的径向拉应力
摩 2Q Q 2 r0t r0t
2）因板坯沿凹模圆角产生的弯曲和校直增大的径向拉应力
弯
2
b
Rd 1
r
d r r drhd
r rhd
2 f rdrd
2 hdrsin
d
2
0
整理得: d r 2 f r 0
dr h
r
在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为: d r
dr r
周向应变 :d
2
r
dr
2r
2r
dr r
即: d r d
由应力应变关系式可得: r
整理得到:
对上式微分得: d x dp
整理得: dp 2p 0
dx
h
( x
y )2
4
2 xy
4k 2
d x 2p 0 dx h
5） 积分并确定积分常数
对上式积分得:
2 x
p Ce h
根据应力边界条件定积分常数,当x=b/2时,σx=0,得:
2 b
C 2ke h 2
2 b x
p 2ke h 2
10
2） 列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力 平衡方程为:
Fx x d x lh xlh 2 f ldx 0
f
x
x d x
构造地质学05第五章岩石力学性质
一、库伦剪切破裂准则 所谓准则，指的是基本条件是什么，库伦指出， 假定材料的破坏，取决于最大剪切应力，按照 这个理论建立的条件是：
τｍａｘ＝ τ０ …（１）
τ０为抗剪强度极限
理论上，破裂面应沿最大剪应力面产生，形成棋 盘格式构造。剪裂角＜ ４５０？
库伦解释是岩石抗剪强度与剪应力和正应力有 关，因此将（１）式改为：
De/dt 常量
撤出应力
t0 t1 t2
t3
时间
永久应变
t4 t5
松弛——保持应变不变，应力随时间而减小。 （相当于降低了岩石的弹性极限） （1）、应力随时间减小，松弛速度急剧下降。 （2）、应力经很长时间后可趋于一极限值
实践证明：在地质上岩石能否在很长时间的极 小差异应力下不断变形，需要一定的温度和压 力条件，因为它一般发生在地壳深层或它具备 有利于蠕变之条件的地方，如某些强变形带中。
剪切 脆性
挠曲
压扁
流动 温度
韧性
熔融 围 压
岩石随P-T条件的变化而呈现 变形习性及相应的主要变形机制
显理 示想 了的 各地 构壳 造一 层段 次剖 构面 造， 样剖 式面
三．岩石变形的时间因素
在地质条件下，岩石变形是长期的，通常要 以百万年为单位，因此评价时间因素对岩石变 形的效应具有关键意义。
σｙ＝０
完全塑性材料。没
有载荷，变形继续
增大。
如果超过屈服点，继 续塑性变形，需施加 更大的应力超过屈服 应力，这个过程称应 变硬化或加工硬化。 经过一段应变硬化的 塑性变形后卸载，应 力－应变曲线回到e２ 表明总的永久变形。
应变硬化
σｙ＞０ σｙ＝０
如果将同样应力继续 加上去，应力－应变 曲线则沿以前路径回 到塑性变形Ｐ位置上 ，好像增大了弹性范 围和增高了屈服应力 （σｙ／）。因此应变 硬化可以看作屈服强 度随递进变形而连续 升高。
τｍａｘ＝ τ０ …（１）
τ０为抗剪强度极限
理论上，破裂面应沿最大剪应力面产生，形成棋 盘格式构造。剪裂角＜ ４５０？
库伦解释是岩石抗剪强度与剪应力和正应力有 关，因此将（１）式改为：
De/dt 常量
撤出应力
t0 t1 t2
t3
时间
永久应变
t4 t5
松弛——保持应变不变，应力随时间而减小。 （相当于降低了岩石的弹性极限） （1）、应力随时间减小，松弛速度急剧下降。 （2）、应力经很长时间后可趋于一极限值
实践证明：在地质上岩石能否在很长时间的极 小差异应力下不断变形，需要一定的温度和压 力条件，因为它一般发生在地壳深层或它具备 有利于蠕变之条件的地方，如某些强变形带中。
剪切 脆性
挠曲
压扁
流动 温度
韧性
熔融 围 压
岩石随P-T条件的变化而呈现 变形习性及相应的主要变形机制
显理 示想 了的 各地 构壳 造一 层段 次剖 构面 造， 样剖 式面
三．岩石变形的时间因素
在地质条件下，岩石变形是长期的，通常要 以百万年为单位，因此评价时间因素对岩石变 形的效应具有关键意义。
σｙ＝０
完全塑性材料。没
有载荷，变形继续
增大。
如果超过屈服点，继 续塑性变形，需施加 更大的应力超过屈服 应力，这个过程称应 变硬化或加工硬化。 经过一段应变硬化的 塑性变形后卸载，应 力－应变曲线回到e２ 表明总的永久变形。
应变硬化
σｙ＞０ σｙ＝０
如果将同样应力继续 加上去，应力－应变 曲线则沿以前路径回 到塑性变形Ｐ位置上 ，好像增大了弹性范 围和增高了屈服应力 （σｙ／）。因此应变 硬化可以看作屈服强 度随递进变形而连续 升高。
第05讲 应力张量
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
主切应力
概念
主切应力平面：切应力取极值的平面。 主切应力：主切应力平面上的切应力。 最大切应力：主切应力中最大者。
l m n 1
2 2 2
主应力
3、应力不变量
3 J1 2 J 2 J 3 0
对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应 力数值,即J1,J2,J3是不变量,不随着坐标轴的变换而 发生变化。所以J1,J2,J3分别被称为应力张量的第 一、第二、第三不变量。
主应力
张量的性质
（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值不 f (Tij ) f (Tkl ) 随坐标而变。即 （2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和 一个反对称张量之和。
( x )l yxm zx n 0 xyl ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz
-5l 2m 3n 0 2l -3m n 0 3l m-4n 0
S x x l yx m zx n S y xyl y m zy n S l m n xz yz z z
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
( x )l yx m zx n 0 xy l ( y )m zy n 0 l m ( )n 0 yz z xz
构造地质学 05章-节理
2013-7-8
《构造地质学》-李强
21
雁裂节理的要素： 雁列带: 雁列节理和雁列脉成带状展
布的空间范围
雁列面: 穿过雁列带中各个单脉的中
心而平分雁列带的中心面叫雁列面。
雁列轴: 雁列面在雁列带横截面上的 迹线。 雁列角: 单脉与雁列脉之间的锐夹角 为雁列角。雁列角有两个高峰值, 一 个为45°左右, 属于张裂型节理; 另
2013-7-8
《构造地质学》-李强
8
④剪节理一般切割力较强，发育于砾岩和砂岩中的 剪节理，一般都会穿切砾石和沙粒等粒状物体。 ⑤典型的剪节理往往组成由两组不同走向的剪节理
构成的共轭“X”型节理系，这种节理系发育较
好时，则将岩石切割成菱形或棋盘格状。
2013-7-8
《构造地质学》-李强
9
“X”型共轭节理系将岩石切割成棋盘格式岩块
《构造地质学》-李强
19
三、特殊节理组合类型
雁列节理和雁列脉的要素及其特征: 左列和右列:
雁列节理或雁列脉在平面上有左列和右列两种型
式。当垂直节理走向观察时，远侧节理向左侧错列或
在左端重叠时，称为左列；反之，远侧节理向右侧错
列或在右端重叠时，称为右列。
2013-7-8
《构造地质学》-李强
20
右列型式的雁列脉
2013-7-8
《构造地质学》-李强
5
根据节理产状与褶皱轴方位之间的关系 纵节理: 节理走向与褶皱轴向平行的节理。 横节理: 节理走向与褶皱轴向直交的节理。 斜节理: 节理走向与褶皱轴向斜交的节理。
2013-7-8
《构造地质学》-李强
6
节理的成因分类: 可将节理划分为原生节理和次生节理两类:
材料成形原理-第5章 主应力法
主要塑性解析方法
主应力法 滑移线法 上限法
特殊问题
平面应变，轴对称，平面应力等
简化模型 简化边界，简化物理模型，简化几何模型 近似解析 求解过程简化
主应力法
主应力法 主应力法是求解塑性加工问题的一种比较常用 的解析方法。又称为切块法，初等解析法，力 平衡法等 假设材料以均匀变形； 将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡 方程； 将二次方程的Mises屈服准则简化为线性方程； 最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 优点是数学运算简单，可以确定材料参数、变 形几何体尺寸、摩擦等对成形的影响
为摩擦系数
常摩擦力模型
f = mk m为摩擦因子，0<m<1， k为剪切屈服强度
主塑性流动规律切取单元体，单元体
包含接触表面在内；
通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将
切面上的正应力假设为均匀分布的主应力
正应力的分布只随单一坐标变化，就可以将偏微 分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程
主应力法
主应力法的基本原理 在应用Mises屈服准则时，忽略应力和摩擦切应力 的影响，将Mises屈服准则简化为线性方程； 对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示
主应力法
主应力法的基本原理 假设材料变形是均匀的，变形状态属于平面应变 或轴对称问题； 在平面应变条件下，变形前为平截面变形后仍为 平截面，且与原平截面平行
在轴对称条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为 圆柱面，且与原圆柱面同轴
对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规 律，将其分成若干部分，对每一部分都近似地按 平面应变或轴对称问题处理，最后再拼合在一起， 就可以得到整个问题的解
主应力法 滑移线法 上限法
特殊问题
平面应变，轴对称，平面应力等
简化模型 简化边界，简化物理模型，简化几何模型 近似解析 求解过程简化
主应力法
主应力法 主应力法是求解塑性加工问题的一种比较常用 的解析方法。又称为切块法，初等解析法，力 平衡法等 假设材料以均匀变形； 将偏微分应力平衡方程简化为常微分应力平衡 方程； 将二次方程的Mises屈服准则简化为线性方程； 最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。 优点是数学运算简单，可以确定材料参数、变 形几何体尺寸、摩擦等对成形的影响
为摩擦系数
常摩擦力模型
f = mk m为摩擦因子，0<m<1， k为剪切屈服强度
主塑性流动规律切取单元体，单元体
包含接触表面在内；
通常所切取的单元体高度等于变形区的高度，将
切面上的正应力假设为均匀分布的主应力
正应力的分布只随单一坐标变化，就可以将偏微 分应力平衡方程简化为常微分应力平衡方程
主应力法
主应力法的基本原理 在应用Mises屈服准则时，忽略应力和摩擦切应力 的影响，将Mises屈服准则简化为线性方程； 对于平面应变问题，习惯用剪切屈服强度k表示
主应力法
主应力法的基本原理 假设材料变形是均匀的，变形状态属于平面应变 或轴对称问题； 在平面应变条件下，变形前为平截面变形后仍为 平截面，且与原平截面平行
在轴对称条件下，变形前的圆柱面在变形后仍为 圆柱面，且与原圆柱面同轴
对于形状复杂的变形体，可以根据变形体流动规 律，将其分成若干部分，对每一部分都近似地按 平面应变或轴对称问题处理，最后再拼合在一起， 就可以得到整个问题的解
主应力法
接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
F xe
单位流动压力为： p P 1
xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s
2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
主应力法
C = 2k + 2k
R h
2k σ z = 2k + ( R − r ) h
总压力和平均压力
假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 假定接触面上的摩擦服从库仑定律，这时总压力P 沿接触面的积分： 沿接触面的积分： R R
P=
2µ ( R−r ) h
∫
0
σ z ⋅ 2π rdr = ∫ σ s e
r z
为单元体边界上的摩擦应力，且是已知 为单元体边界上的摩擦应力，
的，剩下的未知应力只有两个，即 剩下的未知应力只有两个， 个方向的平衡方程就可以了。 个方向的平衡方程就可以了。
σr 和 σz
只需要建立一
§6.2 直角坐标平面应变问题解析
低摩擦条件下镦粗矩形件时， 低摩擦条件下镦粗矩形件时，接触面上单位压力分布 假定在任一瞬间工件的厚度 为h，接触面宽度为b，如 接触面宽度为b 图所示。由于对称性，仅研 图所示。由于对称性， 究其右半部。 究其右半部。
2µ ( R−r ) h
当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ=k 当热锻时，接触面上的摩擦很大，可达τ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得：dσ 联解单元体的平衡方程和近似屈服条件可得： 积分后得： 积分后得： σ z = − 2 k 由边界条件可得： 由边界条件可得：
r +C h
z
= −2k
dr h
把k作常量处理 作常量处理
dσ x = dσ y
轴对称问题基本方程的简化
研究轴对称问题，采用圆柱坐标系 ( r , θ , z ) 研究轴对称问题， 根据主应力法的假设， 认为变形是均匀的。 根据主应力法的假设 ， 认为变形是均匀的 。 从变形体内分 离出来的单元体的界面是圆柱面， 离出来的单元体的界面是圆柱面 ， 在变形过程中仍保持为 圆柱面。假想一个半径为r 圆柱面 。假想一个半径为r ，高为 z的圆柱体，在变形过程 高为z的圆柱体， 中满足下面的体积不变条件： 中满足下面的体积不变条件：
主应力法全解析
h 2 md p Y (1 ) 6h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
第五篇 主应力法在塑性成形中的应用
一、在体积成形中的应用
对于复杂的成形问题，通过“分解”和“拼合”，可得到 个问题的解，通过与计算机技术的结合，能够节省人工 计算的繁琐。 1.复杂形状断面平面应变镦粗（模锻）变形力分析
σy
x
2.中部挤出凸台的平面应变镦粗变形力分析
金属流动方向
2mK d x dx h
x
τ xe
2、根据屈服方程及成形镦粗成 形条件，σx<σy
σy
y x 2K; d y d x
{其中τ＝mK（m为摩擦因子 ，K＝Y/√3）}
σye x
3、上两式联立求解，得：
2mK y xC h
4、利用应力边界体条件求积分常数C： 当x＝xe时σy＝σye
21k22yymbxhh????21k4mbph??二轴对称镦粗型的变形力二轴对称镦粗型的变形力金属流动方向镦粗方向ddrhrzzerdrrdrrdrrez高度为高度为h直径为应力应力z和和单位变形力单位变形力p直径为d的圆柱体自由镦粗时接触面上的的圆柱体自由镦粗时接触面上的压压1216zmdyrhmdpyh??????第五篇第五篇主应力法在塑性成形中的应用主应力法在塑性成形中的应用一在体积成形中的应用一在体积成形中的应用对于复杂的成形问题通过对于复杂的成形问题通过分解个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工个问题的解通过与计算机技术的结合能够节省人工计算的繁琐
2mK C ye xe h 2mK y ( xe x) ye h
5、单位面积的平均变形能力（单位流动压力/变形抗 力）p
P 1 p F xe
xe
0
mKxe y dx ye h
05 材料的断裂韧性
思考题：
5.3 裂纹尖端塑性区的大小及修正
由弹性应力场公式：
KI y 2 r
r 0时，σy ∞，但对韧性材料，当σ>σs时，发生塑性变 形，其结果是材料在裂纹扩展前，其尖端附近出现塑性变形 区，塑性区内应力应变关系不是线性关系，上述KI判据不再 适用。
试验表明：如果塑性区尺寸r0远小于裂纹尺寸a（ r0 /a<0.1）时或塑性区周围为广大的弹性区包围时，即在 小范围屈服下，只要对KI进行适当修正，裂纹尖端附 近的应力应变场的强弱程度仍可用修正的KI来描述。
5.4 裂纹扩展能量释放率GI
通过分析裂纹扩展过程中能量转化讨论断裂条件。
裂纹扩展能量释放率定义：裂纹扩展单位面积时，弹性系 统所能释放（或提供）的能量，也叫裂纹扩展力（GI）。
U GI A
(量纲为MJ· m-2或Mpa· m)
当裂纹长度（中心穿透裂纹）为2a，裂纹体的厚度（板厚）为B时
含裂纹试样的断裂应力与试样内 部裂纹尺寸的试验结果：
K c a
1 c a Y
（Y与裂纹形状、试样几 何尺寸和加载方式有关）
c a Y 常数
KIc＝ c a Y
（该常数与裂纹大小、几何形状及加 载方式无关，而取决于材料本身）
断裂韧性
KIC表征材料抵抗裂纹失稳扩展的能力
a
1 0.177( / s ) 2
修正后，KI值变大，对平面应力状态，当σ>0.7σs时， 需要修正。 当r0 /a>0.1时，线弹性断裂力学已不适用，要采用弹塑 性断裂力学。
例：
一块含有长为16mm中心穿透裂纹的钢板， 受到350MPa垂直于裂纹平面的应力作用。 （1）如果材料的屈服强度是1400MPa， 求塑性区尺寸和裂纹顶端有效应力场强度 因子值； (2)如果材料的屈服强度为385 MPa，求塑 性区尺寸和裂纹顶端有效应力场强度根据裂纹形 状、试样尺寸和加载方式查手册。
主应力法
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
代入 u y tan l y tan
主应力法的基本原理
主应力法的基本原理主应力法是一种用于工程力学和地质力学中的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
该方法可以帮助工程师和地质学家了解材料或岩石的行为，并为设计和分析工程结构提供依据。
主应力法的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
首先，主应力是在任何给定点上作用的三个最大和最小的应力分量。
它们分别是法向应力和剪切应力的最大和最小值。
法向应力是垂直于截面的应力分量，而剪切应力是平行于截面的应力分量。
主应力的定义和计算是主应力法的基础。
主应力状态是一个已知点上的主应力分量的集合。
通过测量或计算得到的主应力可以表示为一组坐标或切线。
这些主应力称为主应力轴线。
根据这些主应力轴线，可以确定主应力的状态以及相应的主应变状态。
应力椭圆是用来表示主应力状态和主应变状态的图形。
它是根据主应力轴线的方向和大小绘制的。
应力椭圆是一个椭圆形状，其长轴对应于法向应力的最大值，即主应力1，短轴对应于法向应力的最小值，即主应力3、剪切应力对应于椭圆的主轴之间的角度。
主应力法的基本原理是基于弹性理论和材料力学的基本原理。
弹性理论认为材料在小变形范围内具有线性弹性特性。
根据弹性力学的理论，可以导出材料应力和应变之间的关系。
主应力法利用这些理论分析应力和应变在材料中的分布情况。
主应力方法的基本原理还包括确定应力的主轴方向和大小。
主轴方向是主应力的方向，它表示在给定点上材料中发生拉伸或压缩的方向。
主轴大小是主应力的大小，它表示在给定点上材料中发生的最大或最小应力。
主应力法的实际应用包括与岩石力学、土力学和结构力学等领域相关的工程设计和分析。
它的基本原理是通过测量或计算主应力来确定主应力状态和主应变状态。
然后，可以使用这些结果进行结构设计和分析，以确保结构的稳定性和安全性。
总之，主应力法是一种基于弹性力学原理的分析方法，用于确定材料或岩石中的主应力和主应变状态。
它的基本原理包括主应力定义、主应力状态、应力椭圆和主应力轴线等。
中国石油大学北京构造地质学第05章节理
雁列轴: 雁列面在雁列带横截面上的迹
线叫做雁列轴。
雁列角: 单脉与雁列面之间的锐夹角为
雁列角。雁列角的大小对分析节
理的力学性质很有意义，根据实
测资料统计, 雁列角有两个高峰值,
一个为45°左右, 属于张裂型节理;
另一个为10°左右, 属于剪裂型节
理, 是由剪裂作用中与主剪切面成
小角度相交的微剪裂发育而成的。 aa’,bb’-雁列带，MM’-雁列轴，
(一) 节理的分期
1. 分期概念：区分不同时期形成的节理的先 后关系.
1) 目的：了解节理发育的一般规律，恢复古构造 应力场.
2) 依据：节理的相互交切关系，以及与相关地质 体的交切关系.
2021/4/22
第5章 节理
39
(一) 节理的分期
2. 依据节理组交切关系 进行分期：
1）错开关系：被错者先.
如：
a）追踪张节理：锯齿状.
2021/4/22
第5章 节理
17
b）单列雁行张节理. c）共轭雁行张节理.
2021/4/22
第5章 节理
18
6）张节理的尾端变化和连接形式: 多为不规则形态, 另 有树枝状、多级分叉、杏仁状结环.
7）在共轭剪裂带中形成的张节理多呈雁列状.
2021/4/22
3. 注意事项：节理的配套工作十分繁难复杂， 这项研究只宜在构造变动微弱、构造关系清楚 地区进行，原因：
1）节理是一种小尺度构造，成因多样，不仅构造作 用可以形成，非构造因素也可造成.
2）在漫长的地质时期中多次形成的节理又相互叠加、 改造、穿插、切割，使各次构造作用中形成的节理 的相互关系被破坏和掩蔽.
第5章 节理
19
(二) 节理的力学性质分类
主应力法求轧制
主应力法求轧制
主应力法是一种力学分析方法，可用于计算轧制过程中的应力分布。
该方法利用主应力原理，将三维应力状态转换为等效的一维应力状态，进而确定最大和最小应力值，从而确定材料是否达到塑性变形的极限。
以下是利用主应力法求解轧制过程中应力分布的步骤：
1. 确定轧制区域内的应力状态：轧制过程中，钢坯受到的应力主要包括轧制压应力和轧制弯应力。
同时，钢坯的几何形状也会对应力状态产生影响。
因此，首先需要确定轧制区域内的应力状态，并将其表示为矩阵形式。
2. 对应力矩阵进行主应力分解：利用主应力原理，将三维应力状态转换为等效的一维应力状态，并确定最大应力值和最小应力值。
这一步骤可以使用数值方法或解析方法来完成。
3. 判断材料是否达到塑性变形的极限：根据材料的本构关系，确定材料的屈服极限和断裂极限，进而判断此时应力状态是否会使材料达到塑性变形的极限。
如果达到极限，则需要考虑采取合适的措施来避免材料破坏，如增加轧制力或调整轧制速度等。
4. 将应力分布图形化展示：最后，将计算得到的应力分布用图形化的方式展示出来，以便更好地理解和分析该区域的强度和稳定性。
金属塑性成形基本工序的力学分析及主应力法
由Tresca屈服准则，有：
z s
所以： d z d
，
d d
则： d z 2 0 …………（3） d h
5、将条件
代入式（３），并积分，
s
得：
z
2 s
h
C…………（４）
6、求接触面上的正应力
由边界条件，知当 D
所以： z s 0 。 2
时，
0
，
积分常数得：C
§3、2 镦粗变形 例题1:
在水平模具间镦粗长矩形截面的钢
a 坯，宽度为 、高度为 h 、长度
为 l ，且长度远远大于宽度。
若接触面上摩擦为常摩擦，即
s（ s 为材料屈服应力）。
试用主应力法推导接触面上的单位压力 p 和成形力 P 。
解：
1、切取基元体，受力分析， 如右图所示。
x 2、列 向受力平衡方程：
从凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态， 由径向合力为0得：
rtRd
( r
d r )t(R dR)d
2tdR sin
d
2
0
……(1)
rtRd
( r
d r )t(R dR)d
2
tdR
sin
d
2
0
略去高阶微量，整理后得
d r
( r
)
dR R
（式中应力为绝对值表示）
……(2)
金属流动方向
x
τ
xe
σy dx
（显然，上式也是假设 x
在y方向均匀分布。）
σye
x
3、接触表面摩擦规律的简化
接触表面的摩擦多采用近似关系：
f n f mk(m为摩擦因子，取值在0 ~ 1） f k
主应力法的基本原理
主应力法的基本原理
主应力法是一种用于确定地下岩石中主应力方向和大小的地应力分析方法。
它是地质工程学和岩石力学领域中最常用的手段之一，被广泛应用于地质灾害评价、岩石工程设计与施工等方面。
1.地下岩石中的主应力由岩石应力体系中各个应力面上的最大围压应力和最小围压应力决定。
主应力的方向是岩石中最大围压应力的方向，而主应力的大小则由最大和最小围压应力之差确定。
2.主应力法的基本假设是地下岩石是各向异性的弹性体，在一定的应力作用下呈现出塑性行为。
这意味着主应力法适用于岩石的非线性弹塑性行为。
3.主应力法的核心内容是通过不同的实验方法和测量手段来确定主应力方向和大小。
常见的方法包括岩石颜色法、断裂面关系法、松矿法、沉陷法、钻孔法等。
4.主应力法需要考虑的前提条件包括岩石的应力性质、岩石的缺陷和不均匀性、地下水的压力等。
这些条件对主应力方向和大小的测定起到重要的影响。
5.主应力法的应用可以帮助岩石工程设计者确定最佳的施工方案和支护结构，从而减少施工过程中出现的地质灾害风险。
总之，主应力法是一种基于地应力分析的方法，通过测量和评估地下岩石的主应力方向和大小，为岩石工程设计和施工提供科学依据。
它在岩土工程领域中有着广泛的应用前景，可以有效地提高岩石工程的施工安全性和效率。
第五章主应力法及应用
c）板料成形时，板厚是变化的，为简化计 ）板料成形时，板厚是变化的， 算常忽略。 算常忽略。 d）有时还需考虑各向异性。 ）有时还需考虑各向异性。
2.圆筒件拉深过程中凸缘变形区应力分析 圆筒件拉深过程中凸缘变形区应力分析
1）切取单元体。 ）切取单元体。 2）沿径向列出应力平衡微分方程： ）沿径向列出应力平衡微分方程：
3）列出屈服条件： ）列出屈服条件：
4）边界条件： ）边界条件：
由（1）（ ）（3）式可得： ）（2）（ ）式可得： ）（ ）（
*在变形区内边缘， 最大； 最小。 在变形区内边缘， 最大； 最小。 在变形区内边缘
*在变形区外边缘， 最大； 最小。 在变形区外边缘， 最大； 最小。 在变形区外边缘
第五章主应力法及应用
§5.1主应力法的基本原理 .1主应力法的基本原理 .2主应力法的应用 §5.2主应力法的应用
§5.1主应力法的基本原理 .1主应力法的基本原理
主应力法的基本思想
是求解金属塑性成形问题的一种简便近似 方法，通过引进一些假设， 方法，通过引进一些假设，将变形体的状 态简化成平面或轴对称问题， 态简化成平面或轴对称问题，从而建立新 的能求解的常微分形态的应力平衡方程。 的能求解的常微分形态的应力平衡方程。
大作业：一块板料， 大作业：一块板料，长L，宽B，厚t，B/t》3， ， ， ， 》 ， 求解板料弯曲时变形区内的主应力大小。（假设 求解板料弯曲时变形区内的主应力大小。（假设 。（ 是无硬化大塑性变形） 是无硬化大塑性变形）
2）沿径向列出应力平衡微分方程： ）沿径向列出应力平衡微分方程：
展开且忽略高阶微量，可得： 展开且忽略高阶微量，可得：
3）列出屈服条件： ）列出屈服条件：
4）上式和应力平衡微分方程(5-1)联解 得： ）上式和应力平衡微分方程 联解,得 联解
第05章 主应力法
单位流动压力：
P 1 p A xe 1 y dx xe 2m K ( xe x) ye ]dx h
xe
0
xe
0
[
m Kxe 1 mK 1 xe xe 2 (2 xe x x ) |0 ye |0 ye xe h xe h
平行砧板问题
讨论分析
x yx 0 x y xy y 0 x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合； 2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
角度定义
为了使推导的σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号： α,β使流道变宽为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
平衡方程
xh
( x d x )[h (tan tan )dx]
dx dx sin cos u cos cos
平衡方程 切取基元体,设τ=mK
当 y=ye时
ye 0
2 xe - ye Y 3
2 xe Y 3
讨论
we K2 2 2 x = x - Y ln( ) xe - Y K1 wb yK1 3 3
2 xe Y 3
we K2 2 x = x - Y ln( ) 3 K1 wb yK1
平行砧板问题
例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗
确定主应力大小和方向问题分析
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载确定主应力大小和方向问题分析地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容确定主应力大小和方向问题分析基础部秦定龙一问题的提出在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题，以便于分析结构破坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内的受力钢筋等。
图一(a)所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。
在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。
图一（a）q(a)图二(b)上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小的计算和确定主应力方向的问题。
一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算出来，而在确定应力的方向时，人们往往不容易正确确定出来。
本文就怎样快速准确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。
二主应力大小及方向的确定方法图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。
假定在一对竖向平面上的正应力为,切应力为；在一对水平面上的正应力为y，切应力为y，它们的大小和方向已经求出。
现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力即主应力的大小和方向。
对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
K dx ( h K x ) d 0 即： 2 b 1 y
K 2 d dx y h K x b 1
倾斜砧板问题
平衡方程积分
K 2 d dx y h K x b 1
当 x x 时 , e y ye
K 1
K 2 ln( h xK ) C y b 1 K 1
tan 代入 tan l y u y
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2 2 (tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x
2 2 y
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0
第五章 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的 1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定工 艺 2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
h h (tan tan ) dx d h d (tan tan ) dx 2 dx tan dx tan dx 0
x x x x x u l
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l
平行砧板问题
平均流动应力
2 mK ( x x ) y e ye h
单位流动压力：
P 1 x 1 x mK e e 2 p dx [ ( x x ) ] dx y e ye 0 0 A x x h e e mKx 1 mK 1 x 2 x e e e ( 2 x x x ) | | e 0 ye 0 ye x h x h e e
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx d h 2 dx tan dx tan dx 0 x x u l
2 2 tan dx tan dx tan dx tan dx 0 y y
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
2 2 2 ) 4 4 K 平面应变： ( x y xy
2 K x y
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
2 Y 3
由近似塑性条件 y x
d d y x
2 Y (tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d b y 3 2 2 2 dx (tan tan ) dx 0
倾斜砧板问题
平衡方程简化
主应力法又称切块法、切片法、切条法 实质：平衡微分方程和塑性条件联解
ij 0 x j
f( C ij)
主应力法的基本原理
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向；
挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。 常见的金属流动类型：
纵 平面应变的 横 轴对称的
纵 横
向流动 向流动
镦粗型（平面应变镦粗） 挤压型（平面应变挤压）
镦粗型（轴对称镦粗） 挤压型（轴对称挤压）
平行砧板问题
例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗
设 mK , K Y /3
求：变形力和平均应力
平行砧板问题
列平衡方程
对基元板块，列平衡方程：
P lh ( d ) lh 2 ldx 0 x x x x
ij 0 （3个） x j
f( C（1个） ij)
d ij ( du 1 ( du j) i) d （6个） d （6个） ij ij ' 2 x x j i
ij,du 未知量： ij,d i 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分无摩擦时(τ=0),如 直线mn所示。 2 mK ( x x ) y e ye σy=2K h Δgmn为τ引起的σy 1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条件定； 增加值。 2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。
讨论分析
2 2 K ( Y ) 当x=xe时， y ye 3 2 mKx e x=0 时， y ye h
整理 h ( d )[ h (tan tan ) dx ] 2 dx x x x
tan dx tan dx 0 u l
倾斜砧板问题
局部平衡条件
由静力平衡关系：ΣPy=0
tan 同理： tan u y l y
K K 2 2 ln( h x K ) C ln[ h x (tan tan )] C 即 ye b e 1 b e K 1 K 2ln h C e K 1
代入原式
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
平行砧板问题
求解微分方程
2 2 mK d dx dx y h h
2 mK x C y h 当 x x 时 , , e y ye 2 mK 则 x C ye e h 2 mK C x ye e h
2 mK 得： ( x x ) y e ye h
倾斜砧板问题
平衡方程简化
(tan tan ) dx hd 2 dx x x
2
(tan tan ) dx (tan tan ) dx 0 y
2
代入 h h (tan tan ) x b
(tan tan ) dx [ h (tan tan ) x ] d 2 dx x b x
讨论
平面挤压问题的变形力
讨论
h K 2 ln( e ) y ye K h xK 1 b 1
2 l n ( x
K K 1
w e ) x e w y K b 1
讨论
w K e 2 l n ( ) x x e K w y K 1 b 1
2 x - y Y 3
dx cos cos
l
dx sin cos
倾斜砧板问题
平衡方程
xh (x dx )[h (tan tan)dx ] dx dx cos cos cos cos
u dx dx sin l sin 0 cos cos
2K
g m
y
n
b
平行砧板问题
讨论分析
与材料有关 与摩擦系数有关 与边界条件有关 与几何形状有关
mKx e p y e h
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时： m b 2 K [ 1 ( x )] y h2 mb p2 K ( 1 ) 4h
倾斜砧板问题
角度定义
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
当 y=ye时
ye 0
2 xe - ye Y 3
xe
2 Y 3
讨论
w 2 K 2 e 2 =Y l n ( ) - Y x x x e K 3 K 3 1 wy b 1
倾斜砧板问题
平均应力求解
h K e 2 ln( ) y ye K h xK 1 b 1
x x h P1 1 e eK e 2 p dx [ ln( ) ] dx y ye 0 0 A x x K xK e e 1 h b 1
K 1 K 2 2 p [ h (ln h 1 ) h (ln h 1 )] ( h ) e e b b ye ln e 2 K x K 1 e 1
为了使推导的 σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号： α,β使流道变宽为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
平衡方程
xh
( ) [ ( t a nt a n )] d x x dh x
dx dx sin cos u cos cos
x x
h ( d ) h 2 d x 0
x
整理
2 d x dx h
平行砧板问题
带入近似屈服条件
2 d x dx h
由近似塑性条件： y x 2K 得
d d x y
2 2 mK d dx dx y h h
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设