浅谈换元积分法解题策略

浅谈换元积分法解题策略

摘要以求解积分问题的方法为内容，对积分换元法按题型归类，以讲解题思路与举例题相结合的思维方式叙述，归纳总结具有共性题目的解题规律、解题方法，对换元积分法在不定积分与定积分中的应用加以比较。

关键词换元积分法；不定积分；定积分

求解积分问题一直以来都困扰着同学们，很多同学不能够掌握解题规律和解题方法，解题时不知从何下手。作者在教学实践中，积累了一些经验，对换元积分法做了进一步的分类和改进，现采撷几例加以剖析，与同仁探讨。

1 不定积分的换元积分法

1）“凑微分”法。“凑微分”法是换元积分法中最主要的一种方法。大多数同学使用这种方法时，主要困惑两个问题：①如何“凑微分”，究竟如何找到定理中的中间函数ψ(x)；②解题时如何选择方法，无论是“凑微分”法还是分部法，题目中的被积函数往往都是两个函数的乘积。

不定积分换元积分公式

设f(u)有原函数，u=ψ(u)可导，则换元公式

例1求

导析：换元积分法对于复合函数的积分具有普遍意义，所以如果被积函数中含有复合函数，我们首选换元积分法求解。

对于复合函数，令则。称ψ(x)为

复合函数的内层函数，此时将题目中的积分变量dx“凑”为内层函数，得积分。

“凑微分”后得到的新积分要与原积分保持相等，所以求出微分，即

①

与原积分对比，①式多乘了，在式子两边同时乘以得

至此，“凑微分”完毕，只需将内层函数看做整体令，套用公式即可。

解

评注：“凑微分”法求积分的解题步骤

①凑微分——在题目中找到被积函数里的复合函数f[ψ(x)]的内层函数ψ(x)，将题目中的积分变量dx换为d[ψ(x)]。

②求微分——求出微分d[ψ(x)]。

③配平等式——与原式对比，配平等式。

④套公式——将ψ(x)看作一个变量，套用相应的积分公式求出结果。

2）三角换元法。实际做题过程中会遇到许多被积函数中含有，的根式。虽然这些函数也是复合函数，但是却不能用“凑微分”法求解，这类题目最关键的是如何消去根式。可用三角函数的平方和关系式进行去根。

sin2α+cos2α=1，1+tan2α=sec2α，1+cot2α=csc2α

例2

导析：若令x=αsint，则

可将根式去掉。

注：换元的同时一定要将积分变量dx换成dt，即dx=d(asint)=acostdt。

解令x=asint，则dx=acostdt，于是

原式

将变量t还原为x

由x=asint得，于是，。

评注：①被积函数中含形式，令x=asint；含，令x=atant；含，令x=asect 进行换元，消去根式。千万记住换元的同时将积分变量dx换为dt。

②对换元后的积分采取适当的方法求出积分结果。

③将积分结果的变量t还原为x。

3）根式换元法。“凑微分”法在计算不定积分中使用的范围相当广泛，三角换元法也能够解决一部分含有根式的积分，但是对于含有

，等无理函数的积分，就需要使用根式换元法，即

将根式设为中间变量消去根式的方法。

例3

导析：对于这类含有无理函数的积分，换元的目的就是将被积函数中所有的根式都消去，令，则x=t6。因为六次方是二次方和三次方的最小公倍数，可将两根式都消去。同样注意换元的同时将积分变量dx换为dt。

解令，则

原式

评注：根式换元法的解题步骤：

①换元——对于含有无理函数的积分，令被积函数中的，

为中间变量t，若被积函数中含有、，令，其

中n为n1和n2的最小公倍数。

②积分——换元后，采取适当的方法求出积分结果。

③换元——将积分结果中的变量t还原为原积分变量x。

4）倒代换法。介绍了前面几种换元积分法，大家应该已经体会到了换元积分法的奇妙。但是如果被积函数的分母中含有变量因子x或x的幂的形式又该如何处理呢？下面给大家介绍倒代换法。

例4

导析：采用换元的方法给分母中的变量x降幂或消去分母中的x。

解令，则，所以

评注：对于类型的题目，关键在于“令，则

，换元消去分母中的变量因子x或降低分母中x的幂次，然后

再积分。

纵览这四种换元积分法，我们注意它们的不同：同样都是换元积分法公式的应用，但是“凑微分”法中ψ(x)是原有的，而三角换元法、根式换元法和倒代换法中ψ(t)是自设的。实际上是对同一个公式从两个不同方向的运用。

2 定积分的换元积分法

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们知道定积分的计算可归结为两步，即求不定积分和函数值。因而不定积分中换元的方法及原则对定积分仍然适用，为了说明如何用换元法来计算定积分，先看下面定积分的换元公式。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=ψ(t)满足条件：

1）ψ(α)=a，ψ(β)=b；

2）ψ(t)在[α,β](或[β,α])上具有连续导数，且其值域Rψ [a,b]，则有

从公式中我们可以看出，应用换元积分法求定积分时，应注意以下两点：

1）用x=ψ(t)把原来的变量x代换成新变量t时，积分限也要相应地换成新变量t的积分限，即换元必换限；

2）求出f[ψ(t)ψ’ (t)]的一个原函数φ(t)后，不必像求不定积分那样再把φ(t)变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入φ(t)中相减就行。

参考文献

[1]李华,王小军.应用数学(理工类)上册.大象出版社.2006,9,

[2]李心灿.高等数学(大专使用)上册.高等教育出版社.1999,6.

韩利娜，女，汉族，河南人，硕士研究生。