最全总结之圆锥曲线定值问题
圆锥曲线定值问题及解题技巧
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圆锥曲线定值问题及解题技巧全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:圆锥曲线是解析几何学中的重要内容,涉及到了圆锥曲线的定值问题和解题技巧。
在学习和解题过程中,掌握了圆锥曲线的特点和性质,能够更好地理解问题并进行解决。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型,它们都具有一些共同的性质:椭圆的离心率小于1,双曲线的离心率大于1,而抛物线的离心率等于1。
根据这些性质,我们可以对圆锥曲线进行定值问题的分析与解题。
解决圆锥曲线的定值问题,一般需要掌握以下几点技巧:1. 了解圆锥曲线的标准方程椭圆的标准方程为:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1抛物线的标准方程为:y^2 = 2px通过掌握这些标准方程,可以更好地理解圆锥曲线的形状和特性,从而解决相关的定值问题。
2. 利用几何性质解题圆锥曲线的性质包括焦点、准线、离心率等,可以通过这些性质来解决定值问题。
我们可以利用椭圆的焦点性质,求解一些与焦点距离有关的问题;或者通过双曲线的准线性质,解决与准线位置有关的问题。
3. 运用变换解题在解决圆锥曲线的定值问题时,有时也可以通过适当的变换来简化问题。
可以通过平移或旋转坐标系,将原先复杂的问题简化成更容易处理的形式,从而更快地找到解答。
4. 注意特殊情况在解题过程中,需要特别注意圆锥曲线的特殊情况。
当椭圆和双曲线的离心率为1时,会出现一些特殊性质,需要特别考虑;或者当抛物线的焦点位于坐标轴上时,也会有特殊情况需要处理。
在解决圆锥曲线的定值问题时,需要灵活运用以上技巧,结合几何性质和数学方法,深入分析问题并找到正确的解答。
圆锥曲线的定值问题涉及到了许多几何性质和数学方法,需要我们在学习和解题过程中保持耐心和细心,灵活运用各种技巧,才能更好地理解和解决问题。
希望通过这些技巧的学习和运用,读者能够更好地掌握圆锥曲线的相关知识,提高解题能力并取得好成绩。
【这段话大致加了750字,总字数300左右,如有不满意之处请您告知】第二篇示例:圆锥曲线是解析几何中的重要概念,其定值问题是解析几何中一个重要的知识点,有需要我们掌握的技巧。
高考数学复习:圆锥曲线的定点、定值、定直线
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高考数学复习:圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题,圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看,主要是大题.一般说来,考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题,综合性较强,涉及方程组联立,根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值,或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】(一)定值问题1.定义:定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素(通常可通过变量进行体现)有所变化,但在变化过程中,某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值:利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.3.常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧:(1)对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向.(2)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算(二)定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路:(1)特殊推理法:先从特殊情况入手,求出定点,再证明定点与变量无关.(2)直接推理法:①选择一个参数建立直线系方程,一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量,将变量x,y当成常量,将原方程转化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(k是原方程中的常量);②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立),得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩,,;③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点,若定点具备一定的限制条件,则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系,得到有关k 与,x y 的等式(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点()00,x y ,使得无论k 的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形,直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下:①若等式的形式为整式,则考虑将含k 的项归在一组,变形为“()k ⋅”的形式,从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式,00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而分式与分母的取值无关;或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式)3.一些技巧与注意事项:(1)面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点(或定直线).然后再验证该点(或该直线)对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.(2)有些题目所求与定值无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程为一类曲线(或直线),从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中,要能够找到定点,抓住关键条件.例如:直线:1l y kx k =+-,就应该能够意识到()11y k x =+-,进而直线绕定点()1,1--旋转.(三)定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法:方法一是参数法,即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数),再消去参数,即得动点T 在定直线上;方法二是相关点法,即先设出动点T 的坐标为(x,y),根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标,再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程,即得动点T 在定直线上.【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C :2y =2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM QO λ= ,QN QO μ= ,求证:11λμ+为定值.【典例2】如图,已知抛物线2:4C x y =,过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线2y =相交于点1N ,与(1)中的定直线相交于点2N ,证明:2221||MN MN -为定值,并求此定值.【典例3】已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,B 在x 轴的上方,且点B 的横坐标为4.(1)求抛物线C 的标准方程;(2)设点P 为抛物线C 上异于A ,B 的点,直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ,G 两点,x 轴与准线的交点为H ,求证:HG HE ⋅为定值,并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点.(1)求E 的方程;(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT TH = .证明:直线HN 过定点.【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E :2221x y a+=(a >1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,8AG GB ⋅= ,P 为直线x =6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D .(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1).(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ,由题设条件将t 用k 表示为t =mk ,得y =k(x +m),故动直线过定点(-m,0).【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -,()21,0F ,点()0,A b ,若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ,MN ,这两条弦的中点分别为P ,Q ,若0DE MN ⋅= ,证明:直线PQ 过定点.【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点,O 为坐标原点,若点P 在双曲线C 的右支上,且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程;(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -,过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点,试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上?若在,请求出该定直线方程;若不在,请说明理由.1.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.2.在平面直角坐标系中,动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54,设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)设()2,0P ,垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点,直线AP 和曲线C 交于另一点D ,求证:直线BD 过定点.3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32,右焦点F.(1)求双曲线C 的方程;(2)若12,A A 分别是C 的左、右顶点,过F 的直线与C 交于,M N 两点(不同于12,A A ).记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ,请问12k k 是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.4.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -,上、下顶点分别为A ,B ,190AF B ∠=︒.(1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆上有三点P ,Q ,M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ,证明:四边形OPMQ 的面积为定值.5.已知动圆M 过定点()2,0A ,且在y 轴上截得的弦长为4,圆心M 的轨迹为曲线L .(1)求L 的方程;(2)已知点()3,2B --,()2,1C ,P 是L 上的一个动点,设直线PB ,PC 与L 的另一交点分别为E ,F ,求证:当P 点在L 上运动时,直线EF 恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点,直线1F A 与1F B 关于x 轴对称,证明:直线l 恒过一定点.7.在直角坐标系xOy 中,已知定点(0,1)F ,定直线:3l y =-,动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2.记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线?(2)设0(2,)P y 在C 上,不过点P 的动直线1l 与C 交于A ,B 两点,若90APB ∠=︒,证明:直线1l 恒过定点.8.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设F 为椭圆C 的左焦点,M 为直线3x =-上任意一点,过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q .证明:OM 经过线段PQ 的中点N .(其中O 为坐标原点)9.已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的离心率为2,短轴长为2.(1)求E 的方程;(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ,C ,点N 在线段BC 上,且MB NBMC NC =,P 为线段BC 的中点,记直线OP ,ON 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值.10.已知椭圆C :22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ,过点F 作一条直线交C 于R ,S 两点,线段RS,C的离心率为2.(1)求C 的标准方程;(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ,B 两点,(2,0)P ,且总存在实数R λ∈,使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ,问:l 是否过一定点?若过定点,求出该定点的坐标11.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,圆O :222x y a +=,过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程;(2)过圆O 上一点P (不在坐标轴上)作C 的两条切线1l ,2l ,记1l ,2l 的斜率分别为1k ,2k ,直线OP 的斜率为3k ,证明:()123k k k +为定值.12.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2,且过点()2,1A .(1)求C 的方程:(2)点M ,N 在C 上,且AM AN ⊥,AD MN ⊥,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得DQ 为定值.。
圆锥曲线【定点定值】12 大题型(原卷版)
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圆锥曲线中的定点、定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”,具体操作程序如下:(1)变量----选择适当的量为变量.(2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.(3)定值----化简得到的函数解析式,消去变量得到定值.2、求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值.常用消参方法:①等式带用消参:找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =,用一个参数表示另外一个参数()k f m =,即可带用其他式子,消去参数k .②分式相除消参:两个含参数的式子相除,消掉分子和分母所含参数,从而得到定值.③因式相减消参:两个含参数的因式相减,把两个因式所含参数消掉.④参数无关消参:当与参数相关的因式为0时,此时与参数的取值没什么关系,比如:2()0y kg x -+=,只要因式()0g x =,就和参数k 没什么关系了,或者说参数k 不起作用.3、求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明”:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.一般解题步骤:①斜截式设直线方程:y kx m =+,此时引入了两个参数,需要消掉一个.②找关系:找到k 和m 的关系:m =()f k ,等式带入消参,消掉m .③参数无关找定点:找到和k 没有关系的点.题型一:面积定值【典例1-1】如图所示,已知椭圆22:14x C y +=,A ,B 是四条直线2x =±,1y =±所围成的矩形的两个顶点.若M ,N 是椭圆C 上的两个动点,且直线OM ,ON 的斜率之积等于直线OA ,OB 的斜率之积,试探求OM N V 的面积是否为定值,并说明理由.【典例1-2】(2024·湖北荆州·三模)从抛物线28y x =上各点向x 轴作垂线段,垂线段中点的轨迹为Γ.(1)求Γ的轨迹方程;(2),,A B C 是Γ上的三点,过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ,①若//AC DF ,求BDBF的值;②证明:三角形ABC 与三角形DEF 的面积之比为定值.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ,M 在椭圆E 上,且12MF F △(1)求椭圆E 的方程;(2)直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于P ,Q 两点,且22434k m +=,求证:OPQ △(O 为坐标原点)的面积为定值.【变式1-2】(2024·重庆·三模)已知()2,0F ,曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程;(2)已知曲线C 的左顶点为A ,直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ,N 两点,直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ,H 两点,Q 为PH 的中点.(i )证明:QF MN ^;(ii )记PMQ V ,HNQ V ,MNQ V 的面积分别为1S ,2S ,3S ,则123S S S +是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【变式1-3】(2024·广东广州·模拟预测)已知()1,0A -,()10B ,,平面上有动点P ,且直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为1.(1)求动点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与Ω交于点M (M 在第一象限),过点B 的直线与Ω交于点N (N 在第三象限),记直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,且124k k =.试判断AMN V 与BMN V 的面积之比是否为定值,若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.题型二:向量数量积定值【典例2-1】(2024·高三·江苏盐城·开学考试)已知椭圆C :22142x y +=,()0,1A ,过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程;(2)是否存在常数,使得AP AQ OP OQ l ×+×uuu r uuu r uuu r uuu r为定值?若存在,求出l 的值;若不存在,说明理由.【典例2-2】(2024·上海闵行·二模)已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y G +=的左、右焦点,直线:l y kx t =+与椭圆G 有且仅有一个公共点,直线12,F M l F N l ^^,垂足分别为点M N 、.(1)求证:2221t k =+;(2)求证:12F M F N ×uuuu r uuuu r为定值,并求出该定值;【变式2-1】(2024·陕西宝鸡·一模)椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点P æççè,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C 的方程;(2)设5,04M æöç÷èø,过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点,试问:MA MB ×uuu r uuu r 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.【变式2-2】(2024·高三·河南南阳·期末)P 为平面直角坐标系内一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,交直线b y x a =-(0a b >>)于Q ,过P 作y 轴的垂线,垂足为N ,交直线by x a=-于R ,若△OMQ ,V ONR 的面积之和为2ab.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)若2a =,1b =,()4,0A -,(),0G n ,过点G 的直线l 交C 于D ,E 两点,是否存在常数n ,对任意直线l ,使AD AE ×uuu r uuu r为定值?若存在,求出n 的值及该定值,若不存在,请说明理由.【变式2-3】(2024·高三·天津河北·期末)设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,短轴的两个端点为,A B ,且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点,动点M 满足MD CD ^,连接CM ,交椭圆E 于点P .(1)求椭圆E 的方程;(2)求证:OM OP ×uuuu r uuu r为定值.【变式2-4】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ,右焦点为F ,且3AF =uuu r ,以F为圆心,OF 为半径的圆F 经过点B .(1)求C 的方程;(2)过点A 且斜率为()0k k ¹的直线l 交椭圆C 于P ,(ⅰ)设点P 在第一象限,且直线l 与y x =-交于HHAO Ð,求k 的值;(ⅱ)连接PF 交圆F 于点T ,射线AP 上存在一点Q ,且QT BT ×为定值,已知点Q 在定直线上,求Q 所在定直线方程.题型三:斜率和定值【典例3-1】已知椭圆()222:11x M y a a +=>与双曲线222:1y N x a-=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值;(2)过点1,02Q æöç÷èø的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ,B ,C ,D ,在x 轴上是否存在一点T ,直线TA ,TB ,TC ,TD 的斜率分别为TA k ,TB k ,TC k ,TD k ,使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值?若存在,请求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【典例3-2】(2024·河南·二模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设()3,P t ,过点P 的两条直线1l 和2l 分别交椭圆C 于点,D E 和点,M N (1l 和2l .不重合),直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k .若PM PN PD PE =,判断12k k +是否为定值,若是,求出该值;若否,说明理由.【变式3-1】椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为(),且椭圆C 经过点()0,1P ,直线21y kx k =+-(0k ¹)与C 交于A ,B 两点(异于点P ).(1)求椭圆C 的方程;(2)证明:直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值,并求出这个定值.【变式3-2】(2024·宁夏银川·一模)已知1F ,2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点,左顶点为A ,则上顶点为1B ,且1AB 20y -+=.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若P 是直线3x =上一点,过点P 的两条不同直线分别交C 于点D ,E 和点M ,N ,且PD PMPN PE=,求证:直线DE 的斜率与直线MN 的斜率之和为定值.题型四:斜率积定值【典例4-1】(2024·高三·陕西·开学考试)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ,左顶点为E ,虚轴的上端点为P ,且3PF =,PE =(1)求双曲线C 的标准方程;(2)设M N 、是双曲线C 上不同的两点,Q 是线段MN 的中点,O 是原点,直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、,证明:12k k ×为定值.【典例4-2】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>,过点,A ,B 分别是E 的左顶点和下顶点,F 是E右焦点,π3AFB Ð=.(1)求E 的方程;(2)过点F 的直线与椭圆E 交于点P ,Q ,直线AP ,AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ,N .设直线FM ,FN 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为定值.【变式4-1】已知椭圆22122:1(0)22x y C a b a b +=>>左右焦点12,F F 分别为椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点,过点1F 且斜率不为零的直线与椭圆1C 相交于,A B 两点,交椭圆2C 于点M ,且2ABF △与12BF F △的周长之差为4-(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程;(2)若直线2MF 与椭圆1C 相交于,D E 两点,记直线1MF 的斜率为1k ,直线2MF 的斜率为2k ,求证:12k k 为定值.【变式4-2】(2024·湖南长沙·二模)如图,双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点1F ,2F 分别为双曲线22222:144x y C a b -=的左、右顶点,过点1F 的直线分别交双曲线1C 的左、右两支于,A B 两点,交双曲线2C 的右支于点M (与点2F 不重合),且12BF F △与2ABF △的周长之差为2.(1)求双曲线1C 的方程;(2)若直线2MF 交双曲线1C 的右支于,D E 两点.①记直线AB 的斜率为1k ,直线DE 的斜率为2k ,求12k k 的值;②试探究:DE AB -是否为定值?并说明理由.【变式4-3】已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)过点((1)求双曲线C 的标准方程;(2)设过点()2,0P 且斜率不为0的直线l 与双曲线C 的左右两支交于A ,B 两点.问:在x 轴上是否存在定点Q ,使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.题型五:斜率比定值【典例5-1】设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点(),0M p ,过点F 且斜率存在的直线交C 于不同的,A B 两点,当直线AM 垂直于x 轴时,3AF =.(1)求C 的方程;(2)设直线,AM BM 与C 的另一个交点分别为,D E ,设直线,AB DE 的斜率分别为12,k k ,证明:(ⅰ)12k k 为定值;(ⅱ)直线DE 恒过定点.【典例5-2】如图所示,已知点()1,0K ,F 是椭圆22195x y+=的左焦点,过F 的直线与椭圆交于,A B 两点,直线,AK BK 分别与椭圆交于,P Q 两点.(1)证明:直线PQ 过定点.(2)证明:直线PQ 和直线AB的斜率之比为定值.【变式5-1】(2024·重庆·模拟预测)如图,DM x ^轴,垂足为D ,点P 在线段DM 上,且||1||2DP DM =.(1)点M 在圆224x y +=上运动时,求点P 的轨迹方程;(2)记(1)中所求点P 的轨迹为,(0,1)A G ,过点10,2æöç÷èø作一条直线与G 相交于,B C 两点,与直线2y =交于点Q .记,,AB AC AQ 的斜率分别为123,,k k k ,证明:123k k k +是定值.【变式5-2】(2024·云南·二模)已知椭圆EO ,焦点在x 轴上,右焦点为F ,A 、B 分别是E 的上、下顶点.E 的短半轴长是圆O 的半径,点M 是圆O 上的动点,且点M 不在y 轴上,延长BM 与E 交于点,N AM AN ×uuuu r uuu r的取值范围为(0,4).(1)求椭圆E 、圆O 的方程;(2)当直线BM 经过点F 时,求AFN V 的面积;(3)记直线AM 、AN 的斜率分别为12k k 、,证明:21k k 为定值.【变式5-3】(2024·河南·三模)已知点())A B ,,动点V 满足直线VA 与直线VB 的斜率之积为13,动点V 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程:(2)直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点,且BP BQ BM PQ ^^,交PQ 于点M ,求定点N 的坐标,使MN 为定值;(3)过(2)中的点N 作直线交曲线C 于,G H 两点,且两点均在y 轴的右侧,直线,AG BH 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的值.题型六:斜率差定值【典例6-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -,D 为椭圆C 的右顶点,且124DF DF ×=uuu u r uuuu r.(1)求椭圆C 的方程;(2)设()4,2M -,过点()4,0Q -的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A 点在B 点左侧),直线AM 与直线2x =-交于点N ,设直线NA ,NB 的斜率分别为1k ,2k ,求证:21k k -为定值.【典例6-2】已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点æççè,右焦点为(),0F c ,且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点(P 在Q 的上方),PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点,设POQ △的面积为S ,直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ,试问12k k S-是否为定值,如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.【变式6-1】已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为12,A ,B ,C 分别为椭圆的左顶点,上顶点和右顶点,1F 为左焦点,且1ABF V P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点,直线AB 与直线CP 交于点Q ,直线BP 交x 轴于点N .(1)求椭圆M 的标准方程;(2)求证:2QN QC k k -为定值,并求出此定值(其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率).【变式6-2】(2024·高三·上海闵行·期中)已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>,点()3,1-在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程;(2)若()2,0M -,试问:是否存在直线l ,使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点()4,2P -,直线AP 交直线2x =-于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ,求证:12k k -为定值.题型七:线段定值【典例7-1】(2024·高三·山西·期末)已知椭圆E :()2221024x y b b +=<<.(1)若椭圆E 22y x =-与椭圆E 交于M ,N 两点,求证:OM ON ^;(2)P 为直线l :4x =上的一个动点,A ,B 为椭圆E 的左、右顶点,PA ,PB 分别与椭圆E 交于C ,D 两点,证明CA PD PC BD××为定值,并求出此定值.【典例7-2】如图,已知圆22:210T x y ++-=,圆心是点T ,点G 是圆T 上的动点,点H 的坐标为),线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ,记动点R 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,若CA AH l =uuu r uuur ,CB BH m =uuur uuur ,试探究l m +是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;(3)过点()2,1M 作两条直线MP ,MQ ,分别交曲线E 于P ,Q 两点,使得1MP MQ k k ×=.且MD PQ ^,点D 为垂足,证明:存在定点F ,使得DF 为定值.【变式7-1】已知点N 在曲线22:11612x y C +=上,O 为坐标原点,若点M 满足2ON OM =uuu r uuuu r ,记动点M 的轨迹为G .(1)求G 的方程;(2)设,C D 是上G 的两个动点,且以CD 为直径的圆经过点O ,证明:2211OCOD+为定值.【变式7-2】(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy 中,动点(,)P x y 满足=,点P 的轨迹为C ,过点(2,0)F 作直线l ,与轨迹C 相交于A ,B 两点.(1)求轨迹C 的方程;(2)求OAB △面积的取值范围;(3)若直线l 与直线1x =交于点M ,过点M 作y 轴的垂线,垂足为N ,直线NA ,NB 分别与x 轴交于点S ,T ,证明:||||SF FT 为定值.【变式7-3】(2024·浙江宁波·模拟预测)已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F --,动点P 满足34PA PB k k ×=-,动点P 的轨迹为曲线1,PF t 交t 于另外一点2,Q PF 交t 于另外一点R .(1)求曲线t 的标准方程;(2)已知1212PF PF QF RF +是定值,求该定值;题型八:坐标定值【典例8-1】(2024·陕西安康·模拟预测)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,上顶点为A ,122AF AF AF -=uuur uuuu r uuuu r ,12AF F △(1)求C 的方程;(2)B 是C 上位于第一象限的一点,其横坐标为1,直线l 过点2F 且与C 交于M ,N 两点(均异于点B ),点P 在l 上,设直线BM ,BP ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,若2312k k k -=,问点P 的横坐标是否为定值?若为定值,求出点P 的横坐标;若不为定值,请说明理由.【典例8-2】(2024·全国·模拟预测)一般地,抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形,对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形.如图,012P PP V ,ABC V 分别为抛物线y 2=2px(p >0)的切线三角形和切点三角形,F 为该抛物线的焦点.当直线AB 的斜率为1-时,AB 中点的纵坐标为2-.(1)求p .(2)若直线AC 过点F ,直线,AB BC 分别与该抛物线的准线交于点,D E ,记点,D E 的纵坐标分别为,D E y y ,证明:D E y y 为定值.(3)若,,A B C 均不与坐标原点重合,证明:012FA FB FC FP FP FP ××=××【变式8-1】(2024·四川凉山·三模)已知平面内动点P 与两定点()11,0A -,()21,0A 连线的斜率之积为3.(1)求动点P 的轨迹E 的方程:(2)过点()2,0的直线与轨迹E 交于A ,B 两点,点A ,B 均在y 轴右侧,且点A 在第一象限,直线2AA 与1BA 交于点M ,证明:点M 横坐标为定值.题型九:角度定值【典例9-1】抛物线C :()20x py p =>的焦点为()0,1F ,直线l 的倾斜角为a 且经过点F ,直线l 与抛物线C 交于两点A ,B .(1)若16AB =,求角a ;(2)分别过A ,B 作抛物线C 的切线1l ,2l ,记直线1l ,2l 的交点为E ,直线EF 的倾斜角为b .试探究a b -是否为定值,并说明理由.【典例9-2】(2024·高三·广东广州·期中)已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的左顶点为A ,过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于B ,D (异于点A )两点,直线AB ,AD 分别与直线4x =交于M ,N 两点,试问MFN Ð是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【变式9-1】(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中,利用公式x ax byy cx dy¢=+ìí¢=+î①(其中a ,b ,c ,d 为常数),将点(,)P x y 变换为点(),P x y ¢¢¢的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由a ,b ,c ,d 组成的正方形数表a b c d æöç÷èø唯一确定,我们将a b c d æöç÷èø称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母A ,B ,…表示.(1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,将点(,)P x y 绕原点O 按逆时针旋转a 角得到点(),P x y ¢¢¢(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A ;(2)在平面直角坐标系xOy 中,求双曲线1xy =绕原点O 按逆时针旋转π4(到原点距离不变)得到的双曲线方程C ;(3)已知由(2)得到的双曲线C ,上顶点为D ,直线l 与双曲线C 的两支分别交于A ,B 两点(B 在第一象限),与x 轴交于点T ö÷÷ø.设直线DA ,DB 的倾斜角分别为a ,b ,求证:a b +为定值.【变式9-2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程;(2)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N .求证:MQN Ð为定值.题型十:直线过定点【典例10-1】(2024·陕西·模拟预测)已知动圆M 经过定点1(F ,且与圆222:(16F x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程;(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ,B ,点P 为轨迹C 上异于A ,B 的动点,设直线PB 交直线4x =于点T ,连接AT 交轨迹C 于点Q ;直线AP ,AQ 的斜率分别为AP k ,AQ k .(i )求证:AP AQ k k ×为定值;(ii )设直线:PQ x ty n =+,证明:直线PQ 过定点.【典例10-2】(2024·广西·模拟预测)已知圆E 恒过定点()1,0,且与直线=1x -相切,记圆心E 的轨迹为G ,直线11:10l x m y --=与G 相交于A ,B 两点,直线22:10l x m y --=与G 相交于C ,D 两点,且121m m =-,M ,N 分别为弦,AB CD 的中点,其中A ,C 均在第一象限,直线AC 与直线BD 的交点为G .(1)求圆心E 的轨迹G 的方程;(2)直线MN 是否恒过定点?若是,求出定点坐标?若不是,请说明理由.【变式10-1】(2024·江西·二模)已知()12,0F -,()22,0F ,M 是圆O :221x y +=上任意一点,1F 关于点M 的对称点为N ,线段1F N 的垂直平分线与直线2F N 相交于点T ,记点T 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)设(),0E t (0t >)为曲线C 上一点,不与x 轴垂直的直线l 与曲线C 交于G ,H 两点(异于E 点).若直线GE ,HE 的斜率之积为2,求证:直线l 过定点.【变式10-2】在平面直角坐标系xoy 中,已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>,F 是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M :()22616x y -+=外切,又与圆N :(223x y +-=外切.(1)求椭圆C 的方程.(2)已知A ,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,A 在x 轴的上方,连接AF ,BF 并分别延长交椭圆C 于D ,E 两点,证明:直线DE 过定点.题型十一:动点在定直线上【典例11-1】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,A ,B 分别为C 的上、下顶点,O 为坐标原点,直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ,N .(1)设点P 为线段MN 的中点,证明:直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值;(2)若AB 4=,证明:直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【典例11-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2H æö-ç÷èø,离心率12e =.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点()4,3P 且倾斜角为135o 的直线l 与x 轴,y 轴分别交于点,M N ,点R 为椭圆C 上任意一点,求RMN V 面积的最小值.(3)如图,过点()4,3P 作两条直线,AB CD 分别与椭圆C 相交于点,,,A B C D ,设直线AD 和BC 相交于点Q .证明点Q 在定直线上.【变式11-1】已知A ,B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点,P 是C 上异于A ,B 的一点,直线PA ,PB 的斜率分别为12,k k ,且12||4k k AB ==.(1)求双曲线C 的方程;(2)已知过点(4,0)的直线:4l x my =+,交C 的左,右两支于D ,E 两点(异于A ,B ).(i )求m 的取值范围;(ii )设直线AD 与直线BE 交于点Q ,求证:点Q 在定直线上.【变式11-2】已知椭圆G :()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ,过点F 作x 轴的垂线交椭圆G 于点3(1,)2P .过点P 作椭圆G 的切线,交x 轴于点Q .(1)求点Q 的坐标;(2)过点Q 的直线(非x 轴)交椭圆G 于A 、B 两点,过点A 作x 轴的垂线与直线BP 交于点D ,求证:线段AD 的中点在定直线上.【变式11-3】(2024·河北·三模)已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴,A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ,M ,N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点,直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直.点M 关于原点的对称点为S ,若直线1A S 与直线2A N 相交于点T .(i )设直线1MA 的斜率为1k ,直线2MA 的斜率为2k ,求12k k -的最小值;(ii )证明:直线OT 与直线MN 的交点在定直线上.题型十二:圆过定点【典例12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B 分点是椭圆C 的左、右顶点,P 是椭圆C 上不同于A 、B 的一点,ABP V 面积的最大值是2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ,且直线AP 、BP 与直线6x =分别交于D 、E 两点.①求D 、E 的纵坐标之积;②试判断以DE 为直径的圆是否过定点.若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【典例12-2】(2024·西藏拉萨·二模)已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的两点,A B 的横坐标分别为4,8,AB -=.(1)求抛物线C 的方程;(2)若过点()0,8Q 的直线l 与抛物线C 交于点,M N ,问:以MN 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出这个定点;若不过定点,请说明理由.【变式12-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4,离心率为12,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y 轴于点A ,直线l ¢过点P 且垂直于l ,交y 轴于点B .(1)求椭圆的方程;(2)试判断以AB 为直径的圆能否过定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.【变式12-2】(2024·山东泰安·模拟预测)已知抛物线2:2(0)E x py p =>,焦点为F ,点(2,1)C 在E 上,直线1l ∶1y kx =+(0)k ¹与E 相交于,A B 两点,过,A B 分别向E 的准线l 作垂线,垂足分别为11,A B .(1)设1111,,FA B FAA FBB V V V 的面积分别为123,,S S S ,求证:21234S S S =×;(2)若直线AC ,BC 分别与l 相交于,M N ,试证明以MN 为直径的圆过定点P ,并求出点P 的坐标.1.(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足2297z z --=,设点Z 的运动轨迹为W .点O 对应的数是0.(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ;(2)设W 的右焦点为1F ,其长半轴长为L ,点Z 到直线Lx e=的距离为d (点Z 在W 的右支上),证明:1ZF ed =;(3)设W 的两条渐近线分别为12l l ,,过Z 分别作12l l ,的平行线34l l ,分别交21l l ,于点P Q ,,则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值?若是,求该定值;若不是,说明理由.2.(2024·湖南常德·三模)已知O 为坐标原点,椭圆C :2221(1)x y a a +=>的上、下顶点为A 、B ,椭圆上的点P 位于第二象限,直线PA 、PB 、PO 的斜率分别为123,,k k k ,且312114k k k =-+.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过原点O 分别作直线PA 、PB 的平行线与椭圆相交,得到四个交点,将这四个交点依次连接构成一个四边形,则此四边形的面积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请求出其取值范围.3.已知一张纸上画有半径为4的圆E ,在圆E 内有一个定点F ,且EF =,折叠纸片,使圆上某一点F ¢刚好与F 点重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕,当F ¢取遍圆上所有点时,所有折痕与EF ¢的交点形成的曲线为C .(1)若曲线C 的焦点在x 轴上,求其标准方程;(2)在(1)的条件下,是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与曲线C 恒有两个交点,A B ,且OA OB ^,(O 为坐标原点),若存在,求出该圆的方程;若不存在,说明理由;(3)在(1)的条件下,P 是曲线C 上异于上顶点1A 、下顶点2A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T ,证明:线段OT 的长为定值,并求出定值.4.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,短轴长为1F ,2F ,P 是椭圆C 上的一个动点,12PFF V 面积的最大值为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)求12PF PF ×uuu r uuu u r的取值范围;(3)过椭圆的左顶点A 作直线l x ^轴,M 为直线l 上的动点,B 为椭圆右顶点,直线BM 交椭圆C 于点Q .试判断数量积AQ OM ×uuu v uuuu v ,OQ OM ×uuu v uuuu v是否为定值,如果为定值,求出定值;如果不是定值,说明理由.5.(2024·重庆沙坪坝·模拟预测)如图, 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的上下焦点分别为()10,F c ,()20,F c -. 已知点(e 和(都在双曲线上, 其中e 为双曲线的离心率.(1)求双曲线的方程;(2)设,A B 是双曲线上位于y 轴右方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P .(i) 若122AF BF -=,求直线1AF 的斜率;(ii) 求证:12PF PF +是定值.6.已知椭圆22142x y +=,设动点P 满足OP OM ON =+uuu r uuuu r uuu r ,其中M ,N 是椭圆上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为12-.问:是否存在两个点1F ,2F ,使得21PF PF +为定值?若存在,求1F ,2F 的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为2,设F 为C 的右焦点,T 为C 的左顶点,过F 的直线交C 于A ,B 两点,当直线AB 斜率不存在时,TAB △的面积为9.(1)求C 的方程;(2)当直线AB 斜率存在且不为0时,连接TA ,TB 分别交直线12x =于P ,Q 两点,设M 为线段PQ 的中点,记直线AB ,FM 的斜率分别为12,k k ,证明:12k k 为定值.8.(2024·辽宁葫芦岛·一模)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,(,2)M m 是抛物线C 上一点,且||2MF =.(1)求抛物线C 的方程.(2)若()()004,0P y y >是抛物线C 上一点,过点(1,4)Q -的直线与拋物线C 交于,A B 两点(均与点P 不重合),设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,试问12k k 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.9.(2024·河南新乡·三模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是12,A A ,椭圆C 的焦距是2,P (异于12,A A )是椭圆C 上的动点,直线1A P 与2A P 的斜率之积为34-.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点,Q 是12PFF V 内切圆的圆心,试问平面上是否存在定点,M N ,使得QM QN +为定值?若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.10.(2024·江苏盐城·一模)已知抛物线O :2x y =,圆C :()2221x y +-=,O 为坐标原点.(1)若直线l :()0y kx m k =+¹分别与抛物线O 相交于点A ,B (A 在B 的左侧)、与圆C 相交于点S ,T (S 在T 的左侧),且OAT !与OBS V 的面积相等,求出m 的取值范围;(2)已知1A ,2A ,3A 是抛物线O 上的三个点,且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ,13A A 均与圆C 相切,请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值,如果是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由.11.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,1F ,2F 分别是C 的左、右焦点,C 上的点到1F 的最小距离为1,P是C 上一点,且12PFF V 的周长为6.(1)求C 的方程;(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ,N 两点,过原点且与l 平行的直线与C 交于A ,B 两点,求证:2ABMN为定值.12.(2024·内蒙古赤峰·三模)已知点P 为圆()22:24C x y -+=上任意一点,()2,0A -,线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点M ,设点M 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程;(2)若过点M 的直线l 与曲线H 的两条渐近线交于S ,T 两点,且M 为线段ST 的中点.(i )证明:直线l 与曲线H 有且仅有一个交点;(ii ) 求证:OS OT ×是定值.13.(2024·湖北·模拟预测)已知F 为抛物线G :()20y mx m =>的焦点,A ,B ,C 是G 上三个不同的点,直线AB ,BC ,AC 分别与x 轴交于F ,D ,E ,其中AB 的最小值为4.(1)求G 的标准方程;(2)ABC V 的重心G 位于x 轴上,且D ,G ,E 的横坐标分别为d ,g ,e ,32g d e --是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.14.(2024·湖南岳阳·三模)已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切,记圆心P 的轨迹为曲线E .(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1),直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ,证明:121k k -=;(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-,设线段MN 的中点为Q ,圆P 与动点Q 的轨迹G 交于不同于F 的三点C 、D 、G ,求证:CDG V 的重心的横坐标为定值.。
圆锥曲线中定值问题
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圆锥曲线中定值问题在圆锥曲线中,有一类曲线系方程,对其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值问题.圆锥曲线中的几何量,有些与参数无关,这就构成了定值问题.它涵盖两类问题,一是动曲线经过定点问题;二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题. 在几何问题中,有些几何量与参变数无关,即定值问题,这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值,然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.1.若探究直线或曲线过定点,则直线或曲线的表示一定含有参变数,即直线系或曲线系,可将其方程变式为0f x y g x y λλ+=(,)(,)(其中为参变数),0.0f x y g x y =⎧⎨=⎩(,)由确定定点坐标(,)例1.(2012湖南理21)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在圆2C :22(5)9x y -+=外,且对1C 上任意一点M ,M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.(1)求曲线1C 的方程;(2)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明:当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值. 1.(1)解法1 :设M 的坐标为(,)x y ,由已知得23x +=,易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>,所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为`220y x =.解法2 :由题设知,曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离, 因此,曲线1C 是以(5,0)为焦点,直线5x =-为准线的抛物线, 故其方程为220y x =.(2)当点P 在直线4x =-上运动时,P 的坐标为0(4,)y -,又03y ≠±,则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为0(4),y y k x -=+即040kx y y k -++=.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ,则12,k k 是方程①的两个实根,故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ,则12,y y 是方程③的两个实根,所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②,④,⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以,当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.【变式训练1】(2012辽宁理20)如图,椭圆0C :22221(0x y a b a b +=>>,a ,b 为常数),动圆22211:C x y t +=,1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,D 四点.(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于,,,A B C D ''''四点,其中2b t a <<, 12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形,,,A B C D ''''的面积相等,证明:2212t t +为定值.【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。
圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)
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第1页(共15页)圆锥曲线专题——定值定点问题1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,以原点O 为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点,且22OA OBb k k a=-,判断AOB ∆的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.【解答】解:(1)椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切,∴b ==又222a b c =+,12c e a ==, 解得24a =,23b =,故椭圆的方程为22143x y +=.()II 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, △22226416(34)(3)0m k k m =-+->,化为22340k m +->.∴122834mkx x k +=-+,21224(3)34m x x k -=+.22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+, 34OA OB k k =-,第2页(共15页)∴121234y y x x =-,121234y y x x =-, 222223(4)34(3)34434m k m k k --=-++,化为22243m k -=,||AB==又11)4d==-=,1||2S AB d ===22342k +=== (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点,问:在x 轴上是否存在点P ,使PA PB 为定值,若存在,请求出P 点坐标,若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)由题意知1c =,过F 且与x 轴垂直的弦长为3,则223b a =,即222()3a c a -=,则2a =,b∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=;(2)假设存在点P 满足条件,设其坐标为(,0)t ,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,当l 斜率存在时,设l 方程为(1)y k x =-,联立22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩,整理得:2222(43)84120k x k x k +-+-=,△0>恒成立.第3页(共15页)2122843k x x k ∴+=+,212241243k x x k -=+. ∴1(PA x t =-,1)y ,2(PB x t =-,2)y .∴222212121212()()(1)()()PA PB x t x t y y k x x k t x x k t =--+=+-++++22222222(1)(412)()8()(43)43k k k t k k t k k +--++++=+, 2222(485)3(12)43t t k t k --+-=+, 当PA PB 为定值时,2248531243t t t ---=,118t ∴=, 此时223121354364t PA PB t -==-=-. 当l 斜率不存在时,11(8P ,0),3(1,)2A ,3(1,)2B -.3(8PA =-,3)2,3(8PB =-,3)2-,∴13564PA PB =-, ∴存在满足条件的点P ,其坐标为11(8,0). 此时PA PB 的值为13564-. 3.已知点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上,A ,B 是抛物线上异于M 的两点,以AB 为直径的圆过点M .(1)证明:直线AB 过定点;(2)过点M 作直线AB 的垂线,求垂足N 的轨迹方程. 【解答】证明:(Ⅰ)点(2,1)M 在抛物线2:C y ax =上,14a ∴=,解得14a =,第4页(共15页)∴抛物线的方程为24x y =,由题意知,故直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y kx m =+,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立得24x yy kx m⎧=⎨=+⎩,消y 可得2440x kx m --=,得124x x k +=,124x x m =,由于MA MB ⊥,∴0MA MB =,即1212(2)(2)(2)(2)0x x y y --+--=,即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=,(*)1212()2y y k x x m +=++,22121212()y y k x x km x x m =+++,代入(*)式得224865k k m m +=-+,即22(22)(3)k m +=-, 223k m ∴+=-,或223k m +=-,即25m k =+,或21m k =-+,当25m k =+时,直线AB 方程为(2)5y k x =++,恒过定点(2,5), 经验证,此时△0>,符合题意,当21m k =-+时,直线AB 方程为(2)5y k x =++,恒过定点(2,1),不合题意,∴直线AB 恒过点(2,5)-,(Ⅱ)由(Ⅰ)设直线AB 恒过定点(2,5)R -,则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉(2,1)±,方程为22(3)8x y +-=,1y ≠.第5页(共15页)4.如图已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32,且过点(0,1)A .(1)求椭圆的方程;(2)过点A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M ,N 两点.求证:直线MN 恒过定点P .并求点P 的坐标.【解答】解:(1)因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3,且过点(0,1)A .所以1b =,3c a =, 所以2a =,1b =所以椭圆C 的方程为:2214x y +=⋯(3分)(2)直线MN 恒过定点3(0,)5P -,下面给予证明:设直线1l 的方程为1y kx =+,联立椭圆方程,消去y 得;22(41)80k x kx ++=,解得222814,4141M M k k x y k k -=-=++ 同理可得:22284,(844N N k k x y k k -==⋯++则直线MN 的斜率22222221441414885414k k k k k k k k k k k ----++'==--++,第6页(共15页)则直线MN 的方程为22221418()41541k k ky x k k k ---=+++,即22222141813()4154155k k k k y x x k k k k ---=++=-++,则直MN 过定点3(0,)5-.故直线MN 恒过定点P 3(0,)5-.⋯(12分)B .(1)证明:直线AB 过定点;面积.【解答】解:(1)证明:22x y =的导数为y x '=,设切点1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,即有2112x y =,2222x y =,切线DA 的方程为111()y y x x x -=-,即为2112x y x x =-,切线DB 的方程为2222x y x x =-,联立两切线方程可得121()2x x x =+,可得121122y x x ==-,即121x x =-, 直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--, 即为211211()()22x y x x x x -=+-,第7页(共15页)可化为1211()22y x x x =++,可得AB 恒过定点1(0,)2;(2)法一:设直线AB 的方程为12y kx =+, 由(1)可得122x x k +=,121x x =-, AB 中点21(,)2H k k +,由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为||EH ,15||-= 解得0k =或1k =±, 即有直线AB 的方程为12y =或12y x =±+, 由12y =可得||2AB =,四边形ADBE 的面积为12(12)32ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯+=; 由12y x =±+,可得||1444AB =+=,此时1(1,)2D ±-到直线AB11|1|++= 5(0,)2E到直线AB15||-= 则四边形ADBE的面积为142ABE ABD S S ∆∆+=⨯⨯=;法二:(2)由(1)得直线AB 的方程为12y tx =+.第8页(共15页)由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可得2210x tx --=. 于是122x x t +=,121x x =-,21212()121y y t x x t +=++=+,212|||2(1)AB x x t =-=+.设1d ,2d 分别为点D ,E 到直线AB的距离,则1d =2d =因此,四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点,则21(,)2M t t +.由于EM AB ⊥,而2(,2)EM t t =-,AB 与向量(1,)t 平行,所以2(2)0t t t +-=.解得0t =或1t =±.当0t =时,3S =;当1t =±时,S =综上,四边形ADBE 的面积为3或(1)求椭圆方程;(2)过直线2y =上的点P 作椭圆的两条切线,切点分别为B ,C ①求证:直线BC 过定点; ②求OBC ∆面积的最大值;【解答】(1)解:椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A ,离心率e =,第9页(共15页)∴22411a b +=,c a = 28a ∴=,22b =,∴椭圆方程为22182x y +=;(2)①证明:设0(P x ,2),1(B x ,1)y ,2(C x ,2)y ,则切线11:182x x y y PB +=,22:182x x y y PC +=, 0(P x ,2)代入,可得直线BC 的方程为018x xy +=, ∴直线BC 过定点(0,1);②018x xy +=代入椭圆方程可得2200(1)4016x x x x +--=, 0122116x x x x∴+=+,12204116x x x -=+,1201||2OBCS x x ∆∴=-=, 令2016u x =+,则1216OBC S ∆=,OBC ∴∆面积的最大值为2.(1)求抛物线C 的方程;(2)动直线:1()l x my m R =+∈与抛物线C 相交于A ,B 两点,问:在x 轴上是否存在定点||||DA DBDA DB +与向量OD 共线(其中存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.第10页(共15页)【解答】解:(1)抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(2p,0), 准线方程为2px =-, 即有05||22p pPF x =+=,即02x p =, 则2164p =,解得2p =,则抛物线的方程为24y x =;(2)在x 轴上假设存在定点(,0)D t (其中0)t ≠,使得||||DA DB DA DB +与向量OD 共线, 由||DA DA ,||DBDB 均为单位向量,且它们的和向量与OD 共线, 可得x 轴平分ADB ∠, 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立1x my =+和24y x =,得2440y my --=,△216(1)0m =+>恒成立.124y y m +=,124y y =-.①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ,2k , 则由ODA ODB ∠=∠得,第11页(共15页) 121221121212()()()()y y y x t y x t k k x t x t x t x t -+-+=+=---- 122112121212(1)(1)2(1)()()()()()y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----, 12122(1)()0my y t y y ∴+-+=,②联立①②,得4(1)0m t -+=,故存在1t =-满足题意,综上,在x 轴上存在一点(1,0)D -,使得x 轴平分ADB ∠, 即||||DA DB DA DB +与向量OD 共线. 8.已知圆22:(2)1M x y ++=,圆22:(2)49N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;率均存在且斜率之和为2-,证明:直线l 过定点.【解答】解:(1)由圆22:(2)1M x y ++=,可知圆心(2,0)M -,半径1;圆22:(2)49N x y -+=,圆心(2,0)N ,半径7.设动圆的半径为R ,动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切,||||1(7)8PM PN R R ∴+=++-=, 而||4NM =,由椭圆的定义可知:动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点,4为半长轴长的椭圆, 4a ∴=,2c =,22212b a c =-=.∴曲线C 的方程为2211612x y +=.第12页(共15页)(2)证明:直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为:x t =,(44)t -. 1(,)A t y ,2(,)B t y ,120y y +=.2AQ BQ k k +====-.解得t =此时直线l的方程为:x =.直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为:y kx m =+,.设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y . 联立2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化为:222(34)84480k x kmx m +++-=. 则122834km x x k +=-+,212244834m x x k -=+,12122AQ BQ y y k k x x --+=+=-,11y kx m =+,22y kx m =+.化为:1212(22)()0k x x m x x ++-+=,代入化为:k =∴直线l的方程为:y m =+.第13页(共15页)令23x =,可得23y =-.可得直线l 过定点(23,23)-.9.如图,椭圆222:1(02)4x y E b b+=<<,点(0,1)P 在短轴CD 上,且2PC PD =- (Ⅰ)求椭圆E 的方程及离心率;(Ⅱ)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA OB PA PB λ+为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.第14页(共15页)【解答】解:(Ⅰ)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,)b -,(0,)b . 又点P 的坐标为(0,1),且2PC PD =-,即212b -=-, 解得23b =.∴椭圆E 方程为22143x y +=. 221c a b =-,∴离心率12e =; (Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为1y kx =+,A ,B 的坐标分别为1(x ,1)y ,2(x ,2)y .联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(43)880k x kx ++-=. 其判别式△0>,122843k x x k -+=+,122843x x k -=+. 从而,12121212[(1)(1)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++-- 21212(1)(1)()1k x x k x x λ=+++++22228(1)(1)4342234343k k k k λλλ-++-+-==--++,第15页(共15页)当2λ=时,24223743k λλ---=-+, 即7OA OB PA PB λ+=-为定值.当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD , 此时2347OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-, 故存在常数2λ=,使得OA OB PA PB λ+为定值7-.。
圆锥曲线中的典型问题与方法:圆锥曲线的定值、定点问题
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圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上,过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB , 切点为A 、B , 求证:直线AB 恒过一定点,并求出该定点的坐标;解:设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ,x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过,的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得:082121=--ax x同理可得:222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得,又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为,2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。
解:直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为: 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
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索引
1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思想是明确的, 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等,而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点,就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
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思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变 化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与 变量无关.
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类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
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代入椭圆方程整理得 λ2(x21+3y21)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2. 又∵x21+3y21=3b2,x22+3y22=3b2, x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2=32c2-92c2+3c2=0, ∴λ2+μ2=1,故 λ2+μ2 为定值.
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又∵O→N∥a,∴13=ba22,∴a2=3b2, 故椭圆方程为 x2+3y2=3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y=x-c. 联立yx=2+x3-y2c=,3b2, 得 4x2-6cx+3c2-3b2=0. ∴x1+x2=32c,x1x2=3c2-4 3b2=38c2. 设 M(x,y),则由O→M=λO→A+μO→B可得xy==λλyx11++μμyx22,,
【高中数学】圆锥曲线中的定值与最值问题
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圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值.在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种:1、把相关几何量的变元特殊化,在特例中求出几何量的定值,再证明结论与特定状态无关.2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示,再证明结论与求参数无关.例1:过抛物线m :2y ax =(a >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ,则11p q --+的值必等于( ). A.2a B.12aC.4aD.4a解法1:(特殊值法)令直线l 与x 轴垂直,则有l :14y a=12p q a ⇒==,所以有114p q a --+=解法2:(参数法)如图1,设11(,)P x y ,22(,)Q x y 且PM ,QN 分别垂直于准线于,M N .114p PM y a ==+,214q QN y a ==+抛物线2y ax =(a >0)的焦点1(0,)4F a,准线14y a =-. ∴ l :14y kx a =+又由m l ⋂,消去x 得222168(12)10a y a k y -++=∴212122121,216k y y y y a a ++==, ∴221212221111,()4164k k p q pq y y y y a a a a +++==+++=∴114p q a --+=. 例2:过抛物线22y px =(p >0)上一定点000(,)(P x y y >0),作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y ,求证:PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,直线AB 的斜率为非零常数.【解析】设直线PA 的斜率为PA K ,直线PB 的斜率为PB K .由2112y px = 2002y px =相减得,101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PAy y p K x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得,2020202PB y y p K x x y y -==-+ 20()x x ≠由,PA PB 倾斜角互补知:PA PB K K =-∴102022p p y y y y =-++∴ 1202y y y +=-由2222y px = 2112y px =相减得,212121()()2()y y y y p x x -+=-∴ 21211200222AB y y p p p K x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数. 例3:已知定点0,0()M x y 在抛物线m :22y px =(p >0)上,动点,A B m ∈且0=•MB MA .求证:弦AB 必过一定点.【解析】设AB 所在直线方程为:x my n =+.与抛物线方程22y px =联立,消去x 得2220y pmy pn --=.设11(,)A x y ,22(,)B x y 则122y y pm +=① 122y y pn =-②由已知0=•MB MA 得,1MA MB K K =-.即102010201y y y y x x x x --=---g ③∵221010101011()()()22x x y y y y y y p p -=-=-+ 222020202011()()()22x x y y y y y y p p-=-=-+∴③式可化为1020221p py y y y =-++g ,即221201204[()]p y y y y y y =-+++.将①②代入得,002n p my x =++.直线AB 方程化为:00002()2x my p x my m y y x p =+++=+++.∴直线AB 恒过点00(2,)x p y +-.【例4】(2012·湖南)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1上的点均在圆C 2:(x -5)2+y 2=9外,且对C 1上任意一点M ,M 到直线x =-2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.(1)求曲线C 1的方程;(2)设P (x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A ,B 和C ,D .证明:当P 在直线x =-4上运动时,四点A ,B ,C ,D 的纵坐标之积为定值.[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化为根据抛物线的定义求解均可;(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物线方程联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证.(1)解 法一 设M 的坐标为(x ,y ),由已知得|x +2|=x -52+y 2-3.易知圆C 2上的点位于直线x =-2的右侧,于是x +2>0,所以x -52+y 2=x +5.化简得曲线C 1的方程为y 2=20x .法二 由题设知,曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x =-5的距离.因此,曲线C 1是以(5,0)为焦点,直线x =-5为准线的抛物线.故其方程为y 2=20x .(2)证明 当点P 在直线x =-4上运动时,P 的坐标为(-4,y 0),又y 0≠±3,则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为y -y 0=k (x +4),即kx -y +y 0+4k =0.于是|5k +y 0+4k |k 2+1=3.整理得72k 2+18y 0k +y 20-9=0.①设过P 所作的两条切线PA ,PC 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1,k 2是方程①的两个实根,故k 1+k 2=-18y 072=-y 04.②由⎩⎪⎨⎪⎧k 1x -y +y 0+4k 1=0,y 2=20x 得k 1y 2-20y +20(y 0+4k 1)=0.③设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为y 1,y 2,y 3,y 4,则y 1,y 2是方程③的两个实根,所以y 1y 2=20y 0+4k 1k 1.④同理可得y 3y 4=20y 0+4k 2k 2.⑤于是由②,④,⑤三式得y 1y 2y 3y 4=400y 0+4k 1y 0+4k 2k 1k 2=400[y 20+4k 1+k 2y 0+16k 1k 2]k 1k 2=400y 20-y 20+16k 1k 2k 1k 2=6 400.所以,当P 在直线x =-4上运动时,四点A ,B ,C ,D 的纵坐标之积为定值6 400. 【例5】已知椭圆C 的离心率3e =,长轴的左右端点分别为()1A 2,0-,()2A 2,0。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
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专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)证明:在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点,可求得,再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标,计算得。
设x轴上的定点为,可得,由定值可得需满足,解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)证明:由题意设直线的方程为,由消去y整理得,设,,要使其为定值,需满足,解得.故定点的坐标为.点睛:解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =(0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当12k =时,弦MN 的长为15. (1)求抛物线C 的标准方程;(2)过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由. 【答案】(1)24y x =;(2)直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1)可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则12MN k t t =+, 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=(1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将(1)代入()121221t t t t ⇒=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=,即可得出直线NQ 过定点.(2)设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则12211222=MN t t k t t t t -=-+, 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=; 同理: ()22:220MQ x t t y tt -++=;()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=,即11t t =(1); 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将(1)代入()121221t t t t ⇒=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=,易得直线NQ 过定点()1,4-3.【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-, P 是C 上一点,斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B (l 不过P 点),且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标;(2)记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k +的值.【答案】(1)方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0(2)120k k +=【解析】试题分析;(1)将()1,2-代入2y mx =,得4m =,可得抛物线C 的方程及其焦点坐标;(2)设直线l 的方程为y x b =-+,将它代入24y x =得22220x b x b -++=(),利用韦达定理,结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-,化简可12k k + 的值;因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-, 所以122p y y y ++=-,所以2p y =,所以1p x =,所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----, 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ,的距离为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线交椭圆C 于A B ,两点,交直线4l x =:于点P ,若1PA AF λ=,2PB BF λ=,求证: 12λλ-为定值.【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用椭圆的几何要素间的关系进行求解;(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程,得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.(Ⅱ)由题意直线AB 过点()1,0F ,且斜率存在,设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ,由()221{ 143y k x x y =-+=,消元得()22223484120k x k x k +-+-=,设()11,A x y , ()22,B x y ,则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+, 方法一:因为1PA AF λ=,所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-,且1141x x --与2241x x --异号,所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以, 12λλ-为定值0.当121x x <<时,同理可得120λλ-=. 所以, 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==,且113my my -与223my my -异号,所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时, 120λλ-=, 所以, 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系,其主要思路是联立直线和椭圆的方程,整理成关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解,因为直线AB 过点()1,0F ,在设方程时,往往设为1x my =+()0m ≠,可减少讨论该直线是否存在斜率.5.【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C : 24y x =, F 为C 的焦点,过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. (1)设l 的斜率为1,求AB ;(2)求证: OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =(2)见解析【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;(2)证明:设直线l 的方程为1x ky =+,由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=, 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v, ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v,()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-, ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6.【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析:(1)根据焦点和离心率列方程解出a ,b ,c ;(2)对于AB 有无斜率进行讨论,设出A ,B 坐标和直线方程,利用根与系数的关系和距离公式计算;有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ , 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛: 本题考查了椭圆的性质,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想,对于这类题目要掌握解题方法.设而不求,套用公式解决.7.【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =, O 为坐标原点,点(3,3M 在双曲线上.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)已知,P Q 为双曲线上不同两点,点O 在以PQ 为直径的圆上,求2211OPOQ+的值.【答案】(Ⅰ)22126x y -=;(Ⅱ) 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析:(1)根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程,代入点M 的坐标求得参数即可;(2)由条件可得OP OQ ⊥,可设出直线,OP OQ 的方程,代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
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圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式,代入直线方程即可。
技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目条件?圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质,这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论,那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型:模型一:“手电筒”模型【例题】已知椭圆C :13422=+y x 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标。
解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-, 1212122y yx x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++, 整理得:2271640m mk k ++=,解得:1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +-> 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0)7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ,则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线之定值定点问题 经典例题+题型归纳+解析
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又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
,
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
,所以直线
PQ
的斜率为定值
,该值为
21 .
方法二 设直线 PQ 的方程为 y = kx + b,
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b,所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
: xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
,且过点
A(2,1).若
P
,Q
是椭圆
C
上的两个动
点,且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴,试判断直线 PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若
不是,请说明理由.
【解析】方法一 :因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得(1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2
圆锥曲线定点定值问题方法总结
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圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线是一类受应力和形变作用的曲线,它的应用广泛,是研究几何图形的重要工具。
圆锥曲线的定点定值问题要求在任意给定的两个圆锥曲线上找到定点定值的解,而这样的解通常是难以求得的。
一般情况下,这类问题使用数学变换方法,如积分转换、限界积分转换、局部变换等。
首先,以积分变换为例,我们可以使用积分变换来求解圆锥曲线定点定值问题。
这种变换把原始曲线进行分段处理,求出每一段的积分,然后求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于,可以使用常用的数学软件解决大多数圆锥曲线定点定值问题。
其次,我们也可以使用限界积分变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换首先要将原始曲线进行分段处理,通过限界积分计算每一段的积分。
最后,用积分变换求出曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于,它可以有效节省计算时间,并且灵活性强,将积分计算公式转换成局部变量。
最后,我们还可以使用局部变换来解决圆锥曲线定点定值问题。
这种变换将原始曲线进行分段处理,将每一段的积分表示为一个局部变量函数,然后将局部变量函数进行积分,求出圆锥曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
这种方法的优点在于,使用较少的计算量可以快速地求出该曲线上特定坐标(X0,Y0)的积分。
总之,我们可以使用积分变换、限界积分变换和局部变换等数学变换方法来求解圆锥曲线定点定值问题。
这几种方法各有优缺点,需
要结合实际情况来选择合适的解决方案。
圆锥曲线定点定值问题是解决几何图形相关问题的重要方法,也是构建几何图形的基础之一,研究者需要加强对其原理性质的理解,发掘更多的实用方法。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
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七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论:“若圆锥曲线为圆,直线AB交C于A、B两点,的斜率分别为,当时,为定值,”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下:设点是圆上的一定点,过点P作x轴的
2. 当 时, 【1】化为: 。即 时,为定值,,
3.当)时,,得, ,,即 ,
,即 。 得:
; 【2】
即: 或 (因为直线AB不过点P,舍去)AB的方程为化为: 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时, 由 【2】化为: , , , 即:。(因为直线AB不过点P,舍去)或;,即 为定值.
1.当时,, , ,
,即: , ,
化为:, (因为直线AB不过点P,舍去)或。, ; 【6】AB的方程为化为: 即 由得 即当时,直线AB恒过定点( )。
2.当 时, 【6】化为:; 即当时,为定值,。
3.当时, 即, ,,即 ,
, ; 【7】 ,化为:, (因为直线AB不过点P,舍去)或。由,
2.当时,直线AB恒过定点(
3.当时,为定值
4.当时,即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点,过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论:
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时,为定值,
2.当时,直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人:某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道,圆锥曲线的很多重要结论,特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材,但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中,从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明,并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是,个别证法有相当大的难度,其证明过程也极为复杂,因此叙述也就比较详细具体。
圆锥曲线中的定点问题及解决方法
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圆锥曲线中的定点问题及解决方法全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:圆锥曲线可以说是数学中一个非常有趣且重要的概念,它是指在平面上的一条曲线,在解析几何中有着广泛的应用。
在圆锥曲线中,定点问题是一个非常常见的问题,它涉及到固定一个点或多个点,然后通过这些点来确定曲线的形状。
在本文中,我们将探讨圆锥曲线中的定点问题及其解决方法。
我们来介绍一下圆锥曲线中的常见曲线类型,包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线都可以通过圆锥截面的方式来定义,它们在平面上的形状各有特点,而且在不同领域中都有着广泛的应用。
在解决圆锥曲线中的定点问题时,我们通常采用的方法是利用几何性质和数学公式来推导和计算。
下面我们以圆锥曲线中的圆和椭圆为例,来详细介绍一下定点问题的解决方法。
我们来看看圆的定点问题。
对于圆,我们知道它的定点是圆心,通过圆心我们可以确定圆的形状和大小。
如果要确定一个圆,我们只需要确定两个点即可,其中一个是圆心,另一个是圆上的一个点,通过这两个点我们就可以确定圆的位置和形状。
在解决圆锥曲线中的定点问题时,我们可以利用圆锥曲线的方程和性质来进行推导和计算,也可以通过几何分析和图形划分来解决问题。
我们还可以通过数学软件和计算工具来进行求解,提高求解的效率和准确性。
圆锥曲线中的定点问题是一个非常有趣和有挑战性的问题,通过研究和解决这些问题,我们可以进一步了解圆锥曲线的性质和特点,提高数学分析和推理的能力。
希望本文对大家对圆锥曲线中的定点问题有所启发和帮助,欢迎大家深入研究和探讨这一领域。
谢谢!第二篇示例:圆锥曲线是平面解析几何学中的重要内容,其中的定点问题一直是学习者们所关注的重点之一。
在圆锥曲线中,定点问题涉及到曲线上或者曲线的参数方程中的某一点,通常需要通过计算或者推导来确定这一点的具体位置或者性质。
在本文中,将讨论圆锥曲线中的定点问题及解决方法。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线以及抛物线四种类型,每种类型都有其特定的定点问题。
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
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圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线(含直线)过定点的问题;会证明与曲线上动点有关的定值问题;会按条件建“几何法”求某些量的最值.一、主要知识及主要方法:1.观题形式出现,特殊方法往往比较奏效。
2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线(曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足的方程(组),求出相应的直线(或曲线),然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决。
3.解析几何的最值和范围问题,一般先根据条件列出所求目标的函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.二、精选例题分析【举例1】 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥.(Ⅰ)求AOB △得重心G 的轨迹方程;(Ⅱ)AOB △的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.【举例2】已知椭圆22142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ⎛ ⎝⎭,F 为椭圆的左焦点,且PF ,MF ,QF 成等差数列.()1求证:线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ;()2设点A 关于原点O 的对称点是B ,求PB 的最小值及相应的P 点坐标.【举例3】(06全国Ⅱ改编)已知抛物线24x y =的焦点为F ,A 、B 是抛物线上的两动点,且AF FB λ=(0λ>).过A 、B 两点分别作抛物线的切线(切线斜率分别为0.5x A ,0.5x B ),设其交点为M 。
(Ⅰ)证明FM AB ⋅为定值;(Ⅱ)设ABM △的面积为S ,写出()S f λ=的表达式,并求S 的最小值.问题4.直线m :1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点,直线l 过点()2,0P -和线段AB 的中点M ,求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.(四)课后作业:1.已知椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为F ,过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点,若有2BF AF =,求椭圆离心率的取值范围.2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB求证:AB 交抛物线的对称轴上一定点.F B C1A 1B 1C B C A3.如图,在双曲线2211213y x -=的上支上有三点()11,A x y , ()2,6B x ,()33,C x y ,它们与点()0,5F 的距离成等差数列.()1求13y y +的值;()2证明:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.(六)走向高考:1.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ,双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点,而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.(Ⅰ)求双曲线2C 的方程;(Ⅱ)若直线l :y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点,且l 与2C 的两个交点A 和B满足6<⋅OB OA (其中O 为原点),求k 的取值范围.2.(06江西)P 是双曲线221916x y -=的右支上一点,,M N 分别是圆()2254x y ++= 和()2251x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为.A 6 .B 7 .C 8 .D 93.(07重庆)如图,中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ,右准线l 的方程为:12x =.()1求椭圆的方程;()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ,使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠证明:123111FP FP FP ++为定值,并求此定值.4.(05全国Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OA OB +与(3,1)a =-共线。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)
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圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E :x +1 2+y 2=16,点F 1,0 ,G 是圆E 上任意一点,线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程;(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l :x =4交于P ,Q ,已知点A 2,0 ,且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有,请求出定点;如果没有,请说明理由.2已知点A (2,0),B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程;(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B ),过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ,当P 是CQ 中点时,证明.直线l 过定点.2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题(解析版)3如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B .左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为22,点M (2,1)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知P ,Q 是椭圆C 上两动点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,k 1=2k 2.过点B 作直线PQ 的垂线,垂足为H .问:在平面内是否存在定点T ,使得TH 为定值,若存在,求出点T 的坐标;若不存在,试说明理由.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,A ,B 分别是C 的右、上顶点,且AB =7,D 是C 上一点,△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程;(2)C 的弦DE 过F 1,直线AE ,AD 分别交直线x =-4于M ,N 两点,P 是线段MN 的中点,证明:以PD 为直径的圆过定点.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3.(1)求△APQ 的内心坐标;(2)是否存在定点D ,使过点D 的直线l 交C 于M ,N ,交PQ 于点R ,且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN 若存在,求出该定点坐标,若不存在,请说明理由.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点,E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程;(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点,若直线PA ,PB 的斜率和为1,证明:直线y =kx +t 过定点,并求该定点的坐标.2双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点,且△ABD是直角三角形.(1)求双曲线C的方程;(2)已知M,N是C上不同的两点,MN中点的横坐标为2,且MN的中垂线为直线l,是否存在半径为1的定圆E,使得l被圆E截得的弦长为定值,若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点,右顶点分别为F,A,B0,b,AF=1,点M在线段AB上,且满足BM=3MA,直线OM的斜率为1,O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程.(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得EP⋅FQ=EQ⋅FP恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线,且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知点D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ·DF =0,DG ⊥EF 于点G ,证明:存在定点H ,使GH 为定值.5已知双曲线C :x 2-y 2b2=1b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2.设过F 2的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限.(1)求C 的标准方程;(2)若直线AP 、AQ 分别交直线x =12于M 、N 两点,证明:MF 2 ⋅NF 2 为定值;(3)是否存在常数λ,使得∠PF 2A =λ∠PAF 2恒成立?若存在,求出λ的值;否则,说明理由.三、抛物线定点问题1已知动圆M 恒过定点F 0,18 ,圆心M 到直线y =-14的距离为d ,d =MF +18.(1)求M 点的轨迹C 的方程;(2)过直线y =x -1上的动点Q 作C 的两条切线l 1,l 2,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 恒过定点.2已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:(x +1)2+y 2=2,倾斜角为45°的直线l 1过C 1焦点,且l 1与C 2相切.(1)求抛物线C 1的方程;(2)动点M 在C 1的准线上,动点A 在C 1上,若C 1在点A 处的切线l 2交y 轴于点B ,设MN =MA +MB ,证明点N 在定直线上,并求该定直线的方程.3已知直线l1:x-y+1=0过椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左焦点,且与抛物线M:y2=2px(p>0)相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A,B两点,直线OA,OB与椭圆的过右顶点的切线交于M,N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P,若存在,求出定点P的坐标;若不存在,请说明理由.4在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过点F(0,1),且与直线y=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)P为直线l:y=y0y0<0上一个动点,过点P作曲线Γ的切线,切点分别为A,B,过点P作AB的垂线,垂足为H,是否存在实数y0,使点P在直线l上移动时,垂足H恒为定点?若不存在,说明理由;若存在,求出y0的值,并求定点H的坐标.5已知抛物线C :y 2=2px p >0 ,直线x +y +1=0与抛物线C 只有1个公共点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线y =k x -p 2与曲线C 交于A ,B 两点,直线OA ,OB 与直线x =1分别交于M ,N 两点,试判断以MN 为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.四、椭圆定值问题1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12,短轴长为23.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知经过定点P 1,1 的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且与直线y =-34x 相交于点Q ,如果AQ =λAP ,QB =μPB ,那么λ+μ是否为定值?若是,请求出具体数值;若不是,请说明理由.2在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中,其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ:x 2+y 2=a 2+b 2上,称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22,Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ,作椭圆的一条切线,与蒙日圆交于另一点N ,若k OM ,k ON 存在,证明:k OM ⋅k ON 为定值.3已知O 为坐标原点,定点F 1-1,0 ,F 21,0 ,圆O :x 2+y 2=2,M 是圆内或圆上一动点,圆O 与以线段F 2M 为直径的圆O 1内切.(1)求动点M 的轨迹方程;(2)设M 的轨迹为曲线E ,若直线l 与曲线E 相切,过点F 2作直线l 的垂线,垂足为N ,证明:ON 为定值.4设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点M 2,1 ,且左焦点为F 1-2,0 .(1)求椭圆E 的方程;(2)△ABC 内接于椭圆E ,过点P 4,1 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ,与BC 交于点Q ,满足AP QD =AQ PD ,证明:△PBC 面积为定值,并求出该定值.5椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F (1,0),离心率为12.(1)求椭圆C 的方程;(2)过F 且斜率为1的直线交椭圆于M ,N 两点,P 是直线x =4上任意一点.求证:直线PM ,PF ,PN 的斜率成等差数列.五、双曲线定值问题1在平面直角坐标系xOy中,圆F1:x+22+y2=4,F22,0,P是圆F1上的一个动点,线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M.记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点H,求证:ABF2H为定值.2已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2).(1)求k的取值范围;(2)记直线P1A1的斜率为k1,直线P2A2的斜率为k2,那么k1k2是定值吗?证明你的结论.3已知P 是圆C :(x +2)2+y 2=12上一动点,定点M (2,0),线段PM 的垂直平分线n 与直线PC 交于点T ,记点T 的轨迹为C .(1)求C 的方程;(2)若直线l 与曲线C 恰有一个共点,且l 与直线l 1:y =33x ,l 2:y =-33x 分别交于A 、B 两点,△OAB 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±34x ,焦距为10,A 1,A 2为其左右顶点.(1)求C 的方程;(2)设点P 是直线l :x =2上的任意一点,直线PA 1、PA 2分别交双曲线C 于点M 、N ,A 2Q ⊥MN ,垂足为Q ,求证:存在定点R ,使得QR 是定值.5已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P2,26在C上,且双曲线C的渐近线与圆x2+y2-6y+8=0相切.(1)求双曲线C的方程;(2)若过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,Q为x轴上一点,满足QA=QB,试问AF1+BF1-4QF2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.六、抛物线定值问题1已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M(M在第一象限),MN⊥l,垂足为N,直线NF交x轴于点D,MD=43.(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切,切点为G,平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点,且∠PGQ=π2,点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.2已知抛物线C1:y2=2px p>0到焦点的距离为3.上一点Q1,a(1)求a,p的值;(2)设P为直线x=-1上除-1,-3两点外的任意一点,过P作圆C2:x-2,-1,32+y2=3的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D,试判断A,B,C,D四点纵坐标之积是否为定值?若是,求该定值;若不是,请说明理由.3已知点F是抛物线C:y2=2px p>0的焦点,纵坐标为2的点N在C上,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,DE=23.(1)求抛物线C的方程;(2)过-1,0作直线l与抛物线C交于A,B,求k NA+k NB的值.4贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试,提出了De Casteljau 算法:已知三个定点,根据对应的比例,使用递推画法,可以画出地物线.反之,已知抛物线上三点的切线,也有相应成比例的结论.如图所示,抛物线Γ:x 2=2py ,其中p >0为一给定的实数.(1)写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程;(2)若直线l :y =kx -2pk +2p 与抛物线只有一个公共点,求实数k 的值;(3)如图,A ,B ,C 是H 上不同的三点,过三点的三条切线分别两两交于点D ,E ,F ,证明:|AD ||DE |=|EF ||FC |=|DB ||BF |.5已知点A 为直线l :x +1=0上的动点,过点A 作射线AP (点P 位于直线l 的右侧)使得AP ⊥l ,F 1,0 ,设线段AF 的中点为B ,设直线PB 与x 轴的交点为T ,PF =TF .(1)求动点P 的轨迹C 的方程.(2)设过点Q 0,2 的两条射线分别与曲线C 交于点M ,N ,设直线QM ,QN 的斜率分别为k 1,k 2,若1k 1+1k 2=2,请判断直线MN 的斜率是否为定值以及其是否过定点,若斜率为定值,请计算出定值;若过定点,请计算出定点.七、椭圆定直线问题1椭圆E的方程为x24+y28=1,左、右顶点分别为A-2,0,B2,0,点P为椭圆E上的点,且在第一象限,直线l过点P(1)若直线l分别交x,y轴于C,D两点,若PD=2,求PC的长;(2)若直线l过点-1,0,且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,试问点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,说明理由.2已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是椭圆,求m的取值范围.(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N.设直线AN与直线BM相交于点G.试问点G是否在定直线上?若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 过点M 263,63 ,且离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :y =x +m 与椭圆C 交y 轴右侧于不同的两点A ,B ,试问:△MAB 的内心是否在一条定直线上?若是,请求出该直线方程;若不是,请说明理由.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点Q 1,32 ,且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 1,2 的直线l 交C 于A 、B 两点时,在线段AB 上取点M ,满足AP ⋅MB =AM ⋅PB ,证明:点M 总在某定直线上.5椭圆E的中心为坐标原点,坐标轴为对称轴,左、右顶点分别为A-2,0,B2,0,点1,6在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)过点-1,0的直线l与椭圆E交于P,Q两点(异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,试问点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由.八、双曲线定直线问题1如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x24-y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2,从F2发出的光线经过图2中的A、B两点反射后,分别经过点C和D,且tan∠CAB=-34,AB⊥BD.(1)求双曲线E的方程;(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点,若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点,试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上?若存在,请求出该定直线方程;如不存在,请说明理由.2已知曲线C上的动点P满足|PF1|-|PF2|=2,且F1-2,0,F22,0.(1)求C的方程;(2)若直线AB与C交于A、B两点,过A、B分别做C的切线,两切线交于点P .在以下两个条件①②中选择一个条件,证明另外一个条件成立.①直线AB经过定点M4,0;②点P 在定直线x=14上.3已知点(2,3)在双曲线C:x2a2-y2a2+2=1上.(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点,其中O为坐标原点,求证:△AOB的面积S 是定值;(2)已知点P12,1,过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点H,满足PMPN=MHHN,证明:点H恒在一条定直线上.4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 经过点D 4,3 ,直线l 1、l 2分别是双曲线C 的渐近线,过D 分别作l 1和l 2的平行线l 1和l 2,直线l 1交x 轴于点M ,直线l 2交y 轴于点N ,且OM ⋅ON =23(O 是坐标原点)(1)求双曲线C 的方程;(2)设A 1、A 2分别是双曲线C 的左、右顶点,过右焦点F 的直线交双曲线C 于P 、Q 两个不同点,直线A 1P 与A 2Q 相交于点G ,证明:点G 在定直线上.5已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2,过点E 1,0 的直线l 与C 左右两支分别交于M ,N 两个不同的点(异于顶点).(1)若点P 为线段MN 的中点,求直线OP 与直线MN 斜率之积(O 为坐标原点);(2)若A ,B 为双曲线的左右顶点,且AB =4,试判断直线AN 与直线BM 的交点G 是否在定直线上,若是,求出该定直线,若不是,请说明理由九、抛物线定直线问题1过抛物线x 2=2py (p >0)内部一点P m ,n 作任意两条直线AB ,CD ,如图所示,连接AC ,BD 延长交于点Q ,当P 为焦点并且AB ⊥CD 时,四边形ACBD 面积的最小值为32(1)求抛物线的方程;(2)若点P 1,1 ,证明Q 在定直线上运动,并求出定直线方程.2已知抛物线E :y 2=2px p >0 ,过点-1,0 的两条直线l 1、l 2分别交E 于A 、B 两点和C 、D 两点.当l 1的斜率为12时,AB =210.(1)求E 的标准方程;(2)设G 为直线AD 与BC 的交点,证明:点G 在定直线上.3已知抛物线C 1:x 2=2py (p >0)和圆C 2:x +1 2+y 2=2,倾斜角为45°的直线l 1过C 1的焦点且与C 2相切.(1)求p 的值:(2)点M 在C 1的准线上,动点A 在C 1上,C 1在A 点处的切线l 2交y 轴于点B ,设MN =MA +MB,求证:点N 在定直线上,并求该定直线的方程.4已知拋物线x 2=4y ,P 为拋物线外一点,过P 点作抛物线的切线交抛物线于A ,B 两点,交x 轴于M ,N 两点.(1)若P -1,-2 ,设△OAB 的面积为S 1,△PMN 的面积为S 2,求S 1S 2的值;(2)若P x 0,y 0 ,求证:△PMN 的垂心H 在定直线上.5已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=2x+1与C交于A,B两点且|AF|+|BF|= 20.(1)求C的方程.(2)若直线m:y=2x+t(t≠1)与C交于M,N两点,且AM与BN相交于点T,证明:点T在定直线上.圆锥曲线中的定点、定值和定直线问题一、椭圆定点问题1已知圆E :x +1 2+y 2=16,点F 1,0 ,G 是圆E 上任意一点,线段GF 的垂直平分线和半径GE 相交于H(1)求动点H 的轨迹Γ的方程;(2)经过点F 和T 7,0 的圆与直线l :x =4交于P ,Q ,已知点A 2,0 ,且AP 、AQ 分别与Γ交于M 、N .试探究直线MN 是否经过定点.如果有,请求出定点;如果没有,请说明理由.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)经过定点,定点坐标为1,0 【分析】(1)利用椭圆的定义即可求出动点H 的轨迹Γ的方程;(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,直线MN 的方程为:x =my +n ,与椭圆方程联立,根据韦达定理列出x 1,y 1,x 2,y 2之间的关系,再利用两点式写出直线MA 的方程,求出点P 4,2y 1x 1-2 ,Q 4,2y 2x 2-2,再写出以PQ 为直径的圆的方程,根据圆的方程经过点T 7,0 ,得到关系式,进而求得n 为定值,从而得到直线MN 过定点.【详解】(1)如图所示,∵HE +HF =HE +HG =4,且EF =2<4,∴点H 的轨迹是以E ,F 为焦点的椭圆,设椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1,则2a =4,c =1,∴a =2,b =a 2-c 2= 3.所以点H 的轨迹方程为:x 24+y 23=1.(2)设直线MN 的方程为:x =my +n ,由x 24+y 23=1x =my +n ,得3m 2+4 y 2+6mny +3n 2-12=0设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-6mn 3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4.所以,x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 3m 2+4,x 1x 2=my 1+n my 2+n =-12m 2+4n 23m 2+4因为直线MA 的方程为:y =y 1x 1-2x -2 ,令x =4,得y P =2y 1x 1-2,所以,P 4,2y 1x1-2 ,同理可得Q 4,2y 2x 2-2,以PQ 为直径的圆的方程为:x -4 2+y -2y 1x 1-2 y -2y 2x 2-2=0,即x -4 2+y 2-2y 1x 1-2+2y 2x 2-2y +2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0,因为圆过点7,0 ,所以,9+2y 1x 1-2×2y 2x 2-2=0,得9+4y 1y 2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=0,代入得9+12n 2-483m 2+4-12m 2+4n 23m 2+4-16n3m 2+4+4=0,化简得,9+12n 2-484n 2-16n +16=04n 2-16n +16≠0,n ≠2 ,解得n =1或n =2(舍去),所以直线MN 经过定点1,0 ,当直线MN 的斜率为0时,此时直线MN 与x 轴重合,直线MN 经过点1,0 ,综上所述,直线MN 经过定点1,0 .2已知点A (2,0),B -65,-45 在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆M 的方程;(2)直线l 与椭圆M 交于C ,D 两个不同的点(异于A ,B ),过C 作x 轴的垂线分别交直线AB ,AD 于点P ,Q ,当P 是CQ 中点时,证明.直线l 过定点.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程;(2)设出CD 方程,结合韦达定理和P 是CQ 中点的条件,找到直线CD 中两个参数的关系,从而求出定点.【详解】(1)由题知a =2,又椭圆经过B -65,-45 ,代入可得14-652+1b2-452=1,解得b 2=1,故椭圆的方程为:x 24+y 2=1(2)由题意知,当l ⊥x 轴时,不符合题意,故l 的斜率存在,设l 的方程为y =kx +m ,联立y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0,则Δ=64k 2m 2-16m 2-1 4k 2+1 =164k 2-m 2+1 >0,即4k 2+1>m 2设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1AB 的方程为y =14(x -2),令x =x 1得P x 1,x 1-24 ,AD 的方程为y =y 2x 2-2(x -2),令x =x 1得Q x 1,x 1-2x 2-2y 2,由P 是CQ 中点,得x 1-22=y 1+x 1-2x 2-2⋅y 2,即y 1x 1-2+y 2x 2-2=12,即kx 1+m x 2-2 +kx 2+m x 1-2 =12x 1x 2-2x 1+x 2 +4 ,即(1-4k )x 1x 2+(4k -2m -2)x 1+x 2 +4+8m =0,即4m 2+(16k +8)m +16k 2+16k =0,所以(m +2k )(m +2k +2)=0,得m =-2k -2或m =-2k ,当m =-2k -2,此时由Δ>0,得k <-38,符合题意;当m =-2k ,此时直线l 经过点A ,与题意不符,舍去.所以l 的方程为y =kx -2k -2,即y =k (x -2)-2,所以l 过定点(2,-2).3如图,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B .左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为22,点M (2,1)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知P ,Q 是椭圆C 上两动点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,k 1=2k 2.过点B 作直线PQ 的垂线,垂足为H .问:在平面内是否存在定点T ,使得TH 为定值,若存在,求出点T 的坐标;若不存在,试说明理由.【答案】(1)C :x 24+y 22=1;(2)存在定点T 23,0 使TH 为定值,理由见解析.【分析】(1)根据离心率,椭圆上点及参数关系列方程组求a ,b ,c ,即可得椭圆方程;(2)根据题意设BQ :y =k (x -2),AP :y =2k (x +2),联立椭圆方程求P ,Q 坐标,判断直线PQ 过定点,结合BH ⊥PQ 于H 确定H 轨迹,进而可得定点使得TH 为定值.【详解】(1)由题意c a =222a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2,可得a 2=4b 2=c 2=2 ,则椭圆方程为C :x 24+y 22=1;(2)若直线BQ 斜率为k ,则直线AP 斜率为2k ,而A (-2,0),B (2,0),所以BQ :y =k (x -2),AP :y =2k (x +2),联立BQ 与椭圆C ,则x 2+2k 2(x -2)2=4,整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-4=0,所以2x Q =8k 2-41+2k 2,则x Q =4k 2-21+2k 2,故y Q =-4k1+2k 2,联立AP 与椭圆C ,则x 2+8k 2(x +2)2=4,整理得(1+8k 2)x 2+32k 2x +32k 2-4=0,所以-2x P =32k 2-41+8k 2,则x P =2-16k 21+8k 2,故y P=8k 1+8k 2,综上,x Q -x P =4k 2-21+2k 2-2-16k 21+8k 2=64k 4-4(1+8k 2)(1+2k 2),y Q -y P =-4k 1+2k 2-8k 1+8k 2=-12k +48k 31+8k 2 1+2k 2,当64k 4-4≠0,即k ≠±12时,k PQ =12k (1+4k 2)4(1-16k 4)=3k1-4k 2,此时PQ :y +4k 1+2k 2=3k 1-4k 2x +2-4k 21+2k 2=3k 1-4k 2x +6k -12k 3(1+2k 2)(1-4k 2),所以PQ :y =3k 1-4k 2x +2k 1-4k 2=k 1-4k 2(3x +2),即直线PQ 过定点-23,0 ;当64k 4-4=0,即k =±12时,若k =12,则x Q =-23且y Q =-43,x P =-23且y P =43,故直线PQ 过定点-23,0 ;若k =-12,则x Q =-23且y Q =43,x P =-23且y P =-43,故直线PQ 过定点-23,0 ;综上,直线PQ 过定点M -23,0 ,又BH ⊥PQ 于H ,易知H 轨迹是以BM 为直径的圆上,故BM 的中点23,0 到H 的距离为定值,所以,所求定点T 为23,0 .【点睛】关键点点睛:第二问,设直线BQ ,AP 联立椭圆,结合韦达定理求点P ,Q 坐标,再写出直线PQ 方程判断其过定点是关键.4已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,A ,B 分别是C 的右、上顶点,且AB =7,D 是C 上一点,△BF 2D 周长的最大值为8.(1)求C 的方程;(2)C 的弦DE 过F 1,直线AE ,AD 分别交直线x =-4于M ,N 两点,P 是线段MN 的中点,证明:以PD 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)证明见解析.【分析】(1)根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可;(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线DE :x =my -1,联立直线与椭圆的方程,根据过两点圆的方程,结合图形的对称性可得定点在x 轴上,代入韦达定理求解即可.【详解】(1)依题意,a 2+b 2=7,△BF 2D 周长DB +DF 2 +a =DB +2a -DF 1 +a ≤BF 1 +3a =4a ,当且仅当B ,F 1,D 三点共线时等号成立,故4a =8,所以a 2=4,b 2=3,所以C 的方程x 24+y 23=1;(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线DE :x =my -1,代入x 24+y 23=1,整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0,Δ=36m 2+363m 2+4 >0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,易知AD :y =y 1x 1-2x -2 ,令x =-4,得N -4,-6y 1x 1-2 ,同得M -4,-6y 2x 2-2,从而中点P -4,-3y 1x 1-2+y 2x 2-2,以PD 为直径的圆为x +4 x -x 1 +y +3y 1x 1-2+y 2x 2-2y -y 1 =0,由对称性可知,定点必在x 轴上,令y =0得,x +4 x -x 1 -3y 1y 1x 1-2+y 2x 2-2=0,y 1x 1-2+y 2x 2-2=y 1my 1-3+y 2my 2-3=2my 1y 2-3y 1+y 2 m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-18m3m 2+4-18m 3m 2+4-9m 23m 2+4-18m 23m 2+4+9=-36m36=-m ,所以x +4 x -x 1 +3my 1=0,即x 2+4-x 1 x -4x 1+3my 1=0,因为x 1=my 1-1,所以x 2+5-my 1 x -my 1+4=0,即x +1 x -my 1+4 =0,解得x =-1,所以圆过定点-1,0 .【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,必要时计算Δ;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2,x 1x 2(或y 1+y 2,y 1y 2)的形式;(5)代入韦达定理求解.5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,过右焦点F 且平行于y 轴的弦PQ =AF =3.(1)求△APQ 的内心坐标;(2)是否存在定点D ,使过点D 的直线l 交C 于M ,N ,交PQ 于点R ,且满足MR ⋅ND =MD ⋅RN若存在,求出该定点坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)7-354,0 (2)存在定点D (4,0)【分析】(1)由题意,根据椭圆的定义以及a 2=b 2+c 2,列出等式即可求出椭圆C 的方程,判断△APQ 的内心在x 轴,设直线PT 平分∠APQ ,交x 轴于点T ,此时T 为△APQ 的内心,进行求解即可;(2)设直线l 方程为y =k (x -t ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),将直线l 的方程与椭圆方程联立,得到根的判别式大于零,由点M 、R 、N 、D 均在直线l 上,得到MR ⋅ND =MD ⋅RN,此时2t -(1+t )(x 1+x 2)+2x 1x 2=0,结合韦达定理求出t =4,可得存在定点D (4,0)满足题意.【详解】(1)∵a 2=b 2+c 2,2b 2a=a +c =3∴a =2,b =3,c =1∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1,不妨取P 1,32 ,Q 1,-32 ,A (-2,0),则AP =352,PF =32;因为△APQ 中,AP =AQ ,所以△APQ 的内心在x 轴,设直线PT 平分∠APQ ,交x 轴于T ,则T 为△APQ 的内心,且AT TF =AP PF =5=AT 3-AT ,所以AT =355+1,则T 7-354,0 ;(2)∵椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称.若存在定点D ,则点D 必在x 轴上∴设D (t ,0)当直线l 斜率存在时,设方程为y =k (x -t ),M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,直线方程与椭圆方程联立y =k (x -t )x 24+y 23=1,消去y 得4k 2+3 x 2-8k 2tx +4k 2t 2-3 =0,则Δ=48k 2+3-k 2t 2>0,x 1+x 2=8k 2t4k 2+3,x 1x 2=4k 2t 2-3 4k 2+3①∵点R 的横坐标为1,M 、R 、N 、D 均在直线l 上,MR ⋅ND =MD ⋅RN∴1+k 2 1-x 1 t -x 2 =1+k 2 t -x 1 x 2-1∴2t -(1+t )x 1+x 2 +2x 1x 2=0∴2t -(1+t )8k 2t 4k 2+3+2×4k 2t 2-3 4k 2+3=0,整理得t =4,因为点D 在椭圆外,则直线l 的斜率必存在.∴存在定点D (4,0)满足题意【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法:①探索曲线过定点时,可设出曲线方程,然后利用条件建立等量关系进行消元,借助于曲线系的思想找出定点,或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.二、双曲线定点问题1已知点P 4,3 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上一点,E 的左焦点F 1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线E 的标准方程;(2)不过点P 的直线y =kx +t 与双曲线E 交于A ,B 两点,若直线PA ,PB 的斜率和为1,证明:直线y =kx +t 过定点,并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)证明见解析,定点为(-2,3).【分析】(1)由点到直线的距离公式求出b =3,再将点P 4,3 代入双曲线方程求出a 2=4,可得双曲线E 的标准方程;(2)联立直线与双曲线方程,利用韦达定理得x 1+x 2、x 1x 2,再根据斜率和为1列式,推出t =2k +3,从而可得直线y =kx +t 过定点(-2,3).【详解】(1)设F 1(-c ,0)(c >0)到渐近线y =bax ,即bx -ay =0的距离为3,则3=|-bc |b 2+a2,结合a 2+b 2=c 2得b =3,又P (4,3)在双曲线x 2a 2-y 23=1上,所以16a2-93=1,得a 2=4,所以双曲线E 的标准方程为x 24-y 23=1.(2)联立y =kx +tx 24-y 23=1,消去y 并整理得3-4k 2 x 2-8ktx -4t 2-12=0,则3-4k 2≠0,Δ=64k 2t 2+4(3-4k 2)(4t 2+12)>0,即t 2+3>4k 2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=8kt 3-4k 2,x 1x 2=-4t 2+123-4k 2,则k PA +k PB =y 1-3x 1-4+y 2-3x 2-4=kx 1+t -3x 1-4+kx 2+t -3x 2-4=kx 1+t -3 x 2-4 +kx 2+t -3 x 1-4 x 1-4 x 2-4=2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24x 1x 2-4(x 1+x 2)+16=1,所以2kx 1x 2+t -4k -3 x 1+x 2 -8t +24=x 1x 2-4(x 1+x 2)+16,所以2k -1 x 1x 2+t -4k +1 x 1+x 2 -8t +8=0,所以-2k -1 4t2+123-4k 2+t -4k +1 ⋅8kt3-4k2-8t +8=0,整理得t 2-6k +2kt -6t -8k 2+9=0,所以(t -3)2+2k (t -3)-8k 2=0,所以t -3-2k t -3+4k =0,因为直线y =kx +t 不过P (4,3),即3≠4k +t ,t -3+4k ≠0,所以t -3-2k =0,即t =2k +3,所以直线y =kx +t =kx +2k +3,即y -3=k (x +2)过定点(-2,3).【点睛】关键点点睛:利用韦达定理和斜率公式推出t =2k +3是解题关键.2双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ,焦距为4,过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点,且△ABD 是直角三角形.(1)求双曲线C 的方程;(2)已知M ,N 是C 上不同的两点,MN 中点的横坐标为2,且MN 的中垂线为直线l ,是否存在半径为1的定圆E ,使得l 被圆E 截得的弦长为定值,若存在,求出圆E 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在,E :(x -8)2+y 2=1【分析】(1)根据双曲线的性质,结合△ABD 是等腰直角三角形的性质,列出关系式即可求解双曲线方程;(2)首先利用点差法求出直线l 所过的定点,即可求出定圆的方程.【详解】(1)依题意,∠BAD =90°,焦半径c =2,当x =c 时,c 2a 2-y 2b 2=1,得y 2=b 2c 2a 2-1=b 4a2,即y =±b 2a ,所以BF =b 2a ,由AF =BF ,得a +c =b 2a,得a 2+2a =22-a 2,解得:a =1(其中a =-2<0舍去),所以b 2=c 2-a 2=4-1=3,故双曲线C 的方程为x 2-y 23=1;(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,MN 的中点为Q x 0,y 0 因为M ,N 是C 上不同的两点,MN 中点的横坐标为2.所以x 21-y 213=1,①x 22-y 223=1,②x 0=x 1+x 22=2,③y 0=y 1+y 22,④.①-②得x 1+x 2 x 1-x 2 -y 1+y 2 y 1-y 23=0,当k MN 存在时,k MN =y 1-y2x 1-x 2=3x 1+x 2 y 1+y 2=3×42y 0=6y 0,因为MN 的中垂线为直线l ,所以y -y 0=-y 06x -2 ,即l :y =-y 06x -8 ,所以l 过定点T 8,0 .当k MN 不存在时,M ,N 关于x 轴对称,MN 的中垂线l 为x 轴,此时l 也过T 8,0 ,所以存在以8,0 为圆心的定圆E :(x -8)2+y 2=1,使得l 被圆E 截得的弦长为定值2.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与双曲线相交的综合应用,本题的关键是求得直线所过的定点,因为半径为1,所以定圆圆心为定点,弦长就是直径.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点,右顶点分别为F ,A ,B 0,b ,AF =1,点M 在线段AB 上,且满足BM =3MA ,直线OM 的斜率为1,O 为坐标原点.(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线l 与双曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,在x 轴上是否存在与F 不同的定点E ,使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1(2)存在,E 12,0 【分析】(1)由AF =1,BM =3MA ,直线OM 的斜率为1,求得a ,b ,c 之间的关系式,解得a ,b 的值,进而求出双曲线的方程;(2)设直线PQ 的方程,与双曲线的方程联立,可得两根之和及两根之积,由等式成立,可得EF 为∠PEQ 的角平分线,可得直线EP ,EQ 的斜率之和为0,整理可得参数的值,即求出E 的坐标.【详解】(1)设c 2=a 2+b 2c >0 ,所以F c ,0 ,A a ,0 ,B 0,b ,因为点M 在线段AB 上,且满足BM =3MA ,所以点M 33+1a ,13+1b,因为直线OM 的斜率为1,所以13+1b 33+1a =1,所以ba=3,因为AF =1,所以c -a =1,解得a =1,b =3,c =2.所以双曲线C 的方程为x 2-y 23=1.(2)假设在x 轴上存在与F 不同的定点E ,使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立,当直线l 的斜率不存在时,E 在x 轴上任意位置,都有EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ;当直线l 的斜率存在且不为0时,设E t ,0 ,直线l 的方程为x =ky +2,直线l 与双曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,则-33<k <33且k ≠0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x 2-y 23=1x =ky +2 ,得3k 2-1 y 2+12ky +9=0,3k 2-1≠0,Δ=36k 2+36>0,所以y 1+y 2=-12k 3k 2-1,y 1y 2=93k 2-1,因为EP ⋅FQ =EQ ⋅FP ,即EP EQ=FP FQ,所以EF 平分∠PEQ ,k EP +k EQ =0,有y 1x 1-t +y 2x 2-t =0,即y 1ky 1+2-t +y 2ky 2+2-t=0,得2ky 1y 2+2-t y 1+y 2 =0,所以2k93k 2-1+2-t -12k 3k 2-1=0,由k ≠0,解得t =12.综上所述,存在与F 不同的定点E ,使得EP ⋅FQ =EQ ⋅FP 恒成立,且E 12,0.【点睛】方法点睛:解答直线与双曲线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x (或y )建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系,涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形,要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.4已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线,且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程;(2)已知点D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ·DF=0,DG ⊥EF 于点G ,证明:存在定点H ,使GH 为定值.【答案】(1)x 24-y 2=1;(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件,设出双曲线C 的方程,再将点A 的坐标代入求解作答.(2)当直线EF 斜率存在时,设出其方程并与双曲线C 的方程联立,由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线EF 过定点,再验证斜率不存在的情况,进而推理判断作答.【详解】(1)依题意,设双曲线C 的方程为x 212-y 23=λ(λ≠0),而点A (22,-1)在双曲线C 上,于是λ=(22)212-(-1)23=13,双曲线C 的方程为x 212-y 23=13,即x 24-y 2=1,所以双曲线C 的标准方程为x24-y 2=1.(2)当直线EF 斜率存在时,设直线EF 的方程为:y =kx +m ,设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,由y =kx +mx 2-4y 2=4消去y 并整理得4k 2-1 x 2+8kmx +4m 2+1 =0,有4k 2-1≠0,且Δ=(8km )2-16(m 2+1)(4k 2-1)>0,即4k 2-1≠0且4k 2-m 2-1<0,有x 1+x 2=-8km 4k 2-1,x 1x 2=4m 2+44k 2-1,又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,DE =(x 1-2,y 1),DF =(x 2-2,y 2),由DE ·DF =0,得x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0,整理得k 2+1 ⋅x 1x 2+(km -2)⋅x 1+x 2 +m 2+4=0,于是k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+(km -2)⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0,化简得3m 2+16km +20k 2=0,即(3m +10k )(m +2k )=0,解得m =-2k 或m =-103k ,均满足条件,当m =-2k 时,直线EF 的方程为y =k (x -2),直线EF 过定点(2,0),与已知矛盾,当m =-103k 时,直线EF 的方程为y =k x -103 ,直线EF 过定点M 103,0 ;当直线EF 的斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE 的方程为:y =x -2,。
圆锥曲线定点定值问题方法总结
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圆锥曲线定点定值问题方法总结
圆锥曲线定点定值问题是复变函数理论中的一个重要研究话题,其研究具有重要的理论意义和实用价值。
近年来,以Wolfgang Schneider为首的复变函数研究人员在此领域取得了众多的研究成果,发现了大量的新思想、模型和方法,他们的成果在数学研究上得到了广泛的认可和应用。
本文通过对近年来国内外研究者研究成果的分析,从三个方面总结了圆锥曲线定点定值问题的研究方法。
首先,对圆锥曲线定点定值问题的定义和基本特性进行了归纳总结,将它归纳为一般性的一类问题。
其次,分析和总结了现有研究方法,如统计解析方法(Sanov-Kilmov技术)、可化简技术和分析技术等,为解决这一类复杂问题提供了参考依据。
最后,介绍了近年来取得的一些研究成果,重点综述了圆锥曲线等数学模型的建模和应用,以及研究中使用的新方法,如拉格朗日变换、Hilbert空间和维数空间理论等。
总之,近年来,在 Wolfgan Schneider和其他研究者共同努力下,圆锥曲线定点定值问题的研究取得了重大进展,这一领域的研究提供了理论支持和可行性方案,为进一步探索复变函数理论、开发新数学模型和解决复杂问题提供了有益的借鉴。
本文的研究成果可以作为今后研究复变函数理论及其在工程实
践中的应用的重要参考依据。
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圆锥曲线的定值问题类型一斜率四则运算为定值例1.(2019届江苏省泰州姜堰中学期中)已知椭圆C:的左右顶点为A、B,右焦点为F,一条准线方程是,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P、Q 为椭圆C上异于A、B的两点,点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程;直线PB交直线于点M,记直线PA的斜率为,直线FM的斜率为,求证:为定值;若,求直线AR的斜率的取值范围.解析:椭圆的一条准线方程是,可得,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,可得,解得,,,即有椭圆方程为;证明:由,,设直线PB的方程为,联立椭圆方程,可得,解得或,即有,,,则,即为定值;由,可得,即,设AP的方程为,代入椭圆方程,可得,解得或,即有,将t换为可得,则R 的坐标为,即有直线AR 的斜率,可令,则,则,当时,,当且仅当时上式取得等号,同样当时,, 时,,,则AR 的斜率范围为跟踪训练一1.已知动点P 是圆G : (22632x y +=上的任意一点,点P 与点)6,0A的连线段的垂直平分线和GP 相交于点Q . (I )求点Q 的轨迹C 方程;(II )过坐标原点O 的直线l 交轨迹C 于点E , F 两点,直线EF 与坐标轴不重合. M 是轨迹C 上的一点,若EFM ∆的面积是4,试问直线EF , OM 的斜率之积是否为定值,若是,求出此定值,否则,说明理由.解析:(I )由题意, QP QA =,又∵42GQ QP GP +==∴=42GQ QA GA +,∴点Q 的轨迹是以G 、A 为焦点的椭圆,其中22a = 6c =∴椭圆C 的方程为22182x y +=. (II )设直线l 的方程为1y k x =,联立122{ 182y k xx y =+=,得()221418k x += ∴2121421?41EF k k =++设OM 所在直线方程为2y k x =,联立椭圆方程得222222222,4141k M k k ⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭或222222222,4141k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭, 点M 到直线EF 的距离()12222122411k k k d k-+=+.()()11221281424141KFM k k S EF d kk ∆-=⨯⨯==++∴2222221122121248416441k k k k k k k k -+=+++,即22121216810k k k k ++=,解得1214k k =-, ∴直线EF , OM 的斜率之积是定值14-2.(濮阳市2019届)已知椭圆C :的一个焦点与上下顶点构成直角三角形,以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线相切.1求椭圆C 的标准方程;2设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点,探究在x 轴上是否存在定点E ,使得为定值?若存在,试求出定值和点E 的坐标;若不存在,请说明理由.解析:(1)由题意知,,解得则椭圆的方程是(2)①当直线的斜率存在时,设直线联立,得所以假设轴上存在定点,使得为定值。
所以要使为定值,则的值与无关,所以解得,此时为定值,定点为②当直线的斜率不存在时,,也成立所以,综上所述,在轴上存在定点,使得为定值点睛:本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.3.如图,已知椭圆O:2214xy+=的右焦点为F,点B,C分别是椭圆O的上、下顶点,点P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;(2)记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.解析:(1)由题知B(0,1),C(0,-1),焦点F(,0),当直线PM过椭圆的右焦点F时,直线PM的方程为+=1,即y=x-1.联立解得或(舍),所以M.连接BF,则直线BF的方程为+=1,即x+y-=0,学@科网而BF=a=2,所以点M到直线BF的距离为d===.故S△MBF=·BF·d=×2×=.(2)设P(m,-2),且m≠0,则直线PM的斜率为k==-,则直线PM的方程为y=-x-1,联立化简得x2+x=0,解得M,所以k1===m,k2==-,所以k1·k2=-·m=-为定值.4.在平面直角坐标系中,动点()到点的距离与到轴的距离之差为1.(1)求点的轨迹的方程; (2)若,过点作任意一条直线交曲线于,两点,试证明是一个定值.解析:(1)到定点的距离与到定直线的距离相等, ∴的轨迹是一个开口向右的抛物线,且,∴的轨迹方程为.(2)设过的直线的方程为,联立方程组整理得, 设直线与抛物线的交点为,,则有,,又,因此是一个定值为.类型二 被直线截得的弦长是定值例1.已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为)3,0F,点()2,0A -在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程与离心率;(Ⅱ)设椭圆C 上不与A 点重合的两点D , E 关于原点O 对称,直线AD , AE 分别交y 轴于M , N 两点.求证:以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值.解析:(Ⅰ)依题意, 3c =点()2,0A -在椭圆C 上.所以2a =.所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.离心率32c e a ==. (Ⅱ)因为D , E 两点关于原点对称,所以可设(),D m n , (),E m n --, ()2m ≠±所以2214m n +=.证明:设),(),,(0000y x Q y x P --则)22,0(),2(2y ),0,2(0000+++=∴-x y M x x y AP A 则的方程为:直线直线方程为:,则,以为直径的圆为即,1440222020=-++-=-y y x y x y x ,则其中 令,则012=-x ,解得1±=x .所以以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值为2 跟踪训练二1.已知点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>上, ()1,0F 是椭圆的一个焦点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)椭圆C 上不与P 点重合的两点D , E 关于原点O 对称,直线PD , PE 分别交y 轴于M , N 两点.求证:以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值. 解析:(Ⅰ)依题意,椭圆的另一个焦点为()1,0F '-,且1c =.因为24a ==,所以2a =,b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (Ⅱ)证明:由题意可知D , E 两点与点P 不重合. 因为D , E 两点关于原点对称,所以设(),D m n , (),E m n --, ()1m ≠±. 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点, 所以GM GN ⊥.直线PD : ()332121n y x m --=--. 当0x =时, 33212n y m -=-+-,所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭. 直线PE : ()332121n y x m +-=-+. 当0x =时, 33212n y m +=-++,所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭. 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭, 32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭, 因为GN GM ⊥,所以0)1(4940222=--+⇒=•−→−−→−m n t GN GM 因为13422=+n m 所以230432=⇒=-t t所以)23,23(23,23(-H G ),即3||=GH 得证以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值3 2.在直角坐标系中,曲线与轴交于,两点,点的坐标为,当变化时,解答下列问题: ()能否出现的情况?说明理由.()证明过,,三点的圆在轴上截得的弦长为定值.解析:(1)设与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 则2-,2121=-=+x x m x x011)1,()1,(2121≠-=+=-•-=•−→−−→−x x x x BC AC所以不能出现的情况(2)过A,B,C 三点的圆必定在线段AB 的垂直平分线上,设圆心坐标为E (00,y x ) 则22210mx x x -=+=由|EA|=|EC|及两点间的距离公式得 2020210210)1()()()(-+=-+-y x y y x x代入化简得:2121210-=+=x x y 所以圆的方程为:2222)211()2()21()2(++-=+++m y m x 令x=0得=1y 1,22-=y所以过,,三点的圆在轴上截得的弦长为定值3类型三 面积为定值例1. (江西省重点中学盟校2019届)已知椭圆的离心率为,焦点分别为,点是椭圆上的点,面积的最大值是.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,点是椭圆上的点,是坐标原点,若判定四边形的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.解析:(Ⅰ)由解得 得椭圆的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,直线的方程为或,此时四边形的面积为.当直线的斜率存在时,设直线方程是,联立椭圆方程,点到直线的距离是由得因为点在曲线上,所以有整理得由题意四边形为平行四边形,所以四边形的面积为由得, 故四边形的面积是定值,其定值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,以及椭圆中的定值问题,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、弦长公式等求解,计算量较大,属于常考题型.跟踪训练三1.已知椭圆系方程n C : 2222x y n a b+= (0a b >>,*n N ∈), 12,F F 是椭圆6C 的焦点,63A,是椭圆6C 上一点,且2120AF F F ⋅=.(1)求n C 的离心率并求出1C 的方程;(2)P 为椭圆3C 上任意一点,过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M , N 两点,点P 关于原点的对称点为Q ,求证: QMN ∆的面积为定值,并求出这个定值.解析:(1)椭圆6C 的方程为:62222=+by a x6)3,6(,0212212=∴⊥∴=•c A F F AF F F AF 又ny xC b a b a c b n =+∴==∴=+==-∴2222222222221,216)3(6)6(66a 6的方程为:椭圆且椭圆n C 的离心率2222222=-=nn n e ,椭圆12221=+y x C 的方程为: (2)解法一:),(),,(0000y x Q y x P --则设 当直线l 斜率存在时,设l 为: y kx m =+,则00y kx m =+,由223{ 2x y y kx m+==+联立得: ()222214260k x kmx m +++-= 由0∆=得()22321m k =+Q 到直线l 的距离0022211kx y mm d k k -++==++同理,由226{ 2x y y kx m +==+联立得: ()2222142120k x kmx m +++-= 122421kmx x k ∴+=-+, 212221221m x x k -=+MN ∴=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦()22222421214?2121km m k k k ⎡⎤-⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222228126121k m kk+-=++ 2222121k m k +=+12QMNS MN d ∆∴= 22222121•2211k m m k k +=++ 222221mk =+ ()222232121k k ⨯+=+62=当直线l 斜率不存在时,易知62QMN S ∆∴=, QMN ∆的面积为定值62解法(二):设()00,P x y ,由(1)得3C 为: 2232x y +=, ∴过P 且与椭圆3C 相切的直线l :0032x xy y +=.且220026x y += 点P 关于原点对称点()00,Q x y --,点Q 到直线l 的距离设()11,M x y , ()22,N x y 由002226{212x x y y x y +=+=得22004824160x x x y -+-= 22002640x x x y ⇒-+-= 1202x x x +=, 212064x x y =-,∴ 222000201424164x MN x y y =+-+∴QMN ∆的面积为22001112224S d MN x y =⋅=+222000201424164x x y y +-+(定值) 当00y =时,易知,综上: QMN ∆的面积为定值62. 2. (九师联盟2019届)已知点是抛物线:的焦点,点是抛物线上的定点,且.(1)求抛物线的方程; (2)直线与抛物线交于不同两点,,且(为常数),直线与平行,且与抛物线相切,切点为,试问的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:(1)设,由题知,所以.所以,即.代入中得,解得.所以抛物线的方程为.(2)由题意知,直线的斜率存在,设其方程为.由,消去,整理得,则,.∴,设的中点为,则点的坐标为.由条件设切线方程为,由,消去整理得.∵直线与抛物线相切,∴.∴.∴,∴,∴.∴切点的坐标为.∴轴,∴.∵,又∵.∴.∴.∵为常数,∴的面积为定值,且定值为.【点睛】本题考查了抛物线的综合知识,以及直线与抛物线的相交相切的综合知识,解题的关键是在转化和计算,属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤:(1)设出点和直线的方程(考虑斜率的存在);(2)联立方程,化简为一元二次方程(考虑判别式),利用韦达定理;(3)转化,由题已知转化为数学公式;(4)计算,细心计算.3.(泸州市2019届)已知椭圆,点,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上的动点,由原点向圆引两条切线,分别交椭圆于点,若直线的斜率存在,并记为,试问的面积是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.解析:(1)由于P3,P4两点关于原点对称,故由题设可知C经过P3,P4两点,∵,则图象不经过点P1,故P2在椭圆上,∴b=,,解得a2=6,b2=3,故椭圆C的方程为.(2)∵直线OP:y=k1x,OQ:y=k2x,与圆M相切,由直线和圆相切的条件:d=r,可得,即有(x02﹣2)k12﹣2x0y0k1+y02﹣2=0,同理:直线OQ:y=k2x与圆M相切,可得(x 02﹣2)k 22﹣2x 0y 0k 2+y 02﹣2=0,即k 1,k 2为方程(x 02﹣2)k 2﹣2x 0y 0k +y 02﹣2=0的两个不等的实根, 可得k 1k 2=,∵点R (x 0,y 0)在椭圆C 上, ∴,∴k 1k 2==,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), ∴|OP |=•|x 1|点Q 到直线OP 的距离d =1||22221+-k x k x k ,∵|x 1|=,|x 2|=,∴△OPQ 的面积S =|x 1x 2|•|k 1﹣k 2|= ••,=.【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法,考查了运算求解能力,转化与化归能力,属于难题. 4. (广东省六校2019届)如图,设点A ,B 的坐标分别为(-,0),(),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为-.(1)求P 的轨迹方程;(2)设点P 的轨迹为C ,点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ,B 的两点,且满足AP ∥OM ,BP ∥ON ,求证:△MON 的面积为定值.解析:(1)由已知设点的坐标为,由题意知,化简得的轨迹方程为...........................5分(2)证明:由题意是椭圆上非顶点的两点,且,则直线斜率必存在且不为0,又由已知.因为,所以...............6分设直线的方程为,代入椭圆方程,得....①,.......................7分设的坐标分别为,则............8分又,................9分所以,得...........................10分又,所以,即的面积为定值.................12分考点:直接法求动点轨迹方程,圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.例2. 已知椭圆的离心率为,且经过点.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)经过点与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点,点,直线分别与轴交于两点,记和的面积分别为;那么是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由. 解析:(Ⅰ);(2)设直线PQ 的方程为y=kx+2,联立椭圆方程并化简得: 01216)14(22=+++kx x k1412,1416221221+=+-=+k x x k k x x 则110y 11y 221111+=+==-+=y x x y x x x x y BP N M ,同理得得,令的方程为:直线349)(3)1y )(1(21212212121=+++=++=x x k x x k x x y x x x x N M所以31||||41221==N M x x OB s s 跟踪训练四1.从椭圆222:1(0)2x y C b b+=>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点1F ,M 是椭圆的右顶点,N 是椭圆的上顶点,且(0)MN OP λλ=>. (1)求该椭圆C 的方程;(2)不过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,已知OA ,直线l , OB 的斜率1k , 2,k k 成等比数列,记以OA , OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ,求证; 12S S +为定值,并求出定值.解析:(1)由题可知2,P c ⎛- ⎝,由(0)MN OP λλ=>,可得11a c a =,所以1c =,22a =, 则该椭圆C 的方程为2212x y +=. (2)令():0l y kx m m =+≠, ()11,A x y , ()22,B x y ,由()22222{ 12422012y kx mk x kmx m x y =+⇒+++-=+=的两根为12,x x ,知122412km x x k+=-+, 21222212m x x k -=+,由0>可得22210k m +->. 又12,,k k k ,成等比数列可知()()12212121212kx m km m y y k k k x x x x ++==⨯=()()22212121221212=k x x km x x m km x x m k x x x x +++++=+,则()2120km x x m ++=,∴2222244101012122km k km m k k k --⨯+=⇒+=⇒=++,∴()222222221212112211444422OA OB x x S S x y x yππππ⎛⎫+=⨯+⨯=+++=+++ ⎪⎝⎭()()212222121322413424244x x x x k m m ππππ⎡⎤+⎡⎤=+-=+⨯--=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 2.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2:E x y =的焦点相同,A 为椭圆C 的右顶点,以A 为圆心的圆与直线by x a=相交于P , Q 两点,且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程;(Ⅱ)不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,已知OM ,直线l ,ON 的斜率12,,k k k 成等比数列,记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2,试探究12S S +的值是否为定值,若是,求出此值;若不是,说明理由.解析:(Ⅰ)如图,设T 为PQ 的中点,连接AT ,则AT ⊥PQ ,10,,,2AP AQ AP AQ AT PQ ⋅=⊥∴=即 3,,OP OQ OT PQ ==又所以11,,22ATb OT a ∴=∴=141,4,32222=+∴===y x C b a c 的方程为椭圆所以由已知得552||4||4||||||||22222=⇒=+∴=+AT AT AT OA OT AT 5102||2||===∴AT AP r ,58)2(22=+-∴y x A 的方程为:圆 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14y 22y x mkx 得0)1(48)14(222=-+++m kmx x k (2)设直线l 的方程为y=kx+m(m 0≠),),(),,(2211y x N y x M()2121222418,.1414m km x x x x k k--∴+==++ 由题设知, ()()()21212221212121212,kx m kx m km x x m y y k k k k x x x x x x ++++====+()222212280,0,14k m km x x m m k-∴++=∴+=+ 210,,4m k ≠∴=则12S S +2222121211444x x x x π⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭()()222121212332=162162x x x x x x ππππ⎡⎤++=+-+⎣⎦ ()()222222813641614214m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥-+=⎢⎥++⎣⎦ ()22354411624mm πππ⎡⎤--+=⎣⎦ 故12S S +为定值,该定值为54π.类型四 线段为定值例1. 已知直线l :2y x =+与圆225x y +=相交的弦长等于椭圆C :22219x y b+=(03b <<)的焦距长. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知O 为原点,椭圆C 与抛物线22y px =(0p >)交于M 、N 两点,点P 为椭圆C 上一动点,若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点,求证: OG OH ⋅为定值.解析:(1)利用圆心到直线的距离计算出直线与圆相交的弦长,得到24,2c c ==.利用222a b c =+求得25b =,得到椭圆方程22195x y +=. (2)证明:有条件知,M,N 关于X 轴对称,设),(),(),,(110011y x N y x P y x M -则)5(59),5(59159,1592020212120202121y x y x y x y x -=-=⇒=+=+又直线PM 的方程为1010010010100),(y y y y x y x x G y x x x x y y y G --==---=-的横坐标得点令同理得点H 的横坐标101001y y y x y x x H ++=所以|OG||OH|=||||||212021202021101001101001y y y x y x y y y x y x y y y x y x --=++⋅-- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=212020212120)5(59y )5(591|y y y y y 9 即OG OH ⋅为定值.跟踪训练五1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,离心率22e =,点G 21(,)在椭圆上.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点P 是椭圆C 上一点,左顶点为A ,上顶点为B ,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证: AM BM ⋅为定值.解析:(1)依题意得,设,则,由点在椭圆上,有,解得,则,椭圆C 的方程为:设,,,则,由APM 三点共线,则有,即,解得,则,由BPN 三点共线,有,即,解得,则=又点P 在椭圆上,满足,有,代入上式得=,可知为定值.例2.已知椭圆C:22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为32,且点()2,1T在椭圆C上,设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点.(I)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)判断OM ON+的值是否为定值,并证明你的结论.解析:(Ⅰ)由题意22222411{3a ba b ccea+=-===,解得: 22a =, 2b =, 6c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += (Ⅱ)假设直线TP 或TQ 的斜率不存在,则P 点或Q 点的坐标为(2,-1),直线l 的方程为()1122y x +=-,即122y x =-. 联立方程22182{ 122x y y x +==-,得2440x x -+=,此时,直线l 与椭圆C 相切,不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在.设()11,P x y , ()22,Q x y ,则 直线()111:122y TP y x x --=--,, 直线()221:122y TQ y x x --=-- 故11221x OM y -=--, 22221x ON y -=--, 由直线1:2OT y x =,设直线1:2PQ y x t =+(0t ≠), 联立方程, 2222182{ 224012x y x tx t y x t+=⇒++-==+,当0∆>时, 122x x t +=-, 21224x x t ⋅=-,OM ON + 121222411x x y y ⎛⎫--=-+ ⎪--⎝⎭1212224111122x x x t x t ⎛⎫ ⎪--=-+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()()()1212212122414111142x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++-()()()()()()()2222422414112412142t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= .跟踪训练六1.如下图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -, ()2,0F c ,已知点()1,e 和3,2e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A , B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行, 2AF 与1BF 交于点P ,(i )若1262AF BF -=,求直线1AF 的斜率; (ii )求证: 12PF PF +是定值.解析:(1)由题设知222a b c =+, c e a=.由点()1,e 在椭圆上,得222211c a a b +=.解得21b =,于是221c a =-,又点3e ⎛ ⎝⎭在椭圆上,所以222314e a b +=.解得22=a ,所以椭圆方程为2212x y += (3)因为直线21BF AF ∥,设1,121+=-=my x BF my x AF 的方程为:则直线的方程为:直线设0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=121212111y x my x 222012)2(2211212+++=⇒=--+m m m y my y m 故21)1(2)1(22221211++++=++=m m m m y x AF 同理=2BF 21)1(2222++-+m m m m22621222221=⇒=++=-m m m m BF AF 因为0m >,故m =,所以直线1AF的斜率为1m =. (ii )因为直线1AF 与2BF 平行,所以211BF PB PF AF =,于是12111PB PF BF AF PF AF ++=, 故11112AF PF BF AF BF =+.由点B在椭圆上知12BF BF +=从而1112AF PF AF BF =+()2BF .同理2212BF PF AF BF =+()1AF ,因此11212AF PF PF AF BF +=+()2212BF BF AF BF ++()1AF =12122AF BF AF BF ⋅-+.又由①②知)212212m AF BF m ++=+, 212212m AF BFm +⋅=+.所以12PF PF+==12PF PF+是定值.2.设O为坐标原点,动点M在椭圆22194x y+=上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P 满足2NP NM=.(Ⅰ)求点P的轨迹方程E;(Ⅱ)过()1,0F的直线1l与点P的轨迹交于A B、两点,过()1,0F作与1l垂直的直线2l与点P的轨迹交于C D、两点,求证:11AB CD+为定值.解析:(Ⅰ)设(),P x y,易知(),0N x,()0,NP y=,又因为10,2NM NP⎛==⎝,所以M x y⎛⎫⎪⎝⎭,又因为M在椭圆上,所以2219x+=,即22198x y+=.(Ⅱ)当1l与x轴重合时,6AB=,163CD=,∴111748AB CD+=.当1l与x轴垂直时,163AB=,6CD=,∴111748AB CD+=.当1l与X轴不垂直也不重合时,设1l的方程为:)1(-=xky(0≠k)设)44332211,(),,(),,(),,(yxDyxCyxByxA联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=189)1(22yxxky得:0)8(918)89(2222=-+-+kxkxk89)8(9,891822212221+-=+=+kkxxkkxx89)1(484)(1||22212212++=-++=k k x x x x kAB 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=189)1(122y x x k y同理可得()2248198k CD k+==+.∴()()22221189981748481481k k AB CD k k +++=+=++. 当直线过已知X 轴的某个点(p,0)时,设x=my+p 可以稍微简化运算。