第六讲格林函数法刘
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
拉普拉斯方程的格林函数法共45页文档
45、自己的饭量自己知道。——苏联
拉普拉斯方程的格林函数法
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
格林函数——精选推荐
格林函数格林函数这是⼀篇关于格林函数经典解法的⽂章。
从现代的讨论中寻求根本的解法。
在数学中，格林函数是⼀种⽤来解有边界条件的⾮齐次微分⽅程式的函数。
在多体理论中，这⼀术语也被应⽤于物理中，特别在量⼦场论，电动⼒学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。
格林函数的名称是来⾃于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第⼀个提出这个概念的⼈。
在线性偏微分⽅程的现代研究中，格林函数主要⽤于研究基本解。
内容1、定义及⽤法2、动机3、⾮齐次边值问题的求解3.1、研究框架3.2、定理4、寻求格林函数4.1、特征⽮量展开5、拉普拉斯算⼦的格林函数6、范例7、其他举例定义及⽤法技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着⼀个在流形M 中作⽤的线性算⼦L ，为以下⽅程式的解：)(),(s x s x LG -=δ (1)其中δ为狄拉克δ函数。
此技巧可⽤来解下列形式的微分⽅程： )()(x f x Lu = (2)若L 的核是⾮平凡的，则格林函数不只⼀个。
不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯⼀的格林函数。
⼀般来说，格林函数只需是⼀种数学分布即可，不⼀定要具有⼀般函数的特性。
格林函数在凝聚态物理学中常被使⽤，因为格林函数允许扩散⽅程式有较⾼的精度。
在量⼦⼒学中，哈密顿算⼦的格林函数和状态密度有重要的关系。
由于扩散⽅程式和薛定谔⽅程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。
其⽅程如下：)(),(s x s x LG --=δ这⼀定义并不显著改变格林函数的任何性质。
如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成⼀个卷积算，即为：)(),(s x G s x G -=在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。
动机若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得：)()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此：ds s f s x LG x Lu )(),()(?=由于算符 L 为线式，且只对变量x 作⽤，不对被积分的变量 s 作⽤），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得：))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?=⽽以下的式⼦也会成⽴：ds s f s x G x u )(),()(?= (3)因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以⽤上述的⽅式得到)(x u 。
格林函数法
因此，无界空间的格林函数为
G (x ,x )
1
40( x x ') 2 (y y ') 2 ( z z ') 2
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计算电磁学基础
（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林
函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在
点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格
• 这种方法称为电像法
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计算电磁学基础
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G (x x ')(y y ')(z z')z , 0
G |z 0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
2(x)10(x)
已知
S
(xx)
2G (x,x)1 0(xx)
令 G 0 S
已知
n S
令 G 1 ，
n S 0S
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计算电磁学基础
常见的几个格林函数：
（1）无界空间的格林函数。
在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电
势为:
( x ) 1
1
40 r40( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
第六章 格林函数法
第六章 格林函数法本章利用高等数学中的格林(Green)公式导出调和函数的积分表达式，引进格林函数(又叫点源函数)，它是一种广义函数.利用格林函数求解稳态的边值问题，这种方法叫格林函数法，它是解数学物理问题时常用的方法之一.§2.6.1 格林（Green ）公式 调和函数的积分表达式2.6.1.1 格林公式设D 是以分片光滑的曲面S 为其边界的有界区域，函数P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z )是在D 上连续，在区域D 内有连续偏导数的任意函数，则成立奥一高公式 V z R y Q x P D d (∂∂+∂∂+∂∂∫∫∫=∫∫++SS z n R y n Q x n P d )],cos(),cos(),cos([,这里d V 是体积元，n 是曲面S 的外法线方向，d S 为S 上的面积元.由此可以导出格林第二公式或格林公式：S nu v n v uV u v v u D S d d )()(∫∫∫∫∫∂∂−∂∂=Δ−Δ. 事实上，设函数u (x ,y ,z ), v (x ,y ,z )以及它们的所有的一阶偏导数在闭区域S D D U =上是连续的，u 、v 在D 内具有连续的二阶偏导数.令 P =x v u ∂∂, Q =yv u ∂∂, R =z v u ∂∂, 代入奥一高公式得到格林第一公式：V z v z u y v y u n v x u S n v uV v u DD S d d d )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂−∂∂=Δ∫∫∫∫∫∫∫∫ 这里是三维拉普拉斯(Laplace)算子，Δn∂∂表示曲面S 的外法线方向导数.如果引进梯度算子＝∇k j v v v z yi x ∂∂+∂∂+∂∂ ，那么格林第一公式缩写成 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔDS D V v u s n v uv v u d d d )()(，类似地，如果令 P =x u v ∂∂， Q =y u v ∂∂， R =zu v ∂∂，就有 ∫∫∫∫∫∫∫∫∇⋅∇−∂∂=ΔD D SV u v S n u v V u v d d )()(d 注意到向量的数性积的可交换性，上两式相减，得格林第二公式(又叫格林公式)：S nu v n v u V u v v u D S d d )()∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫（ . 2.6.1.2拉普拉斯方程的基本解在三维空间内，记),()()()(222N M r z y x r =−+−+−=ςηξ表示点M (x ，y ，z )、)(ςηξ，，N 之间的距离，利用复合函数求导的链式法则，对空间中任意固定的一点N ，函数r1除点N 外关于变量（x , y , z ）处处满足拉普拉斯方程0=Δu ；注意到函数r1的特征，同样对于任意固定的一点M (x , y , z ),函数r1除点M 外，关于变量),,(ςηξ处处满足拉普拉斯方程，即0)1(=Δr， （N M ≠）. 函数r1在求解拉普拉斯方程和泊松(Poisson)方程时有极重要的作用，通常把函数r1称为三维拉普拉斯方程或者泊松方程的基本解.同样，对于二维空间，函数),(1ln )()(1ln 1ln 22N M r y x r =−+−=ηξ 叫做二维拉普拉斯方程或泊松方程的基本解.2.6.1.3 调和函数的积分表达式仍以三维空间为例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式.定理:（调和函数的积分表达式）设函数u (x , y , z )在闭区域D 上有连续的一阶偏导数，且u (x , y , z )在区域D 内调和（即0=Δu 在D 内成立），那么对于D 内任意固定的一点就有),,(0000z y x M ,])1(1[41)(0S nr u n u r M u S d ∂∂−∂∂=∫∫π D M ∈0 ,这里M 为点(x , y , z )，并有2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .事实上，设为区域D 内任意固定的一点，M (x ,y ,z )为),,(0000z y x M D 上的一个动点，动点M 到定点M 0的距离2020200)()()(),(z z y y x x M M r r −+−+−== .注意到函数r 1除点M 0外，处处调和，M 0挖去.以M 0点为球心，充分小的正数（ρ>0),用表示这个小球的球面.记区域D 0M K ρ0M S ρ0M K ρ1=D \ (通常称区域D 内挖去点M 0M K ρ0).这时区域D 1的表面为.U S 0M S ρ于是函数u , v =r1在闭区域011M S S D D ρU U =上可用格林公式，就有∫∫∫∫∫∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−ΔS S n u r n r u D S n u r n r u V u r r u M S 01)1)1((1)1((]1)1([ρd d d 因为在区域D 1内0)1(,0=Δ=Δru ，上式左边等于零，由此得 01)1()1)1((00=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂∫∫∫∫∫∫S S n u r S S n r u S n u r n r u M M S ρρd d d 现在讨论上式左边的后两项积分.注意到，对区域D 1而言，小球面0M S ρ的外法线方向应指向球心M 0 , 与半径r 的方向刚好相反，因此在球面上有0M S ρ2211)1(1(ρ==∂∂−=∂∂rr r n r ，这样上式第二项积分有 )(44)(1)1(1212200M u M u s S u S S n r u M M ππρρρρρ===∂∂∫∫∫∫d d , 这里用到积分中值定理，M 1为球面上的某一点.0M S ρ对于上式第三项积分，用积分中值定理有||22044112M n u M n u S n u r M S ∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∂∂∫∫πρπρρρd 这里M 2为上的某一点.0M S ρ 因为nu ∂∂在M 0点的邻域内是有界的，让0→ρ，则M 1、M 2趋于球心M 0 ,所以第三项积分趋于零，由此得0)(4)1)1((0=+∂∂−∂∂∫∫M u S n u r n r u Sπd . 从而得到有界区域D 内调和函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u S d )1(1(41)(0∂∂−∂∂=∫∫π, D M ∈0. 这个公式说明，调和函数u 在区域D 内任意一点M 0处的值可以由它的边界S 上的值和它在边界S 上的法向导数nu ∂∂的值来确定，这对解边值问题提供了方便.推论：若u 在有界区域D 内是二阶连续的可微函数，则有积分表达式∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=DS V r u S n r u v u r M u d d ππ41))1(1(41)(0，. D M ∈0这是因为在闭区域1D 上用格林公式，有 S n u r S n r u S n u r n r u V u D r S M d d d )11(()1)1((101∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=Δ−∫∫∫∫∫∫∫ρ 类似上述的讨论，上式右端当0→ρ时，区域,其余都一样.D D →1对于二维情形，由于基本解为r1ln ，所以不难得到在二维有界区域D 内调和的函数u 的积分表达式：S nr u n u r M u C d )1(ln )1[ln(21)(0∂∂−∂∂=∫π, D M ∈0. 这里C 为区域D 的边界.对一般的在区域D 内有二阶连续可微函数u ，则积分表达式为S u r l n r u n u r M u DC d d Δ−∂∂−∂∂=∫∫∫)1(ln 21])1(ln )1[ln(21)(0ππ, .D M ∈0这两个公式的证明作为习题留给读者自己去证明.§2.6.2 拉普拉斯（Laplace ）方程的狄里克雷问题2.6.2.1 边值问题的提法数学物理的不少问题都会归结为求拉普拉斯方程的解，根据边界条件的不同提法，可以把它的定解问题分为三类：第一边值问题，又称狄里克雷(Dirichlet)问题.求区域D 内调和，而在D 的边界S 上取已知值f 的函数u ，即狄里克雷问题的提法为：0=Δu ， 在D 内,|u s =f 1(M ) ， 在S 上.第二边值问题，又称诺伊曼(Neumann)问题，它的提法为： 0=Δu ， 在D 内,),(|2M f nu S =∂∂ S M ∈. 第三边值问题，又称洛平(Robin)问题，它的提法为：， 在D 内,0=Δu ),(3M f u n u S=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂βα S M ∈. 这里α、β为已知常数，且不同时为零；f 、f 、f 为已知函数.)(1M )(2M )(3M 如果以上的提法，针对求有界区域D 内的解，称为内问题，如果求区域的外部的解，称为外问题.对于狄里克雷问题、诺伊曼问题解的存在性，要用到积分方程的理论，由于已超出本书的范围，这里不再赘述，感兴趣的读者可以查阅相关的书籍，例如由沈乃录主编的《积分方程》一书，将会给你一个满意的解答.2.6.2.2 狄里克雷问题的格林函数 格林函数法我们重点来解狄里克雷问题.从调和函数u 的积分表达式出发，在区域D 内的调和函数u 的积分表达式为：S n r u nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=)/1(1(41)(0π， D M ∈0. 这里由于狄里克雷问题0=Δu ， 在D 内,|u s =f (M ) ， 在∈M S 上.所以，积分表达式中的第二项u 在边界面S 上的值已知，用f (M )代替，就有S n r M f nu r M u S d ∫∫∂−∂∂=))/1()(1(41)(0π， D M ∈0, 这样求解的关键是如何从上式中消去带nu ∂∂（未知的）这一项. 由格林公式出发，要在区域D 内求一个函数g ，它在区域D 内调和（即0=Δg ），则格林公式为：S n u g ng uS d ∫∫∂∂−∂∂=)(0 用π41乘以上式，再和积分表达式相加，就有 S n g r M f n u g r M u S d ∫∫−∂−∂∂−=])/1()()1[(41)(0π， D M ∈0如果上式中在边界面S 上有g r −1＝0，即=S g |r1，那末狄里克雷问题的解就是：S ng r M f M u S d ∫∫−∂−=])/1()([41)(0π， D M ∈0. 综上所述，欲解狄里克雷问题：0=Δu ， 在D 内,|u s =f(M) ， 在∈M S 上就转化为解另一个狄里克雷问题：0=Δg ， 在D 内,=S g |r1 ， ∈M S, 这里，);(0M M r r =);(0M M g g =，∈M S ，D M ∈0一般说来，函数也不是好求的，它与边界曲面S 的形状有关，但是不管怎么讲，给出了一个解狄里克雷问题的思路，并且对于一些特殊的区域D ，例如球体、半空间、圆域、半平面等可以用初等的方法求出函数g (M ; M );(0M M g 0)来.为了更清楚，我们令函数 );();(1);(000M M g M M r M M G −= 注意到基本解的特征，);(10M M r g (M ；M 0)的要求，对于函数G (M ；M 0)有两个基本性质：(1)除点D M ∈0外，函数G (M ；M 0)在区域D 内调和，即 0);(0=ΔM M G , M , M 0D ∈ 且0M M ≠ ;(2)在边界面S 上， ,0);(0=M M G ∈M ,S D M ∈0 . 通常把函数G (M ；M 0)称为拉普拉斯方程0=Δu 关于区域D 的狄里克雷问题的格林函数.用求格林函数G (M ；M 0)的方法解狄里克雷问题称为格林函数法.如果格林函数G (M ；M 0)求得，那么狄里克雷问题的解也就有了，并且为S M M G nM f M u S d );()(41)(00∫∫∂∂−=π , D M ∈0.对于二维的情形，完全类似地，可以得到 S nG M f M u C d ∫∂∂−=)(21)(0π , D M ∈0 为狄里克雷问题 C D M M f u D M u C=∂∈=∈=Δ),(,0| 的解，这里格林函数 );(1ln );(00M M g rM M G −=，作为习题留给读者自己去证明.例1. 球的狄里克雷问题和球的格林函数 球内狄里克雷问题的提法： , 在球内 0=Δu 2222R z y x <++ u=f (M ) , 在球面 上 2222R z y x =++这里 M =(x , y , z ).解： 先求球 的格林函数 2222R z y x <++ 设球内任一点，由此求满足另一个球狄里克雷问题：),(00,00z y x M );(0M M g 0);(0=ΔM M g , 在球内);(1);(00M M r M M g = , 在球面上 对于球而 2222R z y x <++M 1言，函数可以用初等的方 );(0M M g 法求得.记202020z y x ++＝ρ，点 M 0的对称点为M 0R S 1,显然点M 1在球外，并在OM 0的延长线上（如图），由对称点的定义知：21R ＝ρρ⋅其中1ρ为OM 1的长，即 2121211z y x ++＝ρ ，),,(1111z y x M =，由调和函数的基本解，这个应该是);(0M M g 1r A这种形式，这里 2121211)()()(z z y y x x r −+−+−= ，A 为待定常数.显然函数1r A在球内是调和的.问题是怎样确定常数A .由的第二个条件在球面上应为);(0M M g r 1.为区别起见，球面上的点记为),,(z y x M ′′′′.由于，所以在21R =⋅ρρM OM ′Δ0与中，是公共角，且夹这角的两边成比例1M M O ′ΔO ∠10OM M O M O OM ′=′，因此M OM ′Δ0与1M M O ′Δ相似，从而有M O OM M M M M ′=′′010，亦即R r r ρ=1，这样在球面上有OR S rr R 111=⋅ρ ， 可见常数202020z y x RRA ++==ρ，所求的101);(r R M M g ⋅=ρ，因此球的格林函数为2121212020202020201100)()()(1)()()(1);(1);(1);(z z y y x x z y x Rz z y y x x M M r R M M r M M G −+−+−⋅++−−+−+−=⋅−=ρ得球内狄里克雷问题的解为S nG M f M u RS d ∂∂′−=∫∫)(41)(00π,（）.球∈0M 2222R z y x <++为了计算，还须将这公式化成便于积分的形式.采用球面坐标系.设点M ′的球坐标为),,(ϕθ′′R ，点M 0的球坐标为),,(00ϕθρ，将记为O∠α，于是在球面上，ORS nr nr ∂∂∂∂1(,)1(1有 02022)(1grad 11)1()1(n n ⋅∂∂+∂∂+∂∂−=⋅−=∂∂−=∂∂⋅∂∂=∂∂k zr j y r i x r r r r n r r n r r r n r 其中n 0是球面的外法线单位向量.O R S 在球面上, OR S M ′点的坐标为),,(z y x ′′′，由此r x x x r 0−′=∂∂ , r y y y r 0−′=∂∂ , rz z z r 0−′=∂∂ , 设r 0是r 方向上的单位向量，由此),cos(1)(1)1(200002n r r k r z z j r y y i r x x r n r −=⋅−′+−′+−′−=∂∂n , 同理 ),cos(1)1(1211n r r nr −=∂∂，这样),cos(),cos(1)1()1(12121n r r Rn r rn r n r R n G ρρ−=∂∂−∂∂=∂∂−为了简化上式，在与M OM ′Δ01M M O ′Δ中用余弦定理得Rr r R n r 2),cos(222ρ−+=， 12121212),cos(Rr r R n r ρ−+= ， 注意到在球面上有OR S rr R 11=ρ，并且，于是有 21R =⋅ρρ3221212),cos(),cos(1Rr R n r r R n r rn G ρρ−=−=∂∂−, 从而球内狄里克雷问题的解化简为ϕθθραρρϕθπρπππ′′′+−−′′=−′=∫∫∫∫d d d sin ]cos 2[),(4)(41)(2322222003220R R R f RS rR M f R M u O RS这也叫球的泊松积分.利用M 0的对称点M 1构造格林函数的方法，叫做镜像法，物理学中又叫静电源象法.例 2. 半空间的狄里克雷问题.半空间的狄里克雷问题就是求一个在上半空间内的调和函数u (x , y, z )，且在边界面z =0上满足u (x , y , 0)=f (x , y )，即0>z⎪⎩⎪⎨⎧=>=Δ=),(0,0|0y x f u z u z解：设在半空间在z >0内任意一点，这里z ),(00,00z y x M 0>0,那么M 0关于平面的对称点M 0=z 1就是 ),(00,0z y x −.所以函 数2020201)()()(11z z y y x x r ++−+−=是半空间内的调和函数，并且在边界面z =0上，显然有0>z rr 111=，因此半空间z >0内的格林函数为20202020202010)()()(1)()()(111);(z z y y x x z z y y x x r r M M G ++−+−−−+−+−=−=对于半空间z >0，边界面z ＝0的外法线方向与z 轴的正向相反，于是z G nG ∂∂−=∂∂，这个半空间z >0的狄里克雷问题的解为S n G y x f z y x u z d ∫∫=∂∂−=0000),(41),,(π =S zG y x f z d ∫∫=∂∂0),(41π=y x z y y x x y x f z d d ∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−232020200])()[(),(2π.§2.6.3 泊松方程的狄里克雷问题在研究有外力作用下的薄膜平衡和有热流的热平衡以及稳定电场的静电势等问题时，都会导出称谓泊松方程的数学物理方程.泊松方程的一般形式是),,(z y x F u u u u zz yy xx =++≡Δ,其中F (x , y , z )为已知函数.泊松方程的狄里克雷问题的提法是),,(z y x F u =Δ （x , y , z ）D ∈, )(|M f u S= M 在D 的边界面S 上.对于在有界区域D 内有二阶连续的可微函数u (M ),有积分表达式V r uS n r u n u r M u DSd d ∫∫∫∫∫Δ−∂∂−∂∂=ππ41))1(1(41)(0, . D M ∈0设是区域);(0M M G D 的格林函数，就有);();(1);(000M M g M M r M M G −=这里函数为区域);(0M M g D 内的调和函数，在边界面S 上有r g S1|=，对格林公式S n u v n v u V u v v u D Sd d ()(∂∂−∂∂=Δ−Δ∫∫∫∫∫中用函数替代v ，再两边乘以);(0M M g π41得∫∫∫∫∫Δ+∂∂−∂∂=DSV u g S n u r n g ud d ππ41)1(410将以上两等式相加，消去S n ur Sd ∂∂∫∫141π项就得泊松方程狄里克雷问题的解为∫∫∫∫∫+∂∂−=DSV FG S n G fM u d d ππ4141)(0显然，上式第一项是定解问题0=Δu 在D 内，的解；第二项是定解问题的解f u S=|0,|==ΔSu F u 对于二维泊松方程的狄里克雷问题可以类似地求解.。
第六章格林函数
25
一、半空间上的格林函数 上半空间区域上的格林函数满足
⎧ΔG = −δ (r − r0 ), ⎨ ⎩G z =0 = 0 z>0
在半空间 z > 0 上取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 令 r0 = x + y + z 表示自原点到该点的距离， 并在该点放置一个单位正电荷，它所形成的静电场 在任何一点 M ( x, y, z ) 处的电位函数为 1 1 1 = ⋅ 4π rM0M 4π (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫
S
∂G f dσ＋∫∫∫ Gϕ dω. ∂n Ω
对于拉普拉斯第一边值问题， 如果ϕ = 0,
22
上式可写为
∂G dσ u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫ f ∂n S 其中G也可称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数.
三、格林函数的物理意义
把区域 Ω 的边界考虑为一个金属壳体， 并把它用导线接地， 并在 Ω 内一点 P (ξ ,η , ζ ) 放置一个单位正电荷，令 V ( P, Q ) = V ( x − ξ , y − η , z − ζ ) 表示这个静电场的电位函数，由于现在电荷是 集中在一点的，可用 δ 函数来表示电荷分布密度，
3
k k Δu + f ( x, y , z ) = 0 cρ cρ
或
Δu = − f .
其中 f 为已知函数，这是泊松方程。 如果没有热源，即 f ≡ 0 则
Δu = 0,
我们得到拉普拉斯方程。 例二： 设在一真空空间区域 Ω 中存在一个
4
静电场 E ( x, y , z ), 电荷的密度分布函数为 ρ ( x, y, z ), 根据静电学中的基本定律，有 ρ divE = ∇ • E = (高斯定理) ε0 且 rotE = ∇ × E = 0. (斯托克斯定理) 这个静电场是无旋的，那么必定是有势的， 即存在一个电位函数： u = u ( x, y, z ) 使得
第六章 格林函数法
G U g
相应的方程为
Δ U x x0 , y y0 , M , M0 D
及
Δ g 0, g U，
在D内， 在B上
基本解在前面已经求出，有界区域内调和函数的求法在下一 节介绍。
三维问题解的积分公式
假设格林函数已经求出，下面研究三维泊松方程第一边值 问题解的积分表示。
Δ U x x0 , y y0 , z z0
（9）
以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与θ ,φ 无关，方 程化为
ΔU 1 d 2 dU r 0, 2 r dr dr r 0
其中
r
x x0 2 y y0 2 z z0 2
u v uΔ v - vΔ u d u n v n ds D B
GM; M M - M - GM; M M - M d
1 2 2 1
GM 2 ; M 1 - GM 1 ; M 2 0
D
格林函数的求法
在内， 在S上
的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。
证明 进行体积分并利用格林公式，可得
Δ GdV x x , y y , z z dV 1
0 0 0
Δ GdV
S
G dS 0 n
易知齐次边界条件无法满足，上述定义不能成立，证毕。
在公式（4）中
u v uΔ v dV vΔ u dV u n v n dS S
若令 △v=δ(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得
v u v u dV u dS Δ n S
格林函数法
由格林函数的对称性可得
Ò u ( r ) T G ( r ,r 0 ) f( r 0 ) d V 0 [ u ( r 0 ) G ( n r 0 ,r 0 ) G ( r ,r 0 ) u ( n r 0 0 ) ] d S 0
解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引
例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。
解：该定解问题为三维，其基本解为
G0
4
1 rr r r0
G1 0 r R
G
1
则满足
G1
rR
G 0
rR
4
1 rr R r0
设产生 G 1 的等效点电荷电量q
、位置
rr
（在
1
rr
0
的延长线上
且在球形区域以外，这样方程自然满足）
r R
rr O
r r0
M0
M
q
R ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
0
r r1
R2
r
2 0
r r0
G=G0+G1
4
1 rr r r0
40qrr
r r1
M1
球形区域格林 函数表达式； 区域形状不同 其格林函数也
会有所不同
4
1 rr r r0
4Rr00 rr0rr1
4
1 rr r r0
二维时 u r r l r r 0 G n r r 0 ;r r 0 d l0 S G r r ;r r 0 fr r 0 d S 0
上式为第一边值问题解的积分表示式
§5.2 用电像法求格林函数法
《格林函数的应用》课件
欢迎来到《格林函数的应用》PPT课件。在本课程中，我们将深入探讨格林函 数及其在科学和工程领域中的广泛应用。
什么是格林函数？
定义
格林函数是一种解决偏微分方程边界值问题的强大工具。
常见类型
常见的格林函数类型包括自由空间、有限介质和周期性介质。
性质与应用
了解格林函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解和分析复杂的物理问题。
物理意义
泊松方程的解释性非常好， 可用于分析电场、引力场和 流体流动等问题。
总结与展望
格林函数的重要性
格林函数在偏微分方程求解和物理问题分析中有 着重要的地位。
未来应用
展望未来，格林函数将继续在科学和工程领域中 发挥重要作用。
格林函数的求解方法
1
常见求解方法
常用的求解方法包括变换法、分离变量法和变分法等数值方法进行求解。
3
一维和多维
格林函数求解方法针对不同维度的偏微分方程有所不同。
常见的格林函数应用
边界值问题
格林函数可用于求解包括电场、 热传导和流体力学在内的边界值 问题。
线性偏微分方程
格林函数是解决线性偏微分方程 的重要工具。
非线性偏微分方程
格林函数的应用不仅限于线性偏 微分方程，还可用于解决非线性 问题。
案例分析：泊松方程
定义
泊松方程是一种常见的二阶 偏微分方程，描述了在给定 边界条件下的物理系统。
格林函数解法
格林函数可用于解决泊松方 程的边界值问题，推导简单 且具有实际意义。
《格林函数方法》课件
对于流体动力学中的无界问题，例如流体在大气压下的流动，格林函数方法可以提供一种 有效的求解方法，通过引入适当的边界条件来处理无界问题。
流体动力学中的非线性问题
格林函数方法也可以用于求解流体动力学中的非线性问题，例如流体动力学的非线性波动 和湍流等。
结构力学问题中的应用
弹性力学问题
在结构力学中，弹性力学问题是 常见的，格林函数方法可以用于 求解弹性力学中的各种问题，例 如弹性体的应力、应变和位移等 。
结构稳定性问题
结构稳定性问题也是结构力学中 的重要问题，格林函数方法可以 用于求解结构的稳定性，例如结 构的临界载荷和失稳模态等。
结构动力学问题
在结构动力学中，格林函数方法 可以用于求解结构的动态响应和 振动模态等，例如结构的振动频 率、阻尼和响应等。
探究格林函数方法在污染物扩散、水文模型等 领域的应用。
在材料科学中的应用
研究格林函数方法在材料电磁性能、光学性能等领域的应用。
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THANKS
粒子动力学问题中的应用
描述粒子运动
在粒子动力学问题中，格林函数可以用来描述粒子的运动轨 迹和行为。通过格林函数，可以将粒子动力学问题转化为求 解微分方程或积分方程的问题，从而得到粒子的运动轨迹和 性质。
04
格林函数在工程问题中的应 用
流体动力学问题中的应用
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题，例如声波在流体中的传播、波 动在流体界面上的反射和折射等。
格林函数方法的优势与局限性
优势
能够将复杂的微分或积分方程问题转 化为简单的代数方程问题，计算效率 高，适用于大规模问题求解。
局限性
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
格林函数方法
格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。
格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。
格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。
主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。
这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。
具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。
格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。
如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。
在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。
最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。
此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。
综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。
该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。
拉普拉斯方程的格林函数法
1 r
r
r
u r
0
解方程得： u(r) C1 ln r C2
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0,即 u(r) ln 1 称为二维拉普拉斯方程的基本解。 r
§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u u x, y, z 满足三维拉普拉斯方程
该点的值。构造辅助函数
1
1
v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
其中 (x, y, z) 为空间中任意一点。
函数 v 1
1
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
除点 M0外处处满足拉普拉斯方程,它称为三维拉普 拉斯方程的基本解。
P u v x
Q u v y
R u v z
grad u grad v dV u2v dV .
其中梯度向量
grad
u
u x
,
u y
,
u z
,
由高斯公式, 上式等于
u
v x
cos
n,
x
v y
cos
n,
y
v z
cos
n,
z
dS
v
u
n
dS
.
u2vdV
第一格林公式
u
v n
dS
格林函数
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u ϖ（12-1-1）这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v ϖ（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu（12-1-3）n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆ϖϖ（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑（12-1-5）其中 ϕ（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
格林函数
稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个电量为 - ε 0 的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷 称为点电荷的电像。 这种方法称为电像法 发展和应用分类 格林函数在地震工程学中的应用 格林函数在地震工程学中是计算震源机制的函数。根据其发展和应用可以分为以下几类。
经验格林函数法
经验格林函数法是运用包含断层上一个点源动力学破裂的复杂效应、震源主场地速度结构的 不均匀性影响的小震记录来叠加合成较大地震的地震动时程。其优点是信度较高、较为可靠；可 是其缺点同样突出，即对小震记录的要求相当苛刻，必须具有与大震相同的震源机制，小震记录 的信噪比要高等等。如果在震源区找不到良好的小震记录，就不能用经验格林函数法。
理论格林函数法
理论格林函数的计算是一个相当复杂的过程，目前只有对水平成层介质推导的解析公式。计 算要借助计算机实现，且介质层数受到很大的限制，很少有多于两覆盖层的结果发表。
数值格林函数法
与实际地震动观测记录的比较表明，这种在时域合成的地震动模拟，对持时、峰值加速度、 短周期 （ 1 秒以下） 反应谱幅值的预测精度都可以在大约 -50% 范围内， 与经验模型的精度大体相当； 对峰值速度和周期大于 1 秒的反应谱幅值，预测的误差要比经验模型的小。
格林函数
姓名：折再兴
学号：201241802027
专业：物理学
电话：15764212022
格林函数
摘 要 ：从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系.例如,热传 导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很 多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场, 这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 关键字：点电荷，函数表示，微分算符。 正文： 格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法。 格林函数是又称为源函数或影响函数，是英国人 G. 格林于 1828 年引入的。 一个处于 X ’点上的单位点电荷所激发的电势 Ψ （ x ）满足泊松方程：
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M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0
G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x
x0
)2
y
y0
2
z
z0
2
2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x
x0
)2
y
y0
2
z02
u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
u n
0
于是
uM0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
uM0
u
v
1
n 4
1 n rM0M
1
4rM
0
M
v
u n
dS
如果能找到调和函数 v , 使
r 得
v |
4
1
M0M
, 那么上式意味着
uM0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
n r r2 2
因此
u
1/ r
r
dS
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u
同理可得
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
我们可得
u
n
1 r
1 r
u z
v z
u
2v z 2
dV
(uxuxv 2vuy
vyv2uuz)dvzVdV
uuuuur uuuuur
grad u grad v
dV
u
2vd(uVuxnv2v2
n dS
4、调和函数的平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数,
M 0 是 内任一点, Ka 表示以 M 0 为中
心, a 为半径且完全落在 内的球面,
则有
u M0
1
4 a2
Ka
udS
证明见P135-p136
6.3 格林函数
调和函数的积分表达式
u
无界空间的格林函数，又称为基本解； 齐次边界条件的格林函数。
6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 它描述稳恒状态下的物理过程，如热传导达到平 衡状态。通常表示成
2u 0
第六章 拉普拉斯方程的 格林函数法
Green函数
▪ Green函数表示纯点源产生的场，不计初始条件 和边界条件。
▪ 分类：
➢按泛定方程可以分为：
稳定问题的格林函数 L = Δ 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
➢按边界条件可以分为
说明:
上述公式告诉我们，对任意连续 函数 f ，求解拉普拉斯方程的 第一边值问题可以转化为求此区 域内的green函数，而要确定 green函数有必须求解一个特殊 的第一边值问题。
要想确定格林函数, 需要找一个调和函
数 v, 它满足:
v
| .
对于1 一般的区域,
4 rM0M
确
定 并不容易v , 但对于一些特殊的区域,
可以证明函数
1 r
除点 M 0 外处处满足拉
普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的
基本解. 其中 M（x，y，z） 是 中的动
点。
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0
的球形邻域 K， 是其球面。
1
在区域 K 内及其边界 是任意可导的。
上，
v
r
在第二格林公式中, 取 为u 调和函数, 并假
则狄利克雷问题
2u 0, u u | f
的解如果存在, 必可以表示为
uM0
f
M
GdS n
类似的，泊松问题 2u F, u
u | f
的解若存在, 必可以表示为
uM0
f
M
GdS n
GFdV
有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
(u
v n
v
u n
)dS
0
与
uM
0
1
4
uM
n
1 rM 0 M
1 rM 0 M
uM
n
dS
相加得
函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在
第二格林公式中取 u 为上述调和函
数, v 1 内问题( u
n
, 则有 | f )
有解un的dS必要0 条.件所为以函牛数曼f
满足 fdS 0
这个结果告诉我们，不可以随便地提诺 依曼内问题，只有当所给边界函数满足 上式时，拉普拉斯方程的诺依曼内问题 才可能有解。
在第一格林公式中取 u v u1 u2 v, 由
是调和函数，可得
0
பைடு நூலகம்
v
v n
dS
uuuuur uuuuur grad v grad v
dV
v
在两个边界条件下，都有
所以
uuuuur 2
grad v dV
0.
v
n
dS
0
uuuuur
拉普拉斯方程的解称为调和函数。 不存在初始条件.
边界条件分为:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题
2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
6.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面为边界的有界区
dS
u
n
4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0
u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
域，Px, y, z， Qx, y, z，Rx, y, z在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则
P x
Q y
R z
dV
P
cos n,
x
Q cos n,
y
R
cos n,
z
dS
其中n 为 的外法向量。
x
y
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端
u
v x
cosn,
x
v y
cosn,
y
v z
c
osn,
z
dS
u v dS n
等交式换左u端, v 的位置, 有
定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 ,
在区v 域1 上应用公 式 K得
r
K
u2
1 r
1 r
2u
dV
u
1 r n