第六讲格林函数法刘

M
0



1
4


u M

n
1 rM0M

1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0


G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x

x0
)2


y

y0
2


z

z0
2

2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x

x0
)2


y

y0
2

z02

u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS

4
u

4

u n

0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4

u n


0
于是
uM0



1
4


u M

n

1 rM0M

1 rM0M
u M
uM0

u
v

1
n 4
1 n rM0M



1
4rM
0
M

v
u n
dS
如果能找到调和函数 v , 使
r 得
v |
4
1
M0M
, 那么上式意味着
uM0

u
v

n
1
4
1 n rM0M
n r r2 2
因此
u

1/ r
r
dS

1
2
udS


1
2
u 4 2

4 u
同理可得


1 r
u n
dS

1



u n
dS

4

u n

我们可得



u
n

1 r


1 r

u z
v z

u
2v z 2
dV




(uxuxv 2vuy
vyv2uuz)dvzVdV
uuuuur uuuuur
grad u grad v
dV

u
2vd(uVuxnv2v2
n dS
4、调和函数的平均值公式
设函数 uM 在某区域 内是调和函数,
M 0 是 内任一点, Ka 表示以 M 0 为中
心, a 为半径且完全落在 内的球面,
则有
u M0

1
4 a2
Ka
udS
证明见P135-p136
6.3 格林函数
调和函数的积分表达式
u
无界空间的格林函数，又称为基本解； 齐次边界条件的格林函数。
6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 设 u ux, y, z 满足拉普拉斯方程
2u 2u 2u 0,
x2 y 2 z 2 它描述稳恒状态下的物理过程，如热传导达到平 衡状态。通常表示成
2u 0
第六章 拉普拉斯方程的 格林函数法
Green函数
▪ Green函数表示纯点源产生的场，不计初始条件 和边界条件。
▪ 分类：
➢按泛定方程可以分为：
稳定问题的格林函数 L = Δ 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
➢按边界条件可以分为
说明:
上述公式告诉我们，对任意连续 函数 f ，求解拉普拉斯方程的 第一边值问题可以转化为求此区 域内的green函数，而要确定 green函数有必须求解一个特殊 的第一边值问题。
要想确定格林函数, 需要找一个调和函
数 v, 它满足:
v
| .
对于1 一般的区域,
4 rM0M
确
定 并不容易v , 但对于一些特殊的区域,
可以证明函数
1 r
除点 M 0 外处处满足拉
普拉斯方程, 它称为三维拉普拉斯方程的
基本解. 其中 M（x，y，z） 是 中的动
点。
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0
的球形邻域 K， 是其球面。
1
在区域 K 内及其边界 是任意可导的。


上，
v

r
在第二格林公式中, 取 为u 调和函数, 并假
则狄利克雷问题
2u 0, u u | f
的解如果存在, 必可以表示为
uM0



f
M

GdS n
类似的，泊松问题 2u F, u
u | f
的解若存在, 必可以表示为
uM0



f
M

GdS n

GFdV
有一阶连续偏导数，利用第二格林公式

(u2v v2u)dV



(u
v n

v
u n
)dS
可得


(u
v n

v
u n
)dS

0
与
uM
0



1
4

uM

n

1 rM 0 M


1 rM 0 M
uM
n

dS
相加得
函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在
第二格林公式中取 u 为上述调和函
数, v 1 内问题( u
n
, 则有 | f )
有解un的dS必要0 条.件所为以函牛数曼f
满足 fdS 0

这个结果告诉我们，不可以随便地提诺 依曼内问题，只有当所给边界函数满足 上式时，拉普拉斯方程的诺依曼内问题 才可能有解。
在第一格林公式中取 u v u1 u2 v, 由
是调和函数，可得
0

பைடு நூலகம்

v
v n
dS

uuuuur uuuuur grad v grad v
dV
v
在两个边界条件下，都有
所以
uuuuur 2
grad v dV


0.
v
n
dS

0
uuuuur
拉普拉斯方程的解称为调和函数。 不存在初始条件.
边界条件分为:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题
2)第二边值问题
u 0 ()
u f n
纽曼(Neumann)问题
6.2 格 林 公 式
高斯公式：设 是以光滑曲面为边界的有界区
dS

u
n

4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0




u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
域，Px, y, z， Qx, y, z，Rx, y, z在闭域 上连
续,在 内有一阶连续偏导数，则



P x

Q y

R z
dV



P
cos n,
x

Q cos n,
y

R
cos n,
z
dS
其中n 为 的外法向量。
x
y
z
则 P,Q, R C C1
将 P, Q, R 代入高斯公式，等式右端


u
v x
cosn,
x

v y
cosn,
y


v z
c
osn,
z
dS


u v dS n
等交式换左u端, v 的位置, 有

定它在 上有一阶连续偏导数, 而取 ,
在区v 域1 上应用公 式 K得
r
K

u2
1 r

1 r
2u

dV


u

1 r n


1 r
u n

dS
在球面 上,
1/ r 1/ r 1 1
的负电荷，M 1使这两q 种电荷产生的电位在球
面上互相抵消, 即
而 M 0 和 M1 处的点电荷在 内的电位差就
是所要求的格林函数。
下面以半空间、球域为例说明电象法的应用。
1、 半空间的格林函数 求解拉普拉斯方程在半空间 z 0的狄利克 雷问题，即求函数 ux, y, x满足
2u 2u 2u 0, z 0
x 2 y 2 z 2
故在 内必有 grad v 0 , 即
v v v 0 x y z
可得 v C ，其中C 为常数.
对于狄利克雷问题, 由于v | 0 , 故 C 0
从而 v 0 .
结论 狄利克雷问题在 C1 C2
内的解是唯一确定的,牛曼问题的 解在相差一个常数下也是唯一确定的.
2、 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1 , u2 是定解问题的两个解，则它们的
差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件
的解。对于狄利克雷问题， v 满足
2v 0, v v | 0
对于牛曼问题, v 满足
2v 0,

v n
|

0
v
vy2v2unz2)v2dSdV
第二格林公式


所以

u2vdV
u

v n
dS
uuuuur uuuuur
grad u grad v dV
第一格林公式
6.3 Green公式的应用
1、 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是在以 为边界的区域 内的调和
如半空间，球域等, 格林函数可以通过
初等方法得到. 我们通常使用“电象法”
求解。
6.4 特殊区域的格林函数 及狄利克雷问题的解
所谓电象法，就是在 M 0放置一单位正电 荷，在区域 外找出 M0关于边界 的象 点 M 1 ，然后在象点放置适当单位的负电荷 ，由它产生的负电位与 M 0 处的单位正电 荷所产生的正电位在曲面 上互相抵消。
3 2
原问题的解
uM 0



f
M
GdS
n

1
2

f x, y

(x x0 )2
z0
y
y0 2

z02
3 2
dxdy
2 球域的格林函数
设有一个球心在原点,半径为 R的球面 ,在 球内任取一点 M 0 (rO连M0 接 0 ) 并延长OM至0 点 使得 M1 , 点 称为 r r OM0 OM1 R2 关于球M面1 的反M演0点. 在点 放置单位正电荷，M在0 点 放置 单位
抵消。
由于 4 在闭域
r1上M1在M具上有z半一空0阶间连续偏z内导为0数调，和因函此数，
GM,M0
1
4
1 rM0M
1 rM1M

就是半空间 z 0 的格林函数.
为了求解狄利克雷问题,
需要计算
G n
| z 0。
由于外法线方向恰好是 Oz轴的负向, 所以

P Q R
xv2yudVz
dV

v u dS
uuuuur uuuuur grad v grad u dV
两式相减, 得 n

u x
v x
u
2v x 2
dV


u v 2v
y y u y 2 dV
3、 调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和 函数及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分来表达调和函数在 内任一点的 值.
设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内一固定点, 下面
求调和函数在这一点的值. 为此构造一个 辅助函数
v1
1
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
高斯公式可简记为
adV a ndS


设 u ux, y, z,v vx, y, z 满足
u, v C1 C 2
令 P x, y, z u v ，Q x, y, z u v ， Rx, y, z u v