高中数学函数的极值和最值专题讲义

高中数学函数的极值和最值专题讲义【考纲要求考纲要求】】1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络知识网络】】【考点梳理考点梳理】】要点一要点一、、函数的极值函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释要点诠释：：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f ′； ③求方程0)(=′x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二要点二、、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释要点诠释：：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f ′； （2）求方程0)(=′x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(=′x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题典型例题】】类型一类型一：：利用导数解决函数的极值等问题利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈−+=若函数1)(−=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+−∈ 因为1)(−=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m −=−−= 所以3m =。

又(1)3,'(1)12f f ==所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x −=− 即1290x y −−=. 举一反三举一反三：：【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =−+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；(2)求证：当ln 21a >−且0x >时，221x e x ax >−+． 【解析】（1）由()22,x f x e x a x =−+∈R 知()2,x f x e x ′=−∈R ．令()0f x ′=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x ′的变化情况如下表：x (,ln 2)−∞ln 2(ln 2,)+∞()f x ′ － 0 +()f x单调递减2(1ln 2)a −+单调递增故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)−∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =−+=−+(2)证明：设2()21x g x e x ax =−+−，x ∈R 于是()22x g x e x a ′=−+，x ∈R由(1)知当ln 21a >−时，()g x ′最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a ′=−+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x ′>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >−时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2210x e x ax −+−>，故221x e x ax >−+．【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a，b），导函数'()f x 在（a，b）内的图如图所示，则函数()f x 在（a，b）内的极小值有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A。

类型二类型二：：利用导数解决函数的最值问题利用导数解决函数的最值问题 例2.已知函数2()(),x f x x mx m e =−+其中m R ∈。

（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。

【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则20x mx m −+=有实根， 240m m ∆=−≥，即04m m ≤≥或（2）当0m <时，函数定义域为R 22()(2)()(2)(2)x xx xf x x m e x mx m e x x mx e x x m e ′=−+−+=+−=+−由()0f x ′=，则02x x m ==−或 由()0f x ′>，则02x x m ><−或 由()0f x ′<，则20m x −<< 列表如下：x(,2)m −∞−2m −(2,0)m −(0,)+∞'()f x + 0 - 0 + ()f x增极大值减极小值增所以()f x 在(,2)m −∞−，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m −上单调减。

又知当2x m <−→−∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >； 而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =. 举一反三举一反三：：【变式】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]−∞−上的最大值.【解析】(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>, 则()2f x ax ′=,12k a =,3()g x x bx =+,则2()=3g x x b ′+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+, ∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b = =. (2)Q 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a ′=++,令()0h x ′=,解得:12a x =−,26a x =−;Q 0a >,∴26a a −<−,∴原函数在2a−∞−，单调递增,在26a a−−，单调递减,在6a −+∞，上单调递增①若12a −−≤,即02a <≤时,最大值为2(1)4ah a −=−;②若126a a −<−<−,即26a <<时,最大值为12a h−=③若16a −−≥时,即6a ≥时,最大值为12a h −=.综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =−;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h−=. 例3.设3211()232f x x x ax =−++．（Ⅰ）若()f x 在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）当02a <<时，()f x 在[1，4]上的最小值为163−，求()f x 在该区间上的最大值．【解析】（Ⅰ）由2211()2224f x x x a x a′=−++=−−++． 当2,3x ∈+∞ 时，()f x ′的最大值为22239f a ′=+ ；令2209a +>，得19a >−，所以，当19a >−时，()f x 在2,3+∞上存在单调递增区间．（Ⅱ）令()0f x ′=，得两根1x =2x =． 所以()f x 在1(,)x −∞，2(,)x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增． 当02a <<时，有1214x x <<<， 所以()f x 在[1，4]上的最大值为2()f x ． 又27(4)(1)602f f a −=−+<，即(4)(1)f f <， 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =−=−，得1a =，22x =，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2)3f =． 举一反三举一反三：：【变式1】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+−−<<求)(x f 的最小值; 【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）22'()(log )'[(1)log (1)]'f x x x x x =+−− 222211log log (1)log log (1)ln 2ln 2x x x x =−−+−=−− 令1'()02f x x ==得 当102x <<时，'()0f x <, ∴()f x 在区间1(0,)2是减函数； 当112x <<时，'()0f x >, ∴()f x 在区间1(,1)2是增函数.∴()f x 在12x =时取得最小值且最小值为1()12f =−. 【变式2】已知函数f（x）＝x 3＋ax 2＋bx＋c 在x＝－23与x＝1时都取得极值（1）求a、b 的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f（x）<c 2恒成立，求c 的取值范围。