拓扑学教案1

《点集拓扑学》教案(40学时)

第一章 序言与分析学初步

§1-1 拓扑学的几何与分析两大背景

拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。后来，集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。

一、以几何学研究作为发展背景

被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736年，欧拉在彼得堡担任教授时，解决了一个 “七桥问题”，并认为是拓扑学产生的萌芽。

当时普鲁士首府哥尼斯堡有一条普雷格尔河，这条河有两个支流，还有一个河心岛，共有七座桥把两岸和岛连起来。有人提出一个问题：“如果每座桥走一次且只走一次，又回到原来地点，应该怎么走？”

图1 七桥问题

欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。

“七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关，仅与连接方式有关。

几何学的其他例子

① 欧拉的多面体公式与曲面的分类

欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体），其顶点数v 、棱数e 、面数f 之间总有 2=+-f e v 的关系。由此可证明正多面体只有五种。

对于非凸多面体（如图2呈框形，则不管框的形状如何），总有

0=+-f e v

这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。

B

D

图2 凸形与框形

在连续变形下，凸体的表面可以变成球面，框的表面可以变成环面（轮胎面）。这两者都不能通过连续变形互变（图3）。在连续变形下封门曲面有多少种不同类型？怎样鉴别他们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。

图3 球面与环面

②纽结问题

空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（如图4中两个三叶结能否互变）。同时给出严格证明，那远不是件容易的事了。

图4 圆圈与三叶结

③布线问题（嵌入问题）

一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？做印制电路时自然会碰到这个问题。图5左面的图，把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。但图6中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上。1930年K·库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个图之一。

图5 可嵌入的网络图6 不可嵌入的网络

以上这些例子说明，几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。这些性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。这种性质就是图形的所谓拓扑性质。

拓扑学起初叫形势分析学，这是G．W．莱布尼茨1679年提出的名词。

拓扑学这个词(中文是音译)是J．B．利斯廷1847年提出的，源自希腊文位置、形势与学问。

人们也将拓扑学称为“橡皮筋上的几何学”。

二、以分析学研究作为发展背景

拓扑学的另一渊源是分析学的严密化和分析学在度量空间上的拓展。

康托尔的集合论提出，极大地拓展了数学的研究领域，使数学分析从数域延拓到任何抽象空间。康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如：聚点、开集、连通性等。

在集合论的思想影响下，分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念。把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限，这终于导致了抽象空间的观念。人们试图利用实分析的方法来研究泛函分析，我们会发现，实分析是建立在极限理论基础之上的，如函数的连续性、微分定义、定积分定义、无穷级数和与收敛性等等都与极限概念分不开。

在实数空间（欧几里得空间）上极限依赖着距离的概念，因此，泛函的研究必须在函数空间上建立相应的度量或范数。

对于根本不存在度量的抽象集合上，又如何讨论映射的连续和收敛的性质？人们通过极限定义中的“邻域”概念表述，将邻域视为与形状、尺度无关，仅仅与描述的元素有关的集合（开集），于是，将邻域作为拓扑概念，利用它得出诸如聚点、闭包、连通性、映射的连续性等一系列平行于度量空间上分析数学的结论。

三、近代数学与几何学的关系

牛顿数学的基础是解析几何，微积分的建立是离不开几何背景的。

但是，牛顿数学是建立在实数空间上的数学工具，数学分析方法是否可以移植到一般的抽象空间上来？

自从1873年康托建立了集合论以后，欧氏空间仅仅看成为一个特殊的集合，将欧氏空间上的数学分析方法移植到抽象空间上来，就成为现代分析数学的一个重要研究内容。

例：以集合论为工具，以几何学为背景的近代数学研究：

①泛函（微分方程的研究）-----映射；

②度量空间（研究收敛性）-----距离；

③线性空间理论----直线，平面；

④内积与正交性（空间表示理论，函数的变换）----垂直；

⑤测度论----长度，面积，体积，质量；

⑥拓扑学----邻域。

（1）函数概念的提升：映射、泛函

一个大家所熟知的直观的数学概念的提升就是映射，它是函数概念的推广。

函数是数与数之间的对应关系，映射则是一个集合中元素与另一个集合中之间的对应关系。

（2）度量空间

分析数学（微积分）的主要对象是函数，分析的工具是极限理论，极限的依据是距离。如微分的定义、积分的定义、函数连续的定义、级数的收敛定义等等，都是以极限理论为基础的，而极限的概念与距离有关。因此，微积分学中的主要数学概念几乎都是与距离分不开的。

在泛函分析中，研究的对象不再是一般的实数，所以必须在抽象的集合中引入距离的概念，称之为度量空间。

距离的公理是：X B A ∈∀,，+

→⨯R X X d : 1）、d (A ,B )>0, 当A=B 时，d (A ,B ) = 0

2）、d (A ,B ) = d (B ,A )

3）、d (A ,C ) + d (C ,B ) > d (A ,B )

若集合X 上按上述方式定义了一个距离，称(X , d )为一个距离空间或度量空间。

例如，定义可积函数间的距离为

（3）线性空间

直线和平面是欧氏几何学中最简单的、意义最清晰的几何体，欧氏几何学是我们现实空间的几何，如何在抽象空间中做出这种几何体？

过原点直线L0的性质:

1）、a ∈L 0, R k ∈，则a k ⋅∈L 0; 2）、a , b ∈L 0, 则 a +b ∈L 0。

对于抽象集合X ，若(1)、a ∈X, 有 k.a ∈X;（2）、对任意的a ,b ∈X, 有 a +b ∈X 。则称X 为线性空间（即抽象空间的直线）。

不过原点的直线 L 1 则不具有上述性质。 平行L 0的直线L 1的性质： 1）、p ∈L 1, a ∈L 0, 则 a +p ∉L 1；

⎰-=b

a

dx

x g x f g f d )()(),

( f A B