正弦余弦均值不等式及其应用

正余弦均值不等式及其应用

石嘴山市一中 刘

先看个例子：

在 △ABC 中，分别判断满足下列条件的三角形形状 ？

⑴ sin A + sin B + sin C =

332

⑵ sin A·sin B·sin C = 338

⑶ cos A + cos B + cos C = 32

⑷ cos A·cos B·cos C = 18

⑸ sin A 2+ sin B 2+ sin C 2

= 32 ⑹2sin A +2sin B +2sin C = 94

⑺2cos A + 2cos B + 2cos C = 32 答案：以上各题的三角形均仅为正三角！

对于这样的题目，往往首先想到用三角恒等变形或正余弦定理直接导出 A = B = C 或 a = b = c 。实践证明，这种方法根本行不通！ 这些题目一般思路是灵活借用判别式法、不等式法、数形结合法等进行所谓“巧妙变换”来解之。其“巧妙”程度因题而异，没有固定模式，不易掌握。实际上，这些题目属于同一类问题，应有统一解法，本文就此问题进行探讨。

定理1：对于任意角α、β，令 γ = 2αβ

+ ，则

│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│ ①

sinα·sinβ ≤ 2sin γ ②

│cosα+ cosβ│≤ 2│cosγ│ ③

cosα·cosβ ≤ 2cos γ ④

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。

定理1 仅是本文的特例，我们可以称：

① 为 正弦和中值最大不等式；

② 为 正弦积中值最大不等式；

③ 为 余弦和中值最大不等式；

④ 为 余弦积中值最大不等式，

也可把它们统称为 正余弦中值定理 或 正余弦中值不等式。

证明：① ∵│sinα+ sinβ│=│2 sin 2αβ

+·cos 2αβ

-│≤│2 sin 2αβ

+│

∴│sinα+ sinβ│≤ 2│sinγ│

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。

② ∵ sinα·sinβ=

12

［cos(α-β) - cos(α+β)］ = 12［cos(α-β) - 1 + 2·sin 2(2αβ+)］≤ sin 2(2αβ+) ∴ sinα·sinβ ≤ sin2γ

当且仅当 α＝β + 2 kπ（ k ∈Z ）时，取“＝”号。 ③、④ 同理可证。

注意：②、④ 没有绝对值符号，比如：α＝2π，β＝2π

-，得 sinα·sinβ＜sin2γ，但│sinα·sinβ│＞│sin2γ│。

定理2：对于任意角 α、β、γ ∈［0, 2

π］，令δ= 3αβγ++，则 sinα+ sinβ+ sinγ ≤ 3 sinδ

sinα·sinβ·sinγ ≤ sin 3δ

cosα+ cosβ+ cosγ ≤ 3 cosδ

cosα·cosβ·cosγ ≤ cos 3δ

当且仅当 α＝β＝γ 时，取“＝”号。

定理3：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［0, 2π］，令δ=12

n n ααα+++，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ

sinα1 ·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ

cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n co sδ

cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理4：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［0 ,π］，令δ=12n n ααα+++ ，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

sinα1 + sinα2 + + sinαn ≤ n sinδ

sinα1·sinα2 · ·sinαn ≤ sin n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理5：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［2π-, 2π］，令δ=12n n ααα+++，（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

cosα1 + cosα2 + + cosαn ≤ n cosδ

cosα1 ·cosα2 · ·cosαn ≤ cos n δ

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理6：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［π，2π］，令δ=12n n ααα+++，

（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

│sinα1 + sinα2 + + sinαn │≤ n │sinδ│ │sinα1 ·sinα2 · ·sinαn │≤│sin n δ│

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

定理7：对于任意角α1 、α2 、… 、αn ∈［

2π, 32π］，令δ=12n n ααα+++，（ n ≥ 2 ，且 n ∈N ），则

│cosα1 + cosα2 + + cosαn │≤ n │cosδ│ │cosα1 ·cosα2 · ·cosαn │≤│cos n δ│

当且仅当α1 ＝α2 ＝＝αn 时，取“＝”号。

我们不妨统称上述定理为 正余弦均值定理 或 正余弦均值不等式。其中，定理2、定理3、定理6、定理7 的实质可以概括为 定理4 及

定理5 。当然，以上定理可以拓展到任意周期内的相应角，这里不再赘述。

因以上定理的证明大同小异，所以这里我们只给出 定理3 的证明，其它定理的证明类似。

我们知道，有下列著名的Jensen 不等式

若 )(x f 是上凸函数，则对 )(x f 定义域中任何 n x x x ,,,21 ，有

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≤+++n x x x f n x f x f x f n n 2121)()()( 。 当且仅当 n x x x === 21 时，等号成立。

证明：

（1） 当 ]2,0[π

∈x 时，函数 x sin 和 x cos 都是上凸函数，所以根据 Jensen 不等式，当 ]2

,0[,,,221π

ααα∈ 时，必有 n n αααsin sin sin 21+++ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≤n n ααα 21sin ， n n αααcos cos cos 21+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤n n ααα 21cos ， 当且仅当 n ααα=== 21 时，取“＝”号。

令 n n

αααδ+++= 21 ，则有

δαααsin sin sin sin 21n n ≤+++ ，

δαααcos cos cos cos 21n n ≤+++ 。

（2）当 ]2,0(π

∈x 时，函数 x sin ln 是上凸函数，所以根据 Jensen 不等式，

当 ]2,0(,,,221π

ααα∈ 时，必有 n n αααsin ln sin ln sin ln 21+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤n n ααα 21

sin ln ，