05蒙特卡洛仿真

3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
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常用随机数的生成算法
随机序列的产生
MC仿真的应用
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高斯白噪声
在整个频域内具有恒定的功率谱密度（PSD） 实际系统常是带限的，常考察带限高斯噪声对系 统的影响。 对于带宽为B的系统，其采样频率为2B，在通带 内的噪声PSD 得采样方差为 维纳-辛钦定理
产生泊松分布的随机变量 产生均值和方差为λ的泊松分布变量X的 步骤: （解析变换） 设定A=1,k=0; 产生U[k]，服从[0,1]上均匀分布 设定A=U[k]A 如果A< ，X=k，返回步骤1，否则： 设定k=k+1，返回步骤3
1. 2. 3. 4. 5.
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指数分布
滑动部分系数为0，则产生了自回归模型 （AR(p)）模型，AR过程也称马尔科夫过程
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马尔科夫链的功率
输入序列 均值为0，方差为 的一个不相关 高斯序列，则p阶马尔科夫序列的相关函数为：
根据上式，可得
与
的关系
根据Yule-Walker方程可获得了AP(p)过程的参数
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高斯白噪声序列可以由N(0,1)的高斯随机数生成 器输出乘以 N 0 f S / 2 仿真实现。
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二进制随机序列与二进制随机波形
二进制随机序列{ }, = 0或1，可通过一个均匀 分布序列 来实现，其中
二进制随机波形：
采样率是N倍比特速率， 样值
是单位幅度脉冲采
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Gamma分布
Gamma分布
其中： a为整数时： 均值和方差
应用：等待时间的通用模型。
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产生Gamma分布的随机变量 产生参数为α、β的服从Gamma分布的随 机变量X的步骤： （解析变换） 设X=0； 生成参数为λ，服从指数分布的变量V 设定X=X+V 如果α=1，返回X= β X，然后返回步骤 1，否则： 设定α= α -1，返回到步骤2.
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离散随机变量的变换方法 离散型随机变量Z： 有限型Z值生成算法：
1. 2. 3. 4.
，
设定k=1； 产生[0,1]上均匀分布的U； 如果 ，输出 ，返回步骤1，否则： 令 ，返回步骤3。
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1. 2. 3. 4.
无限型Z值的生成算法： 令 产生在[0,1]上均匀分布的U 如果 ，输出 ，返回步骤 1，否则： C 令 ， = AkC (Ak = pk / pk −1 ) ， ， 返回步骤3。
相关的随机序列有着重要的应用，如仿真 语音信号源、时变的通信信道等。 相关高斯序列模型在仿真中应用广泛。 生成相关高斯序列的方法： 1. 基于相关函数的时域方法 2. 基于功率谱密度的频域方法
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ARMA模型方法
滑动自回归（ARMA）模型，利用一个不相关的 高斯序列得到相关的高斯序列
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解析变换法
设随机变量Z的概率密度函数为 今有 ， 是Z的累积分布函数， 显然Y在[0,1]上均匀分布。 结合以上事实，利用 则可以产生 Z。 解析变换法的条件： 1. Z的累积分布函数能闭式表达 2. Z的累积分布函数的逆函数能闭式表达
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提纲
1 2 MC仿真背景
随机数的产生
3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
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常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
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随机数生成器的作用和意义
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随机数生成器的指标 代数特性：结构、周期 统计特性：输出的分布特性 运算复杂度
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随机数产生器汇总
pdf是闭式？ 是 是 cdf是闭式？ 否 否 量化pdf，计算经 验cdf，使用经验 逆变换
逆cdf是闭式？ 是
否
是
是否有限支 撑？
否
解析反变换
经验的反变 换
A/R方法
CAS
提纲
1 2 MC仿真背景 随机数的生成
N1 和 N 2 互素，则：
Wichman-Hill算法比同余算法计算更复杂
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一种常用的方法 用同余算法生成周期较短的随机数序列
可得出U(n)的周期：
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Marsaglia-Zaman算法
Marsaglia-Zaman算法：线性递归算法，能生成 周期更长的均与分布的随机数 在递归过程中使用了带进位的加法或者带借位的 减法。
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提纲
1 2 MC仿真背景 随机数的生成
3 任意概率密度的随机数产生 4 5 6
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常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
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产生任意概率密度随机数的方法 基本思路： 已有服从[0,1]内均匀分布的随机变量U， 为生成服从某概率分布的随机变量Y，建 立U与Y的关系，利用U来产生Y。 1. 解析变换方法 2. 经验搜索算法 3. 离散随机变量的变换方法
蒙特卡洛仿真
提纲
1 2
MC仿真背景
随机数的产生
3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
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常用随机数的生成算法 随机序列的产生 MC仿真的应用
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蒙特卡洛 蒙特卡洛（Monte Carlo ） 蒙特卡洛是摩纳哥公国第一大城市，与澳 门、美国拉斯维加斯并称世界三大赌城。
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二进制伪随机序列
二进制序列由统计独立等概率出现的0和1组成。 伪随机序列也称伪噪声（PN）序列，周期性的二 进制序列，自相关函数类似于二进制随机序列的 自相关函数。 常用用反馈的移位寄存器来PN序列。
M级移位寄存器有 个不同的状态，序列的周期 不会超过 。 如移位寄存器状态为全0，寄存器会进入“死锁”
例
用均匀分布的随机变量U生产具有单边指数的随机变量X
px (x ) = a exp( −ax )u (x )
求出x的CDF:
a >0
Fx (x ) = ∫ a exp( −ay )u (y )d y = 1 − exp( −ax )
x −∞
由于U在(0,1]内均匀分布，令：
U = 1 − exp( −ax )
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均匀分布随机数生成
程序语言一般自带了生成随机数的函 数，如c++中的rand()。 经常不能满足MC仿真的需求 常用的算法： 1. 同余算法 2. Wichman-Hill算法 3. Marsaglia-Zaman算法
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均匀分布随机数生成 简单高效的递归算法实现：同余算法
蒙特卡洛最著名的是其赌场。 Las vegas的Monte Carlo赌场
蒙特卡洛(MC)仿真，是一种基于“随机数” 的仿真方法。
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准解析MC仿真-分层 仿真中并不是所有的随机过程和随机变量 都采用MC仿真，而是对一些随机过程可以 用解析方法处理。 系统中一部分随机过程被直接仿真，而其 他的影响则利用解析的方法来处理，叫做 局部MC仿真或者准解析（QA）仿真 QA仿真比纯MC仿真需要更少的采样点， 但能产生同样准确度的估计
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GF( )有很多种表达方式，以GF(8) 为例
1. 多项式表达法 2. 二进制K维数组表达法 3. 本原值的n次幂表达法
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生成M进制PN序列
利用一个系数是GF(q)上的本原多项式 获得递归序列
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相关随机序列的产生
高斯分布 高斯分布：
均值、方差：
应用：热噪声的幅度分布、大量独立随机 情况决定的随机变量 中心极限定理
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产生高斯分布的随机变量 产生标准正态分布的随机数Y的方法： 12求和法：依据中心极限定理
注意：以上方法获得的Y值仅能分布在[-6.6]之间 取值12是效率和准确的折中，不是限定的
1. 2. 3. 4. 5.
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Rayleigh分布 Rayleigh分布
均值和方差
应用：信道衰落， 窄带高斯变量的包络
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产生Rayleigh分布的随机变量 思考题： 如何生成均值和方差分别是
服从Rayleigh分布的随机变量R?
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PN序列的性质 1. 一个周期内，1的个数总比0的个数多1个 2. 自相关函数是周期函数。 3. 游程规律：1/(2^m)的游程时间长度是 m。 4. 一个周期中具有所有的m位组合方式，除 m个0。最长的0值序列是m-1个0。
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M进制伪噪声序列 许多系统都用到了M进制波形 有限个（q个）元素组成的域叫做伽罗华域 （Galois field）GF(q)。 一个GF(q)域内的m阶多项式，如果可以整 除 （ ≥ ），此多项式叫做本原 多项式。 本原多项式的根称为本原值。 在电子、通信和计算机系统，常有M=
谱分析法
独立的高斯序列通过一个滤波器，输出的高斯序 列功率谱函数为 如果 则有 应用拉普拉斯变换，把 分解为 式，获得可实现的平稳的滤波器。
的形
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例1
寻找一个滤波器传输函数，该滤波器可以在输入为N(0,1) 的高斯随机过程时输出均值为0，PSD如下的高斯噪声 可得
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Box-Muller算法 用瑞利分布和均匀分布的变量变换生成高 斯随机变量：
1. 生成(0,1]上均匀分布、相互独立的随机变量 和 2. 得到一对独立高斯随机变量
产生的随机数取值整个实数域 较12求和y运算复杂度要高很多
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提纲
1 2 MC仿真背景 随机数的产生
3 任意概率密度的随机数产生方法 4 5 6
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常用随机数的生成算法
随机序列的产生 MC仿真的应用
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二项分布 二项分布 均值方差
应用：事件成功的可能性
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泊松分布 泊松分布
均值和方差
应用：给定时间给出现事件数、到达的信 息数等
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几点需要注意 同余算法生成的随机数范围：[0,M) ； 设计同余随机数生成器，为保证较长的周 期，需要选取的M较大：常选用2的整数次 方。 选取M时需要注意仿真所使用计算机自身的 位数。
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Wichman-Hill算法
便捷、易于实现长周期随机序列。 核心思想：合并不同的短周期随机数生成器的输 出结果获得长周期随机数序列。 两个周期分别为 N1 和 N 2 的序列波形相加，则其周 期：
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Marsaglia-Zaman算法
Ci −1
Ci
⎧0, Z ≥ 0 Ci = ⎨ i ⎩1, Z i < 0
+
+
+
+
Zi
⎧ Z ,Z ≥ 0 Xi = ⎨ i i ⎩Z i + b, Z i < 0
X i−r
X i −r +1
L
X i−s
L
Xi
基数b，滞后r和s，最大周期M-1，按如下方式确 定： 是素数，b是模M的本源根 初始化长度为r的寄存器矢量， 借位首先置0。
1 解得：x = − ln(1 − U ) a
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经验搜索算法
当CDF的逆变换不能闭式表达，可以采用经验搜 索算法来生成任意概率密度的随机数 1. 将连续分布随机变量Z的分布函数均匀量化
2. 3. 4. 5.
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产生均匀分布[0,1]的U i 令 Fi = ∑ j =0 p j ， 找到i，满足 输出
M是模数，为保证输出序列周期长度，选择较大的M a是乘数，0<a<M c是增量，c=1或者0 X(0)是种子，0<X(0)<M，种子的选取可能影响较短的子序 列性能
X (k ) = [69069 ⋅ X (k − 1) + 1] mod 232
对于32位的计算机，周期为2^32
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指数分布
均值和方差
应用：电子器件寿命、失效时间，信息可 信度，通信中的数据长度等
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产生指数分布的随机变量 参数为 的服从指数分布的随机变量Z的生 成步骤 （解析变换） 1. 产生在[0,1)或(0,1]上服从均匀分布的U 2. 或者 依据运算复杂度和U的区间
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