高三数学一模试卷

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科（理科） 2014.1
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．计算：210
lim
______323
n n n →∞+=+．
2．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是_______________．
3．计算：12243432⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
_______________．
4．已知3sin x =
，,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则x = ．（结果用反三角函数值表示） 5．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数=a
．
6． 如果11111
()12312
n f n n n =+
+++++++L L （*n N ∈）
那么(1)()f k f k +-共有 项． 7．若函数()f x 的图象经过(0,1)点，则函数(3)f x +的反函数的图象必经过点_______． 8．某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同
一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）
9．双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =____________．
10．在平面直角坐标系中，动点P 和点()2,0M -、()2,0N 满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r
，则动
点(),P x y 的轨迹方程为__________________．
11．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ．已知这组数据的平均数为 10，方差为2，则x y -的值为___________________．
12．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边
分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy
x y
+的值为
_________________．
13．一个五位数,,,abcde a b b c d d e <>><满足且,(37201,45412a d b e >>如），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．
14．定义区间],[],(),,[),(d c 、d c d c 、d c 的长度均为)(c d c d >-.已知实数,().a b a b >则满足
x b x a x 的11
1≥-+-构成的区间的长度之和为_______．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．直线(0,0)bx ay ab a b +=<<的倾斜角是 --------------------------------( )
（Ａ）arctan
a b π- （Ｂ）arctan b a π- （Ｃ）arctan()a b - （Ｄ）arctan()b a
- 16．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）向右平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （B ）向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（C ）向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（D ）向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
17．函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是----------------------------------------------（ ） （A ）0ab = （B ）0a b += （C ）2
2
0a b += （D ）a b =
18．已知集合()(){},M x y y f x =
=，若对于任意()1
1
,x y M ∈，存在()2
2
,x y M ∈，使得
12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①()1,M x y y x ⎧⎫
==
⎨⎬⎩
⎭
； ②(){},sin 1M x y y x ==+}； ③(){}2,log M x y y x =
=；
④(){}2x
M x,y |y e ==-．
其中是“垂直对点集”的序号是 （ ） （A ） ①② （B ） ②③（C ） ①④ （D ） ②④
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19．（本题满分12分）
在ABC ∆中，,BC a AC b ==，a b 、是方程2
20x -+=的两个根，且0
120A B +=。

求ABC ∆的面积及AB 的长．
20．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-． （1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围； （2）求()()g x f x -的最大值．
21．（本题满分14分；第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年） 满足如下的函数关系：()4
10
12
t f t -+=
+．（设该生物出生时0t =） （1） 需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2） 设出生后第0t 年内，该生物长得最快，求()
00t t N *∈的值．
22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
给定椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O C 的“伴
随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是12(F F ．
（1）若椭圆C 上一动点1M 满足1112||||4M F M F +=u u u u u r u u u u u r
，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点(0,)(0)P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随
圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()cos 3
,(,0,)sin sin m n mn m n θθπθθ
+=-
=-≠∈，是否存在,a b ，使椭圆C 的“伴随圆”
上的点到过两点2
2
(,),(,)m m n n 的直线的最短距离min d b =．若存在，求出,a b 的值；
若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n (2,3,4,)n =L 阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=L ；②1231n a a a a ++++=L ．
（1）若等比数列{}n a 为2k (*k N ∈)阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；
（2）若一个等差数列{}n a 既是2k (*k N ∈)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式； （3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =L ：
（ⅰ）求证：1
||2
k S ≤
； （ⅱ）若存在{1,2,3,,}m n ∈L 使1
2
m S =
，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1． 2． 3．
4． __ 5． _ 6．
7． __ 8． _ 9．
10． 11． 12．
1３． 1４．
二、选择题（本大题共4题，满分20分。

本大题必须使用2B铅笔填涂） 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]。