高三数学一模试卷

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科（理科） 2014.1

一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．计算：210

lim

______323

n n n →∞+=+．

2．函数sin 2cos 2y x x =的最小正周期是_______________．

3．计算：12243432⎛⎫⎛⎫

= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

_______________．

4．已知3sin x =

，,2x ππ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，则x = ．（结果用反三角函数值表示） 5．直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数=a

．

6． 如果11111

()12312

n f n n n =+

+++++++L L （*n N ∈）

那么(1)()f k f k +-共有 项． 7．若函数()f x 的图象经过(0,1)点，则函数(3)f x +的反函数的图象必经过点_______． 8．某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同

一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）

9．双曲线2

2

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =____________．

10．在平面直角坐标系中，动点P 和点()2,0M -、()2,0N 满足||||0MN MP MN NP ⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r

，则动

点(),P x y 的轨迹方程为__________________．

11．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为,,10,11,9x y ．已知这组数据的平均数为 10，方差为2，则x y -的值为___________________．

12．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边

分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy

x y

+的值为

_________________．

13．一个五位数,,,abcde a b b c d d e <>><满足且,(37201,45412a d b e >>如），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有_______个五位数符合“正弦规律”．

14．定义区间],[],(),,[),(d c 、d c d c 、d c 的长度均为)(c d c d >-.已知实数,().a b a b >则满足

x b x a x 的11

1≥-+-构成的区间的长度之和为_______．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．直线(0,0)bx ay ab a b +=<<的倾斜角是 --------------------------------( )

（Ａ）arctan

a b π- （Ｂ）arctan b a π- （Ｃ）arctan()a b - （Ｄ）arctan()b a

- 16．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π

的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A ）向右平移

6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （B ）向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（C ）向右平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）

（D ）向左平移

6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变）

17．函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是----------------------------------------------（ ） （A ）0ab = （B ）0a b += （C ）2

2

0a b += （D ）a b =

18．已知集合()(){},M x y y f x =

=，若对于任意()1

1

,x y M ∈，存在()2

2

,x y M ∈，使得

12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①()1,M x y y x ⎧⎫

==

⎨⎬⎩

⎭

； ②(){},sin 1M x y y x ==+}； ③(){}2,log M x y y x =

=；

④(){}2x

M x,y |y e ==-．

其中是“垂直对点集”的序号是 （ ） （A ） ①② （B ） ②③（C ） ①④ （D ） ②④

三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

在ABC ∆中，,BC a AC b ==，a b 、是方程2

20x -+=的两个根，且0

120A B +=。

求ABC ∆的面积及AB 的长．

20．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分） 已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-． （1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围； （2）求()()g x f x -的最大值．

21．（本题满分14分；第（1）小题5分，第（2）小题9分）

某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年） 满足如下的函数关系：()4

10

12

t f t -+=

+．（设该生物出生时0t =） （1） 需经过多少时间，该生物的身长超过8米；

（2） 设出生后第0t 年内，该生物长得最快，求()

00t t N *∈的值．

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）

给定椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，称圆心在坐标原点O C 的“伴

随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是12(F F ．

（1）若椭圆C 上一动点1M 满足1112||||4M F M F +=u u u u u r u u u u u r

，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点(0,)(0)P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随

圆”所得弦长为P 点的坐标； （3）已知()cos 3

,(,0,)sin sin m n mn m n θθπθθ

+=-

=-≠∈，是否存在,a b ，使椭圆C 的“伴随圆”

上的点到过两点2

2

(,),(,)m m n n 的直线的最短距离min d b =．若存在，求出,a b 的值；

若不存在，请说明理由．