第1章 计算方法误差
计算方法
计算方法的计算对象是微积分，线性代数， 计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、 程中的数学问题。内容包括：插值和拟合、数值微分 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。 计算方法的计算目标是高等数学问题的的数值解。
已知时， 当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*| 已知时
例 设 x = 1 ± 0.5, y = 10000 ± 5, x, y的近似值哪一个精度高些? 的近似值哪一个精度高些? 解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
某个量的数学模型是sin 由泰勒展式 例 某个量的数学模型是 x,由泰勒展式
x x x sin x = x + +L , ∞ < x < +∞ 3! 5! 7!
sin x ≈ x x3 x5 x7 cos ξ 3 x + +L = 截断误差 sin x x = 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
少位有效数字？ 少位有效数字？ 解法1 解法 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。 位有效数字。
x = 0.312036 × 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 解法
所以x有5位有效数字。 位有效数字。
故n= 5,
1.2.3.4 算术运算的误差
1.2.2 误差的来源与分类
1.《计算方法》-误差
《计算方法》教案（第一章误差）选用教材：普通高等教育“十一五”国家级规划教材《计算方法引论》（第三版）徐箤薇孙绳武编著主讲老师：刘鸣放2010年3月于河南大学一．基本内容提要1. 误差的来源2. 浮点数、误差、误差限和有效数字3. 相对误差和相对误差限4. 误差的传播5. 在近似计算中需要注意的一些问题二．教学目的和要求1. 熟练掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系；2. 了解误差的来源以及误差传播的情况，掌握在基本算术运算中误差传播后对运算结果误差限的计算方法和函数求值中的误差估计；3. 理解并掌握几种减少误差避免错误结果应采取的措施，了解选用数值稳定的算法的重要性。
三．教学重点1.绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的概念及其相互关系，误差传播，减少误差避免错误结果应采取的措施。
四．教学难点1.误差传播；2. 数值稳定算法的选用。
五．课程类型新知识理论课；六．教学方法结合课堂提问，以讲授为主。
七．教学过程如下：Introduction1.《计算方法》课程介绍计算方法是用数值的方法研究研究科学与工程中的计算问题；它的内容主要包括：近似值的计算和误差估计两个方面；主要工具：计算机；地位：这门课已成为工科各专业，特别是计算机科学与技术、土木工程、机械、数学等专业的必修基础课。
2.发展状况几十年来，计算方法效率的提高是与计算机速度的提高几乎同步地、同比例地前进的。
这里简述一下国家重点基础研究计划项目（简称973项目）“大规模科学计算研究”（1999-2004）的主要内容，可以帮助同学们了解我国科学计算界所关心的问题。
此项目由石钟慈院士等人为首组织，集中了我国计算数学、计算物理、计算力学、计算机、以及材料、环境能源等领域60多名专家，跨学科，跨部门通力合作研究以下几个方面的主要内容：（1）复杂流体的高精度计算，含天气预报数值模拟研究；（2）新材料的物理性质机理多尺度计算研究，含超导、超硬度合金等问题的计算研究；（3）地质油藏模拟与波动问题及其反问题计算研究；（4）基础计算方法的理论创新与发展；（5）大规模计算软件系统的基础理论和实施。
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
计算方法引论课后答案.doc
解:
dx n nx n1d x nd x n % . xn xn x
12. 计算球的体积,为了使相对误差限为 1%, 问度量半径 R 时允许的相对误差限如何? 解: 已知 V
4 3 dR R ,设 dr R a ,则要使得 3 R
dr V
1 dV dlnV d ln R3 3 d ln R 3 d ln R 3dr R 3a 1% ,则 a 1% . 3 V
1 1 104 , db 103 , 2 2 又 a b 0.20532 10 , 1 1 1 d a b da db da db 104 103 0.55 103 102 , 2 2 2 所以 a b 有三位有效数字; 因为 a b 0.10475714 10 , 1 1 1 d a b b da a db 0.947 104 1.1062 103 0.60045 103 102 2 2 2 所以 a b 有三位有效数字.
n
x l x x , k 0,1,..., n
j 0 k j j k
证明: 由于
1 i j; l j xi ij 0 i j.
且
x l x 和 x
j 0 k j j
n
k
都为 k 次多项式,而且在 k+1 个不同的节点处的函数值都相同
L1 x
所以
100 121
x 121
10
121 100
x 100
11
115 L1 115 10.7143 .
利用后两个节点建立线性插值可得:
L1 x
第一章_误差与范数
∧
Er ( x) ≤
∧
1 × 10 − ( n −1 ). 2 a1
反之，若 x 的相对误差限满足：
Er (x) ≤
∧
1 2 ( a 1 + 1)
× 10
− ( n −1)
,
则 x 至少具有 n 位有效数字。 ，相对误差限就越小 ，即近似数 的 可见有效数字的位数越多 有效数字的位数越多， 相对误差限就越小， 即近似数的 ，用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高 。 有效位数越多 有效位数越多， 用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高。 例 为使 20 的近似值的相对误差小于 1%,问至少应取几位 有效数字？ 解
∧
x−x
∧
x
≤δ ，
则称 δ 为近似值 x 的相对误差限，相对误差是无量纲的数，通常 用百分比表示，称为百分误差。 例 求 x = 3 .14 与 π 的相对误差限。 解 由于 3.1415 < π < 3.1416 ，因此
∧
∧
|
x− π
∧
|≤|
x
3.14 − 3.1416 |< 0.00051 3.14
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法
的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的 密切结合，重视 误差分析 、收敛性 及稳定性 的基本理论； 其次还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解 各种方法的异同及优缺点。
2
§1.1 误差的来源
在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作， 而影响精确度的因素是各种各样的误差， 它们可分为两大类：
有区别的，前者只有 3 位有效数字，而后者则具有 4 位有效数字。
∧ ∧
第1章 计算方法误差
3.1416 1 104
2
3.14159 1 105
2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。
(1) 模型误差
从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。
(2) 观测误差
一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
Get to class on time; Turn off your pager or
cellular phone during the class; Don’t talk during lecturing; Raise your hand if you have any questions.
x*x x
（1-6） （1-7）
为近似值x的相对误差限。 绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。
相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
计算方法-误差
举例4：计算 tg(1.57079)，tg(1.57078)
x 1.57079 , x* 1.57078
(x*) | x x* | 0.00001
r (x*) | (x x*) / x* | 6.410-6
| f ' (x*) | 1 3.8 109
c os2 ( x*)
15
( y*) | f ' (x*) | (x*) 3.8 104
| x * f ' (x*) / f (x*) |
1
9.6 104
s in( x*) c os (x*)
r ( y*) 0.6
y = tan(x) 1.580579134162482e+ 005
y* = tan(x*) 6.124900853150305e+ 004
( y*) =| y-y* | 9.680890488474515e+ 004
1 22
x2 2!
1 x2 3 x3 35 x4
22 2! 23 3! 24
4!
6.172839438271605e-16
3 23
x3 3!
35 24
x4 4!
6.1728394382716030948026634659e-16 3
• 举例3-1：计算机的精度限制（舍入误差）
-- 在matlab中运行计算：
f ( x1, x2 ) f ( x1*, x2 ) f ( x1*, x2 ) f ( x1*, x2*)
f
(1, x2 )
x1
( x1
x1*)
f
( x1*,2 )
x2
( x2
x2*)
f
( x1*, x2*) x1
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
第一章误差
数的相对误差。
r* 0 , 使 如果 存在
er ( x)
* r
r* 为近似数 成立，则称正数
x 的相对误
*
差限，常用百分数表示。
例如 比较两个近似数：
x1 100 2
（4）舍入误差：由于计算机计算字长限制，自动
进行四舍五入而产生的误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
、
避免两接近的近似数相减！
e xy x y max e x , e y , er xy er x er y ;
x y e x x e y e , 2 y y
k sk ak x0 , k 0,1, , n 解、算法一： n P k 0 sk
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2, , 2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法 例2：计算积分
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
练习:
若 x 3.14159265 ，分别判断下列近似
数有几位有效数值 。
1、x1 3.1382673
三位有效数值
三位有效数值
2、x2 3.1410673
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
计算方法 第1章 误差
则x*至少有n位有效数字。
第1章 误差
从上面几个结论可知：有效数字位数可刻画近似
数的精确度；绝对误差与小数点后的有效数字位数有 关；相对误差与有效数字的位数有关。
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
§3 算术运算结果的误差
3.1 加减法
第1章 误差
高等学校工科电子类教材
《 计 算 方 法 》
计算方法
董丽丽
大连海事大学信息工程学院
第1章 误差
28学时：讲课22学时、实验2学时、
考试 2 学时、放假2学时
《 计 算 方 法 》
考试：70% 实验：20% 平时课堂作业：10%
第1章 误差
目 录
《 计 算 方 法 》
第一章 误差
（2）
《 计 算 方 法 》
第1章 误差
选择数值方法-1
《 计 算 方 法 》
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机 直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型 的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化， 转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算 程序，再上机计算得出满意的数值结果。
第1章 误差
l0），则:
《 计 算 方 法 》
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1，α、β为参数，可估计为 α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
于是知，lt-Lt为模型误差，10-6是观测α、β而产生的误 差，因此为量测误差。
第1章 误差
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样 《 计 产生的误差称为截断误差。 算 方 法 》 舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须 进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。
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1 3.14159 105 2
若近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 时，称其“精确”到这一位，且从该位起直到
左起第一位非零数字都称为有效数字。 定义： x为x*的近似数，将x写成： 是 0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9中的一个数，且： x1 0 ，n为正整数，m是 整数，且x的绝对误差限满足不等式：
f ( x ) f ( x* ) x x* x * xx x f ( x)
x x f ( x) f ( x) ex ( x) ex ( x) f ( x) f ( x)
x f ( x) 称为相对误差条件数。 f ( x)
例：x 的相对误差限为 ，求 sin(x) 的相对误差限
此范围也可表示成： x* x （1-4）
1.2.2 相对误差与相对误差限 定义：设x*为准确值，x是x*的一个近似值， 则称 为近似值x的相对误差。 注意：(1) ex小，精度高；(2) 相对误差比绝对误 差更能反映误差的特征，在误差分析中相对误 差比绝对误差更为重要。 由于 x 与x*都不能准确求得，相对误差也不 能准确求得。因此，给定一个正数 ，使得
0.8880 103
A M A 10 EA B M B 10 EB
(1) 加（减）法运算
A B ( M A M B 10EB EA ) 10EA
(2) 乘法运算
A B ( M A M B ) 10EA EB
(3) 除法运算
A / B ( M A M B ) 10 EA EB
得到递推公式： 1 nE , n 2,3, ,9 En n 1
主讲：陈 蓉 E-mail：rchen@
TEXTBOOK
计算方法
贺俐 陈桂兴 主编 武汉大学出版社
Topics
误差 插值与拟合 数值积分 解线性方程组的直接法 解线性方程组的迭代法 非线性方程的数值解法 常微分方程初值问题的数值解法
CONDUCT IN THE CLASSROOM
3.1416 (3 101 1102 4 103 1104 6 106 ) 101 m＝1，n＝5
1 1 13 3.14 10 102 2 2 1 1 15 3.1416 10 104 2 2
虽然m相同，但3.1416的绝对误差限小。3.1416比 3.14的有效数字位数多，近似 的精度要高。
1.5 误差危害的防止
1. 选择稳定的数值计算公式 例6 计算积分
En xne x1dx,
0 1
n 1, 2, ,9
1
解：利用分部积分得 1
n x 1 0
En x e dx [ x e ]| n xn1e x1dx 1 nEn1
n x 1 1 0 0
x f ( x) | er ( f ( x )) | ex ( x ) f ( x)
*
x cos( x) ex ( x) sin( x)
xctg ( x)
1.4 浮点数及其运算
1.4.1 数的浮点表示 在计算机中，一般实数x均按照舍入原则表示 成： x q b p (0 q 1) 称为b进制浮点数。正整数b称为基数，一般取 为2；但为照顾习惯和书写方便，通常将二进制 数化为10进制数输入或输出。整数p称为阶码或 b p 称为定位部，q 称为尾部数。 指数， 浮点数分为阶码和尾数两部分，并且均有各自 的符号位。计算机字长有限，因此浮点数的阶码 和尾数都是有限数。
IMPORTANT!!
Grading Policy
Total: 100
Attendance: 10 Homework: 20 Final exam: 70
KEYS TO SUCCESS IN THIS COURSE
Work every homework problem Read textbook before each class Ask questions! Think--it may be simple Discuss with your friends
2.718 (2 101 7 102 1103 8 104 ) 101
1 1 mn e 2.718 10 103 2 2
例3：用3.14与3.1416分别近似
绝对误差限分别是：
m＝1，n＝3
3.14 (3 101 1102 4 103 ) 101
绝对误差和绝对误差限是有量纲的量。 相对误差和相对误差限是无量纲量，常用百分 数表示。
例1：设a=-2.18和b=2.1200分别有准确值x和y经 e ex 过四舍五入得到的近似值，问a ， b ，(a) ，x (b) 各是多少？ 解：凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值， 其绝对误差限等于近似值末位的半个单位，因 此：
1.1 误差的来源与分类
定义：近似值与精确值之差称为误差，误差的 来源或分类有4种。 (1) 模型误差 从实际问题提炼出数学问题时往往忽略了许多 次要因素，因而即使数学问题能求出准确解， 也与实际问题的真正解不同。它们之差称为模 型误差。 (2) 观测误差 一般数学问题包含若干变量，它们的值需要通 过观测得到，难免有误差。这种误差称为观测 误差/数据误差/参量误差。
1.3.2 有效数字与绝对误差和相对误差的关系
对于准确值x*的一个近似值x而言，有效数字越 多，它的绝对误差和相对误差就越小，而且知 道了有效数字的位数，由（1-9）就可以写出近 似值x的绝对误差限。 定理1-1 若用（1-8）式表示的近似值x具有n位有效数字， 1 则其相对误差限为 10 n 1 ，即
的大小显示出近似值x的准确程度， x 越小， x的准确度越高。 x
x 可正可负，绝对误差不是误差的绝对值。
实际中无法得到准确值x*，从而不能得到绝对 误差 的准确值。给出一个正数 ，使得： x | x | x * x （1-2） 成立 叫做近似值x的绝对误差限，简称误差限， 或称“精度”。 有了误差限，准确值x*的范围： x x* x （1-3）
1.2 绝对误差与相对误差
一个近似值的精确度：通常用绝对误差、相对误 差或有效数字ห้องสมุดไป่ตู้说明。 1.2.1 绝对误差与绝对误差限 设x*为精确值，x为x*的近似值，称x x * x 为近似值x的绝对误差，简称误差。 例：e取2.718，其绝对误差为
x e 2.718 0.0002818
x * x | ex | x*
x x * x ex x* x*
（1-5）
为x的相对误差限。实际中，准确值x*无法
得到，因此：
ex x x * x x x
（1-6）
x * x 称ex为x的相对误差，同样： | ex | x
（1-7）
为近似值x的相对误差限。
2 x1
ex 1 10 n1 2 x1
（1-10）
定理1-2 若近似值x的相对误差限为
1 ex 10 n 1 2( x1 1)
（1-11）
则x至少具有n位有效数字。
例4 用3.1416来表示的 近似值时，它的相对误 差是多少？ 解：3.1416具有5位有效数字，x1＝3，由（1-10） 得出它的相对误差为：
e( x) x * x
e( f ( x)) f ( x*) f ( x) f ( x ( x * x)) f ( x) f ( x e( x)) f ( x) Taylor 展开
f ( x ( x * x)) f ( x) f ' ( x)( x * x) 1 e( f ( x)) f ' ( x)e( x) f ' ' ( )e 2 ( x) 2 1 f ' ' ( )( x * x) 2 2!
a a * a 0.005
0.005 ex (a) 0.23％ 2.18
b b * b 0.00005
0.00005 ex (b) 0.0024％ 2.1200
1.3 有效数字与误差的关系
1.3.1 有效数字 当精确值x*有很多位数时，常按四舍五入的原则 取其前几位数字作为其近似值。 例： 3.1415926... 若按四舍五入原则分别取4 位和5位小数，则得： 3.1416 ， 3.14159 绝对误差限不超过末位数的半个单位，即：
e( f ( x)) f ' ( x)e( x)
| f ( x) | 称为绝对误差条件数。
如果条件数小，称 f ( x) 为好条件的。 反之，称 f ( x) 为坏条件的。
函数的相对误差
e( f ( x* )) f ( x ) f ( x* ) er ( f ( x* )) f ( x) f ( x)
计算方法在科学计算中的地位：
实际问题 计算方法 上机计算结果 建立数学模型 编写程序 分析结果
显然，计算方法处于承上启下的位置， 在整个计算中是重要的不可缺少的一环。
第1章 误 差
1.1 误差的来源与分类 1.2 绝对误差与相对误差 1.3 有效数字与误差的关系 1.4*浮点数及其运算 1.5 误差危害的防止
Get to class on time; Turn off your pager or cellular phone during the class; Don’t talk during lecturing; Raise your hand if you have any questions.
如果尾数q的小数点后的第一位数字不为零，则该数 叫规格化形式的数；如果尾数q的小数点后的第一位 数字为零，则该数叫非规格化形式的数。 规格化：把一个非规格化的数变为规格化形式的数 的过程叫做数的规格化。 非规格化形式的数： 通过变阶变成规格化形式： 1.4.2 浮点数的运算 设有两个规格化浮点数：0.0888 102