利用基本不等式求三角函数中边长问题

利用基本不等式求三角函数中边长问题

一．解答题（共3小题）

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．

（I）求角A的大小；

（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

3．在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的最大值

4.在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=．

①求的值．

②若，求△ABC的面积S的最大值．

【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）

又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）

解得，∴．（6分）

（II）由．（8分）

又．（10分）

由．（12分）

2【解答】解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）

由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），（2分）

即a2+b2﹣c2=ab．（3分）

所以cosC==，（5分）

又C∈（0，π），所以C=．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，（8分）

又S=sinC=ab=，

所以ab=6，（9分）

所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．（11分）

所以△ABC周长为a+b+c=5+．（12分）

3.【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，

，

∴sin2A=1且，

（2）2

4.【解答】解：①∵cosA=，

∴

=

=；

②，

∴，

，

∴，，

∴，

．