点共圆的证明的所有方法
(完整版)四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明.1定理判定定理方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆）托勒密定理若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB⨯DC+BC⨯AD=AC⨯BD.例题:证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答:归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形.我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立,我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC(边长a〈b<c）.把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra〈rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。
这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P。
于是根据Ptolomy 定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。
(考虑P，这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。
专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用
专题：四点共圆在中考数学及自主招生中的应用四点共圆的判定方法：方法一：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；方法二：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆；方法三：若一个四边形的外角等于它相邻的内对角，则这个四边形的四个点共圆；方法四：若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆方法五：同斜边的直角三角形的顶点共圆C AD B C A D经典例题题型1、先证四点共圆后，然后求线段最值问题（关键是找到动点的轨迹）例1、如图1，OA=OB=4，∠OCA=135°（1）求证：AC⊥BC；（2）如图2，点P与点B关于x轴对称，试求PC的最小值。
题型2、先证四点共圆后，然后求角度、三角函数值、或线段的比值（若从一个点出发的三条线段之间的比值问题，特别注意三弦定理）例2、如图，抛物线y=ax2-4ax+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y=x-3经过M，B两点，交y轴于点D（1）求抛物线的解析式；（2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ，求∠PQC的度数例3、（2013年哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为例4、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．例5、如图1，直线y=−21x+2交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且S △AOC =8，双曲线 y=xk （x ＜0）经过点C （1）求k 的值； （2） 如图2，Q 为双曲线上另一点，连接OQ ，过C 作CM ⊥OQ 于M ，CN ⊥y 轴于N ，连接MN 。
四点共圆的几种常用判定方法 欧阳晓善
四点共圆是一个常用的知识，它除了可以灵活运用于角与角之间的等量转换外，还可以解决与圆幂定理（相交弦定理和切割线定理）相关的问题。
四点共圆的判定是个难点，现归纳总结出四点共圆的几种常用判定方法，供同学们学习参考。
一、直接找出一点到所证四点的距离相等例1如图1所示，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H 。
求证：E 、F 、G 、H 四点共圆。
分析：由于E 、F 、G 、H 是菱形四边中点，从菱形的性质可知：E 、F 、G 、H 应在对角线交点O 为圆心的圆上，因此可证E 、F 、G 、H 四点到O 点的距离相等即可。
图1证明：连接OE 、OF 、OG 、OH ，ȵ四边形ABCD 是菱形，ʑAB ⊥BD ，AB =BD =CD =DA 。
又ȵ在Rt △AOB 、Rt △BOC 、Rt △COD 、Rt △AOD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，ʑOE =12AB ，OF =12BC ，OG =12CD ，．．．CZSFD 数学2011．12OH =12AD 。
又ȵAB =BC =CD =DA （已证），ʑOE =OF =OG =OH 。
ʑE 、F 、G 、H 四点共圆。
二、证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角例2如图2所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F 点。
求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
分析：欲证C 、D 、E 、F 四点共圆，可证以该四点构成的四边形中，一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此，连接EF 构成四边形EFCD 后，证明∠BFE =∠D 即可。
图2证明：连接EF ，ȵ四边形ABFE 是圆内接四边形，ʑ∠A +∠BFE =180ʎ。
又ȵ四边形ABCD 是平行四边形，ʑ∠A +∠D =180ʎ。
ʑ∠BFE =∠D 。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。
2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C 、D 在线段AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB 。
求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-39，过A ，B ，C 三点作⊙O 。
(1)如果D 点在⊙O 内部，则延长BD 交⊙O 于D '，连A D '。
∵∠D '=∠C ，且∠ADB ＞∠D '。
∴∠ADB ＜∠C ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此D 点不可能在⊙O 的内部。
(2)如图7-40，如果D 点在⊙O 的外部，连AD ，BD 。
则必有一条线段与⊙O 相交，设BD 与⊙O 交于D '，连A D '。
∵∠A D 'B=∠ACB ，且∠D ＜∠A D 'B 。
∴∠D ＜∠ACB ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。
因此，D 点不可能在⊙O 的外部。
综上所述，D 点必在⊙O 上。
3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB ，CD 相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。
证明：如图7-43，连AD ，BC ，AC 。
在△APD 和△BPC 中，∵PA ·PB=PC ·PD ，∴PBPDPC PA =。
又∠APD=∠BPC ，∴△APD ∽△BPC 。
∴∠B=∠D ，又B ，D 在线段AC 同侧。
因此，A ，C ，B ，D 四点共圆。
(2)两线段AB ，CD 的延长线相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆(图7-44)。
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法
四点共圆是几何学中一个经典的问题，它指的是当四个点在同一个平面上时，
它们能否构成一个圆。
在数学中，我们可以通过几何推理和证明来解决这个问题。
下面，我将介绍几种证明四点共圆的方法。
首先，我们可以利用圆的定义来证明四点共圆。
根据圆的定义，一个平面上的
点到另一个点的距离等于圆的半径时，这些点就构成了一个圆。
因此，我们可以通过计算四个点之间的距离，如果它们之间的距离都相等，那么这四个点就共圆。
其次，我们可以利用圆的性质来证明四点共圆。
根据圆的性质，圆上任意两点
与圆心的距离相等。
因此，我们可以选择其中的三个点，计算它们与圆心的距离，如果它们的距离相等，那么第四个点也必定在同一个圆上，从而证明四点共圆。
另外，我们还可以利用向量的方法来证明四点共圆。
通过向量的性质，我们可
以将四个点表示为向量的形式，然后利用向量的线性相关性来判断这四个点是否共圆。
如果这四个点的向量线性相关，那么它们就共圆。
最后，我们还可以利用解析几何的方法来证明四点共圆。
通过建立坐标系，我
们可以将四个点的坐标表示出来，然后利用圆的标准方程来判断这四个点是否共圆。
如果这四个点满足圆的标准方程，那么它们就共圆。
综上所述，证明四点共圆的方法有很多种，可以通过圆的定义、圆的性质、向量、解析几何等多种方法来进行证明。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明，从而解决四点共圆的问题。
希望以上方法能够帮助大家更好地理解和应用四点共圆的概念。
证明四点共圆常用的策略例析
证明四点共圆常用的策略例析
1 四点共圆的概念
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.这类问题一般有两种形式:
(1)证明某四点共圆或以四点共圆为基础证明若干点共圆； (2)通过证明某四点共圆得到一些重要的结果,进而解决问题. 2 证明四点共圆常用的几种解题策略： 2.1 利用圆的定义：
即要证明A 、B 、C 、D 四点共圆，只要能找到一点O,使得A 、B 、C 、D 四点距离定点O 等长，即OA=OB=OC=OD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆.例如，“证明菱形四边的中点共圆”就可以利用这个方法.事实上，菱形四边的中点与菱形对角线的交点等距离，因而得证.
2.2 利用角的关系
若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则
这四点共圆.如图2：要证明A 、B 、C 、D 四点共圆，只需要
找到∠DCE=∠DAB 或者∠BCD+∠DAB=180°即可.特别的,当∠DAB= ∠BCD=90°时，A 、B 、C 、D 四点共圆，而且BD 为所共圆的直径.
2.3 利用同底同侧等顶角的三角形：
如图5，由∠ADB=∠ACB 可得A 、B 、C 、D 四点共圆. 特别地当∠ADB=∠ACB=90°，可知AB 为A 、B 、C 、D 四点所在圆的的直径. 2.4 利用线段的等积关系：
如果两线段AB ，CD 相交于E 点，且AE ·EB=CE ·ED ，则A ，B ，C ，D 四点共圆（如图7）;或者AB ，CD 的延长线相交于E 点，且AE ·EB=CE ·ED ，则A ，B ，C ，D 四点共圆（如图8）.
E。
证明四点共圆方法
四点共圆证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。
那么这四点共圆）方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．方法6同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径判定与性质：圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD 交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）弦切角定理四点共圆的判定定理：用反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。
四点共圆的六种判定方法
2 过点B作BG AC于点G,得到GBC=45 解RtABG、RtBCG，求得AC的值
判断方法二
练习3：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC=90， CAD=26，则ABD的度数为__6_4_°__
常见的四点共圆模型
亦墨数学 小派老师
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个边形的四个顶点共圆。
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 相交弦定理的逆定理： 若AB、CD两条线段相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 割线定理的逆定理： 若AB、CD两条线段延长后相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 托勒密定理的推广： 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
判断方法三
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆
如图，ACD与 BCD，A B， 则A、B、C、D四点在一个圆上。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
分析：由题可知AFD AOD=90，故A、O、F、D四点共圆。 由四点共圆可得AFO=45，构造直角三角形求出OF的长度。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
4点共圆的判定
4点共圆的判定介绍在平面几何中，共圆是指多个点位于同一个圆上的情况。
当给定4个点时，我们需要判断它们是否共圆。
本文将介绍判定4点共圆的方法和原理，以及具体的计算步骤和示例。
1. 方法一：使用圆的方程1.1 圆的方程圆的方程可以表示为：(x−a)2+(y−b)2=r2其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
1.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算AB、AC、AD的中垂线的方程，得到它们的斜率和截距。
3.确定中垂线的方程后，求解得到中垂线的交点，即为圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，如果它们的距离都相等，即满足共圆的条件。
2. 方法二：使用向量叉乘2.1 向量叉乘的性质在二维空间中，向量的叉乘可以用来判断三个点是否共线。
如果三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线，那么向量AB和向量AC的叉乘为0。
2.2 判断四点共圆的步骤1.假设给定的四个点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)。
2.分别计算向量AB和向量AC的叉乘，以及向量AB和向量AD的叉乘。
3.如果两个叉乘的结果都为0，则四个点共圆。
3. 示例假设有四个点A(0, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，D(1, 1)。
我们将使用上述两种方法来判断它们是否共圆。
3.1 使用圆的方程1.计算AB的中垂线的方程为：y = -0.5x + 0.52.计算AC的中垂线的方程为：y = 0.5x + 0.53.解方程得到两个中垂线的交点为(0.5, 0.5)，即圆心的坐标。
4.计算四个点到圆心的距离，可以得到：AB = AC = AD = BD = 0.5。
因此，四个点共圆。
3.2 使用向量叉乘1.计算向量AB和向量AC的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(0-1) = 12.计算向量AB和向量AD的叉乘：(1-0)(1-0) - (0-0)(1-1) = 13.由于两个叉乘的结果都为1，因此四个点共圆。
最全证明四点共圆方法 及四点共圆基本性质
四点共圆一：如何证明四点共圆：证明方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。
若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。
方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD,它们（或它们的延长线）交点为P，若PA⨯PB=PC⨯PD，则ABCD四点共圆。
证明：连接AC,BD，∵PA⨯PB=PC⨯PD∴PA/PC=PD/PB∵∠APC=∠BPD∴△APC∽△DPB当P在AB,CD上时，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。
根据方法2可知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时，由相似得∠PAC=∠D，根据方法3可知ABCD四点共圆。
方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．方法6四边形ABCD中，若有AB⨯CD+AD⨯BC=AC⨯BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。
该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法之迟辟智美创作证明四点共圆有下述一些基本方法：方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）方法3把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角即是其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积即是自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)方法5证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是发生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．判定与性质：圆内接四边形的对角和为π,而且任何一个外角都即是它的内对角.如四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等）.角CBE=角ADE（外角即是内对角）△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）四点共圆的图片EB*EA=EC*ED（割线定理）EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）（切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）编纂本段证明四点共圆的原理四点共圆证明四点共圆基本方法：方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角即是其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的.编纂本段四点共圆的判定定理：方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角即是其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角即是其内对角.那么这四点共圆）反证法证明现就“若平面上四点连成四边形的对角互补.那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=π求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不成能在圆外.类似地可证C不成能在圆内.∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆.。
证明四点共圆的基本方法
四点共圆的图片
EB*EA=EC*ED（割线定理 ） EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理 ） （切割线定理，割线定理，相交弦定理统称 圆幂定理 ） AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理 Ptolemy）
编辑本段
证明四点共圆的原理
四点共圆 证明四点共圆基本方法：
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四点共圆的证明的所有方法
四点共圆的证明的所有方法证明：“四点共圆”的概念是指四个点在同一个圆上。
下面将介绍六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
方法一：通过圆的定义证明1.过给定的四个点中任意三个点相互连接得到三条线段。
2.如果这三条线段的两个线段互相垂直，则可以得出结论：它们共同交于同一个圆心，因此四个点在一个圆上。
方法二：通过圆锥曲线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.将直径完全平分，将A、B两点之间的弦平分。
3.如果C、D两点相等于刚才的这两个点之间的任意一点，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法三：通过三角形内角平分线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，选择其中任意两个点A、B，并通过这两个点画出一个与直线CD平行的线段DE。
2.根据三角形的内角平分线性质，线段DE将角ADC与角BDC平分成两个相等的角。
3.如果这两个相等的角的顶点分别为A和B，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法四：通过周重圆定理证明1.给定四个点A、B、C、D。
2.假设AB与CD相交于点E，并假设AC与BD相交于点F。
3.如果EF垂直于CD，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法五：通过正交变换证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.进行适当的正交变换，将这个圆形变换为一个单位圆，使得A点位于单位圆的正上方并成为圆心，B点位于单位圆的负下方。
3.如果C、D两点与单位圆有相同的距离，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法六：通过托勒密定理证明1.给定四个点A、B、C、D，假设B、D两点在圆内，且BD为这个圆的直径。
2.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD。
3.如果AB×CD+AD×BC=AC×BD成立，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
综上所述，我们介绍了六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
通过不同的几何定理和性质，可以找到不同的路径来达到证明的目的。
初几7 点共圆与圆共点证明方法3
例2、一圆和等腰三角形ABC的两边AB, AC 分别相切于D, E，和ABC的外接圆相切于F， 则ABC的内心G和D, E在一直线上。
例3、在ABC中以BC为直径的圆交AB, AC于F , E， 证明：在E , F处的切线与高线AD共点。
例3、在ABC中以BC为直径的圆交AB, AC于F , E， 证明：圆在E , F处的切线与高线AD共点。
例3、在ABC中以BC为直径的圆交AB, AC于F , E， 证明：圆在E , F处的切线与高线AD共点。
弦切角=圆周角
例4、设X , Y , Z各为ABC的三边BC, CA, AB所在直 线上的点，则圆AYZ, 圆BZX , 圆CXY三圆共点。
例4、设X , Y , Z各为ABC的三边BC, CA, AB所在直 线上的点，则圆AYZ, 圆BZX , 圆CXY三圆共点。
例1、自圆上任一点P引三弦PA, PB, PC， 并各以他们为直径画圆，则所画三圆的 每两两相交的除点P外的三交点共线。
例1、自圆上任一点P引三弦PA, PB, PC， 并各以他们为直径画圆，则所画三圆的 每两两相交的除点P外的三交点共线。
例2、一圆和等腰三角形ABC的两边AB, AC 分别相切于D, E，和ABC的外接圆相切于F， 则ABC的内心G和D, E在一直线上。
四点共圆的证明方法
四点共圆的证明方法
要证明四个点共圆，我们可以使用以下方法：
通过三角形的外接圆证明：首先选择任意三个点，构成一个三角形。
如果这个三角形的三个顶点在同一个圆上，那么我们可以得出结论：第四个点也在这个圆上。
为了验证这一点，我们可以计算这个三角形的外接圆心，并检查第四个点是否也位于该圆上。
利用圆的性质证明：如果我们已经知道了另外三个点在同一个圆上，那么我们可以利用圆的性质来证明第四个点也在该圆上。
例如，可以证明四个点共圆的方法之一是通过证明这四个点构成的两个弦相交于同一点，或者证明这四个点构成的两个弧的度数和等于360度。
利用向量的性质证明：我们可以将四个点表示为向量的形式，并利用向量的性质进行证明。
如果我们能够证明这四个点所对应的向量满足某种关系，比如共线、平行或垂直等，那么我们就可以得出结论：这四个点共圆。
利用解析几何的方法证明：假设这四个点的坐标分别为A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y ₃)，D(x₄, y₄)。
我们可以利用解析几何的方法，通过计算这四个点所构成的三角形的外接圆方程，来判断这四个点是否共圆。
如果这四个点满足外接圆方程，那么它们就在同一个圆上。
无论采用哪种方法，我们需要根据具体问题的条件和要求选择合适的证明方法。
1。
四点共圆基本判断方法(超全)
2.若一个四边形的一组对角互补（和为 180°），则这个四边形的四个点共圆
• 若∠A+∠C=180° 或∠B+∠D=180°， 则点A、B、C、D 四点共圆
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B， C，D四点共圆
• 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O 上，则C在圆外或圆内，若C在圆外， 设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆 内接四边形的性质得 ∠A+∠DC’B=180°， ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可 能在圆外。类似地可证C不可能在圆 内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点 共圆。
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
Key. 四点共圆的证明 五个基本判断方法：
• 1. 若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共 圆。
• 2. 若一个四边形的一组对角互补（和为180°）， 则这个四边形的个点共圆。
• 3. 若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四 边形的四个点共圆。
• 4. 若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的 两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的 两个端点共圆。
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/6/282021/6/282021/6/282021/6/28
四点共圆基本性质及证明
四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上,那么称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆〞.四点共圆有三个性质：(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；(2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角.以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证实.定理判定定理方法1:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆)方法2 :把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外角等于其邻补南的内对南时,即可肯定这四点共圆.(可以说成：假设平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)托勒密定理假设ABCD四点共圆(ABCD按顺序都在同一个圆上),那么AB x DC+BC x AD二AC xBD.1)例题：证实对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数.解答：归纳法.我们用归纳法证实一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数,且这n个点共圆,并且有两点是一条直径的两端.n=1,『2很轻松.当n二3时,一个边长为整数的勾股三角形即可：比方说边长为3, 4, 5的三角形.我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直径.假设对于n大于等于3成立,我们来证实n+1.假设直径为r 〔整数〕.找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC 〔边长a<b<c〕o把原来的圆扩大到原来的c倍,并把一个边长为ra 〈rb〈rc的三角形放进去,使得rc边和放大后的直径重合.这个三角形在圆上面对应了第n+1个点,记为P.于是根据Ptolomy定理,P和已存在的所有点的距离都是一个有理数.〔考虑P,这个点Q和直径两端的四个点,这四点共圆,于是PQ是一个有理数由于Ptolomy定理里的其它数都是整数.〕引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离,记这n个有理数的最大公分母为M.最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可.归纳法成立,故有这个命题.反证法证实现就“假设平面上四点连成四边形的对角互补.那么这个四点共圆〞证实如下〔其它画个证实图如后〕：四边形ABCD中,ZA+ZC=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆〔A, B, C, D四点共圆〕证实：用反证法过A, B, D作圆0,假设C不在圆0上,点C在圆外或圆内,假设点C在圆外,设BC交圆0于C',连结DC',根据圆内接四边形的性质得NA+NDC' B=180° ,V ZA+ZC=180°・・.NDC' B=ZC这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外.类似地可证C不可能在圆内.・・・C在圆0上,也即A, B, C, D四点共圆.证实方法方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆周上,假设能证实这一点,即可肯定这四点共圆.方法2把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,假设能证实其顶角相等〔同孤所对的圆周角相等〕,从而即可肯定这四点共圆.几何描述：四边形ABCD中,NBAC二NBDC,那么ABCD四点共圆.证实：过ABC作一个圆,明显D一定在圆上.假设不在圆上,可设射线BD与圆的交点为D',那么NBD'C二NBAC二NBDC,与外角定理矛盾.方法3把被证共圆的四点连成四边形,假设能证实其对角互补或能证实其一个外南等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.证法见上方法4把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,假设能证实它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆〔相交弦定理的逆定理〕；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,假设能证实自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.〔割线定理的逆定理〕上述两个定理统称为圆球定理的逆定理,即ABCD四个点,分别连接AB和CD, 它们〔或它们的延长线〕交点为P,假设PAxPB=PCxPD,那么ABCD四点共圆.证实：连接AC, BD, VPAxPB=PCxPDPA/PC=PD/PBZAPC=ZBPD.,.△APC^ADPB当P在AB, CD上时,由相似得NA二ND,且A和D在BC同侧.根据方法2可知ABCD 四点共圆.当P在AB, CD的延长线上时,由相似得NPAC二ND,根据方法3可知ABCD四点共圆.方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.即连成的四边形三边中垂线有交点,可肯定这四点共圆.方法6四边形ABCD中,假设有ABxCD+ADxBC二ACxBD,即两对边乘积之和等于对角线乘积,那么ABCD四点共圆.该方法可以由托勒密定理逆定理得到.托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD,总有ABxCD+ADxBC^ACxBD,等号成立的条件是ABCD四点共圆.如图,在四边形内作△APBsaDCB 〔只需要作NPAB二NCDB, NPBA二NCBD即可〕由相似得NABP = NDBC, NBAP 二NBDC/• Z ABP+ Z PBD = Z DBC+ Z PBD即NABD二NPBC又由相似得AB: BD=PB ： CB=AP ： CDAABxCD=BDxAP, AABD^APBC,AD: BD=PC: BC,即AD x BC=BD x PC两个等式相加,得ABxCD+ADxBC=BDx (PA+PC) 2BDxAC,等号成立的充要条件是APC 三点共线而APC 共线意味着NBAP=NBAC,而NBAP二NBDC,NBAC=NBDC根据方法2, ABCD四点共圆方法7假设一点在一三角形三边上的射影共线,那么该点在三角形外接圆上.设有一△ABC, P是平面内与ABC不同的点,过P作三边垂线,垂足分别为L, M,N,假设L,M,N共线,那么P在AABC的外接圆上.如图,PM±AC, PN±AB, PL±BC,且L,N,M 在一条线上.连接PB, PC, V ZPLB+ZPNB=900 +90° =180°A PLBN四点共圆二. Z PLN= Z PBN,即Z PLM= Z PBA同理,ZPLM=ZPCM,即 NPLM 二NPCA=NPBA根据方法2, P 在AABC 外接圆上目判定与性质圆内接四边形的对角和为180° ,并且任何一个外角都等于它的内对角.【如图A:四点共圆的图片】图A:四点共圆的图片四边形ABCD 内接于圆0,延长AB 和DC 交至E,过点E 作圆0的切线EF, AC 、 BD 交于P,那么有：(1) NA+NC= IT , NB+ND = n (即图中 NDAB+NDCB= n , NABC+NADC= n)(2) ZDBC=ZDAC (同弧所对的圆周角相等).(3) NADE=NCBE (外角等于内对角,可通过(1)、 (2)得到)(4) AABP^ADCP (两三角形三个内角对应相等,可由(2)得到)(5) APxCP 二BPxDP (相交弦定理)(6) EBxEA=ECxED (割线定理)(7) EF 2 = EBxEA=ECxED (切割线定理)(8) ABxCD+ADxCB=ACxBD (托勒密定理)说明：切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆球定理[1]其他定理：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的孤的圆心角的度数的一 半.M. CB 力为S 彩ABCt6戢 M,CDftJS 长线XT.4E。
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证明四点共圆的方法
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ， PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆。
图（3） 图（4） 图（5）
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇒四点共圆。
A B C D A B C D P A
B C D P
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC 交圆O于C'，连结D C'，根据圆内接四
边形的性质得∠A+∠D C'B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .
故假设错误，原命题成立。
代数方法
解析几何（点代入法，利用线段乘积向量）
复数证明（辐角相等）。